Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Дуальные величины в квантовых калибровочных теориях

Диссертация: Дуальные величины в квантовых калибровочных теориях
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В решеточной формулировке калибровочных теорий шаг решетки должен рассматриваться как параметр ультрафиолетового обрезания, и для получения физически обоснованных результатов этот параметр должен быть устремлен к бесконечности при фиксированных значениях каких-либо физических наблюдаемых. В квантовой электродинамике, например, обычно фиксируются константа связи, входящая в трехточечную амплитуду… Читать ещё >

Дуальные величины в квантовых калибровочных теориях (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. Непертурбативные свойства неабелевых калибровочных теорий
  • 2. Струны как фундаментальные степени свободы неабелевых калибровочных теорий
  • 3. Дуальность между электрическими и магнитными зарядами
  • 4. Дуальность между калибровочными теориями и теориями струн на пространстве анти-де-Ситтера
  • 5. Общая характеристика работы
  • Глава 1. Центральная доминантность в вакууме неабелевых калибровочных теорий
    • 1. 1. Введение
    • 1. 2. Центральные вихри и экранирование цветных зарядов на асимптотически больших расстояниях
    • 1. 3. Эффективное действие центральных вихрей
    • 1. 4. Выводы
  • Глава 2. Квантовое перепутывание в калибровочных теориях
    • 2. 1. Введение
    • 2. 2. Геометрическая интерпретация энтропии перепутывания в голографических моделях
    • 2. 3. Энтропия перепутывания и принцип локальной калибровочной инвариантности
    • 2. 4. Численное изучение энтропии перепутывания в решеточных калибровочных теориях
    • 2. 5. Энтропия перепутывания калибровочных теорий как классическая энтропия концевых точек электрических струн
    • 2. 6. Энтропия перепутывания в SU (2) решеточной калибровочной теории
    • 2. 7. Фазовый переход конфайнмент-деконфайнмент и энтропия перепутывания при конечных температурах
    • 2. 8. Выводы
  • Глава 3. BRST квантование матричных моделей со связями первого рода
    • 3. 1. Введение
    • 3. 2. Классическая и квантовая механика на групповом многообразии
    • 3. 3. Классический BRST генератор и классический BRST-инвариантный гамильтониан
    • 3. 4. Квантовый генератор преобразований BRST и BRST-инвариантный оператор Гамильтона
    • 3. 5. Интеграл по путям в формализме BRST
    • 3. 6. Геометрические структуры на групповом многообразии
    • 3. 7. Выводы
  • Глава 4. Неунитарность квантовых теорий поля на пространстве де Ситтера, проблема космологической постоянной и dS/CFT соответствие
    • 4. 1. Введение
    • 4. 2. In- и out- состояния в планарных и глобальных координатах на пространстве де Ситтера
    • 4. 3. Излучение и инфракрасные расходимости в пространстве де Ситтера
    • 4. 4. Выводы

В действительности все не так, как на самом деле.

— Станислав Ёжи Лец.

1. Непертурбативные свойства неабелевых калибровочных теорий.

Неабелевы калибровочные теории [1] были применены для описания сильных взаимодействий адронов, когда стало ясно, что партоны, наблюдаемые в процессах рассеяния частиц высоких энергий посредством Бъёркеновского скейлинга, являются кварками [2, 3]. Существенной особенностью неабелевых калибровочных теорий является асимптотическая свобода, означающая, что теория становится эффективно свободной при очень больших импульсах частиц, то есть на очень маленьких расстояниях [2, 3]. Благодаря этому свойству при описании процессов-, в которых энергии кварков очень высоки, напримерпри описании реакций частиц высоких энергий, можно использовать методы теории возмущений, хорошо развитые для КЭД и других квантовых теорий поля. Сам факт существования адронов, состоящих из кварков, тем не менее, не может быть объяснен па основании теории возмущений, которая к началу семидесятых была единственным способом анализа неабелевых калибровочных теорий.

С другой стороны, когда энергия некоторого, процесса рассеяния, включающего сильные взаимодействия, становится очень малой, константа связи неабелевой калибровочной теории становится порядка единицы, или больше, и теория возмущений становится неприменима. Вообще говоря, даже само существование адронов, состоящих из кварков, не может быть объяснено на основании теории возмущений. Из экспериментов известно, что цветные кварки всегда «удерживаются» в адронах — отсюда термин «удержание цвета», или конфайнмепт. Анализ экспериментальных данных по адронным спектрам показывает, что сила притяжения между валентными кварками в адронах примерно постоянна на больших расстояниях [6, 7]. Таким образом, кварк и антикварк оказываются связанными своего рода упругой струной с натяжением сг, которая обычно называется струной КХД, и не могут быть разведены бесконечно далеко друг от друга, так как это потребует бесконечной энергии. Чтобы изучать это явление удержания цвета, следует рассматривать взаимодействия между кварками, разделенными асимптотически большими расстояниями — другими словами, процессы при очень малых энергиях.

Одним из наиболее важных вкладов в развитие теории, который сделал возможным непертурбативный анализ неабелевых калибровочных теорий, была сформулированная Вильсоном [8] решеточная версия неабелевых калибровочных теория. В то время как при малых затравочных значениях константы связи решеточная теория воспроизводит обычные результаты теории возмущений, при больших значениях константы связи можно применять методы, развитые в статистической физике, например, разложение сильной связи. Дополнительным преимуществом решеточных калибровочных теорий является введение ультрафиолетового обрезания калибровочно-инвариантным способом, что позволило Вильсону сформулировать общие предписания для перенормировки решеточных калибровочных теорий и связать свойства перенормируемости с поведением статистических систем вблизи критических точек. «.

В простейшем случае П — мерной гиперкубической решетки задается набор точек (узлов) с координатами — ае^пь, где е^ - единичные базисные вектора, а есть расстояние между смежными узлами решетки в физических единицах (шаг решётки) и пь, Ъ = 1,.,!} есть целые числа. Координаты пь называются решеточными координатами, а координаты х^ - физическими координатами, или координатами в физических единицах длины. Значения скалярных полей задаются в узлах решетки, векторных полей — на связях (линках) между двумя смежными узлами, тензорные поля ранга 2 — на элементарных площадках (плакетах), натянутых на два разных линка, имеющих одну общую точку, тензорные поля ранга 3 — на элементарных кубах, натянутых на три различных линка с одной общей точкой, и так далее. Соответственно, поля материи, которые для простоты предполагаются скалярными и бозонными, связываются с узлами решетки. Чтобы ввести неабелевы калибровочные поля на решетке, следует принять во внимание, что по определению ковариантной производной две локальные величины должны вычитаться лишь после того, как обе они параллельно перенесены в одну точку. Чтобы определить решеточный аналог ковариантной производной, следует параллельно перенести поле с двух соседних узлов на какой-нибудь один и лишь после этого вычитать их. Операторы параллельного переноса вдоль решеточных линков соответствуют поэтому калибровочным полям А^ в непрерывном пределе. По аналогии с непрерывной теорией тензор кривизны на решетке связан с оператором параллельного переноса вдоль границы элементарной площадки (плакета).

Вильсоновская формулировка решеточных калибровочных теорий становится особенно простой, когда массы кварков намного больше любых других масштабов энергии в задаче и кварки поэтому могут рассматриваться как статические заряды. В этом случае можно пренебречь спином кварков и вообще всеми квантовыми числами кроме цвета и силу взаимодействия между кварками рассматривать как функцию только расстояния между кварками. Как было показано Вильсоном [8], эта сила может быть найдена из измерений некой нелокальной калибровочно-инвариантной величины, которая определяется как след голономии калибровочного поля вдоль некоторого замкнутого контура С, представляющего мировые линии тяжёлых кварка и антикварка: где Ац есть вектор калибровочного поля, V есть оператор, упорядочивающий некоммутирующие множители вдоль контура С, и след берется в некотором неприводимом представлении В, калибровочной группы. Потенциал взаимодействия между кварком и антикварком V [г] связан с вакуумным средним петли Вильсона И^д [С] как: где СГХ£ есть прямоугольный контур с размерами г в пространственном направлении и? во временном направлении. Вильсон показал, что в пределе сильной' связи потенциал взаимодействия кварка и антикварка линеен:

Таким образом, кварк и антикварк оказываются связанными неким подобием упругой струны с натяжением сг, которая обычно называется струной КХД, и поэтому не могут быть, разведены бесконечно далеко, так как это потребовало бы бесконечной энергии. Этот вывод хорошо согласуется с тем фактом, что кварки никогда не наблюдаются как свободные частицы, но всегда оказываются в связанных состояниях — адропах. Вывод этот, конечно, не может служить каким бы то ни было доказательством конфайнмепта кварков, потому что предел сильной связи решеточной калибровочной теории не соответствует никакой непрерывной теории. Как показывает процедура перенормировки теории, непрерывной теории Янга-Миллса должен соответствовать предел слабой связи по затравочной константе связи.

1) г) — - Цщ Г11п [сгх, 1).

2).

V (г) = ог з).

В решеточной формулировке калибровочных теорий шаг решетки должен рассматриваться как параметр ультрафиолетового обрезания, и для получения физически обоснованных результатов этот параметр должен быть устремлен к бесконечности при фиксированных значениях каких-либо физических наблюдаемых. В квантовой электродинамике, например, обычно фиксируются константа связи, входящая в трехточечную амплитуду, и физическая масса электрона. В неабелевых теориях без динамических кварков можно зафиксировать натяжение струны КХД или корреляционную длину для корреляторов каких-либо калибровочно-инвариантных объектов. На практике обычно фиксируется натяжение струны КХД, которое может быть оценено из спектра мезонов как л/а = 440 МэВ. В решеточных калибровочных теориях в четырех измерениях вообще нет размерных параметров, и физический масштаб должен быть введен в теорию вручную в процессе перенормировки. Если непрерывный предел решеточных калибровочных теорий в четырех измерениях существует, вблизи него поля на решетке должны гладкими. Математически это означает, что значения полевых переменных в соседних узлах решетки должны быть очень близки. Такая ситуация реализуется если при некотором значении затравочной константы связи до корреляционнаядлина системы в решеточных единицах ком (до) становится бесконечной, что соответствует фазовому переходу второго рода. Чтобы ввести физический масштаб, полагается, что шаг решетки имеет длину, а в физических единицах длины, и поэтому физическая корреляционная длина есть 1Р}1у8 — каи {до) о,. Так как /р/гу5 полагается фиксированной и может быть измерена в эксперименте из спектра масс теории, это уравнение даёт значение шага решетки, а как функцию затравочной константы связи до: а (до) = 1РЬуз/каы (до) — Такая процедура определяет параметр ультрафиолетового обрезания теории как функцию константы связи до или, обратно, до как функцию ультрафиолетового обрезания. Оказывается, что для того, чтобы достигнуть непрерывного предела в четырехмерной теории Янга-Миллса на решетке, следует устремить до к нулю и в то же время не потерять непертурбативпой информации о копфайнменте в теории. С точки зрения ренормгруппы эту задачу можно было бы решить, проследив ренормгрупповой поток от режима произвольно слабой связи и показать, что константы связи монотонно растут в процессе перенормировки по Вильсону. Хотя задача эта не намного легче изучения непрерывной теории в пределе сильной связи, преимуществами решеточной формулировки являются контроль за всеми расходимостями в теории и возможность численных экспериментов с использованием метода Монте-Карло.

4.4. Выводы.

Наше рассмотрение квантовой теории поля на пространстве де Ситтера показало, что она обладает рядом очень интересных свойств. Во первых, прямое вычисление показывает, что свободно движущаяся частица на пространстве де Ситтера может излучать. Иными словами, в пространстве де Ситтера отсутствует понятие свободных асимптотических состояний! Например, если мы рассматриваем какой-либо процесс рассеяния в пространстве Минковского, то мы можем быть уверены в том, что после рассеяния паши детекторы зарегистрируют одни и те же частицы независимо от расстояния между детектором и областью столкновения частиц. Напротив, в пространстве де Ситтера мы бы наблюдали не только рассеянные частицы, но и ливень мягких частиц с интенсивностью, возрастающей по мере удаления от области столкновения частиц! В действительности, даже процесс рассеяния не является необходимым в пространстве де Ситтера — детектор всегда будет детектировать частицы в форме излучения Хокинга.

Таким образом, если интерпретировать пространство де Ситтера как основное состояние некоторой квантовой теории гравитации, и изучить соответствующую низкоэнергетическую теорию гравитонов, то неизбежным является заключение о отсутствии у теории основного состояния. Таким образом, пространство де Ситтера должно быть нестационарным состоянием. Можно также одну единственную частицу в пространстве де Ситтера. Такая частица излучает частицы с термальным спектром с температурой, определяемой кривизной пространства де Ситтера, и постепенно наполняет пространство мягкими термальными гравитонами. Эти гравитоны, обладая энергией и импульсом, воздействуют на фоновую метрику и эффективно экранируют космологическую постоянную. Кажется естественным, что такие распадные процессы должны в конце концов привести к плоскому пространству Минковского [141]. Это было бы очень эстетически привлекательное решение проблемы космологической постоянной. К сожалению, в теории возмущений для низкоэнергетического приближения квантовой гравитации можно лишь указать на такую квантовую неустойчивость, но нельзя сделать каких-либо количественных предсказаний. Нельзя также доказать, что конечным продуктом распада будет плоское пространство Минковского.

Если космологическая постоянная очень велика, мы должны использовать теорию струн на пространстве де Ситтера. К сожалению, не существует самосогласованной формулировки теории струн на пространстве де Ситтера, так как такое пространство нарушает конформную инвариантность теории на мировой поверхности струны. В этом случае следует рассматривать формулировку замкнутой теории струн вне массовой поверхности. К сожалению, на сегодняшний день известны только первично квантованные версии этой теории на массовой поверхности (см. [45]).

Рассмотрим в заключение расходимости в амплитуде (4.18) в случае, когда одна из масс М или т исчезает. Похожие расходимости появляются и в пространстве анти-де-Ситтера. В отличие от пространства де Ситтера, пространство анти-де-Ситтера не является глобально гиперболическим (из-за присутствия времениподобной границы) и не имеет горизонта событий (вследствие наличия глобально определенного времениподобного вектора Киллинга). Именно из-за отсутствия глобальной гиперболичности, приводящего к тому, что в пространстве анти-де-Ситтера волны могут отражаться от границы пространства, в этом пространстве нельзя стандартным образом определить задачу Коши. Поэтому, в то время как можно определить единственное инвариантное вакуумное состояние в пространстве АдС, на нем нельзя должным образом определить оператор эволюции для квантовой теории поля. Поэтому в пространстве анти-де.

Ситтера инфракрасные расходимости, аналогичные рассмотренным выше, появляются в волновых функциях, а не в Э-матрице. Согласно гипотезе Ас18/СРТ-соответствия [25, 26, 29] эти расходимости интерпретируются как ультрафиолетовые расходимости в квантовой теории поля на границе пространства анти-де-Ситтера.

Напротив, хотя в пространстве де Ситтера глобальная инвариантность относительно изометрий нарушена, оно является глобально гиперболическим, и на нем можно определить оператор эволюции. Таким же образом можно было бы рассмотреть вопрос о квантовой устойчивости пространства де Ситтера. Кажется, что инерциальная частица в пространстве анти-де-Ситтера будет также излучать. Однако, так как в пространстве анти-де-Ситтера отсутствует оператор эволюции, в нем вообще нельзя поставить задачу, которую мы обсуждали в пространстве де Ситтера.

Заключение

.

В настоящей Диссертации неабелевы калибровочные поля были исследованы в контексте дуальности между калибровочными полями и струнами, а также были рассмотрены некоторые смежные вопросы. Совмещение идеи дуальности с техникой численных экспериментов на решетке позволило сделать ряд предсказаний о низкоэнергетических свойствах таких теорий, в частности, о доминантности центра калибровочной группы в динамике калибровочных теорий. Были также численно подтверждены некоторые эвристические предсказания дуальных моделей, касающиеся энтропии квантового перепутывания в калибровочных теориях. Основу диссертационной работы составили следующие результаты:

1. Показано, что экранирование цветных зарядов на асимптотически больших расстояниях указывает на вихреподобную структуру вакуума теории Янга-Миллса [33]. Поведение петель Вильсона на больших расстояниях изучалось при помощи теории случайных блужданий на групповых многообразиях [34, 35].

2. Численно изучено эффективное действие центральных вихрей в ви (2) решеточной калибровочной теории. Было показано, что помимо члена Намбу-Гото, эффективное действие вихрей также содержит члены, делающие их мировые поверхности жесткими [46, 47], и что соответствующие константы связи не исчезают в непрерывном пределе. Основываясь па полученном действии, было предложено качественное объяснение перколяции центральных вихрей [47].

3. Предложена модельно-независимая проверка того, что по мировым поверхностям центральных вихрей распространяются некоторые физические возбуждения [46].

4. Предложено конструктивное определение энтропии перепутывания в калибровочных теориях. Согласно этому определению, чтобы определить понятие перепутанных состояний калибровочных полей в двух комплементарных областях пространства, следует рассматривать расширенное Гильбертово пространство, в котором закон Гаусса нарушается на границе между областями. Показано, что такое и только такое определение перепутывания соответствует вычислениям по методу реплики [48].

5. Показано, что энтропия перепутывания калибровочных теорий насыщается классической Шенноновской энтропией концевых точек электрических струн на границе между двумя перепутанными областями. Было рассмотрено квантование калибровочных теорий с конфайнментом в окрестности черной дыры и показано, что горизонт черной дыры должен играть роль Б-браны для электрических струн (то есть, для линий электрического потока) [48].

6. Численно измерена энтропия перепутывания в ¿-эи (2) решеточной калибровочной теории и продемонстрировано ее неаналитичное поведение по размеру перепутанных областей пространства [49]. Тем самым были подтверждены предсказания, основанные на чисто геометрических построениях в голографических дуальных теориях [41, 42, 50]. Асимптотическое поведение энтропии перепутывания на малых расстояниях и скейлинг ее ультрафиолетово расходящейся части также оказались в согласии с теоретическим предсказаниями.

7. Измерена петля Полякова на реплицированном пространстве. Зависимость петли Полякова от размера перепутанной области пространства оказалось схожей с зависимостью от температуры при переходе конфайнмент-деконфайнмент, тем самым была установлена прямая связь между переходом конфайнмент-деконфайнмент и неаналитическим поведением энтропии перепутывания [49].

8. Проведено БЛЭТ квантование одномерных матричных моделей со связями первого рода в Гамильтоновом формализме [51]. Рассматриваемые связи первого рода генерируют сдвиги вдоль групповых классов группы симметрии модели.

9. Доказана неунитарность взаимодействующих квантовых теорий ноля на пространстве Де Ситтера [52]. В частности, это относится и к низкоэнергетической эффективной теории квантовой гравитации. В результате оказывается, что пространство Де Ситтера неустойчиво в любой самосогласованной квантовой теории.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Yang C. N., Mills R. L. Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance // Phys. Rev. — 1954.™ — Vol. 96, no. 1.— Pp. 191 195. http: //prola.aps.org/abstract/PR/v96/il/pl91.
  2. Gross D. J., Wilczek F. Ultraviolet behavior of non-Abelian gauge theories // Phys. Rev. Lett.- 1973.- Vol. 30, no. 26.- Pp. 1343 1346. http://prola.aps.org/abstract/PRL/v30/i26/pl343.
  3. Politzer H. D. Reliable perturbative results for strong interactions? // Phys. Rev. Lett. — 1973.- Vol. 30, no. 26.— Pp. 1346 1349. http://prola. aps.org/abstract/PRL/v30/i26/pl346.
  4. Weinberg S. The Quantum Theory of Fields. — Cambridge University Press, 1995.
  5. Peskin M., Schroeder D. V. An Introduction to Quantum Field Theory. — Addison-Wesley Publ. Comp., 1995.
  6. G. // Nuovo Cimento. — 1968. — Vol. 57A. — P. 190.
  7. Koba Z., Nielsen H. B. Reaction amplitude for n-mesons a generalization of the Veneziano-Bardakci-Ruegg-Virasoro model // Nucl. Phys. B. — 1969. — Vol. 10. Pp. 633 — 655.
  8. Wilson K. G. Confinement of quarks // Phys. Rev. D. 1974. — Vol. 10. -Pp. 2445−2459. http://prola.aps.org/abstract/PRD/vlO/i8/p2445.
  9. Kogut J., Susskind L. Hamiltonian formulation of Wilson’s lattice gauge theories // Phys. Rev. D. — 1975. — Vol. 11. — P. 395. http://prola.aps. org/abstract/PRD/vll/i2/p395.
  10. Polyakov A. M. Thermal properties of gauge fields and quark liberation // Phys. Lett. B. 1978. — Vol. 72. — P. 477.
  11. Polyakov A. M. Gauge Fields and Strings. — Harwood Academic Publishers, 1987.12. t' Hooft G. Topology of the gauge condition and new confinement phases in non-Abelian gauge theories // Nucl. Phys. B. — 1981. — Vol. 190. — Pp. 455 478.
  12. Makeenko Y. Contemporary methods of gauge theories. — Cambridge University Press, 2000.
  13. Makeenko Y., Migdal A. A. Quantum chromodynamics as dynamics of loops // Nucl Phys. B. 1981. — September. — Vol. 188, no. 2. — Pp. 269™ 316.
  14. Shifman M. A., Vainshtein A. I., Zakharov V. I. QCD and resonance physics. Theoretical foundations. // Nucl. Phys. B. — 1979. — Vol. 147. — Pp. 385 447.
  15. Luscher M., Munster G., Weisz P. How thick are chromo-electric flux tubes? // Nucl. Phys. B. 1981. — Vol. 180. — Pp. 1 — 12.
  16. Boyko P. Y., Gubarev F. V., Morozov S. M. On the fine structure of QCD confining string. — 2007. http: //arxiv. org/abs/0704.1203.
  17. Mandelstam S. Vortices and quark confinement in non-abelian gauge theories // Phys. Lett. B. 1975. — Vol. 53. — Pp. 476 — 478.
  18. Nielsen H. B., Olesen P. Vortex-line models for dual strings // Nucl. Phys. B. 1973. — Vol. 61. — Pp. 45 — 61.20. t' Hooft G. On the phase transition towards permanent quark confinement // Nucl. Phys. B. 1978. — Vol. 138. — Pp. 1 — 25.
  19. Mack G. Colour screening and quark confinement // Phys. Lett. B. — 1978. Vol. 78. — Pp. 263 — 268.
  20. Ukawa A., Windey P., Guth A. H. Dual variables for lattice gauge theories and the phase structure of Z (N) systems // Phys. Rev. D. — 1980. — Vol. 21. — Pp. 1013 1036. http://prola.aps.org/abstract/PRD/v21/ i4/pl013.
  21. Kramers H. A., Wannier G. H. Statistics of the two-dimensional fer-romagnet. Part I // Phys. Rev.- 1941.- Vol. 60.- Pp. 252 262. http://prola.aps.org/abstract/PR/v60/i3/p252.
  22. Polchinski J. Dirichlet-branes and Ramond-Ramond charges // Phys. Rev. Lett.- 1995.- Vol. 75.- Pp. 4724 4727. http://arxiv.org/abs/ hep-th/9 510 017.
  23. Gubser S. S., Klebanov I. R., Polyakov A. M. Gauge theory correlators from non-critical string theory // Phys. Lett. B.— 1998.— Vol. 428.— P. 105. http://arxiv.org/abs/hep-th/9 802 109.
  24. Maldacena J. M. The large N limit of superconformal field theories and supergravity // Int.J.Theor.Phys.- 1997.— Vol. 38.— P. 1113. http:// arxiv.org/abs/hep-th/9 711 200.
  25. Polchinski J. String theory. — Cambridge University Press, 1998.
  26. Maldacena J. Wilson loops in large N field theories // Phys. Rev. Lett.— 1998.- Vol. 80.— Pp. 4859 4862. http://arxiv.org/abs/hep-th/ 9 803 002.
  27. Witten E. Anti-de Sitter space, thermal phase transition, and confinement in gauge theories // Adv. Theor. Math. Phys.— 1998.— Vol. 2.— P. 253. http://arxiv.org/abs/hep-th/9 803 131.
  28. QCD and a holographic model of hadrons / J. Erlich, E. Katz, D. T. Son, M. Stephanov // Phys. Rev. D.— 2005. http://arxiv.org/abs/hep-ph/ 501 128.
  29. Linear confinement and AdS/QCD / A. Karch, E. Katz, D. T. Son, M. Stephanov // Phys. Rev. D. — 2006. http://arxiv.org/abs/hep-ph/ 602 229.
  30. Rold L. D., Pomarol A. Chiral symmetry breaking from five dimensional spaces // Phys. Lett. B.— 2005. http://arxiv.org/abs/hep-ph/ 501 218.
  31. Buividovich P. V., Polikarpov M. I. Random walks of Wilson loops in the screening regime // Nucl. Phys. B.— 2008.— Vol. 790.— Pp. 28 41. http://arxiv.org/abs/0704.3367.
  32. Buividovich P. V., Kuvshinov V. I. Asymptotic behavior of Wilson loops from Schroedinger equation on the gauge group // Phys. Lett. B. — 2006. — Vol. 634. — Pp. 262 266. http://arxiv.org/abs/hep-th/602 154.
  33. Buividovich P. V., Kuvshinov V. I. Kramers-Moyall cumulant expansion for the probability distribution of parallel transporters in quantum gauge fields 11 Phys. Rev. D.— 2006.- Vol. 73.- P. 94 015. http://arxiv. org/abs/hep-th/605 207.
  34. Center dominance and Z2 vortices in SU (2) lattice gauge theory / L. Del Debbio, M. Faber, J. Greensite, S. Olejnik // Phys. Rev. D.— 1997.— Vol. 55. — Pp. 2298 2306. http://arxiv.org/abs/hep-lat/9 708 023.
  35. Detection of center vortices in the lattice Yang-Mills vacuum / L. Del Debbio, M. Faber, J. Giedt et al. // Phys. Rev. D. — 1998.— Vol. 58.-P. 94 501. http://arxiv.org/abs/hep-lat/9 801 027.
  36. Fine tuned vortices in lattice SU (2) gluodynamics / F. V. Gubarev,
  37. A. V. Kovalenko, M. I. Polikarpov et al. // Phys. Lett. B.— 2003.— Vol. 574. — Pp. 136 140. http://arxiv.org/abs/hep-lat/212 003.
  38. Once more on the interrelation between Abelian monopoles and P-vortices in SU (2) LGT / P. Y. Boyko, V. G. Bornyakov, E. Ilgenfritz et al. // Nucl. Phys. 5.— 2006.— Vol. 756. — P. 71. http://arxiv.org/abs/hep-lat/ 607 003.
  39. Properties of P-vortices and monopole clusters in lattice SU (2) gauge theory / A. V. Kovalenko, M. I. Polikarpov, S. N. Syritsyn, V. I. Zakharov // Phys. Rev. D.— 2005.- Vol. 71.— P. 54 511. http://arxiv.org/abs/ hep-lat/402 017.
  40. Klebanov I. R., Kutasov D., Murugan A. Entanglement as a probe of confinement. — 2007. http: //arxiv. org/abs/0709.2140.
  41. Nishioka T., Takayanagi T. AdS bubbles, entropy and closed string tachyons // JEEP. — 2007. — Vol. 01.- P. 090. http://arxiv.org/abs/ hep-th/611 035.
  42. Calabrese P., Cardy J. Entanglement entropy and quantum field theory // J. Stat. Mech.- 2004.— Vol. 0406.— P. 002. http://arxiv.org/abs/ hep-th/405 152.
  43. Gross D. J. Two-dimensional QCD as a string theory // Nucl. Phys.
  44. B.- 1993.- Vol. 400.- Pp. 161 180. http://arxiv.org/abs/hep-th/ 9 212 149.
  45. Polyakov A. M. De Sitter space and eternity // Nucl. Phys. B.— 2008.— Vol. 797.-P. 199. http://arxiv.org/abs/0709.2899.
  46. Buividovich P. V., Polikarpov M. I. Center vortices as rigid strings // Nucl. Phys. B. — 2007. — Vol. 786. — Pp. 84 94. http: //arxiv. org/abs/0705. 3745.
  48. Buividovich P. V., Polikarpov M. I. Entanglement entropy of gauge theories and the holographic principle for electric strings // Phys. Lett. B. — 2008. — Vol. 670. —Pp. 141 145. http://arxiv.org/abs/0806.3376.
  49. Buividovich P. V., Polikarpov M. I. Numerical study of entanglement entropy in SU (2) lattice gauge theory // Nucl Phys. B. 2008. — Vol. 802. — Pp. 458 — 474. http://arxiv.org/abs/0802.4247.
  50. Ryu S., Takayanagi T. Holographic derivation of entanglement entropy from AdS/CFT // Phys. Rev. Lett- 2006.- Vol. 96.- P. 181 602. http:// arxiv.org/abs/hep-th/603 001.
  51. Buividovich P. V. BRST quantization of matrix models with constraints and two-dimensional Yang-Mills theory on the cylinder // Phys. Rev. D. — 2007.- Vol. 75. — P. 65 018. http://arxiv.org/abs/hep-th/702 224.
  52. Akhmedov E. T., Buividovich P. V. Interacting field theories in de Sitter space are non-unitary // Phys. Rev. D.— 2008.— Vol. 78.— P. 104 005. http://arxiv.org/abs/0808.4106.
  53. Kuvshinov V. I., Buividovich P. V. Fidelity and Wilson loop for quarks in confinement region // Acta Physica Polonica В. — 2005.— February. — Vol. 36, no. 2.- P. 195. http://arxiv.org/abs/hep-th/502 234.
  54. Buividovich P. V., Kuvshinov V. I. Fidelity of holonomic quantum computations in the case of random errors in the values of control parameters // Phys. Rev. A.— 2006.— Vol. 73, no. 3.— P. 22 336. http: //arxiv.org/abs/quant-ph/601 146.
  55. P. V., Luschevskaya E. У., Polikarpov M. I. Finite-temperature chiral condensate and low-lying Dirac eigenvalues in quenched SU (2) lattice gauge theory // Phys. Rev. D. ~ 2008. — Vol. 78. P. 74 505. http://arxiv.org/abs/0809.3075.
  56. Buividovich P. V. On the effective action of center vortices in continuum Yang-Mills theory // Ядерная Физика. — 2009. — Том. 72. — С. 371 376.
  57. P. У., Polikarpov M. I. Entanglement entropy in Abelian gauge theories // Ядерная Физика — 2009. — Том. 72, no. 9. — С. 1601 1605.
  58. П. В., Чернодуб М. Н., Лущевская Е. В., Поликарпов М. И. Киральный магнитный эффект в решеточной SU(2) глюодинамике при нулевой температуре // Письма в ЖЭТФ — 2009. — Том. 90, по. 6. — С. 456 460.
  60. Buividovich P. V.- Kuvshinov V. I. White mixed states in QCD stochastic vacuum // Nonlinear Phenomena In Complex Systems. — 2005. — Vol. 8. — Pp.313 316. http://arxiv.org/abs/hep-th/511 198.
  61. Buividovich P. V. Parallel transport in stochastic gauge fields. — Proceedings of the conference New Trends in High-Energy Physics (Crimea-2005). — 2005.
  62. Polikarpov M. I., Buividovich P. V. Z2 electric strings and center vortices in SU (2) lattice gauge theory // Труды 13й Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц, 2008. — 2008. http: //arxiv. org/abs/ 0801.0262.
  63. Buividovich P. V., Polikarpov M. I. Entanglement entropy in lattice gauge theories // PoS.— 2008.— Vol. Confinements. P. 039. http://arxiv. org/abs/0811.3824.
  64. Buividovich P. V., Chernodub M. N., Luschevskaya E. V., Polikarpov M. I. Numerical study of chiral symmetry breaking in non-abelian gauge theory with background magnetic field.— препринт ITEP-LAT/2008−23, 2008. http://arxiv.org/abs/0812.1740.
  65. Buividovich P. V., Chernodub M. N., Luschevskaya E. V., Polikarpov M. I. Chiral magnetization of non-abelian vacuum: a lattice study. — препринт ITEP-LAT/2009−05, 2009. http://arxiv.org/abs/0906.0488.
  66. E. Т., Buividovich P. V., Singleton D. A. De Sitter space and perpetuum mobile. — препринт ITEP-LAT/2009−07, 2009. http: //arxiv. org/abs/0905.2742.
  67. Buividovich P. V. On the dynamics of large-N 0(N)-symmetric quantum systems at finite temperature. — препринт ITEP-LAT/2009−03, 2009. http://arxiv.org/abs/0903.4263.
  68. The vortex-finding property of maximal center (and other) gauges /
  69. M. Faber, J. Greensite, S. Olejnik, D. Yamada // JHEP.— 1999.— Vol. 9912. — P. 012. http://arxiv.org/abs/hep-lat/9 910 033.
  70. Ambj0rn J. Quantization of geometry. — Lectures presented at the 1994 Les Houches Summer School.— 1994. http://arxiv.org/abs/hep-th/ 9 411 179.
  71. Greensite J., Faber M., Olejnik S. Center projection with and without gauge fixing // JHEP.- 1999.- Vol. 9901.- P. 008. http://arxiv.org/abs/ hep-lat/9 810 008.
  72. Faber M., Greensite J., Olejnik S. Asymptotic scaling, Casimir scaling, and center vortices // Nuclear Physics B Proceedings Supplements. — 1999. — Vol. 73. — P. 572. http://arxiv.org/abs/hep-lat/9 809 053.
  73. Chernodub M. N., Zakharov V. I. Magnetic component of Yang-Mills plasma // Phys. Rev. Lett2007.— Vol. 98.- P. 82 002. http://arxiv. org/abs/hep-ph/611 228.
  74. Perfect monopole action for infrared SU (2) QCD / S. Kato, N. Nakamura, T. Suzuki, S. Kitahara // Nucl. Phys. 5.- 1998, — Vol. 520. Pp. 323 -344.
  75. Monopole clusters at short and large distances / V. G. Bornyakov, P. Y. Boyko, M. I. Polikarpov, V. I. Zakharov // Nucl Phys. B.~ 2003.-Vol. 672.- Pp. 222 238. http://arxiv.org/abs/hep-lat/305 021.
  76. Peculiarities in the spectrum of the adjoint scalar kinetic operator in Yang-Mills theory / J. Greensite, A. V. Kovalenko, S. Olejnik et al. // Phys. Rev. D. 2006. — Vol. 74. — P. 94 507. http: //www. arxiv. org/abs/hep- lat/ 606 008.
  77. Diffusion of Wilson loops / A. M. Brzoska, F. Lenz, J. W. Negele, M. Thies // Phys. Rev. D.— 2005. —Vol. 71.- P. 34 008. http://arxiv. org/abs/hep-th/412 003.
  78. Arcioni G., de Haro S., Gao P. A diffusion model for SU (N) QCD screening // Phys. Rev. D. — 2006. — Vol. 73. — P. 74 508. http://arxiv.org/ abs/hep-th/511 213.
  79. Varopoulos N. Diffusion on Lie groups I, II // Canadian J. Math. — 1994. — Vol. 46. Pp. 438 — 448, 1073 — 1093.
  80. Guivarc’h Y. Development of mathematics 1950−2000. — Basel: Birkhauser, 2000.-Pp. 577- 608.
  81. Field correlators in QCD. Theory and applications. / A. Di Giacomo, H. G. Dosch, V. I. Shevchenko, Y. A. Simonov // Phys. Rep. — 2002. — Vol. 372. — Pp. 319−368. http://arxiv.org/abs/hep-ph/7 223.
  82. Greensite J., Halpern M. B. Suppression of color screening at large N // Phys. Rev. D. 1983. — Vol. 27. — Pp. 2545 — 2547.
  83. Douglas M. R., Shenker S. H. Dynamics of SU (N) supersymmetric gauge theory 11 Nucl. Phys. 1995.- Vol. 447.- Pp. 271 296. http:// arxiv.org/abs/hep-th/9 503 163.
  84. Polyakov A. M. Fine structure of strings // Nucl. Phys. B.— 1986. — Vol. 268.-Pp. 406 -412.
  85. Kleinert H. The membrane properties of condensing strings // Phys. Lett. B. 1986. — Vol. 174. — Pp. 335 — 338.
  86. Kleinert H. Dynamical generation of string tension and stiffness in strings and membranes // Phys. Lett. B. 1988. — Vol. 211. — Pp. 151 — 155.
  87. The theory of dynamical random surfaces with extrinsic curvature / J. Am-bj0rn, A. Irback, J. Jurkiewicz, B. Petersson // Nucl. Phys. B. — 1993. — Vol. 393. — Pp. 571 600. http://arxiv.org/abs/hep-lat/9 207 008.
  88. Koibuchi H., Kuwahata T. First-order phase transition in the tethered surface model on a sphere // Phys. Rev. E. — 2005. — Vol. 72. — P. 26 124. http://arxiv.org/abs/cond-mat/506 787.
  89. Kavalov A. R., Rostov I. K., Sedrakyan A. G. Dynamics of Dirac and Weyl fermions on a two-dimensional surface // Phys. Lett. B. — 1986. — Vol. 175.-Pp. 331 -334.
  90. Wiegmann P. B. Extrinsic geometry of superstrings // Nucl. Phys. B. — 1989. Vol. 323. — Pp. 330 — 336.
  91. Quantum theory of strings in abelian higgs model / E. T. Akhmedov, M. N. Chernodub, M. I. Polikarpov, M. A. Zubkov // Phys. Rev. D. — 1996. — Vol. 53. — P. 2087. http://arxiv.org/abs/hep-th/9 505 070.
  92. Orland P. Extrinsic curvature dependence of Nielsen-Olesen strings // Nucl. Phys. 5.— 1994.— Vol. 428.— P. 221. http://arxiv.org/abs/hep-th/ 9 404 140.
  93. Plyushchay M. S. Relativistic massive particle with higher curvatures as a model for the description of bosons and fermions // Phys. Lett. B. — 1990. — Vol. 235.-Pp. 47−51.
  94. Zakharov V. I. Dual string from lattice Yang-Mills theory. — 2005. http: //arxiv.org/abs/hep-ph/501 011.
  95. Coleman S. Quantum sine-Gordon equation as the massive Thirring model // Phys. Rev. D. — 1975. Vol. 11. — Pp. 2088 — 2097. http://prola. aps.org/abstract/PRD/vll/i8/p2088.
  96. Durhuus B., Frolich J., Jonsson T. Critical behaviour in a model of planar random surfaces // Nucl. Phys. B. — 1984. Vol. 240. — Pp. 453 — 480.
  97. Entanglement in quantum critical phenomena / G. Vidal, J. I. Latorre, E. Rico, A. Kitaev // Phys. Rev. Lett — 2003.— Vol. 90. — P. 227 902. http://arxiv.org/abs/quant-ph/211 074.
  98. Calabrese P., Cardy J. Entanglement entropy and quantum field theory: A non-technical introduction // Int. J. Quant.Inf. — 2006.— Vol. 4.— P. 429. http://arxiv.org/abs/quant-ph/505 193.
  99. Osborne T. J., Nielsen M. A. Entanglement, quantum phase transitions, and density matrix renormalization // Quant.Inf.Proc. — 2002. — Vol. 1. — Pp. 45 53. http://arxiv.org/abs/quant-ph/109 024.
  100. Kitaev A., Preskill J. Topological entanglement entropy // Phys. Rev. Lett.— 2006.— Vol. 96.— P. 110 404. http://arXiv.org/abs/hep-th/ 510 092.
  101. Osborne T. J., Nielsen M. A. Entanglement in a simple quantum phasetransition // Phys. Rev. A. 2002. — Vol. 66. — P. 32 110. http: //arxiv. org/abs/quant-ph/202 162.
  102. Concentrating partial entanglement by local operations / С. H. Bennett, H. J. Bernstein, S. Popescu, B. Schumacher // Phys. Rev. A. — 1996. — Vol. 53.— Pp. 2046 2052. http://link.aps.org/abstract/PRA/v53/ p2046.
  103. Srednicki M. Entropy and area // Phys. Rev. Lett. — 1993.— Vol. 71.— P. 666. http://arxiv.org/abs/hep-th/9 303 048.
  104. Fursaev D. V. Entanglement entropy in critical phenomena and analogue models of quantum gravity // Phys. Rev. D. — 2006. Vol. 73. — P. 124 025. http://arxiv.org/abs/hep-th/602 134.
  105. Kapusta J. Finite-temperature field theory. — Cambridge University Press, 1989.
  106. Hawking S. W. The four laws of black hole mechanics // Comm. Math. Phys. 1973. — Vol. 31. — Pp. 161 — 170.
  107. Bekenstein J. D. Statistical black-hole thermodynamics // Phys. Rev. D. — 1975.— Vol. 12.- Pp. 3077 3085. http://prola.aps.org/abstract/ PRD/vl2/il0/p3077.
  108. Ryu S., Takayanagi T. Aspects of holographic entanglement entropy // JEEP.— 2006.— Vol. 0608.— P. 045. http://arxiv.org/abs/hep-th/ 605 073.
  109. А. Б. Необратимость ренормгруппового потока в 2-D теории поля // Письма в ЖЭТФ. — 1986. — Том 43. Стр. 730−732.
  110. Klebanov I. R., Strassler M. J. Supergravity and a confining gauge theory: Duality cascades and CSB-resolution of naked singularities // JHEP. — 2000. —Vol. 0008. —P. 052. http://arxiv.org/abs/hep-th/7 191.
  111. Polchinski J., Strassler M. J. Hard scattering and gauge/string duality // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 88. P. 31 601. http://arxiv.org/abs/ hep-th/109 174.
  112. Velytsky A. Entanglement entropy in d+1 SU (N) gauge theory // Phys. Rev. D. 2008. — Vol. 77. —P. 85 021. http://arxiv.org/abs/0801.4111.
  113. Hamma A., Ionicioiu R., Zanardi P. Bipartite entanglement and entropic boundary law in lattice spin systems // Phys. Rev. A. — 2005. — Vol. 71. — P. 22 315. http://arxiv.org/abs/quant-ph/409 073.
  114. Levin M., Wen X. Detecting topological order in a ground state wave function // Phys. Rev. Lett.— 2006.- Vol. 96.- P. 110 405. http: //arxiv.org/abs/cond-mat/510 613.
  115. Greensite J. P. Calculation of the yang-mills vacuum wave functional // Nucl. Phys. B. 1979. — Vol. 158. — Pp. 469 — 496.
  116. Chernodub M. N., Polikarpov M. I. Abelian projections and monopoles.— 1997. http://arxiv.org/abs/hep-th/9 710 205.
  117. Fodor Z. QCD Thermodynamics // PoS (LAT2007).— 2007, — Vol. 011. http://arxiv.org/abs/0711.0336.
  118. The equation of state at high temperatures from lattice QCD / G. Endrodi, Z. Fodor, S. D. Katz, K. K. Szabo // PoS (LAT2007). 2007. — Vol. 228. http://arxiv.org/abs/0710.4197.
  119. Susskind L. The world as a hologram // J. Math. Phys. — 1995. — Vol. 36. — P. 6377. http://arxiv.org/abs/hep-th/9 409 089.
  120. Fingberg J., Heller U., Karsch F. Scaling and asymptotic scaling in the su (2) gauge theory // Nucl. Phys. B. 1993. — Vol. 392. — Pp. 493 — 517. http://arxiv.org/abs/hep-lat/9 208 012.
  121. Bah I., Faraggi A., Pando Zayas L. A., Terrero-Escalante C. A. Holographic entanglement entropy at finite temperature. — 2007. http: //arxiv. org/ abs/0710.5483.
  122. Marino M. Les Houches lectures on matrix models and topological strings. — 2004. http://arXiv.org/abs/hep-th/410 165.
  123. Eguchi T., Kawai H. Reduction of dynamical degrees of freedom in the large-N gauge theory // Phys. Rev. Lett.— 1982.— Vol. 48, no. 16.— Pp. 1063 1066.
  124. Gross D. JTaylor W. Two-dimensional QCD is a string theory // Nucl. Phys. B.— 1993.— Vol. 400.— Pp. 181 208. http://arxiv.org/abs/ hep-th/9 301 068.
  125. Vafa C. Two dimensional Yang-Mills, black holes and topological strings. — 2004. http: //arxiv. org/abs/hep-th/406 058.
  126. Douglas M. R. Conformal field theory techniques in large N Yang-Mills theory. — 1993. http://arXiv.org/abs/hep-th/9 311 130.
  127. Minahan J. A., Polychronakos A. P. Equivalence of two dimensional QCD and the c=l matrix model // Phys. Lett. B.— 1993.- Vol. 312. — P. 155. http://arXiv.org/abs/hep-th/9 303 153.
  128. Blau M., Thompson G. Localization and Diagonalization: A review of functional integral techniques for low-dimensional gauge theories and topological field theories // J.Math.Phys. 1988.- Vol. 36.- Pp. 706 — 710. http://arXiv.org/abs/hep-th/9 501 075.
  129. Hoppe J. diffA (t2), and the curvature of some infinite dimensional manifolds // Phys. Lett. B. 1988. — Vol. 215. — Pp. 706 — 710.
  130. Pope G. N., Romans L. J. Local area-preserving algebras for two-dimensional surfaces // Class. Quantum Grav.— 1990.— Vol. 7.— Pp. 97 109.
  131. Henneaux M., Teitelboim C. Quantization of Gauge Systems. — Princeton University Press, 1992.
  132. De Witt B. S. Dynamical theory of groups and fields. — New York: Gordon and Breach, 1965.
  133. Howe R., Tan E. C. Non-Abelian Harmonic Analysis. — Springer-Verlag, 1992.
  134. Ferraro R.} Henneaux M., Puchin M. On the quantization of reducible gauge systems // J. Math. Phys. — 1993.— Vol. 34.— Pp. 2757 2778. http: //arxiv.org/abs/hep-th/9 210 070.
  135. Ferraro R., Henneaux M., Puchin M. Path integral and solutions of the constraint equations: The case of reducible gauge theories // Phys. Lett. B. — 1994.- Vol. 333.- Pp. 380 385. http://arxiv.org/abs/hep-th/ 9 405 160.
  136. Batalin I. A., Vilkovisky G. A. Quantization of gauge theories with linearly dependent generators // Phys. Rev. D. — 1983. — Vol. 28. — P. 2567. http: //prola.aps.org/abstract/PRD/v28/i10/p2567.
  137. Lifshitz E. On the gravitational stability of the expanding universe //J. Phys. (USSR). 1946. — Vol. 10. — P. 116.
  138. Tsamis N. C., Woodard R. P. Quantum gravity slows inflation // Nucl. Phys. B.— 1996, — Vol. 474.- Pp. 235 248. http://arxiv.org/abs/ hep-ph/9 602 315.
  139. Tsamis N. C., Woodard R. P. The quantum gravitational back-reaction on inflation // Annals Phys.— 1997.— Vol. 253.— Pp. 1 54. http: //arxiv.org/abs/hep-ph/9 602 316.
  140. Dolgov A. D., Einhorn M. B., Zakharov V. I. On infrared effects in de sitter background // Phys. Rev. D. — 1995. — Vol. 52. — P. 717. http: //arxiv. org/abs/gr-qc/9 403 056.
  141. Mottola E. Particle creation in de Sitter space // Phys. Rev. D. — 1985. — Vol. 31, no. 4.— Pp. 754 766. http://prola.aps.org/abstract/PRD/ v31/i4/p754.
  142. Ford L. H. Quantum instability of de Sitter space-time // Phys. Rev. D.— 1985.— Vol. 31.— P. 710. http://prola.aps.org/abstract/PRD/v31/ i4/p710l.
  143. Weinberg S. Quantum contributions to cosmological correlations // Phys. Rev. D.— 2005. — Vol. 72. — P. 43 514. http://arxiv.org/abs/hep-th/ 506 236.
  144. Gibbons G. W., Hawking S. W. Cosmological event horizons, thermodynamics, and particle creation // Phys. Rev. D.— 1977.— Vol. 15.— P. 2738. http://prola.aps.org/abstract/PRD/vl5/ilO/p2738l.
  145. Weinberg S. Infrared photons and gravitons // Phys. Rev. B. — 1965. — Vol. 140. —P. 516. http://prola.aps.org/abstract/PR/vl40/i2B/pB516l.
  146. Strominger A. The dS/CFT correspondence // JHEP.- 2001.- Vol. 0110. — P. 034. http://arxiv.org/abs/hep-th/106 113.
  147. Lee T. D., Nauenberg M. Degenerate systems and mass singularities // Phys. Rev. В.— 1964.— Vol. 133.— P. 1549. http://prola.aps.org/ abstract/PR/vl33/i6B/pB1549l.
  148. Bunch T. S., Davies P. C. W. Quantum field theory in de Sitter space: Renormalization by point splitting // Proc. Roy. Soc. bond. A. — 1978.— Vol. 360.-P. 117.
  149. Bousso R., Moloney A., Strominger A. Conformal vacua and entropy in de sitter space // prd2002.— Vol. 65.— P. 104 039. http://arxiv.org/ abs/hep-th/112 218.
  150. А. А., Мамаев С. Г., Мостепаненко Б. М. Квантовые эффекты в сильных внешних полях. — Москва: Атомиздат, 1980.
  151. Becher P., Joos Н. The Dirac-Kahler equation and fermions on the lattice //
  152. Z. Phys. C. 1982. — Vol. 15. — P. 343.1.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!