Анализ и построение имитационной модели заданного временного ряда

Курсовая работа Тема: «Анализ и построение имитационной модели заданного временного ряда»

Содержание Введение

1. Имитационная модель временного ряда

• 1.1 Понятие имитационного моделирования
• 1.2 Показатели динамики развития экономических процессов
• 1.3 Аномальные уровни ряда
• 1.4 Тренд во временном ряде
• 1.5 Автокорреляция и временной лаг
• 1.6 Сезонная волна
• 1.7 Аналитическая волна с использованием ряда Фурье
• 1.8 Оценка адекватности и точности трендовых моделей
• 1.9 Прогнозирование динамики

2. Построение, анализ и оценка модели

• 2.1 Расчет показателей динамики развития экономических рядов
• 2.2 Выявление аномальных уровней ряда. Анализ временного ряда на наличие тренда
• 2.3 Построение сезонной волны
• 2.4 Построение аналитической модели ряда с использованием метода Фурье

Заключение

Список использованной литературы Приложение

Имитационное моделирование (simulation) является одним из мощнейших методов анализа экономических систем.

В общем случае, под имитацией понимают процесс проведения на ЭВМ экспериментов с математическими моделями сложных систем реального мира.

Цели проведения подобных экспериментов могут быть самыми различными — от выявления свойств и закономерностей исследуемой системы, до решения конкретных практических задач. С развитием средств вычислительной техники и программного обеспечения, спектр применения имитации в сфере экономики существенно расширился. В настоящее время ее используют как для решения задач внутрифирменного управления, так и для моделирования управления на макроэкономическом уровне.

Как следует из определения, имитация — это компьютерный эксперимент. Единственное отличие подобного эксперимента от реального состоит в том, что он проводится с моделью системы, а не с самой системой. Однако проведение реальных экспериментов с экономическими системами, по крайней мере, неразумно, требует значительных затрат и вряд ли осуществимо на практике. Таким образом, имитация является единственным способом исследования систем без осуществления реальных экспериментов.

Часто практически невыполним или требует значительных затрат сбор необходимой информации для принятия решений. Например, при оценке риска инвестиционных проектов, как правило, используют прогнозные данные об объемах продаж, затратах, ценах и т. д.

Однако чтобы адекватно оценить риск необходимо иметь достаточное количество информации для формулировки правдоподобных гипотез о вероятностных распределениях ключевых параметров проекта. В подобных случаях отсутствующие фактические данные заменяются величинами, полученными в процессе имитационного эксперимента (т. е. сгенерированными компьютером). При решении многих задач финансового анализа используются модели, содержащие случайные величины, поведение которых не поддается управлению со стороны лиц, принимающих решения. Такие модели называют стохастическими. Применение имитации позволяет сделать выводы о возможных результатах, основанные на вероятностных распределениях случайных факторов (величин). Существуют и другие преимущества имитации.

1. Имитационная модель временного ряда

1.1 Понятие имитационного моделирования

Имитационное моделирование (ИМ) применяется для исследования и проектирования таких сложных систем и процессов, как предприятия, информационные сети, мировые динамики в экономике или экологии и т. д.

Имитационная модель системы — это программа, в которой определяются все наиболее существенные элементы и связи в системе и задаются начальные значения параметров, соответствующие некоторому «нулевому» моменту времени, а все последующие изменения, происходящие в системе по закону причин и следствий, вычисляются на ЭВМ автоматически при выполнении программы.

Выполнение имитационной модели называется имитационным экспериментом (ИЭ). ИЭ подобен натурному эксперименту. Однако он позволяет, в отличие от натурного метода, экспериментировать с системами, которых еще или уже нет, позволяет предсказывать поведение существующих систем в будущем, изучать их поведение в чрезвычайных условиях. Он дешевле и быстрее натурных экспериментов.

Типы имитационных моделей

По характеру возможных изменений переменных величин модели подразделяются на непрерывные модели и дискретные.

В непрерывных моделях величины представляют собой непрерывные функции времени (рис.1). В соответствии с этим продвижение во времени, т. е. пересчет значений переменных величин в ходе модельного времени, осуществляется в имитационной модели по принципу «малых D t «, т. е. следующее состояние системы определяется по ее предыдущему состоянию с малым промежутком времени между этими состояниями.

В дискретных моделях любые изменения происходят мгновенно, скачкообразно (рис.2), и между моментами изменений состояния элементов остаются постоянными. Изменения в дискретных моделях называют событиями.

Рис. 1. Непрерывная модель

t₁ t₂ … t

Рис. 2. Дискретная модель

Продвижение в модельном времени в ходе ИЭ осуществляется по принципу «от события к событию», т. е. из нулевого момента времени модель перемещается сразу к моменту t₁, из него — к моменту t₂ и т. д.

Реальные системы не бывают непрерывными или дискретными. Просто для одних систем удобнее применять непрерывные модели, для других — дискретные. По характеру проявления причинно-следственных связей имитационные модели подразделяются на детерминированные и стохастические, т. е. вероятностные. Практически все языки моделирования имеют датчики случайных чисел, т. е. позволяют моделировать как детерминированные, так и стохастические процессы. Стохастичность модели практически не отражается на языке моделирования, но сказывается на организации ИЭ. В случае стохастических моделей приходится выполнять ИЭ многократно (или продолжать его достаточно долго), чтобы объем накопленных данных обеспечивал необходимую точность статистических оценок.

1.2 Показатели динамики развития экономических процессов

При изучении динамики используются различные показатели и методы анализа, как элементарные, более простые, так и более сложные, требующие соответственно применения более сложных разделов математики.

Простейшими показателями анализа, которые используются при решении ряда задач, в первую очередь при измерении скорости изменения уровня ряда динамики, являются абсолютный прирост, темпы роста и прироста, а также абсолютное значение (содержание) одного процента прироста. Расчет этих показателей основан на сравнении между собой уровней ряда динамики. При этом уровень, с которым производится сравнение, называется базисным, так как он является базой сравнения. Обычно за базу сравнения принимается либо предыдущий, либо какой-либо предшествующий уровень, например первый уровень ряда.

Если каждый уровень сравнивается с предыдущим, то полученные при этом показатели называются цепными, так как они представляют собой как бы звенья «цепи», связывающей между собой уровни ряда. Если же все уровни связываются с одним и тем же уровнем, выступающим как постоянная база сравнения, то полученные при этом показатели называются базисными. Часто построение ряда динамики начинают с того уровня, который будет использован в качестве постоянной базы сравнения. Выбор этой базы должен быть обоснован историческими и социально-экономическими особенностями развития изучаемого явления. В качестве базисного целесообразно брать какой-либо характерный, типичный уровень, например конечный уровень предыдущего этапа развития (или средний его уровень, если на предыдущем этапе уровень то повышался, то понижался).

Абсолютный прирост показывает, на сколько единиц увеличился (или уменьшился) уровень по сравнению с базисным, т. е. за тот или иной промежуток (период) времени. Абсолютный прирост равен разности между сравниваемыми уровнями и измеряется в тех же единицах, что и эти уровни:

(1)

где у_i — i-й уровень временного ряда; y_i-1 — предшествующего уровень временного ряда. Если уровень уменьшился по сравнению с базисным, то Дy_t<0; он характеризует абсолютное уменьшение уровня.

Абсолютный прирост за единицу времени (месяц, год) измеряет абсолютную скорость роста (или снижения) уровня. Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой: сумма последовательных цепных приростов равна соответствующему базисному приросту, т. е. общему приросту за весь период.

Средний абсолютный прирост показывает прирост в единицу времени. Рассчитывается по формуле:

(2)

В частности средний абсолютный прирост за все наблюдения равен:

(3)

характеризуется средней скоростью изменения временного ряда.

Для определения относительной скорости изменения используют следующие относительные показатели:

Коэффициент роста

(4)

если к_i>1 то уровень повышается, если к_i<1, то понижается.

Коэффициент прироста

(5)

(6)

Более полную характеристику роста можно получить только тогда, когда абсолютные величины дополняются относительными. Относительными показателями динамики являются темпы роста и темпы прироста, характеризующие интенсивность процесса роста.

Темп роста (Т_р) — статистический показатель, который отражает интенсивность изменения уровней ряда динамики и показывает, во сколько раз увеличился уровень по сравнению с базисным, а в случае уменьшения — какую часть базисного уровня составляет сравниваемый уровень; измеряется отношением текущего уровня к предыдущему или базисному:

(7)

Как и другие относительные величины, темп роста может быть выражен не только в форме коэффициента (простого отношения уровней), но и в процентах. Как и абсолютные приросты, темпы роста для любых рядов динамики сами по себе являются интервальными показателями, т. е. характеризуют тот или иной промежуток (интервал) времени.

Темп прироста (Т_пр) характеризует относительную величину прироста, т. е. представляет собой отношение абсолютного прироста к предыдущему или базисному уровню:

(8)

(9)

Темп прироста, выраженный в процентах, показывает, на сколько процентов увеличился (или уменьшился) уровень по сравнению с базисным, принятым за 100%.

При анализе темпов развития никогда не следует упускать из виду, какие абсолютные величины — уровни и абсолютные приросты — скрываются за темпами роста и прироста. Нужно, в частности, иметь в виду, что при снижении (замедлении) темпов роста и прироста абсолютный прирост может возрастать.

В связи с этим важно изучать еще один показатель динамики — абсолютное значение (содержание) 1% прироста, который определяется как результат деления абсолютного прироста на соответствующий темп прироста:

(10)

Эта величина показывает, сколько в абсолютном выражении дает каждый процент прироста. Иногда уровни явления за одни годы несопоставимы с уровнями за другие годы из-за территориальных, ведомственных и иных изменений (изменения методологии учета и исчисления показателей и т. п.). Чтобы обеспечить сопоставимость и получить пригодный для анализа временной ряд, нужно произвести прямой пересчет уровней, несопоставимых с другими. Однако иногда нет необходимых для этого данных. В таких случаях можно использовать особый прием, называемый смыканием рядов динамики.

имитационный моделирование временной ряд

1.3 Аномальные уровни ряда

Под аномальным уровнем понимается отдельное значение уровня временного ряда, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает существенное влияние на значения основных характеристик временного ряда, в том числе на соответствующую трендовую модель. Причинами аномальных наблюдений могут быть ошибки технического порядка, или ошибки первого рода: ошибки при агрегировании и дезагрегировании показателей, при передаче информации и другие технические причины. Ошибки первого рода подлежат выявлению и устранению. Кроме того, аномальные уровни во временных рядах могут возникать из-за воздействия факторов, имеющих объективный характер, но проявляющихся эпизодически, очень редко — ошибки второго рода; они устранению не подлежат. Для выявления аномальных уровней временных рядов используются методы, рассчитанные для статистических совокупностей.

Метод Ирвина, предполагает использование следующей формулы:

(11)

t = 2, 3, …, n.

Где среднеквадратичное квадратичное отклонение рассчитывается в свою очередь с по формуле:

(12)

где

Расчетные значения и т. д. сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина ‚ и если оказываются больше табличных, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным.

После Выявления аномальных уровней ряда обязательно определение причин их возникновения. Если точно установлено, что они вызваны ошибками первого рода, то они устраняются, либо заменой аномальных уровней простой средней арифметической двух соседних уровней ряда, либо заменой аномальных уровней соответствующими значениями по кривой, аппроксимирующей данный временной ряд.

1.4 Тренд во временном ряде

Для определения наличия тренда в исходном временном ряду применяется несколько методов, рассмотрим два из них.

Метод проверки разностей средних уровней

Реализация этого метода состоит из четырех этапов.

1. На первом этапе исходный временной ряд разбивается на две примерно равные по числу уровней части: в первой части n₁ первых уровней исходного ряда, во второй n₂ остальных уровней (n₁+ n₂ = n).

2. На втором этапе для каждой из этих частей вычисляются средние значения и дисперсии:

(13)

(14)

(15)

(16)

3. Третий этап заключается в проверке равенства (однородности) дисперсий обеих частей ряда с помощью Fкритерия Фишера, которая основана на сравнении расчетного значения этого критерия:

(17)

С табличным (критическим) значением критерия Фишера с заданным уровнем значимости (уровнем ошибки) б.

4. На четвертом этапе проверяется гипотеза об отсутствии тренда с использованием t-критерия Стьюдента. Для этого определяется расчетное значение критерия Стьюдента по формуле:

(18)

где у — среднеквадратичное отклонение разности средних:

(19).

Метод Фостера—Стъюарта.

Этот метод обладает большими возможностями и дает более надежные результаты по сравнению с предыдущим. Кроме тренда самого ряда, он позволяет установить наличие тренда временного ряда: если тренда дисперсии нет, то рос уровней ряда постоянен; если дисперсия увеличивается, то ряд «раскачивается» и т. д.

Реализация метода также содержит четыре этапа.

1. На первом этапе производится сравнение каждого исходного временного ряда, начиная со второго уровня, со всеми предыдущими, при этом определяются две числовые последовательности.

2. На втором этапе вычисляются величины s и d:

(22)

(23)

Третий этап заключается в проверке гипотез:

o можно ли считать случайными отклонение величины s от величины м математического ожидания величины s для ряда, в котором уровни расположены случайным образом,

o можно ли считать случайными отклонение величины d от нуля.

Эта проверка проводится с использованием расчетных значений t-критерия Стьюдента для средней и для дисперсии:

(24)

(25)

(26)

(27)

где м — математическое ожидание величины s, определенной для ряда, в котором уровни расположены случайным образом;

у₁ — среднеквадратическое отклонение для величины s;

у₂ — среднеквадратическое отклонение для величины d для удобства имеются табулированные значения величин м, у₁, у₂.

3. На четвертом этапе расчетные значения сравниваются t_s и t_d с табличным значением t-критерия Стьюдента с заданным уровнем значимости t_б. Если расчетное значение меньше табличного, то гипотеза об отсутствии соответствующего тренда принимается; в противном случае тренд есть.

1.5 Автокорреляция и временной лаг

При наличии во временном ряду тенденции и циклических изменений значения последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью индекса корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда (АКФ).

График зависимости ее значений от величины лага называется коррелограмой.

АКФ и коррелограмма позволяют определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущим уровнями ряда наиболее тесная, т. е. с их помощью можно выявить структуру ряда.

Коэффициент автокорреляции и АКФ целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической компоненты:

o если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции 1-го порядка, то исследуемый ряд содержит только тенденцию;

o если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции к-го порядка, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в к-моментов времени;

o если, ни один из коэффициентов не является значимым, то можно сделать одно из двух предположений, относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических изменений, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

При моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки е_t содержат тенденцию или циклические колебания, когда в соответствии с предпосылками МНК остатки е_t должны быть случайными.

В том случае, когда каждое следующее значение е_t зависит от е_t-1, говорят о наличии автокорреляции остатков. Причинами автокорреляции могут быть разными:

o исходные данные с ошибками в измерениях результативного признака;

o формулировка модели (модель может не включать фактор, оказывающий существенное воздействие на результат). Очень часто этим фактором является фактор времени t).

Если причина автокорреляции — в неправильной спецификации функциональной формы модели, то следует изменить форму связи факторных и результативных признаков.

Существуют два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков:

1) путем построения графика зависимости остатков е_t от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции;

2) использование критерия Дарбина-Уотсона и расчет величины.

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

линейный тренд: (28)

гипербола: (29)

(30)

Полиномиальный тренд:

— полином 2-й степени (31)

— полином 3-й степени (32)

1.6 Сезонная волна

Под сезонными колебаниями понимают регулярные периодические наступления внутригодовых подъемов и спадов производства, грузооборота и товарооборота, и т. д., связанных со сменой времени года.

Под сезонностью понимают ограниченность годового периода работ под влиянием природного фактора.

Задачи возникающие при исследовании сезонных рядов:

1. Определение наличия в сезонном ряду тренда и определение его гладкости.

2. Выявление во временном ряду сезонных колебаний.

3. Фильтрация компонент данных.

4. Анализ динамики сезонной волны.

5. Исследование факторов, определяющих сезонные колебания.

6. Прогнозирование тренд-сезонных процессов.

В настоящее время развиваются 3 основных направления фильтрации компонент временного ряда:

o регрессионные

o спектральные

o итерационные

Итерационные методы фильтрации

Итерационные методы фильтрации появились в свое время как результат невозможности выделения компонент ряда другими методами. Основная идея итерационных процедур заключается в многократном применение скользящей средней и одновременной оценке сезонной компоненты в каждом цикле.

Итерационные методы отличаются простотой и чистотой фильтрации компоненты. Применение скользящей средней приводит к потери части информации на концах временного ряда. Будем рассматривать два итерационных метода: Четвертикова и Шискина-Эйзенпреса.

Метод Четвертикова

Эмпирический ряд {y_t} выравнивается скользящей средней

(33)

с периодом скольжения Т₀, т. е. берется Т₀₊₁ членов исходного ряда из которых 1-й и последний берутся с половинным весом.

Выпадающие членов с обоих концов либо восстанавливаются экстраполированным выровненного ряда, либо остаются в стороне при следующих стадиях работы.

Получается предварительная оценка тренда и отклонение эмпирического ряда от выровненного

(34)

t=1,…, T

(i=1,…, m; j=1,…, T₀)

Для каждого i вычисляется — среднее квадратичное отклонение. На которые и делятся затем отдельные месячные отклонения соответствующего года.

(35)

(36)

Из нормированных / путем отклонений вычисляется предварительная средняя сезонная волна.

(37)

Средняя предварительная сезонная волна умножается на средневероятное отклонение каждого года и вычисляется из эмпирического ряда.

(38)

Получающийся таким образом ряд вновь сглаживается скользящей средней. В результате получается новый ряд .

Отклонение эмпирического ряда от ряда вновь подвергается аналогичной обработке для выявления окончательной средней сезонной волны. Исключение окончательной сезонной волны производиться после умножения сезонной волны на — коэффициент направленности сезонной волны.

(39)

где — выровненное значение ряда, а — случайная компонента.

(40)

Метод Шискина-Эйзенпреса

Данный метод кроме скользящей средней (33) во втором и последующих этапах итерационной процедуры применяет более сложный 15-ти и 20-ти точечные скольжения Спенсера.

Исходный ряд y_t выравнивается по формуле (33), делается это так же как и в методе Четвертикова, с той целью, что бы не находить компоненту V_t.

Рассчитывается остаточное значение:

или (41)

Выписывается среднее значение остаточного ряда в целом по ряду L и по месяцам:

(42)

Находится предварительная оценка средней сезонной волны:

(43)

Строиться новый ряд относительно свободных относительно свободных от сезонной компоненты:

(44)

К ряду применяется скользящая средняя Спенсера:

(45)

Находится улучшенная оценка сезонной компоненты:

(46)

1.7 Аналитическая волна с использованием ряда Фурье

Французский математик Фурье разработал механизм преобразования периодических функций в ряд тригонометрический уравнений, называемых гармониками. Этот метод подходит для аналитического выражения сезонных колебаний, имеющих синусоидальную форму. Исходным рядом для преобразования Фурье лучше всего принять не первичный ряд за несколько лет, а уже усредненный ряд месячных уровней, в котором исключен тренд и (или) в основном погашены случайные колебания. В качестве аналитической формы выравнивания во времени применить ряд Фурье.

(47)

k — номер гармоники

В этом уравнении величина k определяет гармонику ряда Фурье и может быть взята с разной степенью точности (чаще всего от 1 до 4). Для отыскания параметров уравнения используется метод наименьших квадратов:

(48)

Получим формулы для вычисления параметров:

(49)

Параметры уравнения зависят от соs kt_i и sin kt_i.

Для изучения сезонных колебаний на протяжении года необходимо взять n=12 (по числу месяцев в году).

1.8 Оценка адекватности и точности трендовых моделей

Трендовая модель считается адекватной описываемому процессу, если значения случайной остаточной компоненты е_t являются случайными центрированными некоррелированными нормально распределёнными величинами. Проверка адекватности модели состоит в проверке указанных свойств ряда остатков модели.

Проверка случайности остатков модели осуществляется с помощью критериев исследования временного ряда на предмет наличия в нём трендовой компоненты:

1. критерий, основанный на сравнении средних уровней временного ряда;

2. критерий «восходящих и нисходящих» серий;

3. критерий серий, основанный на медиане выборочной совокупности.

В этом случае вместо исходных уровней временного ряда y₁, y₂,…, y_t используются элементы остаточного ряда e₁, e₂,…, e_t.

Также проверка случайности остатков модели может осуществляться с помощью критерия поворотных точек.

При использовании критерия поворотных точек остаток модели e_t сравнивается с двумя соседними элементами ряда. Если он окажется меньше или больше их, то данная точка является поворотной. В конце сравнений подсчитывается количество m всех поворотных точек. Ряд остатков модели считается случайным, если выполняется условие:

(50)

где N — объём выборочной совокупности.

Проверка центрированности остатков временного ряда осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента.

Основная гипотеза формулируется как утверждение о центрированности ряда остатков. Критическое значение t-критерия t_крит (б/2, N-1) определяется для уровня значимости б/2 и числа степеней свободы (N-1) по таблице распределения Стьюдента.

Наблюдаемое значение t-критерия рассчитывается по формуле:

(51)

где е — среднее арифметическое значение ряда остатков:

(52)

G (e) — среднеквадратическое отклонение ряда остатков:

(53)

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации.

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. t_набл›t_крит, то основная гипотеза отвергается. Следовательно, ряд остатков является не центрированным.

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. t_набл?_tкрит, то основная гипотеза принимается. Следовательно, ряд остатков является центрированным.

Проверка независимости ряда остатков модели осуществляется с целью определения возможной систематической составляющей в составе ряда остатков. Если модель подобрана неудачно, то остатки будут подвержены автокорреляционной зависимости.

Независимость остатков проверяется с помощью критерия Дарбина-Уотсона, связанного с гипотезой о наличии в ряде остатков автокорреляции первого порядка, т. е. о корреляционной зависимости соседних остатков.

Нормальность ряда остатков проверяется с помощью показателей асимметрии и эксцесса (если объём выборочной совокупности не превышает 50 значений). При нормальном распределении показатели асимметрии и эксцесса равны нулю.

На основании выборочных данных вычисляются эмпирические коэффициенты асимметрии и эксцесса по формулам:

(54)

(55)

Если вычисленные коэффициенты близки к нулю, то можно сделать вывод, что ряд остатков подчиняется нормальному закону распределения.

В дополнение к выборочным коэффициентам асимметрии и эксцесса рассчитывают показатели среднеквадратических отклонений данных коэффициентов по формулам:

(56)

(57)

Если одновременно выполняются следующие неравенства:

1) |К_А|?1,5G (A);

2) |К_Э|?1,5G (Э),

то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты принимается. Если хотя бы одно из указанных неравенств нарушается, то гипотеза о нормальном распределении остатков отвергается.

Помимо адекватности выбранной модели, необходимо охарактеризовать её точность. Наиболее простым критерием точности модели является относительная ошибка, рассчитываемая по формуле:

(58)

Если относительная ошибка равна менее, чем 13%, то точность подобранной модели признаётся удовлетворительной.

1.9 Прогнозирование динамики

Прогнозирование экономических показателей на основе трендовых моделей, как и большинство других методов экономического прогнозирования, основано на идее экстраполяции. Под экстраполяцией обычно понимают распространение закономерностей, связей и соотношений, действующих в изучаемом периоде, за его пределы. В более широком смысле слова ее рассматривают как получение представлений о будущем на основе информации, относящейся к прошлому и настоящему. В процессе построения прогнозных моделей в их структуру иногда закладываются элементы будущего предполагаемого состояния объекта или явления, но в целом эти модели отражают закономерности, наблюдаемые в прошлом и настоящем, поэтому достоверный прогноз возможен лишь относительно таких объектов и явлений, которые в значительной степени детерминируются прошлым и настоящим.

Стандартная (средняя квадратическая) ошибка оценки прогнозируемого показателя определяется по формуле:

(59)

где — фактическое значение уровня временного ряда для времени t;

— расчетная оценка соответствующего показателя по модели (например, по уравнению кривой роста);

n — количество уровней в исходном временном ряду;

k — число параметров модели.

В случае прямолинейного тренда для расчета доверительного интервала можно использовать аналогичную формулу для парной регрессии, таким образом, доверительный интервал прогноза в этом случае будет иметь вид

(60)

где L — период упреждения;

— точечный прогноз по модели най момент времени;

n — количество наблюдений во временном ряду;

стандартная ошибка оценки прогнозируемого показателя, рассчитанная по формуле (1) для числа параметров модели, равного двум;

— табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости и числа степеней свободы, равного .

Если выражение:

(61)

обозначить через K, то формула для доверительного интервала примет вид:

(62)

Иногда для расчета доверительных интервалов прогноза относительно линейного тренда применяют приведенную выше формулу в несколько преобразованном виде:

(63)

здесь t — порядковый номер уровня ряда (t = 1, 2,. .. , n);

— время, для которого делается прогноз;

— время, соответствующее середине периода наблюдений для исходного ряда.

Эту формулу можно упростить, если, как часто делается на практике, перенести начало отсчета времени на середину периода наблюдений (=0):

(64)

Формула для расчета доверительных интервалов прогноза относительно тренда, имеющего вид полинома второго или третьего порядка, выглядит следующим образом:

(65)

Аналогично вычисляются доверительные интервалы для экспоненциальной кривой роста, а также для кривых роста, имеющих асимптоту (модифицированная экспонента, кривая Гомперца, логистическая кривая), если значение асимптоты известно.

Проверка точности одного прогноза недостаточна для оценки качества прогнозирования, так как она может быть результатом случайного совпадения. Меру качества прогнозов k можно вычислить по формуле:

(66)

где p — число прогнозов, подтвержденных фактическими данными;

qчисло прогнозов, не подтвержденных практическими данными.

На практике не всегда удается сразу построить достаточно хорошую модель прогнозирования, поэтому описанные в данной главе этапы построения трендовых моделей экономической динамики выполняются неоднократно.

2. Построение, анализ и оценка модели

Для расчетов был взят убывающий динамический ряд, состоящий из 100 элементов. Для наглядности будем работать с двумя первыми и двумя последними значения.

2.1 Расчет показателей динамики развития экономических рядов

1. Для начала рассчитаем по формулам (1) и (2) абсолютный прирост и средний абсолютный прирост.

Таблица 1.

2. Вторым этапом будет нахождение по формулам (4) и (5) коэффициентов роста и прироста.

Таблица 2.

3. Заключительным этапом будет нахождение по формулам (7) и (8) темпов роста и прироста.

Таблица 3.

2.2 Выявление аномальных уровней ряда. Анализ временного ряда на наличие тренда

Для выявления аномальных уровней временных рядов используются методы, рассчитанные для статистических совокупностей.

Метод Ирвина, описанный в теоретической части, предполагает использование формул (11) и (12).

По итогам расчетов (формула (12)) у = 41,55

Расчетные значения и т. д. сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина =1‚ и если оказываются больше табличных, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным.

Таблица 4.

В исходном ряде аномальных уровней не выявлено, если бы ситуация была обратной, то обязательно определение причин их возникновения. Если точно установлено, что они вызваны ошибками первого рода, то они устраняются, либо заменой аномальных уровней простой средней арифметической двух соседних уровней ряда, либо заменой аномальных уровней соответствующими значениями по кривой, аппроксимирующей данный временной ряд.

Для определения наличия тренда в исходном временном ряду применяется несколько методов, рассмотрим некоторые.

1. Метод проверки разностей средних уровней Реализация этого метода состоит из четырех этапов.

1. На первом этапе исходный временной ряд разбивается на две примерно равные по числу уровней части: в первой части n₁ = 49 первых уровней исходного ряда, во второй n₂ = 51 остальных уровней (n₁+ n₂ = n = 100). На втором этапе для каждой из этих частей вычисляются средние значения и дисперсии по формулам (13), (14), (15), (16).

2. Третий этап заключается в проверке равенства (однородности) дисперсий обеих частей ряда с помощью F-критерия Фишера, которая основана на сравнении расчетного значения этого критерия (17).

С табличным (критическим) значением критерия Фишера =5,06 с заданным уровнем значимости (уровнем ошибки) б.

3. На четвертом этапе проверяется гипотеза об отсутствии тренда с использованием t-критерия Стьюдента. Для этого определяется расчетное значение критерия Стьюдента по формуле (18) и (19).

Таблица 5.

Исходя из решения можно сделать вывод, что гипотеза о отсутствии тренда принимается.

Метод Фостера—Стъюарта.

Реализация метода также содержит четыре этапа.

1. На первом этапе производится сравнение каждого исходного временного ряда, начиная со второго уровня, со всеми предыдущими, при этом определяются две числовые последовательности по формулам (20) и (21) соответственно.

2. На втором этапе вычисляются по формулам (22) и (23) величины s и d.

3. Третий этап заключается в проверке гипотез:

o можно ли считать случайными отклонение величины s от величины м математического ожидания величины s для ряда, в котором уровни расположены случайным образом,

o можно ли считать случайными отклонение величины d от нуля.

Эта проверка проводится с использованием расчетных значений t-критерия Стьюдента для средней и для дисперсии, формулы (24), (25), (26) и (27).

4. На четвертом этапе расчетные значения сравниваются t_s и t_d с табличным значением t-критерия Стьюдента с заданным уровнем значимости t_б=2,10.

Таблица 6.

Исходя из сравнения гипотеза об отсутствии соответствующего тренда отвергается.

2.3 Построение сезонной волны

Метод Четвертикова

Эмпирический ряд выравнивается скользящей средней, по формуле (33).

Получается предварительная оценка тренда

Таблица 7.

и по формуле (34) отклонение эмпирического ряда от выровненного

Таблица 8.

Для каждого i вычисляется — среднее квадратичное отклонение.

Таблица 9.

На которые и делятся затем по формулам (35) и (36) отдельные месячные отклонения соответствующего года.

Таблица 10.

Из нормированных / путем отклонений вычисляется предварительная средняя сезонная волна (37).

Таблица 11.

Рис. 3. Средняя сезонная волна

На основании построенной сезонной волны можно сделать вывод о наличии убывающей [1;9) и возрастающей (9;12] тенденции временного ряда.

2.4 Построение аналитической модели ряда с использованием метода Фурье

Для того чтобы построить ряд Фурье необходимо определить параметры и (формула (49)), которые находятся для соответствующих уравнений k-й гармоники. Для первой гармоники, при =1 уравнение примет вид .

Найдем все значения (при к = 1,…, 5) и занесем их в таблицу 12.

Таблица 12.

Далее необходимо построить график на основании всех гармоник.

Рис. 4. Гармоники Фурье

Анализируя данный график можно сделать вывод, что отклонение фактических значений от прогнозируемых незначительно.

Заключение

Имитационное моделирование позволяет учесть максимально возможное число факторов внешней среды для поддержки принятия управленческих решений и является наиболее мощным средством анализа инвестиционных рисков. Необходимость его применения в отечественной финансовой практике обусловлена особенностями российского рынка, характеризующегося зависимостью от внеэкономических факторов и высокой степенью неопределенности.

Результаты имитации могут быть дополнены вероятностным и статистическим анализом и в целом обеспечивают наиболее полной информацией о степени влияния ключевых факторов на ожидаемые результаты и возможных сценариях развития событий.

К недостаткам рассмотренного подхода следует отнести:

· трудность понимания и восприятия имитационных моделей, учитывающих большое число внешних и внутренних факторов, вследствие их математической сложности и объемности;

· при разработке реальных моделей может возникнуть необходимость привлечения специалистов или научных консультантов со стороны;

· относительную неточность полученных результатов, по сравнению с другими методами численного анализа и др.

Несмотря на отмеченные недостатки, в настоящее время имитационное моделирование является основой для создания новых перспективных технологий управления и принятия решений в сфере бизнеса, а развитие вычислительной техники и программного обеспечения делает этот метод все более доступным для широкого круга специалистов-практиков.

1. А. А. Емельянов. Структурный анализ и динамические имитационные модели в экономике. — М.: Финансы и статистика, 2005.

2. Н. Б. Кобелев Основы имитационного моделирования сложных экономических задач. -М.: Дело, 2006.

3. А. А. Емельянов, Е. А. Власова, Р. В. Дума. Имитационное моделирование экономических процессов. М. Финансы и статистика, 2005.

4. Е. В. Бережная, В. И. Бережной. Математические методы моделирования экономических систем. М.: 2006.

5. А. А. Емельянов. Имитационное моделирование экономических процессов. М.: 2005.

6. Варфоломеев В. И. Алгоритмическое моделирование элементов экономических систем. — М.: Финансы и статистика, 2000. — 208 с.