Деформирование и движение упругих проводящих тел в импульсном магнитном поле

В последние годы значительное внимание в литературе уделяется исследованиям по механике сплошной среды, в которых поля механических напряжений и деформаций рассматриваются в неразрывной взаимосвязи с физическими полями другой природы (тепловыми, электромагнитными, диффузионными и другими). В отличие от электроупругости [84], в которой изучаются процессы в твердых диэлектриках (материалах, обладающих пьезоэффектом), вызванные взаимодействием полей механических напряжений и деформаций с электромагнитным полем, магнитоупругость изучает упругие процессы в твердых проводниках под действием потоков электромагнитной энергии.

Интенсивное развитие магнитоупругости обусловлено возможностью непосредственного применения ее результатов в различных областях науки и техники, в частности, при разработке магнито-импульсных генераторов, используемых для магнитоимпульсной штамповки металловдля расчета демпфирующих сил пространственных тел, которые погружаются в магнитное поледля разгона макрочастиц до больших (порядка 10^ м/с) скоростей с помощью импульсных электромагнитных полей (электромагнитной пушки) и т. п. Отметим, что задачи деформирования проводящих тел электромагнитными полями лишь недавно привлекли внимание исследователей. Это связано, отчасти, с тем, что только в последнее время удалось получить сильные и сверхсильные магнитные поля [44]. Поэтому многие вопросы еще недостаточно изучены.

Воздействие электромагнитного поля на проводящее тело приводит к возникновению в теле электрического поля, а, следовательно, и вихревых токов. Взаимодействие токов с магнитным полем приводит к п<�эявлению объемных электромагнитных (пондеро-моторных) сил и источников джоулева тепла. Электромагнитные силы и тепловые источники вызывают волны напряжений и деформаций и изменяют термодинамическое состояние тела, а следовательно, изменяют электромагнитное поле в нем. Таким образом, механические, электромагнитные и температурные поля оказываются взаимосвязанными и должны определяться из совместного решения уравнений термомеханики и уравнений Максвелла.

Остановимся на вопросе связности температурных и магнито-упругих полей. В работах [30, 67] показано, что повышение напряжений в упругом полупространстве вследствие скачкообразного изменения температуры на его поверхности не имеет практического значения (по крайней мере дляt>W с). 3>. Мун и С. Чато-падхайя [63] доказали, что поправка от влияния температурных полей на волны напряжений при импульсных магнитных воздействиях также оказывается малой величиной (например, для меди менее Ъ% в сравнении с величиной напряжений, вызываемых вихревыми токами). Отметим, что такие напряжения содержат высокочастотные составляющие и затухают при распространении на несколько сантиметров от поверхности тела, в то время как напряжения, вызываемые пондеромоторными силами будут распространяться в твердом теле с малым затуханием [63]. Поэтому будем пренебрегать влиянием температурных полей на напряженное состояние тела при импульсных магнитных воздействиях.

Картина взаимодействия электромагнитных полей с проводящими упругими телами значительно усложняется, если материал тела обладает свойством магнитной поляризуемости (ферромагнетики). В этом направлении отметим работу Y.-H. Роо, С.~S. Yeh [105], которые предложили квазистатическую линейную теорию магнитоупругости в мягких ферромагнетиках.

3.G. Агранович и Н. И. Деревянко [2] решили задачу для призматического стержня, находящегося под действием пондеромоторных сил и поверхностных нагрузок. Отметим, что в этой работе пренебрегалось взаимовлиянием упругих и электромагнитных полей (т.е., решалась несвязанная задача). Построению общих моделей сплошных сред, взаимодействующих с электромагнитным полем, посвящены работы Л. И. Седова [74] и его последователей. В.В.Ло-хин [55] получил основные уравнения магнитоупругости, выражения для пондеромоторных сил и тензора напряжений с учетом эффекта поляризации. Закономерностям распространения магнитоупру-гих волн в намагничиваемых средах посвящены работы [24, 91].

Мсшgin G. представил обзор исследований по распространению магнитоупругих волн в намагничивающихся деформируемых твердых телах [102]. Более ранние работы по магнитоупругости намагничивающихся сред содержит другой обзор того же автора [lOl].

При решении задач магнитоупругости применяются допущения, которые позволяют упростить исходную систему нелинейных уравнений. К таким допущениям относится линеаризация уравнений магнитоупругости путем представления электромагнитного поля в виде суммы первоначального, стационарного поля и малого (по сравнению с исходным) возмущенного поля. Далее, пренебрегая в исходной системе нелинейных уравнений квадратами и произведениями малых возмущений, получаем систему линейных уравнений магнитоупругости.

Первые работы по теории распространения волн в проводящих упругих телах при наличии магнитного поля принадлежат Knoppoff [99], ChadwLCk [93]. Затем задачи по распространению маг-нитоупругих волн в проводящих, идеально-проводящих, слоистых средах рассматривались в работах [7, 18, 22, 33, 75, 76, 78, 86, 94, 98]. Обширная библиография по этому вопросу представлена в монографии [77].

Исследование магнитоупругих волн в вышеприведенных работах проводилось с использованием линеаризованных уравнений. В связи с возможностью эффективного применения магнитоакустичес-кого нагрева для обработки проводящих элементов конструкций [43] большое значение приобретает изучение магнитотермоупругих процессов на основе нелинейных уравнений. Поэтому возникает необходимость разработки приближенного решения системы уравнений магнитоупругости с учетом нелинейности взаимосвязи магнитного, температурного и упругих полей при периодических силовых и электромагнитных воздействиях. В монографии [71] предлагается приближенная схема решения нелинейных уравнений магнитоупругости, позволяющая изучать механические, тепловые и электромагнитные процессы в проводящих телах при периодических во времени нагрузках и полях. Приближенное решение системы уравнений магнитотермоупругости строится с использованием операции усреднения по периоду внешнего воздействия и метода асимптотического разложения по малому параметру, равному отношению амплитуды индукции медленно меняющегося магнитного поля к величине индукции постоянного магнитного поля.

Работы [59, 60] посвящены распространению магнитоупругих волн в проводящих телах с начальными напряжениями. Используя процедуру линеаризации, автор получил систему уравнений магнитоупругости в случае произвольной начальной деформации. Рассмотрена также задача о распространении плоских волн в проводящем изотропном теле, находящемся в однородном магнитном поле, подвергнутом однородным начальным деформациям, и изучено влияние этих деформаций на скорости распространения и затухания электромагнитных волн.

В последнее время появился ряд работ, которые посвящены взаимодействию электромагнитного поля с проводящими упругими телами с трещинами. В работе [68] исследуется влияние электрического тока на напряженное состояние в вершине мгновенно появляющейся полубесконечной трещины. Shin do У [107], используя теорию, изложенную в работе [105], получил решение статической плоской задачи о равновесии прямолинейной трещины конечной длины в ферромагнитном материале для однородного магнитного поля, которое направлено перпендикулярно к поверхности трещины. Работа [108] посвящена задаче дифракции нормально падающей продольной волны на трещине, находящейся в бесконечном упругом пространстве из мягкого ферромагнетика. Используя преобразование $урье, автор свел задачу к решению парных интегральных уравнений. Получены динамические напряжения вблизи кончика трещины и найдено влияние магнитного поля на концентрацию динамических напряжений. Исследовано влияние магнитного поля на динамические напряжения в окрестности кончика трещины.

Задачи взаимодействия конструктивных элементов типа оболочек и пластин с электромагнитным полем возникают в различных областях современной техники. В последнее время выполнено много работ в области магнитоупругости тонких проводящих пластин и оболочек, находящихся в магнитном поле. Среди этих работ видное место занимают работы армянской школы механиков, выполненные в линеаризованной постановке для неферромагнитных материалов. На основе решений, полученных методом асимптотического интегрирования трехмерных уравнений магнитоупругости формулируются гипотезы магнитоупругости тонких тел, позволяющие свести трехмерные уравнения к двумерным. Эти гипотезы связаны с характером изменения электромагнитного поля упругих смещений по толщине оболочки и состоят из классической гипотезы тонких оболочек — гипотезы недеформируемых нормалей, а также предположения о том, что касательные составляющие вектора напряженности электрического поля и нормальная составляющая напряженности магнитного поля остаются постоянными по толщине оболочки [3, 8, 9, 16].

Основные результаты применительно к задачам колебания и устойчивости токонесущих оболочек и пластин, а также задачи динамического и статического деформирования и устойчивости тонкостенных пластин и оболочек для неферромагнитных материалов представлены в монографии [5]. Обзор новых работ по магнитоупругости тонких пластин и оболочек можно найти в статье [4].

В работе [ю] авторы получили систему линеаризованных уравнений в перемещениях для динамических задач магнитоупругости идеально-проводящих анизотропных тел при наличии внешнего однородного магнитного поля. Получены также условия, при которых среда в зависимости от ориентации магнитного поля находится в условиях плоской деформации.

Большинство известных работ по деформированию упругих проводящих тел выполнены для линеаризованной системы уравнений (см. обзоры [51, 106]). Однако решения ряда прикладных задач (таких как магнитоимпульсная обработка металлов, конструирование демпфирующих устройств и т. п. особенно при импульсных воздействиях) требует более полного изучения механических процессов, включая волновые поля, сопровождающие магнитоупругое взаимодействие, на основе нелинейной системы уравнений магнитоупругости.

Следовательно, исследования нестационарных задач по деформированию упругих проводящих тел импульсными магнитными полями, на основе нелинейной системы уравнений магнитоупругости представляют собой актуальную научную задачу.

Интересный в научном и прикладном плане класс задач по нестационарной динамике магнитоупругости представляют собой задачи погружения упругих проводящих тел в неоднородное магнитное поле. При погружении тела с большой скоростью в неоднородное магнитное поле, на него начинают действовать большие механические силы, которые в свою очередь будут деформировать тело и изменять его скорость. Такие задачи встречаются при расчете различных типов магнитных ловушек, ускорителей макрочастиц (электромагнитные пушки).

Прежде, чем сформулировать цель настоящего исследования, остановимся на анализе некоторых работ в этом направлении.

Ф. Мун и С. Чатопадхайя [63] решили задачу о деформировании упругого проводящего полупространства импульсным электромагнитным полем. В предположении о малом времени импульсного воздействия (~1 мкс), оказалось возможным пренебречь влиянием связности упругих и электромагнитных полей. Это позволило сначала решить задачу электродинамики, а затем, зная уже величину пондеромоторных сил, решить задачу теории упругости. Авторы дополнили теоретическое решение численными расчетами, графиками и экспериментальными данными.

В.И. Дресвянников в работах [36, 37] построил вариант теории проводящих тонких оболочек при воздействии импульсных магнитных полей. В основу построения положены гипотезы магнитоупругости тонких тел [5]. Автору удалось получить двумерное ин-тегро-дифференциальное сингулярное уравнение для отыскания вектора плотности вихревых токов в оболочке, необходимого при определении пондеромоторных сил. Построен алгоритм численного решения этого уравнения, приведены графики для величин динамических прогибов и электродинамических сил для алюминиевой пластинки, подверженной действию импульсного магнитного поля спирального индуктора.

Работы [34, 35, 38] посвящены решению связанных уравнений магнитотермопластичности. В одномерной постановке для слоя и цилиндра разработан численный метод расчета сопряженных тепловых, механических и электромагнитных полей в упругопластических неферромагнитных материалах, физико-механические свойства которых зависят от температуры. Представлены результаты расчетов нелинейных переходных процессов в металлическом слое при воздействии на границе быстро нарастающего до некоторого значения магнитного поля. Исследован процесс динамического сжатия цилиндрических оболочек в сильном импульсном магнитном поле.

Из вышеизложенного видно, что к настоящему времени в литературе накопился некоторый материал по импульсной магнитоупругости: решен ряд одномерных задач (в основном численно), есть попытки построения теории тонких проводящих оболочек. Однако завершенная теория деформирования упругих проводящих тел импульсными магнитными полями в литературе отсутствует.

Целью настоящей работы является дальнейшее развитие основ теории механического взаимодействия упругих проводящих тел с импульсными электромагнитными полями, а также исследования движения и деформирования упругих проводящих пространственных тел канонической формы (в частности сферы) при погружении их в неоднородное магнитное поле. Исследование в данной работе проводится для неферромагнитных хорошо проводящих материалов, таких как алюминий, медь, серебро и т. п.

В первой главе диссертации приведена полная система уравнений магнитоупругости, поставлены начальные и граничные условия, необходимые для однозначного решения. Приведено выражение для пондеромоторных сил электромагнитного поля, их связь с тензором максвелловых натяжений, исходя из теории Абрагама [I. 26]. Здесь же дается краткий обзор математических методов, применяемых в работе для решения нестационарных задач. Приводятся формулы теории преобразования Лапласа [31, 32], описаны методы вычисления оригиналов функций по их изображениям, в частности упоминается о так называемой «обобщенно-лучевой теории» [ЮЗ,.

104], о методе сведения к решению интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода [Ю0]. Описано преобразование Фурье с конечными пределами [79], преобразование Зоммерфельда-Ватсона [20, 21, 88], теорема Дюгамеля для решения нестационарных уравнений параболического типа [57, 79]. В последнем параграфе главы приведено решение пространственной задачи теории упругости для сплошной сферы с использованием метода собственных векторных функций (векторного разложения Ламе) [85].

Вторая глава посвящена обоснованию и уточнению упрощающих гипотез в задачах магнитоупругости проводящих тел для импульсных электромагнитных полей. Приведены оценки эффекта связности электромагнитных и упругих полей при воздействии импульсных магнитных полей [63]. Показано, что в задачах импульсной магнитоупругости можно пренебрегать связностью этих полей, т.к. продол.

— 2 жительность импульса, как правило, не превосходит Ю С. Решена задача о влиянии отраженной волны на напряженное состояние упругого проводящего слоя [46, 48]. Найдено, что если падающий импульс имеет вид функции Хевисайда, то амплитуды проникающего в слой электромагнитного поля почти в два раза больше, а амплитуда пондеромоторных сил почти в четыре раза больше, чем в задаче без учета отраженной волны. При конечной крутизне падающего импульса эффект существенно уменьшается. На основании точного решения модельной задачи для упругого проводящего слоя исследовано влияние скорости погружения тела в магнитное поле на пондеромоторные силы, действующие на слой. Показано, что при скорости погружения значительно меньше скорости света можно пользоваться граничными условиями, которые не учитывают отраженную волну, т. е. можно не решать внешнюю задачу [48]. В заключительном параграфе главы приведены общие формулы для решения задач о взаимодействии проводящей сферы с электромагнитным полем. В качестве примера применения полученных общих формул приведено решение хорошо известной задачи о дифракции плоской электромагнитной волны на проводящей сфере.

В третьей главе получено решение задачи о погружении проводящего бруса в магнитное поле [б]. Задача решалась при помощи преобразования^урье с конечными пределами, преобразования Зоммерфельда-Ватсона для суммирования получившихся рядов и теоремы Дюгамеля. Найдено электромагнитное поле в брусе, получено выражение для вектора пондеромоторных сил, действующих на брус. Интегрированием этого выражения по сечению бруса вычислены силы, действующие на единицу длины бруса в зависимости от его скорости как в направлении движения, так и по нормали к нему. Применяя метод векторных собственных функций и преобразование Лапласа по времени и используя формулы, изложенные в § 8, решена задача о погружении упругой проводящей сферы в магнитное поле. Решение, полученное в виде разложения по векторным гармоникам, удалось просуммировать и найти электромагнитное поле и пондеромоторные силы в сфере [47]. Интегрированием вектора пондеромоторных сил по объему сферы вычислен главный вектор демпфирующих сил, действующий на сферу. Проведено сравнение решения этой задачи с задачей о погружении в магнитное поле идеально-проводящей сферы. Получено интегро-дифференци-альное уравнение для вектора скорости идеально-проводящей сферы, влетающей в магнитное поле. Численным интегрированием этого уравнения получен закон изменения скорости тела при проникании через «магнитный барьер». Представлено соотношение, позволяющее определять минимальную скорость, необходимую для преодоления «магнитного барьера» .

Задаче о нахождении напряженно-деформированного состояния упругой сферы, подверженной воздействию импульсного магнитного поля посвящается четвертая глава [45]. Сформулированы и обоснованы гипотезы, позволяющие разбить данную задачу на две задачи: задачу динамической теории упругости без массовой силы, но с граничными условиями в виде тензора максвелловых натяжений и задачу квазистатической теории упругости с массовой силой, но без инерционного члена в уравнениях Ламе и с заданными граничными условиями. Решение задачи динамической теории упругости проводилось с использованием преобразования Лапласа и метода собственных векторных функций. Нахождение обращения сводилось к решению интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода. Решение этого интегрального уравнения было получено численно. При решении задачи квазистатической теории упругости методом собственных векторных функций удалось построить решение для произвольной радиальной массовой силы, используя метод вариации произвольных постоянных. В последнем параграфе главы представлены графики и таблицы численного расчета динамических напряжений в упругой сфере, которые вызваны импульсным магнитным полем.

В заключении к диссертации отражены основные результаты проведенных исследований.

Отдельные вопросы, рассмотренные в диссертации, докладывались :

1. На научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Киевского госуниверситета (I98I-I984 гг.).

2. На Ш Республиканской конференции «Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе» (Канев, 1982 г.).

3. На конференциях молодых ученых Московского госуниверситета (Москва, 1983 г., 1984 г.).

4. На Ш Всесоюзном симпозиуме «Теоретические вопросы магнитоупругости» (Ереван, 1984 г.).

Основные результаты диссертации изложены в работах автора.

45, 46, 47, 48], в статье [б], выполненной в соавторстве с научным руководителем А. Ф. Улитко и с В. А. Андрущенко. А.Ф. Улит-ко принадлежит идея о возможности построения теории задач погружения упругих проводящих тел в магнитное поле в квазистатической постановке (т.е., пренебрегая отраженными волнами), В. А. Андрущенко принадлежит экспериментальная часть работы. Диссертанту принадлежит получение аналитического решения. Обсуждение результатов авторами проводилось совместно.

Основные результаты работы состоят в следующем.

1. Разработан численно-аналитический метод решения новой пространственной задачи магнитоупругости — задачи о деформировании упругой проводящей сферы импульсным электромагнитным полем. На основе векторного разложения Ламе для сферы и преобразования Лапласа по времени вычислены динамические напряжения в упругой проводящей сфере. Дано общее решение задачи квазистатической теории упругости для сплошной сферы в случае действия произвольных радиальных массовых сил. Сформулированы и обоснованы гипотезы, которые позволили динамическую задачу магнитоупругости разбить на две более простые задачи: на задачу динамической теории упругости без массовой силы, но с граничными условиями в виде натяжений Максвелла (проинтегрированной по радиусу сферы пондеромоторной силой) и на задачу квазистатической теории упругости с массовой (пондеромоторной) силой, без инерционного члена в уравнениях Ламе и с заданными граничными условиями.

2. Решена задача о движении упругой проводящей сферы, погружающейся в магнитное поле. Вычислено электромагнитное поле и пондеромоторные силы, действующие на сферу. Получен закон распределения главного вектора демпфирующей силы в зависимости от времени. Найден закон движения и скорость сферы при погружении через границу раздела внешняя среда (вакуум или воздух) — магнитное поле. Проведено сравнение решения этой задачи с задачей для идеально-проводящей сферы. Установлено, что амплитуда демпфирующих и сжимающих сил, действующих на проводящую сферу, на 2Ъ% меньше, чем амплитуда этих сил, действующих на идеально-проводящую сферу. Показано, что для хорошо проводящей сферы примерно 80% энергии магнитного поля может перейти в механическую энергию, а остальная часть энергии расходуется на тепловые потери, в то время как для идеально-проводящей сферы вся энергия магнитного поля переходит в магнитную энергию.

3. На основании системы уравнений магнитоупругой среды дана оценка учета отраженной волны от поверхности проводящего тела. Показано, что поправки к величине электромагнитного поля и пондеромоторных сил, действующих на упругое проводящее тело, зависят от крутизны фронта падающего импульса. Амплитуда проникающего поля может увеличиться в два раза, а пондеромоторная силапочти в четыре раза, если падающий импульс имеет вид функции Хевисайда. При конечной крутизне фронта падающего импульса эффект существенно уменьшается.

4. На основе точного решения модельной задачи для упругого проводящего слоя исследовано влияние скорости погружения тела в магнитное поле на эффект учета отраженных волн. Установлено, что можно не учитывать отраженную волну от поверхности тела, если скорость погружения тела в магнитное поле значительно меньше скорости света, т. е. пользоваться квазистационарным приближением.

5. Дана постановка и решение граничной задачи о погружении проводящего бруса в магнитное поле. Используя двойное преобразование Фурье с конечными пределами, преобразование Лапласа по времени и интегральное представление Дюгамеля найдено электромагнитное поле в брусе, индуцируемое внешним магнитным полем.

Вычислены пондеромоторные силы и главный вектор демпфирующей силы, действующие на брус при погружении последнего в магнитное поле, в зависимости от скорости погружения.

Таким образом, на основании проведенных исследований установлена возможность расчленения задач деформирования пространственных проводящих упругих тел импульсными магнитными полями на две задачи: на однородную задачу динамической теории упругости с ударными нагрузками на поверхности тела, равными магнитному давлению, и на задачу квазистатической теории упругости (диффузионного типа) с массовыми силами. Задача квазистатической теории упругости снимает напряжения на поверхности тела, вызванные ударным нагружениём в динамической задаче теории упругости. Этот вывод является принципиально новым и позволяет получать с помощью предложенного численно-аналитического метода решения пространственных задач импульсной магнитоупругости для проводящих упругих тел канонической формы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В данной работе получили дальнейшее развитие основы теории механического взаимодействия упругих неферромагнитных проводящих тел (например, алюминий, медь, серебро и др.) с импульсными электромагнитными полями. Исследован новый класс задач магнитоупругости — задачи деформирования упругих проводящих тел при погружении их в магнитное поле. Рассмотрены наиболее характерные процессы, сопровождающие явление деформирования упругих проводящих тел импульсными магнитными полями.