Разрешимость краевых задач для 2n-параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции

Актуальность темы

Пусть Е комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением (¦, •) и нормой || • || и В, L линейные операторы, действующие в нем. Рассмотрим уравнение.

But = Lu + f, t G (О, Т), (Т < оо), (1).

Краевые задачи для уравнения (1) представляют собой абстрактную форму многих краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, для интегро-дифференциальных уравнений. Даже в этот простейший класс уравнений входит значительное количество задач, возникающих в математической физике.

Для уравнений соболевского типа (спектр пучка L + ХВ содержится в одной из полуплоскостей вида ReX < а, ReX > а) это задачи гидро и газовой динамики, теории упрогости и некоторые другие. Среди работ, посвященных таким уравнениям, отметим [41, 65, 72, 124, 125, 142].

Уравнения не типа Соболева (как правило, это означает, что спектр оператора В содержит одновременно бесконечные подмножества положительной и отрицательной полуоси) возникают в гидродинамике при изучении движения жидкости со знакопеременным коэффициентом вязкости, в теории переноса при описании процессов переноса нейтронов в ядерном реакторе, рассеивания электронов в металле, в частности плите, проникновения х-лучей и 7-лучей сквозь рассеивающую среду, движения частиц (нейтронов, фотонов, электронов и т. д.) в некоторой среде [8, 16, 25, 26, 45, 47, 54, 70]. Так же они возникают в геометрии, популяционной генетике [17, 68, 69] и некоторых других областях.

Исследованием уравнения (1) соболевского типа в различных случаях пространства Е и операторов В, L занимались многие математики, среди них К. Вейерштрасс, JI. Кронекер, Ф. Р. Гантмахер, Ю. Е. Бояринцев, математики из школы С. Г. Крейна, В. Б. Осипов, С. Д. Эйдельман, С. П. Зубова, К. И. Чернышев, P.E. Шовальтер, А. Г. Руткас, Н. И. Радбель, H.A. Сидоров, М. В. Фалеев, А. И. Кожанов, А. Фавани, Г. А. Свиридюк, И. В. Мельников, М.А. Альшан-ский и др.

Уравнение вида (1), не являющееся уравнением соболевского типа, в абстрактной форме исследовалось, например, Р. Билсом, Н. В. Кисловым, В. Гринбергом, К.В.М. ван дер Ми, П. Ф. Звейфелом, С. Г. Пятковым, П. Гри-свардом. Среди методов, применяемых для исследования разрешимости краевых задач для таких уравнений, можно выделить вариационный метод, основанный на проекционных теоремах типа Лакса-Мильграма, методы теории полугрупп, метод Фурье (разложение по собственным функциям).

В работах Н. В. Кислова [50, 52, 53] рассматрены дифференциально-операторные уравнения вида (1) в случае, когда операторы Ь, В симметричные в гильбертовом пространстве Е, причем Ь положительный. Была сформулирована и доказана проекционная теорема, являющаяся обобщением известной теоремы Лакса-Мильграма, позволяющая доказывать существование и единственность слабых и сильных решений краевых задач для уравнения (1). Также было доказано, что сильные решения неоднородных краевых задач обладают гладкостью, достаточной для существования следов решений в соответствующих пространствах.

Отметим, что для уравнений соболевского типа или близких к ним, а также и для некоторых уравнений, не принадлежащих соболевскому типу, корректна обычная задача Коши или задача близкая к ней. Иная ситуация в случае, если уравнение не является уравнением типа Соболева. Ранее, в работах [б, 8, 10, 37, 53, 81, 134] были изучены корректные краевые задачи для модельных уравнений вида (1). В этом случае при исследовании вопросов разрешимости, единственности и устойчивости решений возникают ряд проблем, связанных в основном с тем фактом, что на данном временном интервале решение данной задачи не всегда существует. Как правило, оно существует (например, решение первой начально-краевой задачи), но на некотором малом временном промежутке, а далее может разрушиться в том смысле, что решение или его производные могут обратиться в оо. Примером может служить тот случай, когда коэффициенты уравнения на какой-то поверхности в области задания уравнения плохо себя ведут, например, обращаются в оо. Другими примерами, не очень хороших сингулярных параболических задач служат параболические уравнения с меняющимся направлением времени, которые являются предметом исследования данной диссертационной работы. Это уравнения вида д (х, t) ut + L{x, t, Dx) u = f{x, t), (x, t) eQ = Gx (0, T) (T < oo), (2) где L — эллиптический оператор порядка 2m, определенный в некоторой области G С W1 и заданный некоторым дифференциальным выражением.

Lu = ^ aa (x, t) Dau а<2 т и набором краевых условий вида.

BjUs= Y, bjia{x, t) Daus, S = dGx (0,T). (3) q|.

В большинстве работ рассматривались следующие краевые условия при t = 0nt = T: и1=0 = щ (х) (xGG+(0)), ut=T = uT (x) (xeG-(T)), (4) где G+(0) = {х Е G: д (х, 0) > 0}, G~(T) = {х G G: д (х, Т) < 0}.

Параболические уравнения с меняющимся направлением времени и задачи вида (2)-(4) часто возникают в физике. Приведем ряд работ, где рассматривались различные физические процессы, описываемые этими уравнениями: теория переноса, рассеивание электронов [8, 45, 12, 26, 13], осцилляция плазмы [47], стационарные волны в плазме [43], кинетическая теория [54], диффузионные процессы и процессы переноса, уравнение Фоккера-Планка, Крамерса и др. [7]-[11], [46], [130] теория вероятностей процессов Ohrnsyein-Uhlenbeck [82], перенос радиации [127], уравнения гидродинамики, теория фильтрации [15, 75, 76, 77, 78, 158, 67].

Первыми работами, посвященными уравнениям параболического типа с меняющимся направлением времени, по-видимому, были работы М. Жевре [37, 38]. Он рассматривал уравнение вида sgn х xput = а (х, t) uxx + b (x, t) uxf с (ж, t) u + /, где p > 0, a (x, t) > 5 > 0, показал, что при некоторых предположениях это уравнение есть каноническая форма параболического уравнения типа.

А (х, t) ut = а (х, t) uxx + b (x, t) ux + с (х, t) u + /, где коэффициент А (х, ?) меняет знак, рассмотрел вопрос о единственности решений вышеприведенной краевой задачи (2)-(4) (принцип максимума) и свел вопрос о ее разрешимости к вопросу о разрешимости интегрального уравнения типа Абеля. В связи с этим отметим, что задача вида (3)-(5) в ряде работ была названа задачей Жевре.

После долгого перерыва наиболее интенсивно уравнения вида (2) начали исследоваться в 60−70е годы. В работе М. С. Бауэнди и П. Гривара [б] рассмотрено параболическое уравнение с меняющимся направлением времени д2ти хи* + Н)" ^ = ^ *) е (а, 6) X (О, Т), а < 0 < 6 с краевыми условиями дки Л, ;

0, к = 0, ш — 1,.

0Х х=а, Ь и (х, 0) = щ (х) при х > 0, и (х, Т) = 11 т (х) при х < 0.

Применение вариационных методов (проекционной теоремы Лионса) позволило им доказать существование и единственность слабого решения.

С.Д. Пагани и Г. Таленти [81] исследовали уравнение sgnхщ = иххки + /, ОМ) е (-1,1) х (0, оо).

С помощью теории интегральных уравнений Винера-Хопфа доказаны теоремы существования классического (регулярного) решения.

С.А. Терсеновым (80−90 годы) в ряде работ исследовалось, в частности, модельное параболическое уравнение с меняющимся направлением времени sgnхщ = ихх, е (-1,1) х (0,Г), и ряд других модельных уравнений которые с помощью теории потенциала редуцировались к системе сингулярных интегральных уравнений. Как известно, в обычных краевых задачах для строго параболических уравнений гладкость начальных и граничных данных без дополнительных условий полностью обеспечивает принадлежность решения пространствам Гельдера Нр’р/2. Но в случае уравнений с меняющимся направлением времени гладкость начальных и граничных данных далеко не обеспечивает принадлежность решения этим пространствам. С. А. Терсеновым в простейших случаях получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи в пространствах при р > 2. При этом условия ортогональности, которым должны удовлетворять данные задачи, были выписаны в явном виде.

Далее краевые задачи вида (1), (2) рассматривались в многочисленных работах C.B. Попова [88]-[105]. Его работы главным образом посвящены уравнениям вида дп (дпи h (x) sgn хщ — (-l)n+1— i ф, с (х, t) u = f (t, х): где функции h (x), k (x, t) знакоопределены. Исследовался вопрос о существовании решений краевой задачи (2)-(4) в пространствах Гельдера. Им также, как и С. А. Терсеновым, выписывались условия типа ортогональности, при выполнении которых при повышении гладкости данных задачи повышалась и гладкость решений. Отметим, что в одномерном случае число необходимых условий ортогональности конечно. В то же время в многомерном случае число условий ортогональности (интегрального характера) бесконечно. По-видимому, впервые этот факт был отмечен в работах С. Г. Пяткова [114, 115].

В этих работах С. Г. Пятков исследовал параболическое уравнение с меняющимся направлением времени m? m g (x)ut = ?^(M^ + S bi (x> + u + i, j=1 1 i=1 где x 6 fi С M™, t € (0,7″) с краевыми условиями (4). Изучены свойства собственных функций соответствующей спектральной задачи, с помощью которых доказана разрешимость краевой задачи. Как упоминалось выше, в работах С. А. Терсенова в случае m = 1 при повышении гладкости данных задачи решение будет гладким при выполнении некоторого конечного числа условий ортогональности. С. Г. Пятковым показано, что в случае m > 1 число условий ортогональности бесконечно. Им доказаны теоремы о безусловном повышении гладкости решений с некоторым весом.

В работе С. Г. Пятковым [118] исследовалось уравнение в частных производных m п Q п.

J2ki (x>y)uVi = Y^ ^(aij (x, y) uXj) +^bi (x, y) uXi-^c (x, y) u^ f (x, y), i=1 г, j=1 1 г=1 где х? П С? С Мш. Это уравнение при т = 1 входит в класс рассматриваемых уравнений (1). Вариационными методами доказаны теоремы существования и единственности слабого решения. Также показано, что при повышении гладкости данных задачи повышается внутренняя гладкость решения.

Как было отмечено, уравнения вида (2) возникают в теории переноса [25, 47, 54]. Например, уравнение переноса нейтронов при определенных предположениях имеет вид 1 шх (х, = а (ц)и{х, ц) — ! К (ц, и) и (х, 1>)(11>, {хф) € (—а, а) X (—1,1).

— 1.

Уравнения такого вида исследовались, например, в работах М. Мохтар-Харуби и X. Латрака [68, 69, 70]. В частности, они занимались спектральной теорией.

В. Гринберг [24] исследовал систему уравнений, описывающих многогрупповой перенос нейтронов 1 шх (х, ?1) = Ей (я, ¡-л) — С J и{х, г/) (¿-и, (х, ц)? (—а, а) х (—1,1),.

— 1 где и = (щ,., ип) Т, Е — диагональная положительная матрица и С = постоянная симметрическая матрица. Он рассматривал случай (?е?(Е — С) ф 0. Используя функциональный подход, в частности, теорию пространств с индефинитной метрикой, он представил решение системы явно.

Также в теории переноса для описания процесса рассеивания электронов предлагается следующее уравнение.

Он $ ди.

Это уравнение и связанная с ним спектральная задача рассматривалась, например, в работах Р. Билса [8], X. Капера, Г. Леккеркеркера, А. Зеттла [45]. Р. Билсом были доказаны теоремы об однозначной разрешимости краевых задач (4) для этого уравнения.

В работе M. Клауса, К.В.M. ван дер Ми и В. Протопопеску [59] даны два эквивалентных метода построения в явном виде решения краевой задачи д ди ~ q№u (x> я G (0, оо), fie (а, Ъ), u (0,/i) = u+(/j), если и}(ц) > О, \и{х^)\ь2,ш (а, Ь)=0(1) ИЛИ о (1) При Я ->00 и и (х, ц) удовлетворяет самосопряженным краевым условиям оператора Lh = — (ph1)'. Функция со меняет знак на (а, Ь) конечное число раз. В класс рассматриваемых ими уравнений входят уравнение рассеивания электронов, уравнение Фоккера-Планка [10]. Первый из предложенных методов основан на разложении по собственным функциям, а второй использует теорию интегральных уравнений типа Винера-Хопфа и факторизацию.

Среди других работ, посвященных уравнениям (2) отметим работы Н. В. Кислова [50, 52, 53], Х. Х. Ахмедова [4], И. Е. Егорова [30]-[36], Б. Спиглер [130], М. Клаус, К.В.М. ван дер Ми и В. Протопопеску [59], С. Г. Пяткова [111]-[120], H.JI. Абашеевой [1, 2].

Можно сказать, что на сегодняшний день сколько-нибудь полной теории краевых задач для уравнения (2) не существует. Делаются попытки создать хоть какую-нибудь общую теорию. Например, работа С. Г. Пяткова [121] посвящена ½ — теории краевых задач для уравнения вида (2), иследован вопрос о разрешимости и свойствах решений краевых задач. В работе С. Н. Глазатова [22] анонсируются новые результаты в теории краевых задач для некоторого класса линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, который включает в себя прямые и обратные параболические, вырождающиеся параболические уравнения, параболические уравнения с меняющимся направлением времени и стационарные уравнения. Оказывается, что для всего этого класса корректна одна и та же краевая задача. Автор утверждает, что с этой точки зрения более уместно говорить не о различных типах уравнений в рамках формальной классификации, а об одном классе уравнений специального вида с одной выделенной переменной, которые, вообще говоря, не разрешены относительно производной по этой переменной. В работе рассмотрена ¿—периодическая задача, которая не рассматривалась в ранее известных работах. Для ¿—периодической задачи выведена теорема существо.

1 2 вания и единственности в пространстве W2' (Q).

В работе И. М. Петрушко, Е. В. Черных [83] изучены ряд свойств решений параболических уравнений с меняющимся направлением времени, улучшены результаты работ С. Г. Пяткова [115] и И. Е. Егорова [33].

Также следует отметить, что интерес к краевым задачам с меняющимся направлением времени в конкретной постановке в последние годы привлекает внимание многих специалистов по теории дифференциальных уравнений в частных производных. Следует отметить работы учеников Н. В. Кислова. Так в работе [55] исследуется задача Жевре для уравнения щ — sgn х • ихх = О в прямоугольнике [—1,1] х [0,Т] с обобщенными условиями склейки на линии разрыва. Методом разделения переменных показано существование и единственность классического решения при некоторых естественных условиях склейки, выписан ортонормированный базис и найдена асимптотика собственных значений. Далее в работе [56] исследуется обобщенное решение неоднородной краевой задачи. В работах [58, 57] исследуется краевая задача для данного же уравнения в полосе, рассмотрены классические решения, исследована гладкость решений на границе в классе липшиц-непрерывных граничных условий. Преимущество этих работ в том, что решение ищется в явном виде, с помощью которого исследуются различные свойства этих решений.

Есть ряд работ, посвященных отысканию в явном виде фундаментальных решений уравнений вида (2). В частности, в работе [23] построено фундаментальное решение уравнения иуу — sgnyypux = 0, с помощью которого получено явное решение неоднородной первой краевой задачи, в работе [40] приводится исторический обзор результатов, связанных с фундаментальными решениями наиболее известных уравнений старших порядков. Можно отметить также работы [73, 14].

Для уравнений высокого порядка, отметим работы [31, 3, 39, 28, 60]. Среди последних работ отметим статьи [156, 73, 40, 152, 153, 29, 79, 42], а также работы C.B. Попова [92, 96, 97, 98, 100, 102, 104, 101, 35, 108, 109, 107, 106].

Нелинейные параболические уравнения с меняющимся направлением времени начали рассматриваться, по-видимому впервые, в работах H.H. Яненко.

67], который для описания сложных течений вязкой жидкости предложил следующую модель где Л равна либо нулю, либо единице, а функция и такова, что и)'(р) > S > О для р > N, где N — некоторая положительная постоянная, и для р < N функция lu' может менять знак. Подобные уравнения, возникают, также при исследовании встречных потоков при описании пограничного слоя и в теории фильтрации двухфазной жидкости. Ряд простейших результатов для уравнения (10) приведены в книге В. А. Новикова, H.A. Ларькина и H.H. Яненко [67]. Априорные оценки для этого уравнения были получены, например, в нескольких работах М. М. Лаврентьева (мл.) [63, 64]. Первая теорема существования была получена в работе К. Холдинга [149] в случае Л = 0, который в случае кусочно-линейной функции и доказал, что первая начально-краевая задача для уравнения (2) имеет бесконечное количество различных решений. В последствии в работе С. Г. Пяткова и А. Г. Подгаева [116] был получен аналогичный результат в случае произвольной функции и. Уравнение полученное параболической регуляризацией (к уравнению добавляется 4-я производная по переменной х с малым параметром) впоследствии стало называться уравнением Кана-Хилларда и оно исследовалось рядом авторов. Существование мерозначных решений для уравнения (2) было доказано в работе П. И. Плотникова [87]. Можно отметить также работу М. Слерода [128].

В работах О. Б. Бочарова [15], В. Н. Монахова, C.B. Попова [77, 78] рассматривались уравнения, когда коэффициент меняющий знак стоит перед первой производной по времени. В частности, О. Б. Бочаров рассмотрел задачу Дирихле для уравнения, а в работах В. Н. Монахова и C.B. Попова рассматривалась задача Дирихле для уравнения Прандтля-Мизеса и более общих параболических уравнений его включающих. Теорема существования были доказаны лишь при очень жестких предположениях на праищ — ихх = f (x, t), (x, t)? Q = (0,1) X (0,Т),.

6) sgn (u)ut — и½ихх = f (x, t).

7) вую часть и начальные данные (предположения типа существования верхних и нижних решений специального вида). Какого либо общего результата в отношении этой задачи для уравнений (6), (7) на данный момент не имеется.

Также отметим работу И. В. Кузнецова [61].

С уравнением (2) в случае если коэффициент перед производной и коэффициенты оператора Ь не зависят от времени можно естественным образом связать эллиптическую спектральную задачу с незнакоопределенной весовой функцией вида.

Ьи = Хд{х)щ хевсЯ71. (8).

Здесь функция д (х) может менять знак и обращаться в нуль на множестве ненулевой меры. Здесь возникает несколько вопросов: плотность и базисность собственных и присоединенных функций в определенных пространствах, которые естественно возникают при исследовании этой задачи, асимптотическое распределение собственных значений. Первые работы, посвященные этой задаче, появились в начале 20 века. Следует упомянуть работы Д. Гильберта [150]. Для случая т = 1, п = 1, Ь — положительный оператор им доказано существование бесконечного числа положительных и отрицательных собственных значений и рассмотрено соответствующее разложение по собственным функциям. В случае т = п = 1, ?1 = (0, оо) задача (8) рассматривалась в работе Г. Вейла [18]. Различные вопросы, связанные с такими спектральными задачами, рассматривались также в работах О. Хопта [146], Д. Гильберта [150], Р.Г. Д. Ричардсона [122]. В многомерном случае первые результаты были получены в работах Е. Холмгрена [151]. Он рассмотрел задачу Дирихле для уравнения.

Аи + д (х)и = 0, х? ПсЖп, когда д (х) непрерывная и меняющая знак функция, и доказал существование бесконечного числа положительных и отрицательных собственных значений, которые могут быть охарактеризованы принципом «тт-тах» .

Множество работ было посвящено изучению модельных задач, связанных со спектральной задачей (8) [9, 11, 10, 45, 46, 59, 71, 147]. Среди вопросов, рассмотренных в этих работах были также вопрос о плотности собственных функций задачи (8) в^о = ?2,5 (С Со) (Со = {х? й: д (х) = 0}), вопрос о плотности собственных функций задачи (8), соответствующих положительным (отрицательным) собственным значениям в (Ь2,д{С~)). Здесь {х 6 О: д (х) > (<)0} и под пространством ¿-2понимаем пространство измеримых функций с конечной нормой.

1НЦ,<�п> = ?вд (*)Ы*)1<�Ь.

Наиболее общие результаты, посвященные этим вопросам, появились не так давно в работах М. Файермана [138]—[141]. Им также был рассмотрен случай несамосопряженного оператора Ь. В работе С. Г. Пяткова [113] рассматривалось операторно-дифференциальное уравнение (1), где Ь самосопряженный и положительно определенный оператор с плотной в данном комплексном гильбертовом пространстве Е областью определения, В самосопряженный, осуществляющий изоморфизм Е на Е. С помощью теории интерполяции были исследованы свойства собственных функций спектральной задачи более общего вида.

Ьи = ХВи. (9).

Было доказано, что при некоторых дополнительных условиях собственные функции задачи (9) образуют базис Рисса в пространстве Е. Точнее, было найдено необходимое и достаточное условие базисности и установлены достаточные условия для базисности. Далее, с помощью разложения в ряд по собственным функциям задачи (9) были доказаны теоремы существования и единственности для уравнения (1) с определенными краевыми условиями.

Первыми работами, посвященными вопросам базисности собственных и присоединенных элементов задачи (9), были работы Р. Билса [7], М. Файермана, Г. Ф. Роха [138], Б. Кургуса и Г. Лангера [62], С. Г. Пяткова [114, 115]. В этих работах были найдены необходимые и достаточные условия базисности. Наиболее оптимальные из них были получены в работах С. Г. Пяткова и формулируются в терминах теории интерполяции банаховых пространств и теории пространств с индефинитной метрикой. Им найдены необходимые и достаточные условия, приведены достаточные условия, гарантирующие ба-зисность по Риссу спектральной задачи (9).

Цель работы. В работах С. В. Попова [107, 92, 106] исследовалась разрешимость краевых задач для параболического уравнения 2п-го порядка с меняющимся направлением времени в пространствах Гельдера Н^2п, р = 2п1 + 7, 0 < 7 < 1. Было установлено 21(2тг — 1) + 2 достаточных условий, обеспечивающих принадлежность решения данным пространствам. Цель диссертационной работы — нахождение 2п1 необходимых и достаточных условий разрешимости (2п1-разрешимость) в пространствах Гельдера, исследование качественных свойств решений, в частности, определение условий повышения гладкости решения при увеличении гладкости начальных данных.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений параболического типа, теории функций и теории интегральных уравнений, в частности, метод потенциалов, с помощью которых изучение краевых задач сводится к исследованию систем сингулярных интегральных уравнений. Отметим монографии Ф. Д. Гахова [20], Н. И. Мусхелишвили [80], Н. П. Векуа [19]. а также В. Н. Монахова [74], С.А. Терсе-нова [134].

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты: поставлены и исследованы краевые задачи в гельдеровских пространствах для параболических уравнений 2п-го порядка с меняющимся направлением эволюции с общими условиями склеиванияявно представлены условия 2гг/-разрешимостив случаях п = 2 и п = 3 дополнительно найдена зависимость показателей гельдеровских пространств от весовых функций склеивания.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты диссертации являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах.

Область приложений полученных результатов — краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Полученные в этой работе результаты могут стать основой для постановки и исследования новых краевых задач для уравнений с меняющимся направлением эволюции.

Содержание диссертации. Опишем содержание работы. Первая глава носит вспомогательный характер, состоит из трех параграфов. В первом параграфе даются определения и некоторые свойства гельдеровских пространств, во втором параграфе некоторые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений. Изложение в основном соответствует книге [80]. В третьем параграфе приведены фундаментальное решение и, так называемые, элементарные решения Пини-Каттабрига для параболического уравнения 2п-го порядка.

Во второй, основной, главе в области = Г2 х (0, Т), = М мы исследуем разрешимость краевой задачи для параболических уравнений 2п-го порядка с меняющимся направлением эволюции sgn хщ = Ьи, (10) где к (х,?)>5> 0, с{х, Ь)< 0.

Решение уравнения ищется из пространства Гельдера Н^2п, р = 2п1 + 7, 0 < 7 < 1, удовлетворяющее следующим начальным условиям и (х, 0) = (р (х), х > 0, и (х, Т) = (р2(х), х < 0, (11) и условиям склеивания дки д^и.

— к (-(0 <�Ь<�Т, А- = 0,., 2п — 1), (12) где, а к — действительные постоянные, I > 1 — целое число.

Центральным местом в этой главе является явное представление условий 2п/-разрешимости для краевой задачи (10)-(12), когда п — произвольное натуральное число. Эти условия мы обозначаем так:

Ьа (1р1,(р2) = 0, 8 = 1,., 2п1. (13) где Ь8 — конкретные линейные интегральные операторы, выписываемые в явной форме.

Глава состоит из пяти параграфов. В первом параграфе излагается постановка задачи, второй параграф разбит на два пункта, в первом показывается единственность решения поставленной задачи для общего случая (п> 2), во втором пункте подробно излагается доказательство существования решения поставленной задачи в общем случае (п > 2). В третьем параграфе рассматривается случай п > 4. Отметим, что для доказательства 2п/-разрешимости в этом случае достаточно рассмотрения на линии раздела (х = 0) непрерывных условий склеивания (сг&- = 1) (12), включая (2п — 1)-ю производную.

Основным методом доказательства является метод параболических потенциалов, с помощью которых краевая задача приводится к решению систем интегральных уравнений. Этот метод, развитый в работах Е. Е. Леви, Е. Хольм-грена, М. Жевре, Г. М. Мюнтца, А. Н. Тихонова, В. П. Михайлова, Б. Пини, Л. Каттабрига, О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова и других, является одним из эффективных средств доказательства теоремы существования решения для параболических уравнений. В этом параграфе решение поставленной задачи ищется в виде параболических потенциалов простого слоя с неизвест ными плотностями а, (3, построенными при помощи фундаментального решения и элементарных решений Пини-Каттабрига [48, 85]. Согласно [66], нужно найти плотности а (£) и /?(?) из пространства Т), причем.

Й<�в>(0) = ДМ (Т) = 0, (я = 0,.,/ — 1).

Удовлетворив условиям склеивания (12), для определения плотностей получим интегральные уравнения с операторами Абеля, которые при помощи формул обращения эквивалентно редуцируются к системе сингулярных интегральных уравнений нормального типа, характеристическая часть которых при п > 4 будет иметь вид 1 к°р=т+иг1! [ Вй ¿-т.

77 ] Г —? О.

Доказана теорема:

Теорема 2.1. Пусть (р,<�р2 € Нр (р = 2п1 + у). Тогда при выполнении 2п1 условий (13) существует единственное решение уравнения (10), удовлетворяющее условиям (11) и (12), из пространства Н^2п (С^).

В четвертом и пятом параграфах подробно рассматриваем случаи при п = 3 и п = 2, соответственно. Для доказательства 2тг/-разрешимости в этих случаях необходимо рассмотрение общих условий склеивания на линии раздела (х = 0). Отметим, что найдена зависимость показателей гёльдеровских пространств от весовых функций склеивания.

В этих случаях характеристическая часть системы сингулярных интегральных уравнений нормального типа будет иметь вид.

14).

7 г у т-г 0 где, а = а (ак), Ь = Ь ((Тк).

Доказываются следующие теоремы:

Теорема 2.2. Пусть <�р,(р2 € Нр (р = 61 + 7). Тогда при выполнении 61 условий вида (13) существует единственное решение уравнения (10), удовлетворяющее условиям (11) и (12), из пространства (9 = € (|- |)):

1) если 0 < 7 < 2 — 66″;

2) д = 61 + 2 — 69, если 2 — 69 < 7 < 1;

3), если 7 = 2 — 69, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.1. Если выполнены условия теоремы при 9 < то единственное решение задачи (10)-(12) существует из искомого пространства Н при выполнении 61 условий вида (13).

ЗАМЕЧАНИЕ 2.2. Если выполнены условия теоремы при 9 > то, как показано в [107, 92], единственное решение задачи (10)-(12) существует из искомого пространства Н&trade-^ при выполнении 10/ + 2 условий вида (13).

ПРИМЕР 2.1. Для уравнения (10) с начальными условиями (11) рассмотрим условия склеивания (12) при а^ — 1 (У = 0,1,., 5). В этом случае система сингулярных уравнений (14) будет иметь вид тгУ т-£ ' 486 ' 4' о мы находимся в условиях доказанной теоремы, и единственное решение исходной задачи существует при выполнении 61 условий (13).

Пример 2.2. Для уравнения (10) с начальными условиями (11) рассмотрим условия склеивания (12) при о^ = 02 = 0″ з — °ъ — 1, 01 = <74 = —1. В этом случае система сингулярных уравнений (14) будет иметь вид.

— 265 + 15ЭУЗД -19 + 1М" } ДМ^ б.

162 } 162тг ] т-г о.

В этом случае 9 = ^ аг^ «0,023 < | и мы находимся в условиях доказанной теоремы, и единственное решение исходной задачи существует при выполнении 61 условий (13).

ПРИМЕР 2.3. Для уравнения (10) с начальными условиями (11) рассмотрим условия склеивания (12) при его = 0*1 = 0″ 2 = 0″ з — 04 = 05 — 2. В этом случае система сингулярных уравнений (14) будет иметь вид.

1 261 515 + 7 319 120^/3 302 107 + 175 437/3 Г Д (т).

2 654 208 ^ ' 5 971 968ТГ / 7¹ Т ~ ' о.

В этом случае в =? arctg ^^д ^ 0,49 > | и мы находимся в условиях замечания 2, и единственное решение исходной задачи существует при выполнении 10/ + 2 условий вида (13).

Теорема 2.3. Пусть? Нр (р = 41 + 7). Тогда при выполнении 41 условий вида (13) существует единственное решение уравнения (10), удовлетворяющее условиям (11) и (12), из пространства (9 = <

1) Нрх^ если 0 < 7 < 1 — 49].

2) д = 4/ + 1 — 40, если 1 — 49 < 7 < 1;

3) Н1 £если 7 = 1 — 40, где е — сколь угодно малая положительная постоянная. замечание 2.3. Если выполнены условия теоремы при 9 > то, как показано в [92, 107], единственное решение задачи (10)-(12) существует из искомого пространства Я⁴ при выполнении 61 + 2 условий вида (13).

ПРИМЕР 2.4. Для уравнения (10) с начальными условиями (11) рассмотрим условия склеивания (12) при сто = 1,0″ ! = 1,02 = —1,03 = —1. В этом случае система сингулярных уравнений (14) будет иметь вид.

7 г у т — г о и единственное решение исходной задачи существует при выполнении 6/ + 2 условий вида (13).

ПРИМЕР 2.5. Для уравнения (10) с начальными условиями (И) рассмотрим условия склеивания (12) при сто = 1, С1 = —1,02 = 1,<тз = —1. В этом случае система сингулярных уравнений (14) будет иметь вид я- ] т — г о этом случае в =? ап^ «0,054 < 0,25 и мы находимся в условиях доказанной теоремы, и единственное решение исходной задачи существует при выполнении 41 условий (13).

В третьей главе решается задача Жевре в прямоугольной области [—1,1] х [0, Т] для модельного уравнения с меняющимся направлением времени uxx = sgnxut, (15) с граничными условиями и (х, Т) = ит (х), -1<х<0, и (х, 0) = и0(х), 0 < ж < 1, (16).

1, ?) = и (1, ?) = 0, (17) и условиями склейки на линии раздела.

0, г) = и (-0, ?), иж (+0, *) = их (-0, ?). (18).

Впервые граничные условия вида (16) появились в работе французского ученого М. Жевре [37, 38]. Отметим, что эти граничные условия, заданные на части верхней и части нижней границы, представляют собой, по сути, одно граничное условие. Подобные задачи выходят за рамки работы [27]. В работе [55] рассмотрена краевая задача (15)—(17) с обобщенными условиями склейки, в процессе исследования авторы исключают из рассмотрения случай непрерывных условий склеивания (18) и доказывают в остальных случаях разрешимость краевой задачи. В этой главе мы доказываем аналогичную теорему для случая непрерывных условий склеивания на линии раздела х = 0. При доказательстве используется метод разделения переменных и разрешимость краевой задачи (15)—(18) сводится к исследованию бесконечных систем линейных уравнений с бесконечным множеством неизвестных. Доказана теорема:

Теорема 3.1. Пусть щ? С (0- 1), ит € С (—1- 0). Тогда существует единственное решение u (x, t) G С2 [(—1- 0) U (0- 1) х (0-Т)] краевой задачи (15) — (18).

Апробация работы. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре «Уравнения переменного типа» профессора Попова C.B. (НИИ математики при ЯГУ), на научной конференции «Лаврентьевские чтения РС (Я)» (Якутск, 2003, 2005, 2007), на Всероссийской научной конференции «Информационные технологии в науке, образовании и экономике» (Якутск, 2003, 2005), на IV и V Международных конференциях по математическому моделированию (Якутск, 2004, 2007), на Всероссийской школе-семинар «Математическое моделирование развития северных территорий» (Якутск, 2006, 2007).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах, тезисах 9 докладов и 4 статьях [159]-[171].

Работа поддержана конкурсом грантов по фундаментальным исследованиям в области математики Министерства образования РФ по программе «Университеты России» за 2002;2005 г. г.

Работа поддержана научной программой «Проведение научных исследований молодыми учеными» Федерального агенства по науке и инновациям Министерства образования и науки РФ за 2006 г.— стажировкой в Институт математики им. C. J1. Соболева СО РАН (Новосибирск).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 9 параграфов, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 114 страниц. Список цитируемой литературы содержит 171 наименований. Формулы в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе — номер параграфа, третье — номер формулы в параграфе.

Основные результаты, которые выносятся на защиту: явное представление условий 2п1 необходимых и достаточных условий разрешимости (2п1-разрешимость) краевой задачи для параболических уравнений 2п-го порядка с меняющимся направлением эволюции в пространствах Гельдера р = 2п1+7, 0 < 7 < 1, п — произвольное натуральное числоисследование качественных свойств решений, в частности, определение условий повышения гладкости решения при увеличении гладкости начальных данныхв случаях п = 2 и п = 3 найдена зависимость показателей гельдеровских пространств от весовых функций склеивания.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Диссертация посвящена теории краевых задач для параболических уравнений 2п-го порядка с меняющимся направлением эволюции. Основная область применения полученных результатов — это краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. В частности, для параболических уравнений с меняющимся направлением времени, в класс которых входят кинетические уравнения, описывающие диффузионные процессы, броуновское движение частиц, перенос нейтронов, рассеивание электронов и многие другие процессы в физике.