Конечно-элементная аппроксимация и сплайны широко применяются при решении задач математической физики и задач приближения. Такие важные задачи, как контроль за работой ядерных реакторов й предсказание погоды, требуют обработки большого количества информации, которая описывает состояние реальных физических систем. Математической моделью этих систем, как правило, и являются краевые задачи для уравнений математической физики. Решение этих задач проводится различными проекционными методами, среди которых одним из наиболее часто применяемых является метод конечных элементов (МКЭ).
В основе метода конечных элементов лежит понятие конечно-элементной аппроксимации. Основными чертами конечно-элементной аппроксимации являются:
1) триангуляция исходной области (или более общее клеточное подразделение),.
2) кусочно-многочленный характер аппроксимации,.
3) локальный интерполяционный базис.
Линейная комбинация элементов этого базиса сравнительно просто позволяет получить аппроксимацию интересующей функции.
В мировой литературе имеется большое количество работ по конечно-элементной аппроксимации. Отметим в этой связи работы С. Г. Михлина, Ф. Сиарле, Г. Стрэнга, Дж. Фикса. К упомянутым аппроксимациям примыкают аппроксимации сплайнами. В 1952 г. В. С. Рябенький впервые построил сплайны с локальным интерполяционным базисом. Дж. Гоэл (1968 г.) и С. Г. Михлин (1971 г.) получили базисные функции из аппроксимационных соотношений. Ю. К. Демьянович модифицировал эти соотношения и получил так называемые обобщенные минимальные сплайны.
Важными аспектами в изучении обобщенной конечно-элементной аппроксимации являются получение эффективных констант аппроксимации обобщенными минимальными сплайнами, нахождение оценок трудоемкости использования соответствующих аппроксимаций при решении задач математической физики, а также вопросы, связанные с построением конечно-элементной аппроксимации на многообразии. Исследование свойств обобщенной конечно-элементной аппроксимации может позволить в значительной степени оптимизировать вычислительную работу при решении задач приближения и задач математической физики.
Целью данной диссертационной работы является:
I) исследование вопросов теории аппроксимации обобщенными минимальными сплайнами: получение эффективных констант аппроксимации в нормах различных пространств, вычисление этих констант, сравнение их для различных пространств сплайнов;
II) изучение вопросов теории построения аппроксимации функций, заданных на многообразии: исследование свойств абстрактных А-отрезков, обобщающих понятие отрезка геодезической, нахождение алгоритмов приближенного отыскания А-отрезков и получение оценок скорости сходимости, доказательство существования атласов, для которых абстрактные А-отрезки представляют собой простые незамкнутые кривыеразработка алгоритмов глубокого измельчения поверхности, реализация аппроксимации функций, заданных на сфере и на сфере с вырезом;
III) использование параллельных вычислений при решении задач математической физики: получение оценок трудоемкости сплайно-вой аппроксимации при численном решении краевых задач методом конечных элементов без распараллеливания и с распараллеливаниемреализация вычислений на векторных вычислителях.
Перейдем к обзору содержания диссертации по главам. Глава I посвящена аппроксимации обобщенными минимальными сплайнами. Сплайновые аппроксимации являются одним из наиболее распространенных методов решения задач аппроксимации и приближения. Классическим примером сплайнов являются Б-сплайны, которые обладают свойством оптимальности по n-поперечнику и неотрицательностью локального базиса. Однако Б-сплайны не являются интерполяционным базисом. Для решения интерполяционных задач Эрмита известны эрмитовы сплайны, но они не всегда удобны, поскольку помимо значений интерполируемой функции требуются также значения ее производных в узлах. При решении интерполяционных задач, связанных с постоянным получением новых данных, удобнее оказываются минимальные интерполяционные сплайны. Последние обладают локальным интерполяционным базисом и упомянутой выше оптимальностью. К минимальным сплайнам с локальным интерполяционным базисом относятся ломаная Эйлера, интерполяции Дженкинса, сплайны B.C. Рябенькогов задаче Эрмита — это эрмитовы сплайны.
Возникла ситуация, когда имеется много различных сплайнов, обладающих одинаковыми аппроксимативными свойствами и похожими по простоте структурами базисных функций, но с весьма различными свойствами устойчивости, с различными константами в оценках аппроксимации и разной трудоемкостью их использования. Ввиду неоднородности способов их описания затруднительно отдать предпочтение тому или иному виду сплайнов. Для упрощения ситуации оказалось удобно исходить из аппроксимационных соотношений (Дж.Гоэл, С. Г. Михлин, Ю.К.Демьянович). Идея состоит в том, чтобы при заданном порядке аппроксимации и гладкости минимизировать кратность накрытия носителями базисных функций, и из этих условий отыскивать сами базисные функции. Первоначально таким способом удалось получить новые сплайны с интерполяционным локальным базисом для задач Лагранжа и Эрмита (см. 6], [10], [24]), а в последнее время — путем модификации аппроксимационных соотношений удалось построить широкий набор сплайнов (так называемых обобщенных минимальных сплайнов), который включает также и В-сплайны (см. 8], [9], [11], [13]).
Первый параграф главы I содержит основы теории обобщенных минимальных сплайнов на равномерной сетке (см. [8]). Здесь рассматриваются обобщенные минимальные сплайны на равномерной сетке, которые получаются линейной комбинацией сдвигов одной функции, названной приведенным образующим сплайном. В зависимости от типа образующего сплайна получаются те или иные пространства минимальных сплайнов. В первом разделе § 1 дается определение приведенного образующего сплайна, исследуются различные виды аппроксимационных соотношений, а также устанавливается представление приведенных образующих сплайнов через стандартные сплайны. Во втором разделе вводится понятие определяющих функционалов и рассматривается аппроксимация функций с помощью элементов пространства, порожденного приведенными образующими сплайнами. Третий раздел посвящен вложенности пространств минимальных сплайнов при измельчении сетки.
В § 2 главы I доказываются теоремы аппроксимации обобщенными минимальными сплайнами на равномерной сетке в норме пространств С и Ья. При доказательстве теорем используются аппрок-симационные соотношения для минимальных сплайнов, неравенства.
Гельдера, неравенство Иенсена, а также теоремы вложения Соболева. Второй параграф состоит из пяти разделов. Первый раздел посвящен аппроксимации обобщенными минимальными сплайнами. Со второго по четвертый раздел доказываются теоремы аппроксимации. Во втором разделе дается оценка приближения в норме пространства С. Здесь представлены два подхода. Первый из них позволяет получить более простые, но и более грубые оценки (теорема 1), второй подход сложнее с вычислительной точки зрения, но зато позволяет получить более точные оценки (теорема 2). В третьем и четвертом разделах (с использованием второго подхода) получены оценки в норме пространств ?2 (теорема 3) и Ьд (теорема 4) соответственно. Пятый раздел раздел параграфа содержит примеры вычисления констант и их сравнение для различных пространств сплайнов. В приложении I имеются таблицы некоторых констант и приведены графики их зависимостей от типа сплайнов.
Задачи аппроксимации возникают не только в области евклидова пространства, но и на многообразиях. Вопросам построения конечно-элементной аппроксимации на многообразии (включая многообразие с краем) посвящена глава II. Для функций, заданных на п-мерном (п > 1) гладком многообразии, существует способ построения конечно-элементных аппроксимаций, который позволяет использовать ряд хорошо известных плоских аппроксимаций (Куранта, Зла-мала, Аргириса). При этом аналоги этих аппроксимаций на многообразии обладают теми же свойствами интерполяции, гладкости, приближения и устойчивости, что и плоские аппроксимации. Для построения аппроксимации на многообразии необходимо иметь.
1) представление многообразия с помощью атласа из континуального числа карт, взаимно-однозначно соответствующих точкам многообразия,.
2) симплициальное подразделение многообразия,.
3) подходящее семейство аппроксимаций в евклидовом пространстве.
Общей идее построения аппроксимаций на многообразии посвящен § 1 главы II (см. [6]). В первом разделе этого параграфа строятся аппроксимационные соотношения. Во втором — представлен один из подходов построения аппроксимаций, а именно, когда аппроксимация на многообразии индуцируется плоскими аппроксимациями. В третьем разделе в связи с конечно-элементной аппроксимацией представлена общая схема построения аппроксимаций на многообразии.
Отметим, что ни точное, ни приближенное построение входящих в подразделение криволинейных элементов не требуетсядостаточно лишь знать координаты вершин подразделения и таблицу соответствий номеров симплексов и номеров вершин. Это позволяет создавать эффективные программы аппроксимации функций, заданных на поверхности. Трудоемкость их создания незначительно больше, чем в случае евклидова пространства.
Хотя построение локальных аппроксимаций на многообразии не использует уравнения кривых подразделения, их структура важна при реализации симплициального подразделения. В § 2 главы II выясняются достаточные условия того, чтобы эти кривые можно было рассматривать в качестве одномерных симплексов подразделения многообразия.
В связи с этим, в § 2 рассматриваются свойства абстрактных А-отрезков, обобщающих понятие отрезка геодезической на случай произвольного дифференцируемого многообразия. Абстрактный А-отрезок не всегда гомеоморфен отрезку прямой, однако в тех случаях, когда такой гомеоморфизм имеется, будем называть его отрезком псевдопрямой. В § 2 выясняются достаточные условия существования и единственности отрезков псевдопрямых, соединяющих близкие точки компактного куска гладкой выпуклой поверхности, заданной континуальным атласом из семейства атласов специального вида. Здесь показано, что для упомянутого куска поверхности всегда можно указать столь малое число е > 0, при котором для е-близких точек абстрактный А-отрезок оказывается простой незамкнутой кривойкроме того дан алгоритм построения точек этого отрезка с априори заданной точностью. Очевидно, что любое гладкое многообразие можно считать локально гладко вложенным в евклидово пространство Дп+1 так, что результаты вложений — компактные выпуклые куски гладких поверхностей. Тем самым из полученного в этом параграфе результата следует, что для компактного гладкого многообразия, удовлетворяющего достаточно общим условиям, может быть построен атлас А', для которого существует столь малое е > 0, при котором для е-близких точек абстрактный А'-отрезок оказывается простой незамкнутой кривой.
Заключение
.
Данная работа является вкладом в изучение обобщенной конечно-элементной аппроксимации. Основными результатами работы являются:
I. Исследование вопросов теории аппроксимации обобщенными минимальными сплайнами:
1) получены оценки приближения функций обобщенными минимальными сплайнами в норме пространств С и Ьч].
2) вычислены константы аппроксимации и произведено сравнение этих констант для различных классов сплайнов.
II. Изучение вопросов теории аппроксимации функций, заданных на многообразии:
1) исследованы свойства абстрактных А-отрезков, обобщающих понятие отрезка геодезической на случай произвольного дифференцируемого многообразия;
2) получены итерационные методы приближенного отыскания А-отрезков и даны оценки скорости сходимости;
3) установлено, что существуют атласы, для которых абстрактные Л-отрезки представляют собой простые незамкнутые кривые;
4) разработан алгоритм глубокого измельчения триангуляции поверхности;
5) создан пакет программ аппроксимации функций, заданных на сфере и на сфере с вырезом, позволяющий строить достаточно мелкие триангуляции.
III. Использование параллельных вычислений при решении задач математической физики:
1) получена оценка трудоемкости сплайновой аппроксимации при численном решении 1-ой краевой задачи методом конечных элементов без распараллеливания и с распараллеливанием;
2) осуществлена реализация упомянутого метода решения модельной задачи на векторном вычислителе Convex.
Автор надеется, что полученные результаты найдут применение при решении задач интерполяции и аппроксимации, при численном решении задач математической физики с использованием параллельных вычислений, а также при построении аппроксимаций функций, заданных на многообразии.
Автор выражает глубокую признательность Демьяновичу Ю. К. за научное руководство и за постоянную помощь и поддержку при выполнении данной работы.
