Функциональные наблюдатели минимального порядка

Обзор

Оценивание фазового вектора динамической системы по измерениям её выхода является одной из классических задач теории автоматического управления. Для решения этой задачи, как правило, строятся вспомогательные динамические системы — наблюдатели, которые и формируют оценку фазового вектора системы.

Наблюдателем называется динамическая система, которая получает на входе известные вход и выход исходной системы, а на выходе дает оценку вектора состояния этой системы. Часто желательно, чтобы размерность наблюдателя была минимальной. Для линейных конечномерных полностью определенных систем построение минимальных наблюдателей полного фазового вектора указано Люенбергером [1]. Построенный им наблюдатель имеет порядок (п — г), где п — порядок системы, а г — число линейно независимых выходов.

В ряде случаев, например, при решении задач стабилизации, информация о полном фазовом векторе системы не требуется, и можно обойтись информацией лишь о некотором скалярном или векторном функционале от этого вектора. В связи с этим возникает задача о построении функционального наблюдателя, то есть динамической системы, формирующей асимптотическую оценку искомого функционала. Подобная задача имеет смысл, так как размерность такого наблюдателя может оказаться ниже размерности наблюдателя Люенбергера для полного фазового вектора.

Данная диссертация посвящена методам построения функциональных наблюдателей минимального порядка. Сформулируем в наиболее общей форме задачу о построении функционального наблюдателя для линейных конечномерных систем. Рассматривается линейная стационарная конечномерная1 динамическая система х = Ах + Вщ.

0.1).

У = Сх, где x (t)? Rn — неизвестный фазовый вектор, u{t) € Mm, y (t) 6ЁГизвестные вход и выход системы, а, А € Rnxn, В е Rmxn и Се Кпхг — известные постоянные матрицы. Не ограничивая общности, предполагается, что rank С = г, то есть все выходы линейно независимы.

Пусть задан неизвестный линейный функционал от фазового вектора cr (t) = Fx (t) G с известной постоянной матрицей F е Мрхп полного ранга2.

Задача состоит в том, чтобы построить наблюдатель минимального порядка, использующий вход и выход исходной системы (0.1) и дающий на выходе асимптотическую оценку искомого функционала a (t) такую, что ошибка оценивания e (t) = a (t) — cr (t) —" 0 при t —> оо. Такой наблюдатель называется асимптотическим. Функциональный.

1Далее упоминание о конечномерности обычно опускается.

2Далее предполагается, что р < га, rank F = р. наблюдатель в общем случае имеет вид [5] z = Pz + Qu + Ry,.

0.2) а = Tz + 72/, где a (t) Е — оценка a (t) Е W, z (t) E — фазовый вектор наблюдателя, а Ре Шкхк, Q Е M*xw, R E Rkxr, T G Шрхк и 7 e Mpxr — постоянные матрицы, подлежащие определению. Число к называется порядком наблюдателя (0.2).

Впервые возможность построения таких наблюдателей исследована Люенбергером [3]. Оказалось, что порядок функционального наблюдателя для систем с несколькими выходами может быть понижен, по сравнению с классическим наблюдателем состояния, имеющим порядок (п — г), где гчисло линейно независимых выходов. Люенбергер использовал каноническую форму наблюдаемости для системы со многими выходами [3] и показал, что для любого скалярного функционала a (t) = Fx (t), F 6 существует асимптотический наблюдатель порядка к ~ и — 1, где и — индекс наблюдаемости системы (0.1). Все собственные значения такого наблюдателя могут выбираться произвольно. Для систем с одним выходом функциональный наблюдатель Люенбергера имеет тот же порядок, что и наблюдатель Люенбергера для полного фазового вектора, так как в этом случае и = п. Однако, при большем числе выходов системы возможно существенно понизить порядок функционального наблюдателя по сравнению с наблюдателем состояния.

Существенно, что динамические свойства функциональных наблюдателей Люенбергера назначаются по произволу. Если отказаться от этого условия, а потребовать только асимптотической (экспоненциальной) сходимости оценки a (t) к функционалу cr (t), то размерность функционального наблюдателя можно уменьшить.

Необходимые и достаточные условия существования асимптотического функционального наблюдателя (0.2) заданного порядка к были впервые получены Fortmann и Williamson [13]. Они приводятся в форме, данной в монографии O’Reilly [5]:

Утверждение 1 (O'Reilly [5]). Наблюдатель (0.2) к-го порядка асимптотически восстанавливает функционал, а = Fx тогда и только тогда, когда существует постоянная матрица Н? Ж/гхп такая, что выполнены условия.

1) Р — устойчивая матрица,.

2) НА-РН = RC,.

0.3).

3) Q = HB,.

4) F = TH + iC.

В дальнейшем, Moore и Ledwich удалось [21] преобразовать условия (0.3) и понизить число неизвестных, которые требуется определить при синтезе наблюдателя. В случае г = 1 (скалярный выход) число неизвестных не превосходит к. Они также дали оценку снизу минимального порядка функционального наблюдателя kmin• Рассматривается матрица.

Щ1,Т)ТН=^1 R2. Rny где N{7iT) — матрица наблюдаемости пары {7,Т}, Н — неизвестная матрица из условий существования наблюдателя (0.3). Матрицы Щ содержат известные элементы, зависящие от матрицы системы, матриц входа и выхода, а также матрицы функционала. Также, они включают и неизвестные элементы, которые зависят от выбора матриц наблюдателя. Размерность и структура матриц Щ определяется структурой исходной системы и размерностью восстанавливаемого функционала. Число kmin определяется-как число строк матрицы Д2. R^j, которые линейно независимы при любых значениях неизвестных параметров. Приведен алгоритм построения минимального функционального наблюдателя, который заключается в последовательном переборе значений к, начиная с нижней границы kmin до (п — г). Для этих значений к последовательно проверяется возможность выполнения условий (0.3). Таким образом, находится минимальное к = к*, для которого эти условия могут быть выполнены. Очевидно, kmin < к* < (п — г). Полученный Moore и Ledwich алгоритм неудобен в практическом применении из-за трудности задачи о существовании спектра наблюдателя, удовлетворяющего необходимым и достаточным условиям (0.3).

Одновременно со статьей Moore и Ledwich была опубликована работа по функциональным наблюдателям — Roman и Bullock [25], в которой используется теория минимальной реализации линейных динамических систем. Задачу о построении наблюдателя, а точнее, задачу о разрешимости условий (0.3), авторы сводят к задаче минимальной реализации некоторой динамической системы триплетом {Q, P, T}. Они получают систему уравнений.

L = TPi~1Q, i = l,., N, где L — преобразованная матрица функционала, Q — преобразованная матрица выхода системы, а неизвестные матрицы наблюдателя (0.2) Т и Р подлежат определению. Далее, как и в [21], приводятся преобразованные необходимые и достаточные условия существования наблюдателя, однако здесь авторы приводят также условия существования наблюдателя с собственными значениями, задаваемыми по произволу, для случаев SOMF (г = 1, р > 1) и MOSF (г > 1, р = 1).

Представляет интерес и случай MOMF (р > 1, г > 1), для которого дано лишь необходимое условие существования наблюдателя. Из этого условия следует оценка снизу минимального порядка наблюдателя h> 1) 1 -р где? — параметр, зависящий от индексов управляемости пары {Q, Р}, которые определяют структуру и порядок наблюдателя.

В работе Tsui [42] приведена оценка сверху минимального порядка функционального наблюдателя для системы с г выходами и^{мерного} функционала: min (p, r) i= 1 где к* - минимальный порядок наблюдателя, щ — индексы наблюдаемости системы, упорядоченные по неубыванию. Tsui утверждает, что данная оценка является неулучшаемой, однако это верно лишь частично — почти для всех функционалов эта оценка может быть улучшена, как показано в Главе 3 настоящей работы.

Работа Aldeen и Trinh [44] дает простой алгоритм построения функционального наблюдателя порядка к>р[п~г г где г — число выходов системы, а р — размерность оцениваемого функционала. Авторы подчеркивают, что их метод достаточно прост, не требует дополнительных преобразований системы и дает порядок наблюдателя, близкий к к* из работы Tsui [42]. Собственные значения наблюдателя, также как и в [42] могут назначаться произвольно.

Можно также выделить работу Darouach [40], который привел необходимые и достаточные условия существования функционального наблюдателя (0.2) специального класса к = р, то есть с порядком, равным размерности восстанавливаемого функционала: rank сА>

СА rank С.

С.

KF) F).

0.5) rank sF — FA^.

СА С rank.

С FJ.

Vs 6 С, Res > 0.

Для получения этих условий Darouach использует тот факт, что при к = р матрица Т <Е Шрхк наблюдателя (0.2) является квадратной. Оказывается, в этом случае, не ограничивая общности, можно предположить Т = I G Wxp, где I — единичная матрица, и записать третье условие из (0.3) в виде F = Н + 7С. Это существенно упрощает необходимые и достаточные условия построения наблюдателя и позволяет преобразовать их к виду (0.5).

В работах [70]-[71] впервые в достаточно простой форме в 2005 г. были получены необходимые и достаточные условия существования функционального наблюдателя заданного порядка для данного скалярного функционала, которые подробно изложены в настоящей работе.

Параллельно, аналогичный результат в 2006 г. получил коллектив авторов из Deakin University (Trinh, Tran, Nahavandi [46]). Они привели следующее ранговое условие, выполнение которого для некоторого устойчивого спектра Si,., Sk гарантирует существование асимптотического наблюдателя порядка к с этим спектром: функционала F. Фактически, для выполнения условия требуется выбрать такой набор устойчивых собственных значений 5″, г = 1,., fc, чтобы стол.

Таким образом, исследование возможности построения наблюдателя заданного порядка к для данного функционала, а = Fx сводится к вопросу о существовании такого набора Si, г = 1,., к. Используя условия (0.6), авторы приводят несколько примеров решения задачи о минимальном порядке наблюдателя в частных случаях. Однако, в общем случае, когда требуется исследовать вопрос о выполнении условия (0.6) при достаточно больших к, эта задача пока не имеет удовлетворительного решения и требует дальнейшего упрощения.

Заметим, что хотя задача о минимальном функциональном наблюдателе хорошо известна уже более 30 лет, начиная с работ Люенбергера, до сих пор не найдено такого ее решения, которое по детерминированнобец Fj линейно выражался через столбцы N (si), г = 1,., к. му алгоритму давало бы наблюдатель минимально возможного порядка. Решение в простом виде существует только для некоторых частных случаев. Это объясняется сложностью уравнений, которым должны удовлетворять неизвестные матрицы наблюдателя (0.2). Хотя удалось понизить число неизвестных в этих уравнениях путем различных их преобразований, их решение остается трудной задачей. Наибольшую трудность представляет требование устойчивости матрицы наблюдателя, так как его добавление делает систему уравнений нелинейной.

Можно показать, что условия существования наблюдателя (0.3) при заданном к сводятся к системе полиномиальных уравнений и неравенств относительно элементов неизвестных матриц Р, Q, R, Т, 7 и Н. Условия (0.3), кроме первого, являются системами линейных уравнений, а первое условие с помощью критерия Гурвица можно записать в виде системы полиномиальных неравенств. Blondel [53] показал, что задача о поиске решений системы полиномиальных уравнений и неравенств является NP-полной задачей. Фактически, это означает, что с ростом числа неизвестных параметров сложность решения растет экспоненциально. Таким образом, для достаточно больших систем вычисления занимают много времени даже на современных ЭВМ, а задача упрощения условий существования наблюдателя остается актуальной до сих пор.

Также многими авторами рассматривались наблюдатели для неопределенных систем, то есть систем с неизвестной помехой на входе. Исходная система в этом случае имеет вид х — Ах + Ви + Dw.

0.7) у = Сх.

Здесь х G Мп — фазовый вектор системыy{t) 6 1 г — известный выход системыu (t) Е Rm — известный входw (t) бМ? — неизвестное возмущение, А, В, С и D — постоянные матрицы соответствующих размерностей.

В основном используемые методы построения наблюдателей для таких систем сводятся к некоторому невырожденному преобразованию системы и выделению подсистемы, независимой от неизвестного возмущения.

В литературе традиционно разделяются случаи г = q (квадратная система, неизвестное возмущение имеет ту же размерность, что и выход системы) и г > q (гипервыходная система, размерность выхода больше размерности неизвестного возмущения). Большинство известных работ о системах с неопределенностью [38],[33], [36], [41] было посвящено построению наблюдателей состояния различными методами. В частности, Bhattacharyya [33] использует геометрический подход, a Kobayashi и Nakamizu [36] - обращение системы.

Для случая г = q Нои и Muller [38], а также Darouach [41] показали, что собственные значения наблюдателя не могут назначаться по произволу. Для некоторых случаев доказано, что асимптотического наблюдателя вообще не существует.

Получены результаты и для функциональных наблюдателей. Можно выделить работу Trinh и На [45], где приводится модификация условий (0.3) существования наблюдателя вида (0.2) для случая системы с неопределенностью на входе (0.7):

1) Р — устойчивая матрица,.

2) НАРН = RC,.

3) Q = HB,.

4) F = ТН + 7(7,.

5) HD = 0.

Единственное отличие от условий (0.3) — наличие ограничения HD = 0, которое обеспечивает сходимость оценки наблюдателя к искомому функционалу при любом внешнем возмущении.

Используя полученные условия, Trinh и На предлагают для случая г > q (гипервыходная система) алгоритм построения функционального наблюдателя порядка к>р{п~г) г — q с произвольно задаваемым спектром.

Xiong и Saif [31] приводят необходимые и достаточные условия возможности построения наблюдателя, который восстанавливает не только некоторый функционал состояния, но и неизвестное возмущение, действующее на систему. Предполагается, что неизвестное возмущение, а также его производная, ограничены. Наблюдатель существует тогда и только тогда, когда.

1. rank CD = rank С;

2. Все неустойчивые передаточные нули системы {С, A, D} одновременно являются ненаблюдаемыми модами пары {С, А}.

Постановка задачи.

Целью диссертационной работы является развитие новых методов построения функциональных наблюдателей для широкого класса линейных систем, усовершенствование существующих процедур синтеза и усиление оценок минимального порядка наблюдателей.

Основная задача работы — построение в общем случае функционального наблюдателя минимально возможного порядка. Можно выделить две разновидности задач о построении таких наблюдателей:

1. Построение асимптотического функционального наблюдателя минимального порядка для заданного функционала.".

Единственным ограничением на наблюдатель является асимптотическая сходимость оценки к функционалу, скорость сходимости не важна. Таким образом, минимальный порядок такого наблюдателя можно обозначить как k*(F), где F G Мрхп — матрица функционала. Эта задача рассматривалась в работах [13], [21],[46],[70],[71].

2. Построение минимального функционального наблюдателя для заданного функционала, обладающего произвольным спектром. Дополнительное ограничение для этой задачи состоит в том, чтобы спектр минимального наблюдателя можно было задать произвольным устойчивым, без повышения порядка. Как раз эту задачу впервые рассмотрел Люенбергер [3]. Далее, ей были посвящены работы [25], [44], [40] и [42].

Решение задачи второго вида обычно имеет более простую форму, чем решение задачи первого вида, так как отсутствуют ограничения на спектр наблюдателя. Таким образом, в случаях, где не так важно получение строго минимального наблюдателя, или свобода назначения спектра важнее, предпочтительнее решать вторую задачу.

С основной задачей тесно связано получение необходимых и достаточных условий существования функционального наблюдателя порядка к в общем случае. Важно отметить, что необходимые и достаточные условия существования наблюдателя приводились в литературе и ранее, однако все они имеют достаточно сложную форму. Решение систем матричных уравнений, составляющих эти условия, представляется весьма трудной задачей. Таким образом, одной из задач работы было получение необходимых и достаточных условий в краткой и легко вычислимой форме.

Также, для того, чтобы необходимые и достаточные условия можно было применять в решении задач, требуется и алгоритм построения наблюдателя порядка к, который работает при условии, что условия обеспечивают возможность существования наблюдателя такого порядка. Такие алгоритмы, а также их программные реализации, предложены в работе и непосредственно вытекают из формулировки необходимых и достаточных условий. В случаях, когда не удается получить условия в простой форме, даны алгоритмы, позволяющие получить наблюдатели пониженного, но не обязательно минимального, порядка, а также улучшить ранее приведенные в литературе оценки минимального порядка наблюдателя. Если известны условия применимости алгоритма построения наблюдателя, то очевидным образом можно получить оценку сверху минимального порядка наблюдателя для класса функционалов, к которым алгоритм применим.

Все вышеописанные задачи относятся к полностью определенным системам, однако важный класс задач составляют задачи о наблюдателях для неопределенных систем. Под неопределенностью в данной работе понимается наличие на входе системы неизвестного возмущения. Для таких систем ставятся те же задачи, что и для полностью определенных, и применяются те же методы построения наблюдателей, однако наличие неопределенности ограничивает область применимости методов, а иногда и спектр получающегося наблюдателя. Наиболее простой способ построить наблюдатель для неопределенной системы — свести задачу к задаче о наблюдателе для полностью определенной системы, и это делается во всех случаях, где такой переход возможен. В оставшихся случаях требуется, налагая по возможности минимальные ограничения на систему и наблюдатель, применить, один из методов построения наблюдателей непосредственно к исходной системе.

Содержание диссертации.

Целесообразно вести рассмотрение задач о функциональных наблюдателях от простых к более сложным.

Таким образом, естественно начать с системы со скалярным выходом (-у = Сх G М) и скалярного восстаналиваемого функционала, а = Fx? Е. В этом случае матрица выхода системы и матрица функционала имеют размерности С? Rlxn и F? Rlxn соответственно, то есть г = р = 1. Этот случай обозначим как Single Output, Single Function (SOSF), по аналогии с распространенной классификацией систем по количеству входов и выходов SISO-SIMO-MISO-MIMO.

На примере случая SOSF наиболее просто проиллюстрировать два метода построения функциональных наблюдателей, описанных в данной работе — метод псевдовходов и метод скалярных наблюдателей. В этом случае они дают одинаковые необходимые и достаточные условия существования функционального наблюдателя порядка к. Наиболее простой вид эти условия принимают для систем со скалярным выходом, когда система находится в канонической наблюдаемой форме Люенбергера.

Теорема 0.1. Пусть система (0.1) находится в канонической наблюдаемой форме. Линейный функционал, а = fx G R, где f = ., f^j, а х € Жп — вектор состояния системы, восстанавливается наблюдателем порядка к тогда и только тогда, когда существует вектор I = (/i,., lk) T, являющийся решением системы h h h /з fk fk+i V h fk+1^ fk+2.

0.8) fn-k-1 fn-k • • • fn—2 у J-k У fn-1У и такой, что полином pi (s) = sk + sk~llh +. + h — гурвицев3.

Замечание. (0.8) имеет решение (не обязательно гурвицево) тогда и только тогда, когда выполнено ранговое условие: rank fi /2 • • • fk /2 /з • • • fk+1 rank.

1 /2.

2 /з fk+l fk+2 fn—k—l fn—k • • • fn—1У.

0.9) fn—k—l fn—k • • • fn—2 J Таким образом, вопрос о существовании наблюдателя сводится к поиску пересечения множества решений системы линейных уравнений и мно.

3 В дальнейшем будем называть столбец I — (/i,., lh) T, такой, что полином pi (s) = sk + sk~1lk +. + /1 — устойчив, гурвицевьш столбцом. жества векторов, элементы которых являются коэффициентами гурвице-вых полиномов.

Результаты, полученные при анализе случая SOSF, легко распространить на случай г = 1, р > 1, то есть систему со скалярным выходом и векторный функционал размерности р > 1 (Single Output, Multiple Functions). В случае SOMF оба метода построения наблюдателей также приводят к одинаковым результатам, а необходимые и достаточные условия существования наблюдателя порядка к имеют чуть более сложный вид, чем в случае SOSF. Подробное рассмотрение методов построения функциональных наблюдателей для случаев SOSF и SOMF дано в Главе 1.

Более сложным является получение необходимых и достаточных условий существования функционального наблюдателя порядка к для систем с многими выходами (Multiple Outputs). В этом случае метод псевдовходов не применим, так как предполагает представление системы в виде одной передаточной функции. В случае MOSF метод скалярных наблюдателей с использованием канонической наблюдаемой формы Люенбергера [3], позволяет получить необходимые и достаточные условия, аналогичные условиям для случаев SOSF и SOMF. Метод скалярных наблюдателей для систем с векторным выходом описан в Главе 2.

Полученные в двух первых главах необходимые и достаточные условия существования наблюдателя порядка к позволяют осуществить следующий алгоритм построения функционального наблюдателя минимального порядка для классов систем и функционалов SOSF (или SOMF, MOSF) по одной и той же схеме:

1. Найти минимальное значение к = к*, при котором выполняется ранговое условие (0.9) (или аналогичное для случаев SOMF, MOSF). При любом значении к > к* система (0.8) разрешима.

2. Далее, перебором значений к (к* < к < п — 1) находим минимальное значение к = к**, при котором среди решений системы (0.8) (или аналогичной для случаев SOMF, MOSF) есть гурвицев столбец I.

3. Для найденного значения к — к** и гурвицева столбца I строится наблюдатель, такой, что pi (s) — характеристический полином матрицы наблюдателя.

Однако, наибольший интерес представляет случай системы с векторным выходом и векторного функционала (Multiple Outputs, Multiple Functions). Для этого случая пока не удалось найти простых необходимых и достаточных условий существования наблюдателя порядка к. Однако, в данной работе в Главе 3 приведена оценка сверху на порядок минимального функционального наблюдателя в этом случае, выполненная для почти всех функционалов размерности р:

Теорема 0.2. Пусть система (0.1) с г выходами находится в канонической форме наблюдаемости, индексы наблюдаемости ь> >. > vr упорядочены по неубыванию. Тогда почти для всех функционалов, а = Fx заданной размерности F е существует асимптотический наблюдатель порядка к*: г к = 'У ^ ki] г=1.

0.10) ki = max (z/- — 1.

E}=i % к = v — 1.

0),.

Для любого устойчивого, вещественного и различного спектра, А = {Ai,., Xk*} найдется сколь угодно близкий к нему устойчивый, вещественный и различный спектр А', такой, что можно построить наблюдатель для функционала, а порядка к* со спектром А'.

Эта оценка улучшает ранее приведенную Tsui [42] оценку min (p, r) fc*< Ё с""-1)-i=1.

Наблюдатели для систем с неизвестной помехой на входе рассмотрены в Главе 4. Здесь рассматриваются только системы с числом входов, не превосходящим число выходов (г > га). Для гипервыходных систем (г > т) проводятся преобразования, сводящие задачу к задаче о функциональном наблюдателе для определенной системы, которую можно решать методами, описанными в предыдущих главах.

Данные преобразования изложены в работах [67]-[68]. Предполагается, что для исходной системы (0.7) выполнены следующие предположения: Предположение (П.1): г > га, то есть число выходов больше числа неизвестных входов.

Предположение (П.2): Матрицы С, D и CD — полного ранга, т. е. rankC = rrank D — т rank C. D = т. Предположение (П.З): Инвариантные нули матрицы Розенброка.

Е (?(n+r)x (n+m) si-АD.

С 0 дм = т. е. числа s € С такие, что rank R (s) < п -1- га, лежат в левой открытой полуплоскости комплексной плоскости С, либо отсутствуют. Эти числа определяют так называемую нулевую динамику и, согласно П. З, нулевая динамика системы асимптотически устойчива либо отсутствует. Предположение (П.4): Пара {С, А} - наблюдаема.

В этом случае можно представить выход y (t) в виде.

2/ =.

М (г ^.

У Сix.

У21.

С2х j yi е у2 е.

Более того, можно указать преобразование системы (0.7), сводящее задачу к задаче о наблюдателе для определенной системы пониженного порядка х' = Апх' + А12У1 + Biu,.

0.11).

У = С'2х' где х' € неизвестный фазовый вектор, а у = У2 — C2yi, где.

С'2 G M^" m) xm — постоянная матрица. В представлении (0.11) х' не зависит явно от возмущения w (t). Таким образом, для системы (0.11) с известными входами у и и и выходом у уже можно строить наблюдатель вышеописанными методами для полностью определенных систем.

Более интересен случай квадратной системы (г = т > 1) с восстанавливаемым скалярным функионалом. Здесь, как и в случае гипервыходной системы, проводится преобразование системы с выделением нулевой динамики. Однако, далее к полученной MOSF-системе непосредственно применяется метод скалярных наблюдателей, что позволяет получить необходимое и достаточное условие существования наблюдателя порядка к. При этом собственные значения наблюдателя могут выбираться только из собственных значений нулевой динамики системы, которая должна быть устойчивой.

Основные результаты диссертации изложены в работах [66]-[73]. Результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. На международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2004» (Москва, Россия, 2004 г.).

2. На научной школе-конференции «Мобильные роботы» (Москва, Россия, 2005 г.).

3. На международной конференции «Системный анализ и информационные технологии» (Обнинск, Россия, 2007 г.).

4. Неоднократно на семинаре по проблемам нелинейной динамики и управления при МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством академика РАН С. К. Коровина (Москва, 2004;2008).

1. Luenberger D.G. An introduction to observers // 1. EE Trans. Automatic Control AC-16 (1971), 596−603.

2. Luenberger D.G. Determining the State of a Linear System with Observers of Low Dynamic Order // Ph.D. dissertation, Stanford University, 1963.

3. Luenberger D.G. Observers for multivariable systems // IEEE Trans. Automatic Control AC-11(1966), 190−197.f.

4. Luenberger D.G. Canonical forms for linear multivariable systems // IEEE Trans. Automatic Control, V.12, № 3, 1967, 290−293.

5. O’Reilly J. Observers for linear systems // Academic Press Inc. (London), 1983.

6. Basile G., Marro G. On the observability of linear, time-invariant systems with unknown inputs // Journal of Optimization Theory and Applications, V.3, № 6, 1969, 410−415.

7. Bass R.W., Gura I. // High-order system design via state-space considerations. Preprints Joint Automatic Control Conf. Atlanta, Georgia, June 1965.

8. Corless M., Tu J. State and input estimation for a class of uncertain systems // Automatica, V.34, 1998, 757−764.

9. Jameson A., Rotschild D. A direct approach to design of asymptotically optimal controller // Internat. J. Control 13 (1971), 1041−1050.

10. Fairman F.W., Gupta R.D. Design of multi-functional reduced order observers // Internat. J. Systems Science 11 (1980), 1983;1094.

11. Fairman F.W., Gupta R.D., Hinamoto T. A direct procedure for the design of single functional observers // IEEE Trans. Circuits and Systems, V.28, № 4, 1981, 294−300.

12. Fairman F.W., Mahil S.S., Luk L. Disturbance decoupled observer design via singular value decomposition // IEEE Trans. Automatic Control, V.29, M, 1984, 84−86.

13. Fortmann Т.Е., Williamson D. Design of low-order observers for linear feedback control laws // IEEE Trans. Automatic Control AC-17 (1972), 301−308.

14. Isidori A. Nonlinear Control Systems // London: Springer Verlag, 1995.

15. Kailath Т., Sayed A.H., Hassibi B. Linear estimation // Prentice Hall. Upper Saddle River, NJ, 2000.

16. Kalman R.E. Mathematical description of linear systems // SIAM J. Control, V. l, 1963, 152−192.

17. Kalman R.E. Lectures on controllability and observability // C.I.M.E., Bologna, 1968.

18. Marquez H.J. A frequency domain approach to state estimation // Journal of Franklin Institute, V.340, № 2, 2003, 967−972.

19. Meada H., Hino H. Design of optimal observers for linear time-invariant systems // Internat. J. Control, V.19, 1974, 993−1004.

20. Moore J.B. A note on minimal-order observers // IEEE Trans. Automatic Control AC-17 (1972), 255−256.

21. Moore J.B., Ledwich G.F. Minimal-order observers for estimating linear functions of a state vector // IEEE Trans. Automatic Control AC-20 (1975), 623−632.

22. Murdoch P. Observer design for a linear functional of the state vector // IEEE Trans. Automatic Control AC-18 (1973), 308−310.

23. Murdoch P. Design of degenerate observers // IEEE Trans. Automatic Control AC-19 (1974), Issue 9, 441−442.

24. Roman J.R., Bullock Т.Е., Jones L.E. Observing a function of the state // Proc. IEEE Decision And Control Conf. San Diego, California, December 1973.

25. Roman J.R., Bullock Т.Е. Design of minimal-order stable observers for linear functions of the state via realization theory // IEEE Trans. Automatic Control AC-20 (1975) 613−622.

26. Rosenbrock H.H. State-space and multivariable theory // London: Nelson, 1970.

27. Rosenbrock H.H. The zeros of a system // International J. of Control, V.18, № 2, 1973, 297−299.

28. Schumacher J.M. On the minimal stable observer problem // Internat. J. Control 32 (1980), 17−30.

29. Wonham W.M., Morse A.S. Feedback invariants of linear multivariable systems // Automatica 8 (1972), 93−100.

30. Wonham W.M. Linear multivariable control: A geometric approach. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems // Berlin: Springer, 1974.

31. Xiong Y., Saif M. Unknown disturbance inputs estimation based on a state functional observer design // Automatica, V.39, № 8, 2003, 1389−1398.

32. Yiiksel Y.O., Bongiorno J.J. Observers for multivariable systems // IEEE Trans. Automatic Control, V.16, 1971, 603−621.

33. Bhattacharyya S. Observer design for linear systems with unknown inputs // IEEE Trans. Automatic Control, V.23, № 3, 1978, 483−484.

34. Kudva P., Viswanadham N., Ramakrishna A. Observers for linear systems with unknown inputs // IEEE Trans. Automatic Control, V.25, № 1, 1980, 113−115.

35. Kurek J.E. The state vector reconstruction for linear systems with unknown inputs // IEEE Trans. Automatic Control, V.28, № 12, 1120−1122.

36. Kobayashi N., Nakamizo T. An observer design for linear systems with unknown inputs // International Journal of Control, V.35, № 4, April 1982, 605−619.

37. Guan Y., Saif M. A novel approach to the design of unknown input observers // IEEE Trans. Automatic Control, V.36, № 5, 1991, 632−635.

38. Hou M., Muller P.C. Design of observers for linear systems with unknown inputs // IEEE Trans. Automatic Control, V.37, № 6, 1992, 871−875.

39. Hou M., Muller P.C. Disturbance decoupled observer design: A unified view point // IEEE Trans. Automatic Control, V.39, № 6, 1994, 1338−1344.

40. Darouach M. Existence and design of functional observers for linear systems // IEEE Trans, on Automatic Control, 2000, V.45, № 5, 940−943.

41. Darouach M., Zasadzinski M., Xu S.J. Full-order observers for linear systems with unknown inputs // IEEE Trans. Automatic Control', V.39, № 3, 1994, 606−609.

42. Tsui C.C. On the order reduction of linear function observers // IEEE Trans. Automatic Control, V.31, № 5, 1986, 447−449.

43. Tsui C.C. A new design approach to unknown input observers // IEEE Trans. Automatic Control, V.41, № 3, 1996, 464−468.

44. Aldeen M., Trinh H. Reduced-order linear functional observer for linear systems // IEEE Proc.-Control Theory Appl, Vol. 46, № 5, 1999 399−405.

45. Trinh H., Ha Q.P. Design of linear functional observers for linear systems with unknown input // International Journal of Systems Science 31 (2000), № 6, 741−749.

46. Trinh H., Tran T.D., Nahavandi S. Design of scalar functional observers oforder less than (v-l) // International Journal of Control, V.79, № 12, 2006, 1654−1659.

47. Tarski A. A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry // Bull. Amer. Math. Soc. 59 (1953), 91−93.

48. Seidenberg A. A New Decision Method for Elementary Algebra // The Annals of Mathematics, 2nd Ser., V.60, № 2 (Sep., 1954), 365−374.

49. Collins G.E. Hauptvortrag: Quantifier elimination for real closed fields by cylindrical algebraic decomposition // Proceedings of the 2nd GI Conference on Automata Theory and Formal Languages, 1975, 134−183.

50. Dorato P., Kun Li, Kosmatopoulos E.B., Ioannou P.A., Ryaciotaki-Boussalis H. Quantified multivariate polynomial inequalities. The mathematics of practical control design problems // IEEE Control Systems Magazine, V.20, № 5, Oct. 2000, 48−58.

51. Garloff J., Graf B. Solving strict polynomial inequalities by Bernstein expansion // Symbolic Methods in Control System Analysis and Design, N. Munro. Ed., London: IEE, 1999, 339−352.

52. Vidyasagar M. Randomized algorithms for robust controller synthesis using statistical learning theory // Automatica, V.37, № 10, 2001, 1515−1528.

53. Blondel V., Tsitsiklis J. NP-hardness of Some Linear Control Design Problems // SIAM Journal on Control and Optimization, V.35, № 6, 1997, 2118−2127.

54. Parrilo P.A. Semidefinite programming relaxations for semialgebraic problems // Mathematical Programming, V.96, № 2, May 2003, 293−320.

55. Parrilo P.A., Sturmfels В. Minimizing Polynomial Functions // Arxiv preprint math. OC/103 170, 2001.

56. Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами // М.: Наука, Физматлит, 1976.

57. Воронов А. А. Устойчивость. Управляемость. Наблюдаемость. // М.: Наука. Физматлит, 1976.

58. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц // М.: Наука. Физматлит, 1967; М.: ФМЛ, 2004.

59. Смагина Е. М. Вопросы анализа линейных многомерных объектов с использованием понятия нуля системы. // Издательство томского Университета, Томск, 1990.

60. Черников С. Н. Линейные неравенства. // М.: Наука. Физматлит, 1968, с. 77−84.

61. Коровин С. К., Фомичев В. В., Ильин А. В., Хлавенка А. Асимптотические наблюдатели состояния неопределенных векторных линейных систем // Докл. РАН. Теория управления, 2004, Т.396, № 4, 469−473.

62. Коровин С. К., Фомичев В. В., Ильин А. В., Хлавенка А. Синтез асимптотических наблюдателей для линейных векторных неопределенных систем // Дифференц. уравнения, 2005, Т.41, № 1, 73−81.

63. Коровин С. К., Фомичев В. В., Ильин А. В., Хлавенка А. Наблюдатели для линейных динамических систем с неопределенностью // Дифференц. уравнения, 2005, Т.41, Ml, 1443−1457.

64. Ильин А. В., Коровин С. К., Фомичев В. В. Об уравнениях и свойствах нулевой динамики линейных управляемых стационарных систем // Дифференц. уравнения. 2006, Т.42, № 12, 1626−1636.

65. Фомичев В. В., Медведев И. С. Построение функциональных наблюдателей для неопределенных систем // Дифференц. уравнения, 2004, Т.40, № 8, 1146−1147.

66. Коровин С. К., Медведев И. С., Фомичев В. В. Функциональные наблюдатели для линейных систем с неопределенностью // Дифференц. уравнения, 2006, Т.42, № 10, 1307−1317.

67. Коровин С. К., Медведев И. О., Фомичев В. В. О минимизации порядка функционального наблюдателя // Дифференциальные уравнения, 2005, Т.41, № 8, 1148.

68. Коровин С. К., Медведев И. С., Фомичев В. В. Минимальные функциональные наблюдатели // Докл. РАН. 2005, Т.404, № 3, 316−321.

69. Коровин С. К., Медведев И. С., Фомичев В. В. Функциональные наблюдатели минимального порядка // Нелинейная динамика и управление. Вып. 5. М.: Физматлит, 2006, 25−44.

70. Коровин С. К., Ильин А. В., Медведев И. С., Фомичев В. В. К теории функциональных наблюдателей и стабилизаторов заданного порядка // Докл. РАН. 2006, Т.409, № 5, 601−605.

71. Коровин С. К., Медведев И. С., Фомичев В. В. Функциональные наблюдатели для линейных неопределенных стационарных динамических систем // Докл. РАН. 2006, Т.411, № 1, 316−320.

72. Медведев И. С. Оценка гарантированного минимального порядка функционального наблюдателя для случая векторной системы и векторного функционала // Дифференц. уравнения, 2007, Т.43, № 2, 282−283.