Задача Римана и уравнения в свертках с символами, вырождающимися на счетном множестве

Работа посвящена краевой задаче Римана и связанным с ней интегрально-разностным уравнениям типа свертки в пространствах основных и обобщенных функций.

Полная теория краевой задачи Римана и связанных с ней сингулярных интегральных уравнений, а также уравнений типа свертки изложена в монографиях [91, [17″ }. [18*1,1221, t 521, [ 55l • Отметим при этом основополагающие исследования ФД. Гахова [91 и Н.И.%схелишвили [521.

Краевая задача Римана в пространстве обобщенных функций изучалась многими авторами. Постановка задачи, по-ъщтощ t принадлежит О. С. Парасюку [531, рассмотревшему задачу в случае, когда контур — вещественная ось.

Изучение задачи Римана в пространстве обобщенных функций связано с тем, что в различных прикладных задачах, например, в теории автоматического управления и теории массового обслуживания, возникает необходимость исследования уравнения типа свертки в классах медленно растущих на бесконечности функций [431. Впервые задача Римана в нормальном случае в пространстве обобщенных функций была решена Ю. И. Черским в работе [671, который применил ее для исследования интегральных уравнений типа свертки в классах растущих на бесконечности функций. Существенное развитие в теорию задачи Римана в обобщенных функциях внес В. С. Рогожин (см., например, [56] - [59]). В. С. Владимиров рассмотрел задачу Римана в пространстве обобщенных функций многих переменных [4″ ] .

Исключительный случай задачи Римана в пространстве обобщенных функций на вещественной прямой впервые рассматривал В.Б.Ды-бин [28], [291 • Полное решение этого вопроса в сдучае прямой было дано в последующей за этим работе В. Б. Дыбина и Н.К.Карапе-тянца [391, где было впервые показано, что в соответствующим образом подобранных пространствах основных и обобщенных функций краевая задача Римана с конечным числом нулей целого порядка у ее коэффициента подчиняется теории. После этого еще неоднократно ряд авторов возвращались к этому вопросу (см., например, [151 Д 461, [471, С 481, С 511, [ 591, [601/651), в частности, в [591 была детально рассмотрена аналогичная ситуация на замкнутом гладком контуре.

Исключительный случай задачи Римана в пространстве обобщенных функций опирается на соответствующий случай в пространстве основных функций. Здесь для случая конечного числа нулей у ее коэффициента следует отметить результаты Л. А. Чикина [69″ }, Ф. Д. Гахова и В. И. Смагиной [101, последующие результаты достаточно полно изложены в монографии З. Пресдорфа [55~1 # Случай бесконечного числа цулей рассматривали В. Б. Дыбин и В. Н. Гапоненко [341, М. ИДуравлева [411, [421, В. Б. Дыбин [331. В работе[34] построена теория нормальной разрешимости задачи Римана, когда ее коэффициент имеет бесконечное множество периодически распределенных на вещественной оси нулей. В работах [411 ,[ 421 задача решается на луче методом Н. В. Говорова. В недавно опубликованной статье [331 В. Б. Дыбиным рассматривается случай общего распределения цулей с почти-периодической точкой сгущения.

Кроме краевой задачи Римана ниже рассматривается интегрально-разностное уравнение иг ci I R^cb.I) где и связанное с ним парное уравнение.

— 5.

Нормальный случай этих уравнений, когда tr0 f v xfclR. ' W*2' где 0100=000 + KimS C: elX, L4 tattle* dt (в.з).

• в пространстве, p^oo t был впервые рассмотрен И. Ц. Гохбергом и И. Ц. Фельдманом CI81. Они построили полную теорию односторонней обратимости оператора, порождаемого левой частью уравнения (B.I). В этом случае символ интегрально-разностного оператора, которым является функция О. ОС) вида (В.З), имеет так называемый почти-периодический разрыв в бесконечно удаленной точке.

Заметим, что в работах [261 и 1271 Р. В. Дудучава и А.И.Саги-нашвили построилитеорию для уравнения Винера-Хопфа в случае полу-почти-периодического разрыва у ее символа) на бесконечности.

Переходя к исключительноцу случаю уравнения (B.I), отметим, что полное исследование его частного случая, который носит название уравнение Винера-Хопфа и его дискретного аналога, проведено в работах [30l, [ 311, [45l, [ 641, [ббК см. также монографию [551). В работе [301 впервые был опробован новый метод — метод нормализации линейных операторов, который в последующем нашел широкое применение при исследовании интегральных уравнений в исключительном случае. В частности, В. Б. Дыбин и В. Н. Гапоненко [81 применили этот метод к исследованию исключительного случая уравнения (B.I) в пространстве, °°, когда функция СЦ)0 имеет периодически распределенные нули, а именно, где У — целое число, — действительное число, ДДх) -функция вида (В.З), удовлетворяющая условию (В.2). После этого В. Н. Гапоненко рассмотрел парное и транспонированное к парному уравнения в аналогичной ситуации t5l-l7l.

Заметим, что этот метод используется и в теории двумерных уравнений в свертках в исключительных случаях, в связи с этим отметим работы В. Б. Дыбина и А. Э. Пасенчука [40″) «А. Э. Пасенчука [541, М. Б. Городецкого tI6» .

В работах 15 -81 созданы предпосылки для исследования задачи Римана в обобщенных функциях с бесконечным множеством нулей у ее коэффициента. Но сама задача рассматривается здесь впервые. Из предыдущих исследований ясно, что в этом случае появляется бесконечное множество сингулярных С" - образных") решений, но тем не менее проблему представляет, во-первых, полное описание всех решений однородной задачи Римана, а во-вторых, конструкции обратных операторов, необходимых для нахождения частного решения неоднородной задачи.

Исследование задачи Римана в пространстве обобщенных функций позволяет изучить соответствующее интегрально-разностное уравнение в пространстве функций со степенным ростом на бесконечности и найти все решения указанного уравнения в этом классе. Вначале мы с помощью преобразования Фурье описываем поведение интегрально-разностного оператора в классе функций, принадлежащих пространству и растущих на бесконечности как некоторая степень X. Эти результаты позволяют получить конструкции обратных операторов, и поэтому построить теорию нормальной разрешимости в более широких пространствах Lpl[oo)o'j5, где •.

В отличие от нормального случая в рассматриваемом исключительном случае появляется бесконечное множество линейно независимых решений, которые растут на бесконечности не быстрее некоторой степени.

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации. Работа состоит из введения и трех глав, разбитых на одиннадцать параграфов.

Выводы об односторонней обратимости оператора в пространстве Lp+lco, о] те же самые, что и в пространстве Теоремы 10. I — 10.3 сохраняются полностью с заменой на (Lptc^oTj4) .

Замечание II.I. По сравнению с нормальным случаем в исключительном случае при.

540 и, ЭсЛО у уравнения появляются новые неклассические решения. Рассмотрим, например, частный случай: = h^ • Из теоремы 10.3 получим, что функция.

Ч U Кег А') имеет вид v ^ со.

Если $ то функция Y, определенная на устойчиво периодична с периодом уб^, причем при Функция устойчиво периодична с разряжением (на отрезках (.?=-0,4,.,^ ^ равна нулю). Проиллюстрируем это графически.

Цусть функция имеет график, изображенный на рис.2: Ч рис. 2.

Тогда график функции Ч' получим, сдвигая график функции Ч0 вправо на, ? = 0)^. (рис. 3 и 4): рис. 3.

— (Г К рис. 4 уьк>

Если «то функция определена на IR+ и представима в виде суммы двух функций, первая из которых из, а вторая функция определена на ^^ и периодична с периодом /к: где К-~ т ~? , если ~ X — целое число: И= Т 1 ~ ^ х. р*. если — нецелое число. т, '.

Например, пусть — - э, тогда график функции ^ будет иметь следующий вид (рис.5): к.

К | I рис. 5.

Функция ^ не принадлежит Lp^lR4)" но удовлетворяет условию: It+l4) («Н € Lp+ (S^ j^^Vp * На самом Деле».

UM^ ±Jh$$ Pol**f 1 «tv-^i v? vk 1 v.

CO e=o.

4 е. ИЧ 11 ы 0 p,.

Ы чг-г *.

— IC-t^jb, V.

Ряд C^- Z. сходится, так как .

А решение с более высоким ростом на бесконечности можно пои. лучить, рассматривая оператор ^ с символом.

Скс,, t у: ч й-к... ' k в? ')) ^к^ • • Возьмем в качестве функции функцию, график которого изображен на рис 6: JK рис. 6.

Даже прип^Х, в случае имеем следующую картину:

Перейдем теперь к исследованию парного оператора Ц> в пространстве Lpl°o, o^ .

Вначале рассмотрим оператор ScL^ '.

Ук<-0, сопряженный к оператору JTI^-P^JTL^ + 'Ту. Известно [5], что при /Ь^О и У^<0 оператор ^^ (обратим, а его обратный оператор имеет вид.

В пространстве справедливо следующее предложеч ние.

Предложение II.2. Оператор непрерывно обратим в пространстве Lq^-ooj о~, а его обратный оператор имеет вид (II.9).

4 Очевидно, что \гг. Равенства Si^A/^ Т проверяются непосредственной подстановкой. Докажем непрерывность оператора А/к. со (I .v s 0.

00 4 e=o 1 ifr.

Таким образом, мы показали справедливость неравенства (2.6) для оператора, тем самым доказали его непрерывность в пространстве L^t-oo.o^ .у.

Следствие. Оператор^.^, непрерывно обратим в пространстве Lp^cojO" ^ # и его обратный оператор имеет вид.

Л/? = N Д + Д/^, CII. IO) где л/Г-11p. Ny = f С' ^ ¦ <�П.Н).

Д to 'к YK + ' ^ Чь.

Далее в этом же пространстве L^co рассмотрим оператор ^ * гуь.

П % Р.^П Ту Р., >0, г<0 .

Если lorv^iw, то" > оператор можно разложить в композици" = Л1″. где тГ’Т. + Р.

Ус=Л /Ч * - '.

Su ~ П Тк Р * П 1 Т Р. При — yv гк ^ ^ A 2.

Оператор uiTc^* можно представить в виде произведения уже рассмотренных попарно коммутирующих операторов.Поэтому.

— 117 оператор непрерывно обратим в пространстве L 0} > а его обратный оператор определяется по формуле: [ i^TtL^*!

V г-~ч.

П Л/w «где // имеет вид (II.10), Оператор, а и также не-км ^ к прерывно обратим, а его обратный оператор имеет ввд.

1 = Г N, А усЛ у ^ } где А/определяется по формуле (II.II). Непрерывность оператора вытекает из: того, что оператор является сопряженным к оператору.

Тогда оператор непрерывно обратим в пространстве LAo^o^ и его обратный оператор имеет вид rf Nk + Nt .

Случаи рассматривается аналогично.

Из вышесказанного нетрудно сообразить, что оператор

Л — Г1 Т — Р+ + rf Т 5 ?. непрерывно обратим, и его обратный оператор имеет вид /V*- Г? IN* ^ + П СЛ/*. (п.is).

Теперь рассмотрим оператор [fe, когда функции ^(.Х) и (ЦОО имеют вид (II.Ч) и (II.5). И предположим, что в разложении (2.3) функций Lx (лМДЪ. Тогда оператор можно разложить в композицию.

— Аг+ [и, VO ft * ft Т>4 V.

Ч +а, /Г РЛ — ьл в, г, где, операторы обратимы, операторы имеют вид (II.6), (11,7), а оператор односторонне обратим.

Если СГ>0, то оператор В ^ обратим слева, и состоит из тех и только тех функций f которые обращаются в нуль на to^G" !. Если (Г^О, то оператор В^ обратим справа, и.

Учитывая вышесказанное, получим следующий результат для оператора В .

Теорема II.2. I) Если 6″ >0, то оператор В обратим слева в пространстве Lp⁰⁰,. Для того, чтобы |? ^ В необходимо и достаточно, чтобы функция обращалась в нуль на отрезке Со^с?! .

2) Если о, то оператор В обратим справа в пространстве Lpt^vO^. Для того, чтобы Ч ^ Кег R, необходимо и достаточно, чтобы она имела вид ч^л/Чт-и^Г, где — произвольная функция из Р^о-б-з ^ Р^^^ «опеРа» * тор Д/* действует по формуле (II.12).

3) Если <э-0, то оператор В обратим в пространстве.

Один из обратных (единственный при О) с соответствующей стороны операторов к определяется формулой где ^Ц^*, а Д/* имеет вид (II.12).

Замечание II.2. Сделанное выше предположение не существенно для качественных результатов, содержащихся в теореме II.2.

Замечание II.3. Так же как и в случае уравнения Винера-Хопфа у уравнения о в исключительном случае появляются новые неклассические решения, определенные на всей гфямой.

R .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Результаты главы П позволяют исследовать некоторые случаи дискретных уравнений типа свертки с символами, аннулирующимися на счетном множестве, по аналогии с интегрально-разностными уравнениями.