Асимптотики решений сингулярно возмущенных систем типа реакция-диффузия-перенос

Теория сингулярных возмущений даёт эффективные методы решения многих задач математической физики. Разработка этой теории была начата в трудах А. Н. Тихонова [1], [2], [3]. В настоящее время существует большое разнообразие методов исследования сингулярно-возмущенных задач. К их числу относятся метод пограничных функций [4], [5], [6], метод усреднения [7], [8], метод регуляризации сингулярных возмущений [9], методы теории релаксационных колебаний [10], [11] метод сращивания асимптотических разложений [12], методы типа ВКБ [13] и другие. Вместе с тем, прикладные задачи приводят к необходимости рассмотрения новых классов сингулярно-возмущенных задач и модификации известных методов.

Диссертация посвящена исследованию асимтотического поведения решений систем нелинейных сингулярно возмущенных параболических уравнений. Такие системы возникают при математическом моделировании в задачах химической кинетики, при изучении процессов теплои массопереноса в тонких телах и во многих других прикладных задачах. Физическая природа малых параметров, входящих в уравнения, может быть различной. Это могут быть: малые коэффициенты диффузиималые величины, обратные константам скоростей быстрых реакций в задачах химической кинетикиотношение характерных размеров в поперечном и продольном направлениях при изучении процессов в тонких телах и т. д. Во многих, задачах возникает не один, а несколько малых параметров, либо различные степени одного малого параметра. Разнообразие возможных вариантов вхождения малого параметра в уравнения системы весьма велико. Задача состоит в том, чтобы выделить какие-то классы уравнений, допускающие применение тех или иных асимптотических методов. В настоящей работе рассмотрены два класса систем, к которым удается применить с определёнными модификациями метод пограничных функций [4]. Первый класс систем характерен для задач химической кинетики (он рассмотрен в главе I), второй — как для описания химических процессов, так и для задач теплои массопереноса в тонких телах (главы II и III). Результаты, представленные в диссертации, обобщают на случай систем уравнений теоремы об асимптотическом поведении решений, доказанные ранее для скалярных задач [14], [15]. В случае систем уравнений усложняется как сам алгоритм построения асимптотических разложений для компонент решения, так и обоснование построенной асимптотики. Доказательство существования решения и оценка остаточных членов асимптотики для системы уравнений — гораздо более сложная проблема, чем для скалярного уравнения. В задачах, рассмотренных в диссертации, удалось решить эту проблему с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств [16], [17], [18], [19].

Остановимся кратко на содержании диссертации. В первой главе рассматривается система уравнений типа «реакция — диффузия — перенос» ди, 2 / д2и 1 г/, + Ъ (х)-~ s, а — — f (u, v, ж, t, г), от оаox s.

1) аг.

Эгd2v Ъ (х)—? а (ж) —^ ~ — M{ui vi xi s).

Эж которая получается при математическом описании процессов химических превращений двух веществ в случае малой диффузии и быстрых реакций. Здесь u (x, t), v (x, t) концентрации веществ, Ъ С ж) >0 — скорость переноса, егах (х) > 0, £га% (ж) > 0 -коэффициенты диффузии, е > 0 — малый параметр (диффузия мала), к = const > 0. Функции в правых частях уравнений описывают химические реакции, причем множитель 1/е показывает, что реакции быстрые. То обстоятельство, что правые части уравнений отличаются лишь постоянным множителем, характерно для многих задач химической кинетики.

Система (1) исследуется в области Q = (0 < х < 1) х (0 < t < Т) с начальными условиями: ui=0 = (р (х) =у4х) (2) и граничными условиями: ди дх х=0 х=1 о dv дх х = 0 х=1 0.

3).

Согласованность начальных и граничных условий не предполагаетсято есть, вообще говоря, <�р'^ Ф 0, у/х)Ц^ Ф 0.

Системы из двух параболических уравнений типа реакция-диффузия-перенос с различным вхождением малого параметра исследовались в [20]. Система (1) — другого типа, нежели рассмотренные в [20]. Она была рассмотрена в [21] в случае линейных функций относительно и и V в правой части системы. В данной работе, в отличие от [21], линейность функции / не предполагается, что делает как построение асимптотики, так и доказательство оценки остаточных членов более сложными задачами по сравнению с [21].

Построение асимптотики по малому параметру е решения задачи (1)-(3) проводится с помощью метода пограничных функций [4] при определённых условиях.

Условие 1.1. Достаточная гладкость функций/, Ъ (х), ах (х), а2(:г), <�р (ж) и //(х).

При е = 0 задача вырождается в одно уравнение г? о, ш, ж,?, 0) = 0. (4).

Условие 1.2. Пусть вырожденное уравнение (4) имеет решение относительно^: о =, где хдостаточно гладкая функция, причем? и (й0,х (й0,х, г), х,^ <0, ./" (й0,х (и0,х^), х,^ > 0 при (й^х^ еIхО., Iнекоторый интервал.

Решение вырожденной системы можно записать в виде = «0(М) — «о = я (а0,М)> (5) где щ (х,?) — произвольная функция. Тем самым, система (1) относится к критическим случаям — вырожденная система имеет семейство решений. Следует отметить, что существование семейства решений у вырожденной системы характерно для многих задач химической кинетики.

Для решения задачи (1)~(3) была построена равномерная в? = (0 < х < 1) х (0 <? < Т) погранслойная асимптотика по малому параметру е с остаточным членом порядка е2. Вследствие несогласованности начальных и граничных условий в постановке задачи некоторые члены асимптотики оказываются не гладкими на.

-= В СхУ. Это приводит к необходимости применения процедуры о сглаживания [20], [22], [23].

Асимптотика решения имеет вид: и (ж, ??) =? И (ж, .

У (х⁸)=? [А 0> *> + .г/(яг, г)] + ^ (? *) + еРр (? т) + г=0.

Здесь й. (х, е), — сглаженные регулярные члены асимптотики (г — 0,1). В частности, й и г>0 получаются в результате сглаживания функций и0 я выражения для которых (см. (5)) содержат функцию а0(х,?).

Уравнение для функции а0(х,?) получается из условия разрешимости задачи для Уг. Оно оказывается уравнением в частных производных первого порядка выходящая из точки (0,0), разделяет область О, на две части: tВ (х). Для определения а0(ж,?)в каждой из этих областей требуются дополнительные условия соответственно при 0 и ж = 0..

Начальное (при Ь — 0) условие для определения а0(х,{) получается при построении пограничных функций П0м, П0и.

Для пограничных функций П0и (а-, г), П0и (ж, г)(г = £/е) — главных членов погранслойной части асимптотики Пад, П-и в окрестности начального момента времениимеем систему уравнений (х входит как параметр) с начальными условиями:.

Т10и (х, 0) = <�р (х)-а0(х, 0), П0ь (х, 0) = 1//(х)-%(а0(х, 0), х,0). (8).

Кроме того, потребуем стремления П — функций к нулю при т -" со. В силу этого требования из системы (7) следует равенство:.

П0и (ж, х) = -Ш0и (ж, т), (9) и система (7) сводится к одному уравнению: — /(«О (ж, 0) + П0И (аг, т),¥-0 (х, 0) — кп0и (х, т), х,0,0). (10) от.

Точка Пи = 0 является точкой покоя этого уравнения, асимптотически устойчивой в силу неравенства }'и — | < 0 (см. условие 1.2)..

Подставляя в равенство (9), взятое при г = 0, значения П0-и (ж, 0), П0г>(ж, 0), определённые равенствами (8), получаем уравнение у/(х~)~ %(а0(х, 0), ж,0) = -к (<�р (.х)-а0(х, 0)) (11) относительно а^О), то есть относительно функции а0(х,?) в начальный момент времени..

Условие 1.3. Пусть уравнение (11) имеет решение а0(х, 0) = Ф0(я). (12) такое, что начальное значение П0, и (ж, 0) = (р{х) — Ф0 (ж) принадлежит области влияния точки покоя П0и = 0 уравнения (10)..

Тогда решение уравнения (10) с указанным начальным условием имеет экспоненциальную оценку.

П0и (ж, г)| < С ехр (-гет). Буквами С и аг здесь и далее обозначаются подходящие положительные числа..

Функция ай (х,{) в области Ь < В (х) определяется как решение уравнения (6) с начальным условием (12)..

Условие I. 4. Пусть уравнение (6) с начальным условием (12) имеет решение при О х<1, о<�г<�в (х)..

Для определения а{](х,{) в области I > В (х) требуется граничное условие при х = 0..

Оно получается при рассмотрении пограничного слоя в окрестности граничной точки х = 0. Характерной особенностью данной задачи является то, что граничное условие для функции Oo (x, t) оказывается нелинейным краевым условием III рода (см (15)). Пограничные функции Qu (^t) Qv (?, t) y? = x/s. описывающие этот погранслой, начинаются с членов порядка е. Они определяются из системы уравнений (t входит как параметр) fu («о (0,t), t) QlU + fv (aQ m, t) Qlv, ~kL ^ СО.*),*)^" — kfv (а0 (О, t), t) QlV,.

13) где jFt («0(ОДt) = fu (a0(ОД^ДОДО^О, i), fv (aQ (0,t), t) = fv (ao (0,t), z (aQ (0,t), 0, t)At) dQxv с граничными условиями: dQги ди&bdquo- ¦ дх 0. х-0 dt dv» f=o дх.

-0..

14) x=0.

Кроме того, потребуем стремления (^-функций к нулю при 2, -" °о. Решив задачу (13)-(14), получим С^г", зависящие от а0(ОД при этом для любых а0 имеют место оценки: Яги (^г) < Сехр (-а^), * Сехр (-ээ^)..

Подставляя найденные выражения для и в (14), получаем систему двух уравнений, из которой следует нелинейное граничное условие для а0(х, Ь) при х = 0: да&bdquoдх.

15) х = 0 р (а0 (0,0,"). где р («0 (0, (), *) =? (а, (0,^),*)Л'1 (а0 (0,1), 0,*)^(«0 (0,*), 0, I),.

А (а0, ж, ?) = /" (а0,% (а0, ж,, х, (а0,х, ?), х, < 0, в силу условия 1.2..

Используя (15), найдем а0(0,£). Для этого положим в (6) х = 0. Получим уравнение относительно «¿-(ОД.

Положив в (12) х = 0, найдем начальное условие для этого уравнения: аь (0,0) = Ф0(0). (17).

Условие 1.5. Пусть существует решение задачи (16) — (17) при 0 < г1 < 7 Обозначим его Тд (?). Таким образом, для определения а0(х, 1) в области t > В (х) имеем уравнение (6) с граничным условием а0(0^) = Потребуем, чтобы выполнялось.

Условие I- 6. Пусть уравнение (6) с граничным условием а0 (Од) = (7) имеет решение при 0 < х< 1, В (х) < t < Г..

Итак, функция а0(х,?), а потому и функции и (), гГ0 (см. (5)) полностью определены. (Предполагаем, что значения функции и0 принадлежат интервалу I из условия 1.2). Определены также функции П0и (х, т), П0у (х, т) и, ??^(?, 1). Функции й () и ?0 непрерывны в, но, вообще говоря, не гладкие на характеристике i = В (х) уравнения (6)..

На этой характеристике они имеют скачки производных. Для получения гладких членов асимптотики вместо й0 и гГ вводим сглаженные функции й и г>0. Процедура сглаживания описана в п. 2.3..

Функции первого приближения йх, ^ и, П^ определяются аналогично функциям нулевого приближения..

Отметим, что П — функции вносят невязки в граничные условия (3), а функции — в начальные условия (2). Для устранения этих невязок строятся угловые погранфункции, которые оказываются негладкими на характеристике? = а^Ь (0), выходящей из угловой точки (0,0). В окончательную асимптотику решения входят сглаженные угловые погранфункции т), Р^^т). Эти погранфункции экспоненциально убывают по каждому из своих аргументов на бесконечности. Для устранения невязок, вносимых в уравнения (1) и дополнительные условия (2) и (3) в результате сглаживания, вводятся так называемые функции переходного слоя ?7 -и (¿-Г, ?), ?), где С, =- и г.

X/.

Т и (г/, т), Т V (г}, т), где г] = ——. При удалении от характеристики Ь = В (х).

72 /2 е''1.

Б — функции убывают по закону сехр (-эз²), а Тфункции убывают по закону сехр (-85-(т +1?7|)) при удалении от точки (0,0). и.

Теорема 1.1. При достаточно малых е задача (1)-(3) имеет единственное решение и (х, 1, е), а функции II, Vявляются его равномерным в асимптотическим приближением с точностью то есть, е) — Х1 £г)| = 0(е2), тах^а^г) — У (х, 1, е) =.

Доказательство теоремы проводится с использованием асимптотического метода дифференциальных неравенств..

Вторая и третья главы диссертации посвящены задачам для систем уравнений параболического типа в тонких телах, то есть в такой области, у которой одно из пространственных измерений много меньше других. Рассмотренные задачи являются обобщением задач для скалярных уравнений, описанных в [14] и [15]. Во второй главе рассматривается система уравнений реакция-диффузия.

Q’ll (j'[J.

L^ui =—sAxy, u = f (u, v, x, y', t), L2ivis—-AiBi/v = g (iL, v, x, y, t) (18') в тонком стержне — прямоугольнике { 0 <? < 1- 0 < у' < е} при 0 < t < Т. Здесь и и v можно трактовать как концентрации веществ, коэффиценты диффузии которых существенно различаются — порядка е и 1, соответственно..

Источники веществ, в частности, химические реакции описываются функциями ¡-яд..

Известны концентрации веществ в начальный момент времени: ut=o = (р (х, у'), vt=o = ф (х, у'), (19') а также, на торцах стержня: их=о = u°(y', t), vx=0 = V°(y', t), их=1 = UX{yt), Vx=l = Vl (y', t). (20') Частицы вещества свободно уходят через боковые стенки стержня у' — 0 и у' = е, что описывается граничными условиями III рода:.

Эи~Аи ду' dv W у'=0 0, ди. ^ ttj + AU ду 0-.

— Bv 0, dv о ду j + Bv 0,.

V=e гдеАяВ-положительные постоянные..

Начальные и граничные условия предполагаются согласованными: <�р (0,у, е) = и° (уД е), ^(0,у, е) = -и0 (уДе), ?>(1,у, е) = и1 (уДе)5 = г-1 (у, 0, е)..

В третьей главе рассматривается система уравнений с теми же операторами Ьх и Ь2, что и в (18') и с мощным источником внутри стержня, который математически описывается коэффициентом 1/е перед функцией, стоящей в правой части второго уравнения: сш = ~-еАхуГи = /(«,», ж, у',*), ?2с?л = Аху, у =. (22').

Дополнительные условия в постановке задачи третьей главы имеют вид (19')-(21'). В ходе решения систем уравнений (18') и (22') целесообразно произвести замену переменной у' = ¿-У, что позволяет перейти к области В = (0 < х < 1) х (0 < у < 1) х (0 <? < Т), более удобной для решения задачи..

В новых переменных системы (18″) и (22') принимают вид: ди о д2и ё2и. ч х, у,?)еП- (18).

9 дь о д2у д2ь о,. ди о д2и 82и ^ ..

22).

О ду 2 32г/ д2у. ^ ч.

ОЬ ~ Ъу2 =.

Дополнительные условия (19')-(21') принимают вид: ик=о = <�р (х, у, ё), г"|*=о = у/(х, у, в),.

19) гг1ж=о = и0 гл^о = г>° (?/,?,?),.

20).

МЬ=1 = ад1 (?/,?, «г), ух=1 =у1(у,^е). О, + =0-.

21).

Для построения асимптотики решения применяется процедура метода пограничных функций, причем разложение ведется по степенямЛ..

Для этих задач построены равномерные во всей области погранслойные асимптотики решений с остаточными членами порядка О (е). Кроме того, построена и обоснована асимптотика произвольного порядка по е внутри области вне малых окрестностей границ х = 0 и % — 1..

Асимптотика решения состоит из регулярной и погранслойной частей: асимптотики. Остальные слагаемые описывают различные типы погранслоев, возникающих в данной задаче..

Вырожденная система (при е = 0) распадается на две отдельные задачи:.

II = и + Ш + Ти + Ни + С? и— Ыи + Ми + Ри + + +Я*и + О* и + Ы*и + М*и + Р*и + 3*и,.

V = V + Ш + ТУ + ЯУ + С}у + НУ + МУ + РУ + 8У + +11* V + 0*ь + И* у + М*у + Р*у + 5*г>..

Здесь и = и0+ 4ёи + еи2 +., у = г>0 + -ТгггГ + £у2 +. регулярные члены д и = 0, 0 < у < 1-.

Общее решение каждой из них есть произвольная функция переменных х и Ь. и0 = а0(ж, Ои0 =/?0(а, О..

Таким образом здесь, как и в главе I, имеет место критический случай..

Уравнения для определения функций с^и Д} получаются из условий разрешимости задач для функций й2 и ?2. При этом в случае системы (18) получаем /30 = 0. В случае системы (22) из условия разрешимости задачи для функции й2 получается уравнение, связывающее функции о^и /3{): где (7(а,/?, ж,?) = — 2В/3. Здесь и далее символ Л над обозначением функции 1 означает усреднение по у: д (ск0, /?, ж, Ь) = ^ д (а0, ?3, ж, у, 0 у, у. о.

Уравнение (24) нелинейное, поэтому в случае системы (22) потребуем выполнения следующего условия:.

Условие 11.1. Пусть уравнение (24) имеет решение /?0 = Ца0, ж, ?) и пусть а0, й (а0,ж,?), ж,?) < 0 при (а0, ж,£) е I х Б, 1- некоторый интервал..

Считая Д известным, как в случае системы (18), так и в случае системы (22) из условия разрешимости задачи для функции и2 получаем уравнение для функции а^:.

Начальное условие, необходимое для однозначного определения а0 (ж,£)? получается при построении П0и — главного члена погранслойной функции Пи..

В окрестности t = 0 погранслой описывается функциями двух типов, зависящими от разных растянутых переменных: Пи (х, у, т, в), Пи (ж, у, г, ?•) и Ти (ж, у, 5, (ж, у, 5, ?•), где г = Цг, в = ¿-/е2. Как и регулярные члены, эти функции представляют собой ряды по степеням-^..

24).

25) л где Р (а, ж,?) = - 2⁴″..

Для функции По"(ж, г/, т) получается начально-краевая задача параболического типа, которая решается при помощи метода Фурье. В начальное условие для По и ад дитивным образом входит функция а0 (х, 0) — начальное значение функции а0 (х, I). Требуя убывания По и при т —> ад, получаем а0(я, 0) = £0(а", (26) где функция гр0 — главный член разложения функции <�р по степеням -/е. При этом для функции По и имеет место оценка:.

П0ад (ж, у, г)| < с ехр (-ее г) (27).

Потребуем выполнения следующего условия:.

Условие П. 2. Пусть для каждого же [0,1] существует решение а0 (ж, ?) е I уравнения.

25) с начальным условием (26)..

Для функции По и — главного члена погранслойной функции Пг> — получаем задачу вида (23), общее решение которой есть произвольная функция переменных жиг:.

П0г- = сг0(ж, г)..

Из условия разрешимости задачи для П? г- (ж, у, т) получаем уравнение для функции сг0. Оно имеет вид.

-^ + 2Во-0=Щ (ст0)ж, т), (28) где П да, находим т0(ж, 0) = ^0Сж), (29) где функция у/о — главный член разложения функции у/ по степенямч/гг. При этом для функции Тогимеет место оценка:.

Т0г- (ж, у, < с ехр (-же) (30).

В случае системы (22) уравнение (28) для функции оо нелинейное, поэтому необходимо потребовать выполнения следующего условия:.

Условие П. З. Пусть для каждого х? [0,1] существует решение а0(х, т) уравнения.

28) с начальным условием (29), имеющее оценку типа (27)..

Можно показать, что при достаточно малой величине |сг0 (х, 0) — 1/>0 (ж)|| условие П. 2 выполняется..

Отметим, что в случае системы (18) это требование излишне, так как уравнение (28) при Ид = 0 с начальным условием (29) имеет единственное решение, удовлетворяющее экспоненциальной оценке (27)..

С помощью приведенного алгоритма можно построить регулярные члены, а также погранфункции вблизи начального момента времени t= 0 до любого порядка. При этом функции Т-и, тождественно равны нулю при г — 0,1,2,3, а при г = 4,5. определяются из обыкновенных дифференциальных уравнений с дополнительным условием убывания на бесконечности. Для функций Т{а имеет место оценка типа (30)..

В окрестности грани х = 0 параллелепипеда погранслой описывается также пограничными функциями двух типов, зависящими от различных растянутых переменных: Ли (С, у, ?), Ну (С, у,, Яи (?, у, ?), ф (?, У,, где (= х/Л-? = ®-/е •.

Для функций Ли и Вл получаем задачи вида (2), общие решения которых суть произвольные функции переменных ?* и ?:.

Из условий разрешимости задач для Я2и и Я2у получаем систему уравнений следующего вида для определения функций ро (С^) и уо (С$' 2 Ар0=Щр01г0,Ы),.

0 < с< 1, 0.

Л/ и нелинейные функции известного вида, причем в случае системы (18) Дд = 0. В этом случае уравнения системы (31) можно рассматривать отдельно: сначала из второго уравнения определяется функция, а затем, зная из первого уравнения находим функцию р0(&-). В случае же системы (22) возникает более сложная ситуациясистема уравнений (31) относительно функций р0 и /0 представляет собой систему специального вида, состоящую из параболического и обыкновенного дифференциальных уравнений..

Граничные условия для системы (31) определяются при рассмотрении начально-краевых задач для функций (¡-}0и и и имеют вид: р0 (0,0 = < (*) — а0 (0,0, г0 (0,0 = (О — /?0 (0, ?), (32).

Функции О, г/. и (5о" У имеют оценку сехр (-гв^)..

Поскольку первое уравнение в (31) — параболическое, то для однозначного определения ро необходимо задать начальное значение р0 (0,. Оно находится при построении угловой погранфункции И0и у, т) и имеет вид:.

Ро{С> о) = о (33).

Начальное условие (33) и первое из граничных условий (32) оказываются согласованными до непрерывности в точке (0,0)..

Уравнения, входящие в систему (31), нелинейные, поэтому потребуем выполнения следующего условия:.

Условие П. 4. Пусть существует решение ро (С$, задачи (31)-(33), имеющее оценку типа р0(?, 0<�сех р (-8еО- (34).

Можно показать, что Условие П. 4 вьшолняется при достаточно малых величинах hrnl \пт\.

В случае системы (18) нелинейной будет лишь задача для ро (С^), а для Уо (С,?) получается линейное обьпсновенное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, которое вместе со вторым граничным условием (32) и условием убывания 0 при? —" со однозначно определяет функцию уо{С^), Для которой справедлива оценка типа (34). Условие 11.4. в этом случае формулируется лишь для задачи, определяющей функцию ро (($.

Та же схема применяется при построении функций Щи, Щь, С^и, (^у. При этом получаем <2^ ^ О, 0, а отличными от нуля в случае системы (22) оказываются лишь функции Щи = и = ^(¿-Г^) — в случае системы (18) отлична от нуля только функция /?15 а = 0..

Из условия разрешимости задач для и получается система уравнений типа (31) для функций р2(&-), причем, уравнение для функции параболическое. Начальное условие для получается при рассмотрении задачи для.

К2и (^, у, т). При этом оказывается, что начальное и граничное условия для функции не будут согласованы в точке (0,0). На этом итерационный процесс построения функций Щи и С}{и прерывается, так как при помощи стандартного алгоритма не удается построить непрерывную в Б функцию р2..

Функции н.0и (х, у, т), иоь (х, у, т), Т^(х, у, з) вносят невязки в граничные условия (20), а функции (?,?/, г), и — в начальные условия.

19). Вблизи ребра х = 0, t = 0 эти невязки имеют порядок 0(1) и экспоненциально убывают при удалении от ребра..

Для устранения указанных невязок строим угловые пограничные функции. Здесь возникает четыре типа угловых погранслойных функций, зависящих от каждой из пар растянутых переменных: Ри (?, у, т) и Ру у, г), Ши (С, у, г) и, Ми (С, у, в) и.

8и (%, у, з) и. Эти функции представляют собой ряды по степеням ..

Для тех слагаемых, которые входят в окончательную асимптотику решения, применяя стандартный алгоритм [4], получаем: М, и = 0, = 0, г = 0,1,2. Для функций N{4, г = 0,1,2, получаем задачи параболического типа, которые решаются при помощи метода Фурье. В начальные условия для функций Щи аддитивным образом входят неизвестные функции рг (С, 0) — начальные значения функций р1. Эти функции определяются из условия Ыпи = О при г—>со. При г = 0,1 получаем Ы{и = 0, остальные слагаемые ряда Ыи не входят в асимптотику решения с точностью 0(е). Отличной от тождественного нуля оказывается лишь функция Р0и. Она определяется как решение начально — краевой задачи параболического типа, находится в явном виде при помощи метода Фурье и имеет оценку & г)| - с ехР (?+ г)) '.

Функции .ЛГ/и, г = 0,1 определяются из задач вида (23) и представляют собой произвольные функции переменных (иг: = и (?т). На следующем шаге из условия разрешимости задач для +2г> получаются уравнения параболического типа для функций ду д2у = (35).

Начальные значения у^С, 0) находятся при решении задач для М-у, а граничные значения ^(0,г) — при решении задач для функций Р (о..

Функции М{0, %- 0,1, определяются из начально — краевых задач параболического типа. В начальные условия для Мр входят аддитивно функции 0). Они определяются из условия М/и = 0 при и имеют вид: у1т=-пш (36) где суть решения задач типа (31) — (33)..

Функции Р (о, г = 0,1, определяются из задач эллиптического типа. В начальные условия для Рр входят аддитивно функции у-(0,г) — значения та при? = 0. Они определяются из условия Р^ = 0 при? —> оо и имеют вид: ц (0,г)=-о-.(0,т), (37) где сг — суть решения задач типа (28), (29)..

Функции Мр и Р/у оказываются тождественно равными нулю..

В случае системы (18) функция ]Гд = 0 и находятся в явном виде. Для у0(?, т) имеет место оценка: г^сехр^^+т)), (38) а ц s 0..

В случае системы (22) для функции v0 получается нелинейное параболическое уравнение. Поэтому требуем выполнения следующего условия:.

Условие II.5. Пусть существует решение v0(?t) задачи (35)-(38), имеющее оценку типа (38)..

Как в случае системы (18), так и в случае системы (22), функции S{v, г — 0,1, определяются из начально — краевых задач параболического типа. Для функции S0v имеет место оценка:.

SQv У" s)| ^ с ехР (? + «))» slS0V=0..

В окончательную асимптотику решения входят ещё пограничные функции, описывающие погранслои в окрестностях грани х — 1 и ребра {х=1,0<�у<1, t = О}. Эти функции аналогичны погранфункциям, построенным, соответственно, в окрестности грани х = 0 и ребра {ж = 0, 0 < у < 1, t = 0}. Они зависят от растянутых пространственных переменных.

Обозначим их так:.

R*u (?by, t), R*v (?*, y, t), Q*u (?*, y, t), Q*v (^, y, t), Р*и (%*, у, х), P*v (&, y, r), ]Stu{C*, V, г) ,.

N*v ((Z*, y, T), Afu (?*, y, s), M*v (?*, y, s), gv (&, y, s). Введем обозначения: и I = «о (ж> г) + П0М (ж> У’т)+ А> (?>+^А 0 + (? У> 0 + (? ^ г) + (?,*) + (?,*) + .

Теорема II.1 (Теорема III.1). При достаточно малых е решения u (x, t, e), v (x, t, e) системы уравнений (18) (системы (22)) с условиями (19)-(21) существуют и единственны, а функции Uj и V1 дают равномерные в D асимптотические приближения этих решений с точностью 0(е), то есть, шахи — UI = О (?¦) — maxro-F =0(г). о I i| п< 11.

При доказательстве теоремы II.1 применяется асимптотический метод дифференциальных неравенств..

Внутри области вне окрестностей границ х = О и ж = 1 удается построить и обосновать асимптотику произвольного порядка по s..

Введем обозначения п.

Un=Y, Sl (Ж> У'+ П2iU 2/' Т) + Т2ги У' S)) ' 0 п.

К = Z ^ С3-'' & 0 + ^?^ О' 2/' + У' S)) ' г=0.

Я, = (<�У < ж < 1 — (?) X (0 < у < 1) X (О < t < Т), где 5 > 0 — сколь угодно малое, но фиксированное при е —> 0 число..

Теорема II.2 (Теорема III.2). Функции Un, Vn являются равномерным в Ds асимптотическим приближением для решения системы уравнений (18) (системы (22)) с условиями (19)-(21) с точностью 0(sn+1), то есть, maxi"-Un — 0(sn+1), maxlv — V"| = 0(sn+1)..

Ds 1 v > Ds ' n| '.

Таким образом, в диссертации построены и обоснованы асимптотические разложения по малому параметру для решений двух классов сингулярно-возмущенных параболических систем, служащих математическими моделями в задачах химической кинетики и в задачах теплои массопереноса в тонких телах..

1. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра. // Матем. сб. — 1948. Т.22, № 2. — С. 193 — 204..

2. Тихонов А. Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры. // Матем. сб. 1950. Т.27, № 1. — С. 147 — 156..

3. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных. // Матем. сб. 1952. Т.31, № 3. — С. 575 — 586..

4. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. // М.: Высшая школа, 1990..

5. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. // М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978..

6. A.B. Vasu’eva, V.F. Butuzov and L.V. Kalachev, The Boundary Function Method for Singular Perturbation Problems, SIAM Stud. Appl. Math., Philadelphia (1995)..

7. Волосов B.M., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. // М.: Изд-во Моск. ун-та, 1971..

8. Боголюбов H.H., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. // М.: «Наука», 1974..

9. Ломов С. А.

Введение

в общую теорию сингулярных возмущений. // М.: «Наука», 1981..

10. Мищенко Е. Ф., Понтрягин Л. С. Периодические решения систем дифференциальных уравнений, близкие к разрывным. // Докл. АН СССР. 1957. Т. 102, № 5.-С. 889−891..

11. Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. //М.: «Наука», 1975..

12. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. // М.: «Наука», 1989..

13. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. // М.: «Наука», 1977..

14. Бутузов В. Ф., Деркунова Е. А. Асимптотика решения уравнения теплопроводности с нелинейным источником тепла в тонком стержне. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. — 1996. Т.36., № 6. С. 68 — 85..

15. Бутузов В. Ф., Уразгильдина Т7А. Асимптотика решения краевой задачи для уравнения теплопроводности с мощным нелинейным источником в тонком стержне. // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31., № 3. — С.472 — 482..

16. Pao C.Y. Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations. Plenum Press, New York and London, 1992..

17. Нефёдов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущённых задач в частных производных. // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31., № 4. — С.719 — 722..

18. Нефёдов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущённых задач с внутренними слоями. // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31., № 7. — С. 1132- 1133..

19. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Нефёдов H.H. Асимптотическая теория контрастных структур. // Автоматика и телемеханика. 1997. № 7. — С. 4 — 32..

20. Бутузов В. Ф., Есимова С. Т. Сингулярно возмущенная система типа «реакция — диффузия перенос», вырождающаяся в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. — 1994. -Т.34, № 10. — С. 1380 -1400..

21. Бутузов В. Ф., Левашова Н. Т. Об одной сингулярно возмущенной системе типа реакция диффузия — перенос в случае малой диффузии и быстрых реакций.// Фундамент, и прикладн. матем. — 1995. — Т.1, № 4. — С. 907 — 922..

22. Бутузов В. Ф., Левашова Н. Т. Асимптотика решения сингулярно возмущенной системы уравнений реакция диффузия в тонком стержне. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. -2003. -Т.34, № 8. — С. 1160 -1182..

23. Бутузов В. Ф., Нестеров A.B. О некоторых сингулярно возмущенных задачах с негладкими погранфункциями. // Докл. АН СССР. 1982. Т.263, № 4. — С. 786 — 789..