Диссипативные разрывы и автомодельные задачи в динамике необратимо сжимаемых упругопластических материалов

Потребность инженерной практики в расчетах технологических приемов, связанных с импульсными или ударными воздействиями на необратимо деформируемые материалы (скоростная штамповка, пробивание отверстий и др.)5 важность оценки последствий взрывов и землетрясений обуславливают актуальность развития теории упругопластических сред. Необходимость в постановках модельных задач динамики деформирования диктует потребность в предварительных сведениях об условиях возникновения разных типов разрывов деформаций, о скоростях их продвижений и др. Если в случае пластически несжимаемых материалов такими сведениями фундаментальная механики неупругого деформирования располагает, то при модельном учете их необратимой сжимаемости имеющихся сведений совершенно недостаточно. На движущихся в среде поверхностях разрывов деформаций необходимо поставить краевые условия для систем дифференциальных уравнений динамики, поэтому важно при постановке краевых задач знать условия возникновения возможных поверхностей разрывов в зависимости от предварительных напряженных состояний, вычислять скорости движения возникающих поверхностей разрывов.

Начало теоретическому рассмотрению вопросов о распространении упругопластических волн было положено работой Рахматулина Х. А. [59], посвященной особенностям поведения волн разгрузки. В работах Манде л я [54, 92, 93] показано, что скорости распространения пластических волн не только не превышают скорости распространения упругих волн, но, в случае неоднородной среды, величины скоростей пластических волн лежат между величинами скоростей упругих волн или по крайней мере равны им, а в случае изотропной среды выделяется поперечная нейтральная волна, скорость распространения которой совпадает со скоростью упругой экви-валюминальной волны. Отметим также объемную теоретическую работу Р. Хилла [81], посвященную закономерностям распространения слабых волн (поверхностей разрывов ускорений). Многочисленные результаты, описывающие поведение одномерных волн, распространяющихся в упругопла-стических телах, представлены в обзорах и монографиях отечественных и зарубежных авторов [29, 60, 61, 64, 67, 89, 95].

Большой интерес представляют работы, посвященные распространению двухи трехмерных волн. Основные результаты, полученные в этом направлении, связаны с использованием метода изучения поверхностей разрывов, предложенного в шестидесятых годах XX века Т. Томасом [79]. Обобщив условия совместности Адамара на случай разрывных функций, Томас вывел геометрические и кинематические условия совместности разрывов, с помощью которых удалось не только получить условия существования разных типов поверхностей разрывов, но и проследить за характером изменения интенсивности разрыва в процессе распространения этих поверхностей. Полученные таким образом обыкновенные дифференциальные уравнения впоследствии получили название уравнений затухания.

Большой обзор работ [60], по распространению упругопластических волн, был подготовлен Х. А. Рахматулиным. В него вошли первые работы по волнам нагрузки и разгрузки в упругопластических телах [27, 28, 29, 53, 62, 63, 74, 81, 83, 86, 87, 92, 93, 96] и др., а также работы, посвященные решению краевых задач динамики упругопластического деформирования [14, 15, 23, 61, 75] и др.

В качестве обобщения теории идеальной пластичности Треска-Сен-Венана на сыпучие сжимаемые среды в работах [30, 35] использовалась модель Ишлинского. Дальнейшее развитие данного подхода к рассмотрению сжимаемых сыпучих сред получено в работах [45, 46, 66, 65, 82, 85], где описывается дилатансионная пластическая модель упрочняющегося сыпучего материала. В работе Друкера [90] была рассмотрена модель, в которой в качестве пластического потенциала было предложено взять гладкое условие Кулона-Мора — критерий Мизеса-Шлейхера [31], что явило собой обобщение теории идеальной пластичности Мизеса на сыпучие дилатиру-ющие среды. В дальнейшем Д. Д, Ивлев и Г. И. Быковцев [25] рассмотрели модель, в основе которой лежит понятие поверхности нагружения и ассоциированного или неассоциированного закона течения. Статически определимые задачи сыпучих сред были решены В. В. Соколовским [76, 77]. Модель упрочняющейся сыпучей среды, основанная на условии нагружении Мизеса-Шлейхера и условии далатансии была рассмотрена в работе [94]. С. С. Григоряном в работе [32] была рассмотрена модель сыпучей пластически сжимаемой среды при условии пластичности Мизеса и предположении, что если элемент среды испытывает необратимые изменения объема, то давление при этом связано с плотностью.

Поверхности разрывов скоростей в упругопластических телах исследовались в работах А. Д. Чернышева [83, 84], где соотношения в разрывах записывались после решения задачи о структуре ударной волны. При этом диссипативный механизм деформирования на ударной волне дополнялся учетом вязких свойств среды, исчезающих при выходе из отмеченной структуры. Таким образом удалось записать недостающее выражение, связывающее разрывы напряжений обратимых и необратимых деформаций.

Другой прием записи недостающего соотношения был предложен Г. И. Быковцевым и Л. Д. Кретовой в работе [28]. В предположении, что дефор5 мирование на ударной волне подчинено принципу максимального роста энтропии, экстремальность процесса привела не только к возможности записать недостающее соотношение, но и к существенно упрощающему все рассмотрение результату о неизменности главных осей тензора напряжений при деформировании в переходном слое ударной волны. В частности, были найдены скорости распространения упругопластических ударных волн в изотропных средах при условиях пластичности Мизеса и Треска-Сен-Венана. В дальнейшем результаты этой работы использовались при построения широкого класса точных решений [1, 2, 6, 7, 26, 33, 34, 43, 44, 91].

Аналогичный результат был получен В. М. Садовским при использовании в изучении поверхностей разрывов деформаций вариационных неравенств [69, 70, 72].

Поверхности разрывов скоростей впоследствии изучались в рамках математической модели упругопластического деформирования Прандтля-Рейса или ее некоторых обобщений, при учете упрочнения [72, 84], сжимаемости [16, 17, 73] и разных представлений для поверхностей нагружений.

В работе [15] Г. Г. Блейхом и Дж. Нельсоном была решена автомодельная задача о косом ударе по упругопластическому полупространству. Полученные в замкнутой форме решения при переменной x/t выражены через эллиптические интегралы, при этом были проанализированы различные случаи решения поставленной задачи в зависимости от интенсивности поверхностных нагрузок и коэффициента Пуассона. С помощью комбинации ударных и простых волн решение такой задачи было получено поуобрат-ным методом. Позже плоская автомодельная задача о движении нагрузки по упругопластическому полупространству была независимо решена Г. Г. Блейхом, А. Т. Метьюзом [14], и A.M. Скобеевым и JI.M. Флитманом [75]. б.

Позднее В. А. Баскаков [9, 10, 11, 12] и А. Г. Быковцев [19, 20, 21, 22] рассмотрели ряд автомодельных задач об отражении ударных волн от плоских преград и о взаимодействии ударных волн. Автомодельные квазистационарные задачи о внедрении клина в упругопластическую среду рассмотрел П. Н. Сыгуров [78]. В дальнейшем задачи об распространении упруго-пластических волн в пластически сжимаемой среде были рассмотрены в работах [55, 56].

Г. И. Выковцевым и его учениками (ЛА. Бабичевой, И. А. Власовой, Н. Г. Шаталовым, В. Н. Дуровой, А.П. Бестужевой) [3, 4, 24] была изучена теория особых поверхностей в деформируемых средах, что позволило предложить эффективный метод решения неавтомодельных задач динамики деформируемых сред, так называемый лучевой метод. Данный подход позволил изучить поверхностные нестационарные волны в упругопластических телах [13].

Созданию численных процедур решения задач динамики деформируемых сред с пластическими свойствами много занимались А.Н. Куку-джанов [51, 52], М. Л. Уилкинс [80], В. М. Садовский [68, 71].

В работах [29, 53, 60, 63, 57] рассматривались вопросы распространения радиальных и сдвиговых цилиндрических упругопластических волн. Сферические ударные волны при кусочно-непрерывных линейных связях между компонентами тензоров напряжений и и деформаций, были изучены в работах [61, 96].

С помощью лучевого метода по степеням расстояний от фронтов эк-виволюминальной и безвихревой волн в работе [5] рассмотрена задача о распространении цилиндрических волн от кольцевого импульса на поверхности упругопластического полупространства, распространяющегося со сверхзвуковой скоростью. Решение задачи о внезапном нагружении ин7 тенсивной нагрузкой сферической плоскости в упругопластическом полупространстве в работах [8, 88] ищется разностными методами.

В работе [42] Д. Д. Ивлев рассмотрел пространственную задачу теории идеальной пластичности при условии пластичности, соответствующему ребру призмы Треска, и установил, что в каждой точке имеется конус характеристических направлений, совпадающих с направлениями максимальных касательных напряжений. Также в этой работе Д. Д. Ивлев обратил внимание на возможность получения замкнутой системы уравнений в случае плоского деформирования на ребрах и гранях условия пластичности Треска.

Задачи о распространении и отражении упругопластических волн в полупространстве в случае одномерной постановки рассматривались в работах [37, 38, 39, 40, 41, 36, 57]. Автомодельная задача преломлении упругой волны в упругопластическом полупространстве, при условии пластичности Кулона, была рассмотрена А. Н. Ковшовым [48]. В работе [50] аналогичная задача была решена при условии пластичности Мизеса. Отражению пластической волны в упругопластическом полупространстве при условии пластичности Мизеса посвящена работа А. Н. Ковшова и A.M. Скобеева [49], а для грунтов, описываемых соотношениями С. С. Григоряна — работа [47]. Решения получены в виде интегралов от параметров с неизвестными пределами интегрирования, являющимися границами областей пластичности, которые отыскиваются из алгебраических уравнений. К. О. Перссон в работе [58] рассмотрел поведение упругопластических возмущений в среде на примере решения ряда задач о о столкновении двух пластинок.

Целью настоящей работы является изучение условий возникновения и закономерностей распространения диссипативных поверхностей разрывов в упругопластической среде с произвольными кусочно-линейными условия8 ми пластичности, при этом особое внимание уделяется необратимо сжимаемым средамв постановке и решении ряда автомодельных краевых задач в рамках исследуемой модели пластической сжимаемости.

Первая глава диссертации посвящена рассмотрению особенностей существования поверхностей разрывов в упругопластической среде. Рассмотрены зависимости, накладывающие ограничения на изменения величин, претерпевающих разрыв. В первом параграфе вводятся определяющие соотношения упругопластической среды при малых деформациях. Во втором параграфе первой главы непосредственно изучается процесс распространения возмущений по среде, для чего рассматриваются условия совместности разрывов (геометрические, кинематические и динамические), которые обязаны выполняться для величин, претерпевающих разрыв. В третьем параграфе первой главы приводится обобщение принципа максимума Мизеса на диссипативный процесс на поверхности разрыва. Следствием введенной гипотезы является неизменность главных напряжений при переходе через поверхность разрывов.

Во второй главе диссертационной работы непосредственно рассмотрена математическая модель упругопластического деформирования при произвольном кусочно-линейном условии пластичности. Для подобных сред получены условия возникновения и закономерности распространения дис-сипативных разрывов, вычислены их скорости.

Для произвольной грани замкнутой кусочно-линейной поверхности текучести можно записать где — главные значения тензора напряжений. Ребро поверхности текучести будет задано системой уравнений сих сг + а2 02 + а3 <�т3 = к,.

0.1).

1 (71 + + аз 03 = к.

А. 0−1 + А> & + &-оз = к.

0.2).

В соотношениях (0.1) и (0.2) коэффициенты аги ft (г = 1,2,3) — постоянные, связанные с выбором конкретной грани или конкретного ребра. Эти постоянные становятся известными при выборе конкретного условия нагружения (например, Кулона-Мора и т. д.).

Первый и второй параграфы второй главы посвящены изучению поведения диссипативных разрывов при условиях пластичности, соответствующих грани (0.1) и ребру (0.2) поверхности текучести, соответственно.

В третьем параграфе второй главы в качестве примера использования математической модели, рассмотренной в первом и втором параграфе второй главы, описываются диссипативных разрывов при условиях пластичности, определяемых гранями и ребрами пирамиды Ишлинского-Ивлева, т. е. соотношения.

2.. тах|сгг- — сг + qa — -к, (0.3) г 3 где, а = — (<72 + сг3), q — константа, отвечающая за пластическую сжио маемость материала.

В четвертом параграфе второй главы рассматривается поведение диссипативных разрывов, когда условия пластичности задаются гранями и ребрами пирамиды Кулона-Мора i шах|сг^ - dj + qa = к, (0.4).

Za t которая, как и условие (0.3) определяет пластически сжимаемую среду.

Отметим, что учет пластической сжимаемости в соотношениях пластичности для моделей, рассмотренных в третьем и четвертом параграфах второй главы, приводит не только к уточнениям значений для скоростей продвижения поверхностей разрывов, но и увеличивает число возможных разрывов, которые могут распространяться с разными скоростями.

Третья глава диссертации посвящена постановкам и решениям автомодельных краевых задач динамики идеального упругопластического тела. Приводятся решения одномерной и плоской автомодельных задач на примере нагрузки упругопластического полупространства, рассматриваются процессы распространения возмущений в упруго-пластической среде. Отличительной особенностью представленных задач является то, что материал считается пластически сжимаемым, это обеспечивается выбором соответствующих поверхностей текучести в виде пирамиды Ишлинского-Ивлева (0.3) и пирамиды Кулона-Мора (0.4).

Согласно уравнениям, описывающим поведение среды, изменение упругих деформаций происходит на ударных волнах. Скорость одной из них будет совпадать со скоростью движения безвихревой волны, скорость движения другой волны совпадает со скоростью распространения эквиволю-миальной волны. Изменение же пластических деформаций осуществляется посредством простых волн Римана, то есть, в некотором слое. Из полученных результатов следует возможность существование двух простых волн: одна из них располагается между безвихревой и эквиволюмиальной ударными волнами, а другая — между эквиволюмиальной ударной волной и границей упругопластического полупространства. В процессе решения конкретной краевой задачи возможны случаи, когда одновременно существует два слоя с пластическими деформациями, либо только один (в зависимости от выполнения условия пластичности в соответствующей области).

В первом параграфе третьей главы рассмотрена одномерная автомодельная задача об ударе жестким телом по упругопластическому полупространству, являющимся пластически сжимаемым. При этом в рамках численного эксперимента показано, что в силу выбранных констант материала, начальных и граничных условий среды пластическое деформирование осуществляется посредством только одного пластического слоя, расположенного между эквиволюмиальной ударной волной и границей упругопластического полупространства. В втором параграфе третьей главы решена плоская автомодельная задача о косом ударе жестким телом по упругопластическому полупространству, при этом в процессе решения было показано, что необратимое деформирование осуществляется посредством двух пластических слоев. Представленные задачи были решены численно, результаты расчетов показаны на графиках.

Заключение

.

1. Получены условия существования разных типов поверхностей разрывов необратимых деформаций в упругопластических средах в зависимости от вида напряженно-деформированного состояния перед поверхностями разрывов и упругопластических свойств среды, связанных с различными кусочно-линейными условиями пластичности, частными случаями которых являются условия Кулона-Мора и Ишлинского-Ивлева. В процессе решения полученных систем уравнений установлено, что в рамках рассмотренной математической модели упругопластической среды возможно существование продольных, поперечных и комбинированных диссипатив-ных разрывов. Необходимым условием существования продольных разрывов является коллинеарность нормали к поверхности разрыва одному из главных направлений тензора напряжений. В случае поперечных и комбинированных разрывов необходимо, чтобы нормаль к поверхности разрыва была ортогональна одному из главных направлений тензора напряжений.

2. Вычислены скорости продвижения возможных поверхностей разрывов в упругопластической среде в зависимости от констант среды.

3. Поставлена и решена одномерная автомодельная задача динамики упругопластического деформирования: об ударе жестким телом по свободному, пластически сжимаемому полупространству. Пластическая сжимаемость среды, при этом, моделируется путем принятия в качестве поверхности текучести пирамиды Ишлинского-Ивлева. Изменение пластических деформаций в среде, обусловленное константами материала, начальными и граничными условиями, осуществляется посредством одного пластического слоя, расположенного между границей тела и эквиволюмиальной упругой волной.

4. В рамках пластической сжимаемости рассмотрена и решена плоская автомодельная задача о косом ударе жестким телом по упругопластическо-му полупространству, находящемуся свободном состоянии. Пластическая сжимаемость материала задается путем выбора в качестве поверхности текучести пирамиды Кулона-Мора. При этом, в силу выбранных начальных, граничных условий и параметров среды, было показано, что пластические деформации изменяются посредством двух пластических слоев, один из которых расположен между двумя упругими волнами, а второй между границей тела и эквиволюмиальной упругой волной.