Динамика тёмной матери в центрах галактик

В настоящее время считается доказанным, что большую часть материи во Вселенной составляет так называемая тёмная материя [1]. Её вклад в полную плотность энергии во Вселенной оценивается в 23%, в то время как вклад обычной (барионной) материи составляет не более 5% (остальное приходится на долю так называемой тёмной энергии) [2]. Наиболее вероятно, что холодная (нерелятивистская) тёмная материя состоит в основном из ещё не открытых элементарных частиц, чрезвычайно слабо взаимодействующих с барионным веществом и друг с другом [3]. Тем не менее, поскольку основным видом взаимодействия во Вселенной в больших масштабах является гравитация, которой подвержены все виды материи, тёмная материя играет определяющую роль в формировании структуры Вселенной.

По современным представлениям, первоначальные малые флуктуации плотности вещества из-за гравитационной неустойчивости приводят к образованию наблюдаемого ныне сложного пространственного распределения материи. Поскольку тёмная материя является основной по массе компонентой вещества, то первоначальная структура обусловлена именно эволюцией распределения тёмной материи. В целом картина эволюции следующая: возмущения различных пространственных масштабов растут по амплитуде и при достижении некоторого критического значения превышения плотности над средним её значением переходят на нелинейную стадию развития и формируют гравитационно связанные объекты (гало). Эти объекты различных масштабов образуют сложную иерархическую структуру, сливаются между собой и дают основу для формирования видимых объектов во Вселенной — галактик и скоплений галактик. Процесс образования структуры очень сложен и доступен лишь для весьма упрощённого аналитического описания [4] либо для численного моделирования [5]. Результаты современных исследований структуры гало приводятся в разделе 1.1, а выбранные нами для дальнейших расчётов модели гало — в разделе 2.1.

После того, как тёмная материя формирует связанные объекты и определяет крупномасштабный гравитационный потенциал, барионное вещество начинает стекать в образовавшиеся потенциальные ямы. Поскольку, в отличие от тёмной, барионная материя (т.е. газ и плазма) может охлаждаться и терять энергию через излучение фотонов, то она в конечном итоге скапливается в центрах потенциальных ям и образует видимые объекты.

— галактики. Таким образом, оказывается, что в центральных частях галактик преобладает по массе барионное вещество, а на периферии — тёмное, составляющее так называемое гало галактик (что прослеживается, в частности, по кривым вращения). Разумеется, в результате концентрации ба-рионов в центрах галактик гравитационный потенциал уже начинает определяться ими. При этом распределение тёмной материи также меняется в соответствии с этим изменением потенциала. Этот процесс называется ба-рионным адиабатическим сжатием гало тёмной материи (адиабатическим.

— так как происходит оно достаточно медленно по сравнению с динамическим временем, т. е. орбитальным периодом частиц. Сжатием — так как в результате п лотность тёмной материи увеличивается). Более подробно этот процесс описан в разделе 1.2, а расчёт сжатия для используемых нами моделей гало и сравнение с результатами других авторов — в разделе 2.2. Эта часть исследования опубликована в работе [6].

Впрочем, эволюция распределения тёмной материи не исчерпывается иерархическим скучиванием и барионным сжатием. На периферии галактик тёмная материя испытывает приливные возмущения со стороны окружающих галактик и скоплений, а в центральных областях — возмущения со стороны звёзд, называемые гравитационным рассеянием. Оно аналогично кулоновскому рассеянию в плазме, которое приводит к установлению термодинамического равновесия. Однако в случае тёмной материи в ядре галактики (так называемом балдже) имеются два существенно отличающихся от плазмы обстоятельства. Во-первых, длина свободного пробега много больше характерных размеров системы, или, что-то же самое, частота соударений гораздо меньше орбитальной частоты. Поэтому время установления равновесия может оказаться больше хаббловского времени (т.е. времени существования Вселенной, или, в нашем контексте, периода от момента образования галактики до настоящего времени). Во-вторых, масса частиц тёмной материи на десятки порядков меньше массы звёзд, поэтому термодинамическое равновесие, предполагающее одинаковую температуру для всех компонент системы, попросту невозможно. Вместо этого происходит процесс неограниченного нагрева частиц тёмной материи звёздами, с характерным временным масштабом порядка обратной частоты соударений. Кроме того, поскольку плотность в различных частях системы отличается на порядки, то процесс этот пространственно неоднороден и вообще довольно сложен.

Наконец, как известно из наблюдений, в центрах галактик, как правило, существуют сверхмассивные чёрные дыры [7]. Они обнаруживаются как в активных ядрах галактик, через наблюдение рентгеновского излучения от аккреционных дисков, так и в обычных галактиках, по измерению скоростей движения звёзд вокруг них. В частности, в нашей Галактике доказано наличие чёрной дыры с массой Мьн ~ 3 ¦ 106М0 (М©- - солнечная масса) [8, 9]. Строение ядра галактики описано в разделе 1.3.

Очевидно, что чёрная дыра не может не влиять па распределение окружающего вещества, как тёмного, так и барионного. Во-первых, она определяет гравитационный потенциал в области своего влияния, радиус которой r/j определяется из условия равенства массы звёзд в его пределах и удвоенной массы чёрной дыры. Соответственно меняются плотность вещества и скорости частиц в этой области. Во-вторых, она поглощает частицы тёмной материи и звёзды, удельный момент импульса которых меньше критического значения Lg = 2сгд, где гд — радиус Шварцшильда тд = 2GMbh/c2. Впрочем, для любого неэкстремального распределения вещества в центральной области доля частиц, попадающих в чёрную дыру за счёт этого эффекта, невелика, если пренебречь эволюцией этого распределения. Однако, как было сказано выше, за счёт гравитационного рассеяния распределение звёзд и тёмной материи меняется со временем, причём наиболее быстро именно в центральной области, где плотность вещества наибольшая. Поскольку, тем не менее, орбитальные времена в любом случае гораздо меньше времени эволюции, то она имеет диффузионный характер и описывается кинетическим уравнением со столкновительным членом, или уравнением Фоккера-Планка.

Рассмотрению эволюции тёмной материи в центральных областях галактик (на примере нашей Галактики) и посвящена основная часть данной работы, результаты которой опубликованы в статьях [10, 11, 12]. В разделе 1.4 приводится обзор литературы по эволюции вещества в окрестности чёрной дыры. В третьей главе вводится двумерное уравнение диффузии, описывающее эволюцию тёмной материи, и вычисляются его коэффициенты для различных пространственных областей. Затем выводятся граничные условия для уравнения диффузии, которые имеют достаточно нетривиальный вид (существенно зависят от своих аргументов). Также выбираются исходные параметры для нескольких моделей распределения тёмного вещества.

В четвёртой главе решается уравнение диффузии. Сначала проводится аналитическое рассмотрение одномерных пределов уравнения (диффузия отдельно по каждой из двух переменных), которое позволяет выяснить основные особенности процесса. Однако для детального анализа необходимо решение полного двумерного уравнения, которое получено методом численного интегрирования конечно-разностной задачи. Описываются полученные с его помощью новые эффекты, которые не могут быть рассчитаны в одномерной задаче. Кроме того, учитывается влияние эффекта аннигиляции частиц тёмной материи и его роль в процессе эволюции её распределения. Наблюдение излучения от предполагаемой аннигиляции является фактически единственным способом экспериментального исследования распределения тёмной материи [3] (так как её общее количество в центре Галактики мало по сравнению с массой барионного вещества, и трудно определяемо по динамике звёзд и измерению массы. См., впрочем, работу [13], где делаются оценки на массу тёмного вещества из этих соображений). Поэтому в конце главы рассчитываются величины, связанные с наблюдениями (из-за неопределённости параметров частиц тёмной материи непосредственное сравнение с наблюдательными данными пока невозможно).

Таким образом, в данной работе подробно исследована эволюция распределения тёмной материи в центральных областях галактик под влиянием гравитационного взаимодействия с барионным веществом и чёрной дырой в центре галактики.

Используемые обозначения и переменные.

Параметры тёмной материи х, v), f (E, L) функция распределения частиц в фазовом пространстве vr, vt радиальная и тангенциальная скорости частицы.

Е = —-Ь Ф (г) полная энергия частицы на единицу массы.

L = rvt угловой момент импульса на единицу массы г, г+ перии апоцентр орбиты, корни уравнения Е — Ф (г) — ^ = О.

Гтах (Е) апоцентр радиальной орбиты с данной энергией: Е = Ф (гтах) 1 Г+.

I = - vTdr радиальное действие К Jr.

J (E) = I (E, L = 0) оно же для полностью радиальной орбиты с данной энергией.

LC (E) угловой момент для круговой орбиты с данной энергией х = J (E)/LC (E) коэф-т пропорциональности между J и Lc, н «0.6 1.

Т = 27г^ орбитальный период частицы дЕ р{г) — 1С r~ld плотность тёмной материи до барионного сжатия р'(г) = К! r~ld плотность после барионного сжатия of, of дисперсии радиальной и тангенциальной скоростей частицы 1—Ц показатель анизотропии скоростей до и после сжатия.

2стг л показатель степени в начальной функции распределения (2.7) mx, {oavx) масса и сечение аннигиляции частиц тёмной материи.

Параметры звёзд и чёрной дыры.

Мм масса центральной чёрной дыры rg = 2GMbh/c2 радиус Шварцшильда.

Ьд = 2сгд минимальный угловой момент вблизи чёрной дыры ш* масса звезды.

Е* полная энергия звезды на единицу массы а2 одномерная дисперсия скоростей звёзд в балдже функция распределения звёзд.

Fb, Fc нормировочные константы Д для балджа и центр, области р*(г) = /С* г" 76 плотность звёзд в балдже.

М*(г) = / 47Гг/2/?*(г') dr' масса звёзд в пределах радиуса г.

Jo ж, ч Г G MJr') .

Ф*(г) = / -тг^-аг гравитационный потенциал звезд.

Jo г.

Ф (г) = — ^ + Ф*(г) полный гравитационный потенциал г r/j радиус влияния чёрной дыры: M*(r/i) = 2Мьн.

Т нормировочный радиус (= г^ в настоящее время) th время существования Галактики (Ю10 лет).

Параметры в уравнении диффузии.

In Л кулоновский логарифм 15).

Q (E) безразмерная переменная, зависящая только от энергии.

R = L2/Ь2С{Е) нормированный квадрат углового момента.

Rg — L2g/L2C (E) минимальное значение R, граница поглощения чёрной дырой fg = f (R = Rg) значение функции на границе.

Vqq, VqR, Vrr коэффициенты диффузии по соответствующим переменным.

V = lim Vrr/R предельное значение коэффициента.

Я->0.

АЛ = у/2VrrT среднеквадратичное изменение R за один период fg/Rg д. а ~ at /api —соотношение между функцией и ее производной на границе of/dRR=Rg q — VT/Rg мера изменения R за период по сравнению с граничным значением.

Qcr значение Q, при котором q— 1.

Qh значение разделяющее область влияния чёрной дыры и балдж.

То — 1/V (Q) время релаксации для данной энергии.

Заключение

.

В данной работе изучен вопрос об эволюции тёмной материи в центральных областях галактик под влиянием гравитационного взаимодействия с обычным (барионным) веществом и чёрной дырой в центре галактики (на примере Млечного Пути).

Рассмотрение начинается с момента образования гравитационно связанного объекта — предшественника галактики. В расчётах используется два класса моделей начального строения гало тёмной материи. В обоих случаях профиль плотности имеет степенной вид (р (г) ос r~7d, 1 ^ < 2), которому соответствует степенное распределение по энергии. Зависимость от углового момента имеет непрерывный вид в модели, А и^{-образный} в модели Б.

Падение барионной материи в потенциальную яму, созданную тёмной материей, приводит к формированию галактики и преобладанию барионов в её центральной части — балдже. Изменение гравитационного потенциала в этом процессе меняет и распределение тёмной материи. Этот эффект называется барионным сжатием и рассмотрен в главе 2. Стандартный способ расчёта сжатия (метод Блюменталя) использует сохранение только углового момента, т. е. фактически пригоден только для круговых орбит. При наличие же некоторого распределения частиц по угловым моментам, как показано в разделе 2.2, степень сжатия оказывается меньше, чем рассчитанная по стандартному способу. Особенно это заметно для сильно радиально анизотропных моделей начального распределения тёмной материи, и при достаточно пологом начальном профиле плотности. Попутно рассчитано изменение показателя анизотропии скоростей, которое может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от модели.

После образования галактики дальнейшая эволюция определяется гравитационным рассеянием частиц тёмной материи на звёздах балджа и поглощением их сверхмассивной чёрной дырой, расположенной в центре балджа. Чёрная дыра массы Mbh определяет гравитационный потенциал в зоне радиусом rh = 2GMbh/&2, где и — дисперсия скоростей звёзд в балдже. Гравитационное рассеяние приводит к диффузии тёмной материи, которая описывается уравнением Фоккера-Планка (3.3). Процесс рассматривается в переменных {Q, R}, где Q (E) — некоторая функция от энергии, R = L2/L2 — нормированный квадрат углового момента (R = 1 соответствует круговой орбите с заданной энергией, R = 0 — радиальной). Выбор переменных связан с удобством описания одновременно области влияния чёрной дыры и остальной части балджа.

В третьей главе вычислены коэффициенты диффузии для уравнения (3.3), отдельно для области влияния чёрной дыры и балджа. Существенным обстоятельством, ранее не учитывавшимся, оказывается зависимость коэффициента диффузии по энергии Vqq от величины R (он увеличивается при малых R). Рассмотрено граничное условие, обусловленное наличием чёрной дыры (раздел 3.3). Хотя она поглощает частицы с R < Rg (угловым моментом меньше критического значения) при пролёте частицы через перицентр орбиты, но при этом функция распределения, усреднённая по орбите, не обязана обращаться в ноль при R < Rg. Напротив, при достаточно большом орбитальном периоде диффузия приводит к быстрому заполнению области R < Rg в фазовом пространстве, при этом наличие чёрной дыры обеспечивает небольшой сток частиц. Эта ситуация называется полным конусом потерь, в противоположность случаю, когда за один период частицы не успевают существенно продиффундировать в область R < Rg и функция распределения близка к нулю в этой области. Два режима поглощения разделяются критическим значением энергии Qa-, которое для нашей Галактики оказывается меньше, чем величина Qh, разделяющая область влияния чёрной дыры и балдж.

В четвёртой главе полученное уравнение решается сначала с помощью аналитического рассмотрения одномерных пределов. При учёте только диффузии по моменту (т.е. по R) мы изучаем поглощение частиц тёмной материи чёрной дырой. За время порядка 1/Vrr (Drr — коэффициент диффузии) устанавливается квазистационарный вид функции распределения, имеющий логарифмическую зависимость от R. Далее поглощение частиц приводит к уменьшению нормировки функции распределения при неизменном её виде. Диффузия по энергии (т.е. по Q) описывает эффект нагрева частиц звёздами. При этом начальная функция распределения, имеющая вид / ос Q~e, выполаживается на участке Q < Qo{t) — Временная шкала этого процесса оказывается того же порядка, что и для диффузии по моменту, и уменьшается с уменьшением момента, что не позволяет пренебречь никаким из этих двух явлений. Поэтому в любом случае оказывается необходимым решение полного двумерного уравнения, которое получено методом численного конечно-разностного интегрирования.

Проведён расчёт эволюции для нескольких вариантов начального распределения тёмной материи с учётом различных эффектов. Для начала при фиксированной начальной модели строения гало изучается влияние на эволюцию некоторых упрощающих предположений. Базовый вариант расчёта предполагает постоянную массу чёрной дыры, изотропию скоростей и отсутствие аннигиляции. Оказывается, что при пренебрежении диффузией по энергии картина эволюции существенно меняется: если в базовом варианте примерно половина массы из области г < гь испаряется за счёт диффузии по энергии и примерно 1/10 часть поглощается чёрной дырой, то в случае пренебрежения диффузией по энергии нагрев отсутствует, а поглощённая масса увеличивается вдвое. Таким образом, такое пренебрежение неоправдано. Если использовать усреднённый по угловому моменту коэффициент диффузии по энергии, как делается в большинстве остальных работ, то ситуация не очень сильно отличается от расчёта с зависящим от момента коэффициентом диффузии. В случае же малой начальной (и растущей со временем) массы чёрной дыры поглощённая чёрной дырой масса меньше, чем в базовом варианте, а испарённая — больше, поскольку релаксация в центральной области протекает быстрее при меньшей массе чёрной дыры.

Остальные варианты расчёта проведены при постоянной массе чёрной дыры и учёте всех коэффициентов диффузии. Конечным результатом является масса поглощённой тёмной материи и профиль плотности тёмной материи в центральной области. Он существен для возможного наблюдательного обнаружения тёмной материи по регистрации излучения от её аннигиляции, интенсивность которого пропорциональна квадрату плотности. Рассчитаны множители, отвечающие за распределение плотности, в формуле (4.20) интенсивности излучения, для каждого из вариантов. В достаточно широком диапазоне микрофизических параметров частиц тёмной материи имеется согласие этих множителей с наблюдательными данными. Кроме того, в двух вариантах расчёта учтены и потери на аннигиляцию в уравнении эволюции распределения тёмной материи. Эти варианты отличаются уменьшением «потолка» плотности тёмной материи при малых радиусах. Общая масса аннигилировавших частиц во всех случаях невелика.

Таким образом, проведено подробное исследование эволюции распределения тёмной материи в центрах галактик с учётом различных факторов. Результаты диссертации, выносимые на защиту, таковы:

1. Для ряда моделей начального строения гало аналитически рассчитан процесс барионного сжатия, происходящего при охлаждении и конденсации к центру барионного вещества в процессе образования галактики (раздел 2.2). Показано, что традиционная простейшая модель расчёта переоценивает степень сжатия гало тёмной материи, особенно для сильной радиальной анизотропии скоростей частиц и для пологого начального профиля плотности.

2. Для уравнения Фоккера-Планка (диффузии), описывающего эволюцию тёмной материи под совместным воздействием гравитационного рассеяния на звёздах ядра галактики (балджа), поглощения чёрной дырой и аннигиляции, вычислены диффузионные коэффициенты для балджа и области влияния чёрной дыры (раздел 3.2) и определены граничные условия (раздел 3.3).

3. Исследованы одномерные приближения уравнения Фоккера-Планка, описывающие диффузию по угловому моменту и поглощение частиц чёрной дырой, и диффузию по энергии и нагрев частиц звёздами (разделы 4.1 и 4.2). Получены качественные характеристики этих процессов: характерные времена релаксации, вид функции распределения. Рассмотрено полное двумерное уравнение диффузии, построена численная схема для его решения (раздел 4.3). Исследованы принципиальные отличия решения от одномерных случаев, его зависимость от начальных данных и от учёта различных факторов эволюции. Показано, что динамика распределения тёмной материи в центральной части балджа при рассмотрении двумерной диффузии существенно отличается от одномерных приближений. Различия в эволюции для разных начальных моделей существенны в интервале времени, меньшем времени релаксации в центральной области (около 2 млрд. лет), дальнейшая эволюция происходит сходным образом. Для варианта, когда масса чёрной дыры в начале эволюции была гораздо меньше нынешней величины, влияние нагрева звёздами более существенно, и к настоящему моменту количество тёмной материи в центре оказывается меньше, чем при постоянной массе чёрной дыры.

4. На основе построенной методики проведён расчёт эволюции распределения тёмной материи в центре нашей Галактики для ряда моделей начального строения гало. Рассчитано изменение пространственной плотности тёмной материи и возможность её исследования по наблюдению аннигиляционного излучения из центра Галактики. Показано, что около половины начальной массы тёмной материи в пределах области влияния чёрной дыры покидает эту область из-за нагрева, примерно 10% поглощается чёрной дырой. Интенсивность излучения от аннигиляции тёмной материи согласуется с наблюдаемыми величинами.

Я благодарю моего научного руководителя, М. И. Зелышкова, за постоянное внимание к работе, ценные комментарии и идеи, А. С. Ильина, В. А. Сироту и К. П. Зыбина — за плодотворные обсуждения, В. JI. Гинзбурга, Ю. М. Брука и других сотрудников Отделения теоретической физики ФИАН и кафедры Теоретической физики и астрофизики МФТИ — за поддержку и созданные для работы условия.