Методы численного анализа краевых задач с сингулярностью

Настоящая диссертация посвящена разработке и обоснованию методов численного анализа краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка с сингулярностью решения в точках границы двумерной области, исследованию вопросов существования и единственности R^-обобщенного решения задачи Дирихле с согласованным и несогласованным вырождением исходных данных, изучению коэрцитивных и дифференциальных его свойств в весовых пространствах С. Л. Соболева.

В последние три десятилетия интенсивно развивается теория краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений с частными производными и теория краевых задач для дифференциальных уравнений с особенностью (вырождением, сингулярностью) решения.

Обычно вырождающимся уравнением называют такое уравнение, которое меняет свой тип или порядок на некотором подмножестве замыкания области (см., например, [113, с. 125 и [173, с. 810).

Особенность решения краевой задачи для дифференциального уравнения в замкнутой области может быть вызвана тремя причинами: наличием угловых или конических точек на границе области, сменой типа граничных условий в точках границы и вырождением исходных данных (коэффициентов уравнения, правых частей уравнения и граничных условий). К изучению краевых задач с сингулярностью решения приводят математические модели электромагнетизма, электродинамики, гидродинамики и т. д. (см., например, Е843).

Вопросами разрешимости общих краевых задач для эллиптических уравнений в областях с нерегулярной границей,' исследованием асимптотических свойств их решений в окрестностях конических точек занимались Г. Фикера, В. А. Кондратьев, В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский, П. Грисвард и другие (см. И223-Е1253, Е193-Е213, С361-С433, С483, [129 3-[133 3).

В работах С. М. Никольского Е523, Е543, [1413, П. И. Лизоркина и С. М. Никольского [263-Е313, С513 был развит подход, предложенный Труази Е1503, к исследованию граничной задачи первого рода для дифференциального уравнения эллиптического типа порядка 2 г с вырождением на границе области Оограниченная область п-мерного пространства с достаточно гладкой (п-1}-мерной границей Ш), доказано существование и единственность обобщенного решения в весовых пространствах С. Л. Соболева, изучены его дифференциальные свойства.

Основные аналитические свойства, такие как существование, регулярность, единственность решения и численные методы его нахождения для граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и их систем с сингулярностью коэффициентов в граничных точках изучались в [1373, [1453, [1363, [1123, [1163, [1523, [1383.

Важным моментом для численного анализа краевых задач с особенностью решения является определение понятия решения и пространств, в которых оно существует, единственно и обладает необходимыми дифференциальными свойствами (так как известно, что скорость сходимости приближенного решения к точному решению дифференциальной задачи существенно зависит от его регулярности).

Наиболее распространенными численными методами решения краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка является метод конечных разностей и метод конечных элементов (МКЭ).

В 60−70 годы многими авторами (см."например, [813, [803, [443, [123} исследование погрешности аппроксимации разностных схем основывалось на формуле Тейлора, при этом для получения «хороших» оценок скорости сходимости необходимым условием являлась принадлежность классического решения исходной задачи пространству Ск а (П) (кгЗ, 0<а<1). В случае, когда область содержит угловые точки, регулярность решения в окрестностях этих точек нарушается, даже если исходные данные задачи (коэффициенты и правые части) достаточно гладкие. Однако, для задач Дирихле, Неймана, со смешанными граничными условиями для уравнений Лапласа, Пуассона, Гельмгольца, с постоянными коэффициентами в прямоугольнике и в многоугольнике с прямолинейными сторонами в работах [493, [503, [63-[83, [893, [903, [453, [583, [593 были найдены дополнительные условия, при выполнении которых потери регулярности решения не происходит. Суть этих требований заключается в том, что в угловых точках выполняются условия согласования для некоторых производных от коэффициентов и правых частей уравнения и граничных условий, а для определенных задач еще и дополнительно условий интегрального типа.

Очевидно, что наложение дополнительных условий на исходные данные существенно сужает класс задач, для которых приближенное решение сходится с «хорошей» скоростью. Известно, если граница области содержит углы а^ (1=1,2,., N), то обобщенное решение краевой задачи принадлежит классу.

W^+k~e (Q), k = min {кЛ, где.

1=1,.1 для задач Дирихле и Неймана, а±к±- = для смешанной краевой задачи, а в — любое положительное число. Другими словами, решение краевой задачи в многоугольнике не принадлежит даже пространству №?(?}), его полунормы^, к- > 2, не ^ Ирт) ограничены. Фиксом в [1263 был предложен подход, основанный на выделении сингулярной части решения в окрестности угловых точек и позволяющий строить схемы метода конечных элементов с первым порядком сходимости в пространстве У^Ф). Этот метод для решения двумерных краевых задач был развит в работах [1273, [943, [1103, [1073. Разностные схемы для уравнения Лапласа в ступенчатых областях с учетом асимптотики решения в окрестностях особых точек строились и исследовались в [883.

Другой подход, использующий специальное построение сеток около сингулярной точки (в частности, сеток со сгущением к точке особенности), также позволяет избежать потери точности разностной схемы или схемы метода конечных элементов в ее окрестности (см., например, [83-И03, [1133, [1533, [923, [953, [1493, П463).

В [128}, [1113, [1393 для решения задач с угловыми точками использовалась комбинация аналитического представления решения в окрестностях точек особенностей и метода конечных элементов вне этих окрестностей.

Во всех вышеперечисленных случаях общим являлось то, что устанавливалась зависимость точности решения от величины шага сетки и от показателя степени, с которым он входит в оценку скорости сходимости. В методе конечных элементов нахождение такой зависимости при фиксированной степени р полиномов относится к Ь-версии МКЭ. В начале 80-ых годов в работах И. Бабушки и других математиков [96], [983-И023 получила развитие р-версия МКЭ. В р-версии сетка фиксирована и скорость сходимости зависит от роста степени полиномов. Ь-р-версия метода конечных элементов является комбинацией 11 и р-версий. Однако, в отличии от них, &-р-версия имеет экспоненциальную скорость сходимости. Исследование Зп-р-версии для решения краевых задач в областях с кусочно гладкой границей и с изменением типа граничных условий, основанное на детальном изучении свойств обобщенного (слабого) решения в весовых пространствах Фреше В^Ш), проводилось в серии работ [973, [1343, [1353, И033-И063.

Анализу схем метода конечных элементов для краевых задач в трехмерных областях с границей, содержащей трехгранные узлы и ребра, при различных ограничениях посвящены работы [1083, [1093, [1243, [1173, [1183, [1483.

В [119 3-[1213, [154 3 исследовался метод конечных элементов для нелинейных краевых задач с изменением типа граничных условий.

Изучению численных методов решения краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка с вырождением исходных данных посвящено сравнительно небольшое число работ. В [933 в области с кусочно гладкой границей рассмотрена задача Ддрихле для уравнения Пуассона с правой частью из пространства Ш21+а (Ш (- ^г-<�а< ^)• Известно [1403, что в этом случае слабое решение задачи принадлежит пространству Слободецкого ИУ^ (?}). В работе получены оценки скорости сходимости метода конечных элементов в пространствах (О<0<) и установлена зависимость параметра 0 и скорости сходимости (от 0(111/2~е) до.

0(u1″ e), s>0 — любое) от величины а. В [147] для этой же задачи, в случае когда правой частью уравнения является 6-функция Дирака и граница области гладкая, установлена сходимость метода конечных элементов в пространстве LC (Q) со скоростью Q (h).

В работах [783, [793 для граничной задачи первого рода для самосопряженного эллиптического уравнения второго порядка с вырождением коэффициентов на границе области построен метод конечных элементов. За счет предложенного алгоритма сгущения сетки с учетом порядка вырождения удалось доказать сходимость в весовом пространстве С. Л. Соболева W^ a (?) со скоростью О (Ii) и в классе L2(Q) — 0(h2).

В [323 получены согласованные оценки погрешности в нормах весовых пространств С. Л. Соболева схем метода конечных элементов с лагранжевыми конечными элементами степени п (п>1) для линейного эллиптического уравнения, вырождающегося на части границы.

Вопросы построения численных методов решения дифференциальных задач с особенностями на кусках границы области изучались в работах [133, [253, [13, [183.

Общим для вышеперечисленных работ является то, что в них рассматриваются задачи со слабой сингулярностью решения, вызванной вырождением исходных данныхто есть такие задачи для которых можно определить обобщенное (слабое) решение. Однако в некоторых разделах физики, таких как: физика плазмы и газового разряда, ядерная физика и нелинейная оптика-возникают задачи с сильной сингулярностью решения, обусловленной сингулярностью исходных данных.

В теории рассеяния большой класс задач о вылете частиц из притягивающего центра или падении их на центр описывается уравнением Шредингера, решение которого — волновая функция, стремится к бесконечности в начале координат. Такое поведение решения обусловлено наличием сингулярности у потенциалаисходных данных задачи. К этому классу относятся задачи о тормозном излучении электрона, вылетающего из ядра. В этой задаче решение имеет особенность 0(г~1//2) (ЕЗЗЗ, гл. 5, Е343, гл.10).

В нелинейной оптике в трехмерной задаче о самофокусировке лазерного луча из-за свойств среды световой пучок собирается в точку, в которой плотность энергии обращается в бесконечность. Точное решение данной задачи не найдено, и асимптотика поведения решения неизвестна ([35], гл. 13).

В этих и аналогичных задачах нахождение точного решения возможно в небольшом числе частных случаев. Предлагаемый здесь подход позволяет анализировать их численно в более общей постановке.

Для краевых задач с сингулярностью, в которых обобщенное (слабое) решение определить нельзя, или оно не обладает необходимой регулярностью, нами в [593 предложено определить решение как Н^-обобщенное. Такое новое понятие решения привело к выделению двух классов задач: с согласованным и несогласованным вырождением исходных данных, а также позволило изучить его существование и единственность, коэрцитивные и дифференциальные свойства в весовых пространствах О. Л. Соболева н| аДля этих классов задач построены и исследованы разностные схемы и схемы метода конечных элементов, получены оценки скорости сходимости в различных весовых пространствах.

Перейдем к более подробному описанию полученных результатов. Диссертация состоит из введения и шести глав.

1. Аль Асади Ш. А., Демьянович Ю. К. О неоднородных вариационно-разностных аппроксимациях в эллиптической задаче с сильным вырождением / Ленингр. ун-т.- Л., 1981.30 е.- Деп. в ВИНИТИ 31.03.81., N4144.

2. Андреев В. Б. О равномерной сходимости некоторых разностных схем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.- 1966. Т.6, N2.-С. 238−250.

3. Беспалов А. Ю., Рукавишников В. А. Об оценках функций в весовых пространствах // Методы численного анализа. Владивосток: Дальнаука, 1993. С.149−161.

4. Беспалов А. Ю., Рукавишников В. А. Исследование одного класса функций с вырождением в приграничной полосе // Методы численного анализа.- Вып.2. Владивосток: Дальнаука, 1995. С.77−89.

5. Беспалов А. Ю., Рукавишников В. А. Об Ь-р версии метода конечных элементов для одномерной краевой задачи с сингулярностью решения. Хабаровск: Дальнаука, 1996.-34с.- (Препринт N8 ВЦ ДВО РАН).

6. Волков Е. А. О решении краевых задач для уравнения Пуассона в прямоугольнике // Докл. АН СССР.- 1962. Т. 147, N1.-С.13−16.

7. Волков Е. А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнения Лапласа и Пуассона на прямоугольникеТр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова, — 1965. Т.77.-С.89−112.

8. Волков Е. А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнения Лапласа на многоугольниках // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова.- 1965. Т.77. С.113−142.

9. Волков Е. А. Метод сеток для конечных и бесконечных многоугольников и оценки погрешностей через известные величины // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова.- 1968.-Т.96. С.149−187.

10. Волков Е. А. О методе регулярных составных сеток для уравнения Лапласа на многоугольниках // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова.- 1976. Т.140. С.68−103.

11. Глушко В. П., Савченко Ю. Б. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка: пространства, операторы, граничные задачи // Итоги науки и техники.- М.: ВИНИТИ, 1985. С.125−218. (Математический анализТ.23).

12. Годунов С. К., Рябенький B.C. Разностные схемы.- М.: Наука, 1977. 440 с.

13. Гусман Ю. А., Оганесян Л. А. Оценки сходимости конечно-разностных схем для вырожденных эллиптических уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1965. Т.5, N2.-С.351−357.

14. Дьяконов Е. Г. О сходимости одного итерационного процесса // Успехи матем. наук.- 1966. Т.21, вып. I (127).-С.179−182.

15. Дьяконов Е. Г. О приближенных методах решения операторных уравнений // Докл. АН СССР.- 1971. Т.198, N3.-С.516−519.

16. Дьяконов Е. Г. Разностные методы решения краевых задач (тексты лекций).- М: МГУ, 1971. Вып.1. 242 с.

17. Ильин A.M. Вырожденное уравнение с частными производными //Математическая энциклопедия.- М.:Советская энциклопедия, 1977. T.I.- С.809−811.

18. Катрахов В. В., Катрахова A.A. Метод конечных элементов для некоторых вырождающихся эллиптических краевых задач // Докл. АН СССР.- 1984. Т.279, N4. С.799−802.

19. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравненийв областях с коническими и угловыми точками // Труды Моск. Матем. об-ва.- 1967. Т.16. С.209−292.

20. Кондратьев В. А. О гладкости решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в кусочно-гладкой области // Дифференц. уравнения.- 1970. Т.6, N10.-C.I83I-I843.

21. Кондратьев В. А., Олейник O.A. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // Успехи матем. наук.- 1983. Т.38, вып.2(230).- 0.3−77.

22. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики.-М.: Наука, 1973. 408 с.

23. Ладыженская O.A., Уральцева Н. И. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.- 2-е изд., перераб.- М: Наука, 1973. 576 с.

24. Лазаров Р. Д. К вопросу о сходимости разностных схем для обобщенных решений уравнения Пуассона // Дифференц.уравнения.- 1931. Т.17, N7. 0. I285-I294.

25. Лапин A.B., Смирнов Ю. Б. Исследование разностных схем для квазилинейных вырождающихся эллиптических уравнений // Дифференц. уравнения.- 1976. Т.12, N5. С.892−901.

26. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Эллиптические уравнения с вырождением. Вариационный метод // Докл. АН СССР.- 1981.-Т.257, N1. С.42−45.

27. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Эллиптические уравнения с вырождением. Дифференциальные свойства решений // Докл. АН СССР.- 1981. Т.257, N2. С.278−282.

28. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением //Докл. АН СССР.-1981. Т.259, N1. С.28−30.

29. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Коэрцитивные свойстваэллиптических уравнений с вырождением. Вариационный метод // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова.- 1981. Т.157.-С.90−118.

30. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением и обобщенной правой частью // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова.- 1983. Т.161.-С.157−183.

31. Ляшко А. Д., Тимербаев М. Р. Оценка точности схем МКЭ для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Дйфференц. уравнения.- 1993. Т.29, N7. С.1210−1215.

32. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М: Наука, 1974.-752 с.

33. Лифпиц Е. М., Берестецкий Е. Б., Питаевский Л. П. Релятивистская квантовая теория. М: Наука, 1968.-480 с.

34. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. -М:Наука, 1982. 624 с.

35. Мазья В. Г. О слабых решениях задачи Дирихле и Неймана // Труды Моск. Матем. об-ва.- 1969. Т.20. С.137−172.

36. Мазья В. Г. Пламеневский Б.А. О задаче с косой производной в области с кусочно-гладкой границей // Функц. анализ и его прилож.- 1971. Т.5, N3. С.102−103.

37. Мазья В. Г. О задаче с косой производной в области типа полиэдра // Докл. АН СССР.- 1973. Т.211, N1. С.40−43.

38. Мазья В. Г. Пламеневский Б.А. Об эллиптических краевыхзадачах с разрывными коэффициентами на многообразиях с особенностями // Докл. АН СССР.- 1973. Т.210, N3.-С.529−532.

39. Мазья В. Г. Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в конусе // Докл. АН СССР.- 1974. Т.219, N2. С.286−290.

40. Мазья В. Г. Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач вблизи ребер // Докл. АН СССР.- 1976. Т.229, N1. С.33−36.

41. Мазья В. Г. Пламеневский Б.А. Эллиптические краевые задачи на многообразиях с особенностями // Проблемы математического анализа / ЛГУ.- 1977. Вып.6. С.85−145.

42. Мазья В. Г. Пламеневский Б.А. Шаудеровские оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами на границе // Труды семинара С. Л. Соболева.- 1978. N2.-С.69−102.

43. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики.- М.: Наука, 1977. 456 с.

44. Марчук Г. И., Шайдуров В. В. Повышение точности решений разностных схем.- М.: Наука, 1979. 320 с.

45. Марчук Г. М., Агошков В. И.

Введение

в проекционно-сеточные методы.- М.: Наука, 1981. 416 с.

46. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных.- М.: Наука, 1976. 392 с.

47. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей.- М.: Наука, 1991.336 с.

48. Никольский С. М. Задача Дирихле в областях с углами // Докл. АН СССР.- 1956. Т.109, N1. С.33−35.

49. Никольский С. М. Граничные свойства функций, определенныхна областях с угловыми точками // Матем. сборник.- 1957.-Т.43, N1. 0.127−144.

50. Никольский С. М., Лизоркин П. И. О некоторых неравенствах для функций из весовых классов и краевых задачах с сильным вырождением на границе // Докл. АН СССР.- 1964. Т.159, N3. С.512−515.

51. Никольский С. М. О краевой задаче первого рода с сильным вырождением // Докл. АН СССР.- 1975. Т.222, N2.С.281−283.

52. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.- 2-е изд., перераб.- М: Наука, 1977.456 с.

53. Никольский С. М. Вариационная проблема для уравнения эллиптического типа с вырождением на границе // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова.- 1979. Т.150. С.212−238.

54. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач.- М.: Мир, 1977. 383 с.

55. Оганесян Л. А., Руховец Л. А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений.- Ереван: Изд-во АН Арм. ССР, 1979.-335 с.

56. Рукавишников В. А. Коэрцитивная оценка скорости сходимости приближенного решения второй краевой задачи // Докл. АН СССР.- 1983. Т.271, N4.-0.798−801.

57. Рукавишников В. А. О регулярности решений краевых задач // Численные методы в алгебре и анализе.- Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1985. С.6−15.

58. Рукавишников В. А. О весовых оценках скорости сходимости разностных схем // Докл. АН СССР.- 1986. Т.288, N5.-С.1058−1062.

59. Рукавишников В. А. Весовые оценки скорости сходимостиразностных схем задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца .- Владивосток, 1986. 20с.- (Препринт / АН СССР. Дальневосточное отделение. ВЦВД 2 092).

60. Рукавишников В. А. О дифференциальных свойствах Rv обобщенного решения задачи Дирихле // Докл. АН СССР.-1989. Т.309, N6. C. I3I8-I320.

61. Рукавишников В. А. О обобщенном решении задачи Дирихле в прямоугольнике.- Владивосток, 1989. 35с.-(Препринт / АН СССР. Дальневосточное отделение. ВЦВД 14 435).

62. Рукавишников В. А. О весовых оценках погрешности метода сеток решения уравнения Гельмгольца // Numerical Analisisand Mathematical Modelling.- Warsaw: Banach Center Publications.- 1990. V.XXIV.- P.39T-408.

63. Рукавишников В.A. 0 R^ обобщенном решении задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // Вычислительные технологии.- Новосибирск, 1993. Т2., N4.-С.105−111.

64. Рукавишников В. А. Задача Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // Доклады РАН.- 1994.-Т.337, N 4. С.447−449.

65. Рукавишников В. А. О существовании и единственности R^ -обобщенного решения задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // Методы численного анализа Владивосток: Дальнаука, 1993. С.4−21.

66. Рукавишников В. А. Исследование разностной схемы смешаннойкраевой зад, а чи с сингулярностью решения // Методы численного анализа.- Владивосток: Дальнаука, 1993.-С.61−90.

67. Рукавишников В. А., Рукавишникова Е. И. Метод конечныхэлементов для первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных // Доклады РАН.- 1994. Т.338, N6. С.731−733.

68. Рукавишников В. А., Рукавишникова Е. И. О скорости сходимости метода конечных элементов для задачи Дирихле ссогласованны м вырождением исходных данных // Методы численного анализа.- Владивосток: Дальнаука, 1993.-С.22−48.

69. Rukavishnikov V.A. The Finite Element Method for Dirichlet Problem with Co-Ordinated Degeneration of Initial Data. // AMCA-95.Abstracts.-NCC Publisher, Novosibirsk, 1995.-P.281−282.

70. Rukavishnikov V.A. The Pinite Element Method for Boundary Value Problem with Degeneration. // AMC-95. Abstracts of the Second Asian Mathematical Conference, 1720, October 1995. Thailand, 1995. P.139.

71. Рукавишников В. А. Исследование разностной схемы краевой задачи с изменением типа граничных условий с согласованным вырождением исходных данных. // Методы численного анализа. Вып.2 — Владивосток: Дальнаука, 1995. С. 4−29.

72. Рукавишников В. А., Рукавишникова Е. И. Об оценке погрешности метода конечных элементов в пространстве Ь0 для задачи Дирихле с вырождением. // Методы-, Гчисленного анализа.- Вып.2 Владивосток: Дальнаука, 1995. С.30−43.

73. Рукавишников В. А. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с несогласованным вырождением исходных данных // Дифференц. уравнения.-1996.-Т.32,N3.-С.402−408.

74. Rukavishnikov V.A., Rukavishnikova H.I. Error estimatesfor the finite element method for the third boundary yalue problem with strong singularity solution. -Khabarovsk: Dalnauka, 1997. 21 p.

75. Рукавишников В. А., Кашуба E.B. О новой ортонормированной системе сингулярных полиномов, ее свойствах и особенностях.- Хабаровск: Дальнаука, 1997. 15с.

76. Рукавишникова Е. И. О порядке сходимости метода конечных элементов для эллиптической краевой задачи с вырождением // Численные методы в задачах математической физики и кибернетики.- Владивосток: ДВО АН ССОР, 1987. С.26−52.

77. Рукавишникова Е. И. О скорости сходимости метода конечных элементов для вырождающегося эллиптического уравнения в пространстве Ь2 // Учен. зап. Тартуск. ун-та.- 1988.-Вып.833. С.35−42.

78. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений.- М.: Наука, 1976. 352 с.

79. Самарский А. А. Теория разностных схем.- М.: Наука, 1977.656 с.

80. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений.- М.: Наука, 1978. 592 с.

81. Самарский А. А., Лазаров Р. Д., Макаров В. Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщеннымирешениями.- М.: Высшая школа, 1987. 296 с.

82. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов длярадиоинженеров и инженеров-электриков, — М.: Мир, 1986.229 с.

83. Соболевский П. Е., Тиунчик М. Ф. О разностном методе приближенного решения эллиптических уравнений // Тр.матем. фак. ВРУ .- Воронеж, 1970. Вып.4. С. I17−127.

84. Стренг Г., Фикс Г. Теория метода конечных элементов.- М.: Мир, 1977. 349 с.

85. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.- М: Мир, 1980. 512 с.

86. Фрязинов И. В. Разностные схемы для уравнения Лапласа в ступенчатых областях // Журнал выч. матем. и матем.физики.- 1978. Т.18., N5. C. II70-II85.

87. Фуфаев В. В. К задаче Дирихле для областей с углами // Докл. АН СССР.- I960. Т.131, N1. С.37−39.

88. Фуфаев В. В. О комформных преобразованиях областей с углами и о дифференциальных свойствах решений уравнения Пуассона в областях с углами // Докл. АН СССР.- 1963. Т.152, N4.-С.838−840.

89. Aubin J.P. Behavior of the error of the approximate solutions of boundary value problems for linear elliptic operators by Galerkin’s and finite difference methods // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa.- 1967. V.21. P.599−637.

90. Babuska I. Finite element method for domains with corners // Computing.- 1970. V.6. P.264−273.

91. Babuska I. Error-bounds for finite element method // Numer. Math.- 1971. V.16- P.323−333.

92. Babuska I., Rosenzweig M.B. A finite element scheme for domains with corners // Numer. Math.- 1973. V.20.P.1−2U.

93. Babuska I., Kellogg R.B., PItkaranta J. Direct and inverseerror estimates for finite elements with mesh refinements // Numer. Math.- 1979. V.33. P.447−471.

94. Babuska I., Ssabo B.A., Katz I.N. The p-version of the finite element method // SIAM J. Numer. Anal.- 1981.-V.18. P.512−545.

95. Babuska I., Dorr M.R. Error estimates for the combined h and p version of the finite element method // Numer. Math.- 1981. V.37. P.257−277.

96. Babuska I., Szabo B.A. Rates of convergence of the finite element method // Internat. J. Numer. Methods Engrg.-1982. V.18. P.323−341.

97. Babuska I., Suri M. The optimal convergence rate of the pversion of the finite element method //SIAM J. Numer. Anal.- 1987. V.24. P.750−776.

98. Babuska I., Suri M. The h-p version of the finite element method with quasluniform meshes // Math. Modelling Numer. Anal. (RAIRO).- 1987. V.21. P.199−238.

99. Babuska I., Suri M. The treatment of nonhomogeneous Dlrichlet boundary conditions by the p version of the finite element method // Technical Note BN-1063, Institute for Physical Science and Technology, University of Maryland, College Park, MD.- 1987.

100. Babuska I., Suri M. The p version of the finite element method for costraint boundary conditions // Technical Note BN-1064, Institute for Physical Science and Technology, University of Maryland, College Park, MD.- 1987.

101. Babuska I., Guo B.Q. Regularity of solution of elliptic problems with piecewise analytic data, Part I: Boundary value problem for linear elliptic equations of second order // SIAM J. Math. Anal.- 1988. V.19. P.172−203.

102. Babuska I., Guo B.Q. The h-p version of the finite element method for domains with curved boundaries // SIAM J. Numer. Anal.- 1988. V.24. P.837−861.

103. Babuska I., Guo B.Q. Regularity of the solution of elliptic problems with plecewise analytic data, Part II: Boundary value problem for system of equations of second order // SIAM J. Math. Anal.- 1989. V.20. P.763−781.

104. Babuska I., Guo B.Q. The h-p version of the finite element method for problems with nonhomogeneous essential boundary conditions // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng.-1989. V.74. P.1−28.

105. Barnhill R.E. and Whiteman J.R. Error analysis of finite element methods with triangles for elliptic boundary value problems, In Whiteman J.R. (ed.) // The Mathematics of Finite Elements and Applications.- London: Academic Press, 1973. P.83−112.

106. Basant Z.P. Three dimensional harmonic functions near termination or intersection of gradient singularity lines: a general numerical method // Int. J. Eng. Sci.- 1974.-V.12. P.221−243.

107. Bazant Z.P., Estenssoro L.F. General numerical method for three-dimensional singularities in cracked or notched elastic solids // Proc. 4th Conf. on Fracture / University of Waterloo.- 1977. P.371−385.

108. Blum H., Dobrowolski M. On finite element methods for elliptic equations on domains with corners // Computing, -1982. V.28. P.53−63.

109. Blum H., Rannacher R. Extrapolation techniques for reducing the pollution effect of reentrant corners in the finite element method // Numer. Math.- 1988. V.52.P.539−564.

110. Brabston D.C. and Keller H.B. A numerical method for singular two point boundary value problems // SIAM J. Numer. Anal.- 1977. V.14. P.779−781.

111. Bramble J.H., Hubburd B.E. Approximation of solutions of mixed boundary value problems for Poisson’s equation by finite differences // J. Assoc. Comput. Math.- 1965. V.1, N1. P.114−123.

112. Bramble J.H., Hilbert S.R. Estimation of linear functional on Sobolev spaces applications to Fourier transforms and spline Interpolations // SIAM J. Numer. Anal.- 1970.-7.7.-P.113−124.

113. Dauge M. Elliptic boundary value problems on corner domainssmoothness and asymptotics of solutions // Lect. Notes Math.- 1988. V.1341. P.1−257.

114. De Hoog F.R. and Weiss R. Difference methods for boundary value problems with a singularity of first kind// SIAM J. Numer. Anal.- 1976. V.13. P.775−813.

115. Dorr M.R. The approximation theory for the p-version of the finite element method // SIAM J. Numer. Anal.- 1984.-V.21. P.1181−1207.

116. Dorr M.R. The approximation of solutions of elliptic boundary value problems via the p-version of the finite element method // SIAM J. Numer. Anal.- 1986. ?.23.-P.58−77.

117. Feistauer M., Sobotikova V. Finite element approximation of nonlinear elliptic problems with discontinuous coefficients.- Praque, 1988. (Preprint / Charles Univ.).

118. Feistauer M., Zenisek A. Finite element solution of nonlinear elliptic problems // Numer. Math.- 1987. V.50P.451−475.

119. Feistauer M., Zenisek A. Compactness method In the finite element theory of nonlinear elliptic problems // Numer. Math.- 1988. V.52- P.147−163.

120. Pi cher a G. Sul problems delia derivat a obliqua e sul problema misto per 1'equazione di Laplace // Boll. UMI, Ser. III.- 1952. V.7. P.367−377.

121. Plchera G. Asymptotic behaviour of the electric field and density of the electric charge in the neighborhood of singular points of a conducting surface // Rend. Sem. Mat. Univ. Polit. Torino, 1973;74. V.32. P.111−143.

122. Plchera G. Numerical and quantitative analysis.- London: Pitman, 1978.

123. Plchera G. Mathematical theory of «points effect» in electricity conducting surfaces // Rend. Sem. Mat. e Pis. di Milano, 1979. V.49. P.19−48.

124. Fix G.J. Higher order Rayleigh Ritz approximations // J. Math. Mech.- 1969. V.18. P.645−657.

125. Pix G.J., Gulati S., Wakoff G.I. On the use of singular functions with finite element approximations // J. Comput. Phys.- 1973. V.13. P.209−238.

126. GIvoli D., RIvkin L., Keller J.B. A finite element method for domains with corners // Int. J. Numer. Meth. Eng.-1992. V.35, N6. P.1329−1345.

127. Grisvard P. Alternative de Fredholm relative an probleme de Dirichlet dans un polygone ou un polyedre // Bull. U.M.I.- 1972. P.132−164.

128. Grisvard P. Behavior of the solutions of an elliptic boundary value problem in a polygonal or polyhedral domain // Mumerical solution of partial differential equations.

129. I.- (Proc. Third Sympos. (SYNSPADE), Univ. Maryland College Park, Md. 1975).- New York: Academic Press, 1976.-P.207−274.

130. Grisvard’P. Boundary value problems In non-smooth domains. Part 2 // Lecture Notes.- N19. University of Maryland College Park. USA.- 1980.

131. Grisvard P. Boundary value problems in non-smooth domains // Universite de Nice. France.- 1981.

132. Grisvard P. Elliptic problems in nonsmooth domains.-Boston-London-Melbourne: Pitman, 1985.

133. Guo B.Q., Babuska I. The h-p version of the finite element method. Part 1: The basic approximation results // Computational Mechanics.- 1986. V.1. P.21−41.

134. Guo B.Q., Babuska I. The h-p version of the finite element method. Part 2: General results and applications // Computational Mechanics.- 1986. V.1. P.203−226.

135. Gustafsson B. A numerical method for solving singular boundary value problems // Numer. Math.- 1973. N21.-P.328−344.

136. Jamet P. On the convergence of finite difference approximations to one dimensional singular boundary value problems // Numer. Math.- 1970. N14. P.355−378.

137. Kadalba^oo M.K. and Raman K.S. Discrete Invariant Imbedding for singular boundary value problems with a regular singularity // Appl. Math, and Comput.- 1987.-V.22. N4. P.291−307.

138. Lis C., Bui T.D. Coupling strategy for matching different methods in solving singularity problems // Computing. -1990. V.45, N4. C.311−319.

139. Necas J. Sur la coercivit des formes sesquilln aireselliptiques // Rev. Roumaine de Math. Pure et App.- 1964.-V.9, N1. P.47−69.

140. NikolskI-} S.M. Some boundary problems for the equations with strong degeneration // Different Equat. and Applic Equadiff II.- Bratislava, 1967. P.121−127.

141. Nitsche J.A., NItsche J.C.C. Error estimates for the numerical solution of alliptic differential equations // Arch, for Rat. Mech. and Analysis.- 1960. V.5, N4.-P.293−306.

142. Nitsche J.A. Ein Kriterium fur die quasi-optimalitat des RItzchen Verfahrens // Numer. Math.- 1968. V.11.-P.346−348.

143. Rukavishnikov V.A. Study of difference schemes for Dlrlhlet’s problem In Sobolev’s weight spaces // Siberian J. Computer Mathematics.- 1991. N2. 20 p.

144. Russell R.P., Shampine P. Numerical methods for singular boundary value problems // SIAM J. Numer. Anal.- 1975.-V.12. P.13−35.

145. Schatz A.H., Wahlbln L.B. Maximum norm estimates in the finite element method on plane polygonal domains. Part II, Refinements // Math. Comput.- 1979. V.33. P.465−492.

146. Scott R. Finite element convergence for singular data // Numer. Math.- 1973. V.21. P.317−327.

147. Stephan E., Whiteman J.R. Singularities of the Laplacian at corners and edges of three-dimensional domains and their treatment with finite element methods // Math. Methods in the Appl. Sciences.- 1988. V.10. P.339−350.

148. Strang G., PIx G.J. An analysis of the finite element method.- Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1972.

149. Troisi M. Probleml elllpticl con dati singolari // Ann.mat. pura ed appl.- 1969. V.83. P.363−40T.

150. Weinelt W. Untersuchungen zur konvergenz-ges chwindigke it bei differenzenverf airren // Wiss. Zeitschritt der THK.-1978. V.20. P.763−769.

151. Weinmuller E. On the boundary value problems for systems of ordinary differential equations with a singularity of first kind // SIAM J. Math. Anal.- 1984. V.15.-P.287−307.

152. Wigley N.M. On the convergence of discrete approximations to solutions of mixed boundary value problems // SIAM J. Numer. Analysis.- 1966. V.3, N3, C.372−382.

153. Zenisek A. The finite element method for nonlinear elliptic equations with discontinuous coefficients // Numer. Math.- 1990. V.58- P.51−77.