Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Неконформный метод конечных элементов для трехмерных уравнений Ламе

Диссертация: Неконформный метод конечных элементов для трехмерных уравнений Ламе
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Для решения системы сеточных уравнений, соответствующих пекон-формпой аппроксимации уравнений Ламе, сконструирован эффективный переобуславлива1ель в итерационном методе сопряженных традиен-тов. Конструкция основана на спектральной эквивалентности оператора сеточной 'задачи сеточному оператору Лапласа и использовании внутренних чебышевских процедур вмесю обращения дополнения Шура для нормальных… Читать ещё >

Неконформный метод конечных элементов для трехмерных уравнений Ламе (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • Глава 1. Аппроксимация неконформными элементами
    • 1. 1. Формулировка исходной задачи
    • 1. 2. Д искре гизация
    • 1. 3. Сеючное неравенство Корна
    • 1. 4. Анализ сходимости
    • 1. 5. Влияние стабилизирующего функционала
    • 1. 6. Численный эксперимент
  • Глава 2. Переобусловливание сеточных уравнений
    • 2. 1. Неконформная аппроксимация трехмерной задачи упругости
    • 2. 2. Эквивалентность энергетической и градиентной сеточных норм
    • 2. 3. Диагонализация матриц при нормальных и касательных перемещениях
    • 2. 4. Переобусловливатель с внутренними чебышевскими процедурами
    • 2. 5. Численные эксперименты
  • Глава 3. Экстраполяция по параметру в возмущенной вариационной задаче в смешанной постановке
    • 3. 1. Предварительные сведения
    • 3. 2. Экстраполяция по параметру регуляризации

Современные приложения имеют дело, как правило, с трехмерными математическими моделями, включающими комплексное описание целого ряда физических процессов. Такие модели содержат уравнения разных типов (эллиптические, параболические, гиперболические). Ярким примером такой модели является математическое описание процесса электромиграции атомов при функционировании устройств микроэлектроники — одновременно решаются эллиптические уравнения электростатики, стационарной теплопроводности, упругости и параболическое уравнение диффузии атомов. Другим характерным примером являются задачи двухфазной филы рации несжимаемых жидкостей, описывающих, например, процессы вытеснения нефти водой при эксплуатации неф1яных пластов. При этом часто основным 11 передатчиком «информации между уравнениями является не само поле, а ею градиент. В связи с этим, наряду с экономичностью и точностью алгоритмов, важную роль приобретает проблема эффективного согласования уравнений друг с другом.

Указанная выше проблема может быть эффективно решена в рамках метода конечных элементов (МКЭ) с использованием неконформных элементов. Данная диссертация посвящена построению и исследованию неконформных конечных элементов нового тина для решения трехмерных уравнений Ламе. Основное достоинство предлагаемых элементов состоит в согласованности с элементами Равьяра-Тома [46], широко используемыми в смешанном МКЭ, и степени свободы для которых «привязаны1^ граням ячеек сетки. Отметим, что смешанный МКЭ является одним из способов одновременного охыскания потенциала и его градиента. Под согласованностью понимается единая саруктура данных программного комплекса. Так же в данной работе будет проведено обсуждение одного из способов реализации смешанного МКЭ.

В этом введении мы, но традиции приведем некоторые соображения по поводу актуальности данной тема гики, конкретизируем цель исследования, а также остановимся на научной новизне результатов. Затем приведем краткое описание содержания отдельных глав, сопровождая его необходимыми комментариями литературных источников.

Следующие факторы обуславливают актуальность тематики данной работы. Во-первых, это отмеченная выше возрастающая похребность в математическом моделировании сложных процессов при помощи единых программных комплексов. В частности, при одновременном решении эллиптических задач в смешанной постановке и уравнений линейной теории упругости возникает необходимость согласования структуры данных, привязкой степеней свободы к граням ячеек. Такую привязку для уравнений Ламе можно осуществить введением множителей Лагранжа. При этом Арнольд и Брецци [18] показали, что дополнение Шура для множителей Лагранжа может бьиь получено непосредственно с помощью неконформных элементов. Именно такого рода элементы и будут рассмотрены в данной работе. Во-вюрых, необходимым требованием к современным алгоритмам является возможность их эффективной реализации на многопроцессорных ЭВМ. Разрабатываемая в работе методика допускает достаточно эффективное распараллеливания на малом числе процессоров. И наконец, приводимые в диссертации теоретические факты имеют, на наш взгляд, актуальность в смысле фундаментальных исследований по вычислительной математике в контексте возросшего интереса к неконфорному и смешанному МКЭ.

Теперь кратко остановимся на научной новизне полученных результатов.

— В диссертации предлагается 2 новых семейства неконформных конечных элементов на параллелеиипедальной сетке для трехмерных уравнений Ламе. Для каждого типа элементов доказан сеточный аналог неравенства Корна (теорема 1.3.1) и получены оценки погрешности в различных нормах. Необходимо добавить, что наличие неравенства Корна обусловлено добавлением стабилизирующего функционала.

Для решения сжнемы уравнений полученной из уравнений Ламе с помощью предложенных неконформных элементов сконструирован достаточно эффективный переобуславливатель в итерационном методе сопряженных градиентов. Конструкция основана на спектральной эквивалентности оператора сеточной задачи сеточному оператору Лапласа и использовании внуфенних чебышевских процедур вместо обращения дополнения Шура.

— Для уравнений в смешанных постановках и уравнений Ламе с выделением одного из инвариантов предложен эффективный способ решения задачи, основанный на экстраполяции по малому параметру метода ш графа.

Полученные результаты являются новыми и опубликованы в рецензируемых научных журналах.

Перейдем к краткому описанию содержания диссертации. Кроме данного введения, работа состоит из трех глав, заключения и списка литературы. Собственно материалам исследования посвящены главы с первой, но третью. Для удобства чтения каждая глава предворяется кратким введением.

Заключение

содержит краткое резюме о полученных результатов.

Список литературы

содержит 52 наименования. Ссылки на первоисточники даны во введении. В основной части текста упоминаются лишь работы, содержащие некоторые конкретные факты, используемые для доказательств утверждений. Каждая глава разделена на пункты с двухиндексными номерами. В диссертации принята сквозная трехин-дексная нумерация формул, теорем, лемм и ссылок на них. Первый индекс соответствует номеру главы, второй — номеру пункта главы, третий — номеру формулы или утверждения данной главы.

Заключение

.

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации.

Предложено два новых семейства неконформных конечных элементов для трехмерных уравнений Ламе. С использованием этих элементов сформулированы сеточные 'задачи, обладающие единственными решениями. Установлен первый порядок погрешности в энергетической норме и второй в норме пространства Ь2.

— Для решения системы сеточных уравнений, соответствующих пекон-формпой аппроксимации уравнений Ламе, сконструирован эффективный переобуславлива1ель в итерационном методе сопряженных традиен-тов. Конструкция основана на спектральной эквивалентности оператора сеточной 'задачи сеточному оператору Лапласа и использовании внутренних чебышевских процедур вмесю обращения дополнения Шура для нормальных перемещений.

В абстрактной форме сформулирована и обоснована процедураэкстраполяции, но малому параметру в методе1 штрафа для задач с ограничениями в тильбертовых пространствах. Полученные результаты применены для ряда эллиптических краевых задач в смешанных постановках В част нос 1 тт, показана возможное ть их применения для повышения работоспособности итерационных методов решения сеточных задач смешанно! о МКЭ.

Показать весь текст

Список литературы

  1. В.В. Воеводин, 10.А. Кузнецов, Матрицы и Вычисления, М., Наука, 1984.
  2. Г. Дюво и Ж.-Л. Лионе, Неравенства в Маанике и Физике, Паука, Москва, 1980.
  3. А.А. Калинкин, Об одном неконформном методе конечных -элементов для трехмерной задачи теории упругости, Материалы конференции молодых ученых по Вычислительной Математике, Новосибирск, Академгородок, 2005, 61 71.
  4. А.А. Калипкин, Ю. М. Лаевский, Об экстраполяции по параметру в возму1 ценной вариационной задаче в смепхахтхтой иосхановке, Сибирский журнал вычислительной математики, 8 (2005), № 4, 307 323.
  5. А.Н. Коновалов, Меход скорейшего спуска с адаптивным поперемепно-треух олытым переобусловлива хелем, Дифференциальные уравнения, 40 (2004), N°7, 953 963.
  6. G. А. Н. Коновалов, Оптимальные адаптивные переобусловлива тел и в двуслойных итерационных методах, Тр. Мсждун. Конф. по Вычис i. Машем., Часть I, Под ред. Г. А. Михайлова, В Г1. Ильина, Ю. М. Лаевското, Новосибирск, 2004, 32 41.
  7. О.А. Ладыженская, Математические Вопросы Динамики Вязкой Несжимаемой Жидкости, Наука, Москва, 1970.
  8. О.А. Ладыженская и В. А. Солошшков, О некоторых задачах векторного анализа и обобщенных постановках краевых задач для уравнений Навье-Сгокса, Зап. научи, сем. ЛОМИ, 59 (1976), выи. 9, Наука, Москва, 81 116.
  9. О.А. Ладыженская, II.II. Уральцева Линейные и Квазилинейные Уравнения Эллиптического Типа, М.: Наука, Москва, 1964.
  10. Ж.-Л. Лионе и Э. Маженес, Неоднородные Третичные Задачи и их Приложения, Мир, Москва, 1971.
  11. Г. И. Марчук и В. В. Шайдуров, Повышение Точности Решений Разностных Сгем, Паука, Москва, 1979.
  12. А. Моцарюва, Итерационный меюд скорейшею спуска с адаптивным переобуславливагелем, Труды кош (). молодых ученых ИВМ и МТ СО РАН, 2006, Новосибирск, ИВМ и МГ СО РАН.
  13. О.А. Олейник, Г. А. Иосифьян, А. С. Шамаев, Математические Задачи Теории Сильно Неоднородных Упругих Сред, Изд-во МГУ, Москва, 1990, 311
  14. А.А. Самарский, Введение в Теорию Разпоспитх Схем, Наука, Москва, 1970.
  15. А А. Самарский, Е Николаев, Методы Решения Сс точны г Уравнений, Наука, Москва, 1978.
  16. Ф. Сьярле, Метод конечных элементов для эллептических задач, Мир, Москва, 1980.
  17. Р Aibenz, S. Maigenov, Paiallel MIC (O) preconditioning of 3D nonconforming FEM systems, Iterative Methods, Precoriditwnuj and Numerical PDEb, Piocvedirujb, 2004, 12 15.
  18. D.N.Arnold, F. Biezzi, Mixed and nonconfoiming finite element methods: implementation, postprocessing and error estimates, R.A.I.R.O., Nurner. Anal., 19 (1985), 7 32
  19. O. Axelsson, Preconditioning of indefinite problems by regularization, SI AM J. Numer. Anal., 16 (1979), No. l, 58 69.
  20. I. Babuska and A.K. Aziz, Foundations of the Firrite Element Method, The Mathematical Foundations of the Finite Element Method with Applications to Partial Differential Equations, Ed. by A.K. Aziz, Academic Press, New York and London, 1972.
  21. G. Bencheva, S. Margenov, Performance analysis of parallel MICJ (O) pieconditioning of rotated bilmear nonconforming FEM systems, Muthernutica Balkanua, 17 (2003), 319−335.
  22. M. Beicovin, Perturbation of mixed variational problems, Application to mixed finie element methods, R.A.I.R.O., Numer. Anal, 12 (1978), No.3, 211−236.
  23. S. Brennei, Korn’s inequalities for piecewise II1 vector fields, Math, of Сотр., 73 (2003), 1067 1087.
  24. F. Brezzi, On the existence, uniqueness and approximation of saddle point problems arising from Lagrangian multipliers, R.A.I.R.O., Numer. Anal., 8 (1974), No/2, 129 151.
  25. F. Brezzi and M. For tin, Mixed and Hybrid Finite EUmeut Methods, Springei-Verlag, New Yoik, 1991.
  26. Ph. Ciailet, The Finite Element Method for Elliptic Pioblems, Noith-Ilolland, 1978.
  27. M. Ciou/eix and P.-A Raviart, Conforming and nonconforminf finite element methods for solving the stationary Stokes equations I, R.A.I.R.O., R.3 (1973), 33 75.
  28. R.S.Falk. Nonconforming finite element methods for the equation of linear elasticity Math. Сотр., 57 (1991), 529−550.
  29. C.E. Foisite, T.S. Mot/kin, Asymptotic propeities of the optimum gradiint method, Bull. Amei. Math. Soe., 57 (1951), 183.
  30. M.Fortin. A tlnee-ditiiensional quadratic nonconforming element Numei. Math., 46 (1985), 269 279.
  31. I. Georgiev, S. Mai genov, DD-MIC (O) pieeonditioning of rotated tiilineai FEM elasticity systems, Computer Assisted Mech. Eiuj. Sci., 11 (2004), 197 209.
  32. P. Hansbo and M.G. Lai son, Discontinuous Gale i km and Ciouzeu-RaviartThe Element: Application to Elasticity, Preprint NO 2000−09, Olialmers Finite Element Center, Goteborg, 2001, 12.
  33. L.R. Herrmann, Elasticity equations tor incompressible or nearly incompressible materials by a variational theorem, A.I.A.A. J. 3 (19G5), 1896−1900.
  34. А.А. Калинкин, Ю. М. Лаевский, On the nonconform finite element method for the 3D elasticity problem, Rus. J. Numer. Anal. Math. Model, 21 (2006), No.4.
  35. T. Kolev, S. Mar genov, Two-level preconditioning of pure displacement non-confoiming FEM systems, Numerical Linear Algebra with Applications, 6 (1999), 533−555.
  36. Yu.A. Kuznetsov, Algebraic multigrid domain decomposition methods, Rus. J. Nurnei. Anal Math. Model, 4 (1989), 351 380.
  37. Y.A.Ku/netsov and M.F.Wheeler, Optimal order substructuring preconditioned for mixed finite element methods on noninatching grids, East-Webt J. Numer. Math., 3 (1995), 127 143.
  38. R.D.Lazarov, S.D.Margerrov, On a two-level parallel MIC (U) pieronditionmg of Croi/erx-Raviart non-eonfonning FEM system I. Dirriou, I. Lirkov, S. Margenov, Z. Zlatev (eds.): Numerical Methods and Applications, Springer LNCS 2542,2003, 192 201
  39. J.A.Nitsche. Convergence of nonconfoiming methods, The Mathematical Aspectь of Finite Elements m Partial Differential Equations, 1971, 1553, Academic Press, New York
  40. R. Rarmacher and S. Turek, Simple nonconforruing quadrilateral Stokes element, Numer. Methods Partial Differential Equations, 8 (1992), 97 111.
  41. H.H.Jr.Rachford, M. F Wheeler. An tf^Galerkiri procedure for the two-point boundary value problems, The Mathematical Aspccts of Finite Elements in Partial Differential Equations, 1974, 353−382, Academic Press, New York
  42. P.A Raviart and J.M. Thomas, A mixed finite element method for 2-ird order elliptic problems, Lectuie Notes in Mathematics 606 (1977), Springer Verlag, New York, 292 315.
  43. T.Rusten and R. Winter, A precorrdrtioned iterative method foi saddle1 point pioblems, SLAM, J. Matrix Anal, 13 (1992), 887 904.
  44. M. Sibony, Methodes iteiatives pour les equations aux deiivees paitielles iion-lineaies de type monotone, Culcolo, 12 (1970), 65 184.
  45. G.Strang. Variational curries in the finite element methos The Mathematical Foundations on the Finite Element Method with Applications to Paitial Differential Equations, 1972, Academic Press, New York, 689−710.
  46. M Wang. The generalized Koirt inequality on nonconforming finite element spaces, Chinese J. Numer. Math. Appl., 1994, 91 96.
  47. E.L.Wilson, R.L.Taylor, W. Doherty, J Ghaboussi. Incompatible displacement models, Numericul and Computer Methods in Structural Mechanics, 1973, 43 57, Academic Press, New York.
  48. X.Xu. A discrete Korn’s inequality irr two and three dimensions, Appl. Math. Letters, 13 (2000), 99 102.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!