Эффективные методы расчета колебаний тонкостенных конструкций, содержащих жидкие и вязкоупругие среды

Одним из основных направлений развития современного промышленного производства является широкое применение ресурсосберегающих проектных решений и технологий, что непосредственно связано с уменьшением материалоёмкости конструкций. С другой стороны, развитие современных конструкций в направлении повышения рабочих скоростей, их усложнение за счет применения новых материалов и конструктивно-компоновочных схем предъявляет высокие требования к их надежности и требует совершенствования методов расчёта конструкций за счёт более полного моделирования свойств материалов и большего приближения расчетной модели к реальной конструкции. Вязкоупругие материалы, к которым относятся полимеры и композиты, металлы при повышенных температурах, бетон и т. п., находят сегодня широкое применение в промышленности. Особенности поведения жидких сред, таких как нефтепродукты, различные виды жидкого ракетного топлива, необходимо учитывать при разработке новых образцов техники в аэрокосмической, нефтегазодобывающей, транспортной промышленности и т. д. Баки для хранения токсичных и горючих жидкостей, топливные баки жидкостных ракет, транспортные поезда и танкеры, перевозящие большие объёмы жидкости, ракетные двигатели на твердом топливе, конструкции с демпфирующими покрытиями — все это примеры конструкций с жидкими и вязкоупругими средами.

Особое место в инженерных расчетах занимают методы исследования вибронагруженности конструкций при различного рода динамических воздействиях. Эксплуатация конструкций при интенсивных ударных и вибрационных воздействиях может привести к их разрушению либо нарушению заданных режимов работы. Динамические нагрузки, действующие на ракету при разделении ступеней импульсом избыточного давления, являются не только опасными для приборов системы управления, но и определяют прочность корпуса приборного отсека, корпуса и узлов крепления боевых блоков, топливного заряда и т. п. Для оборудования нефтегазопро-мыслов и нефтегазопереработки серьезную опасность могут представлять различного рода вибрационные и ударные нагрузки, такие как ветровые, сейсмические, воздействие ударной волны при взрывах, падение тяжёлых предметов (элементов бурового оборудования массой до 20 т. и т. д.) при проведении ремонтных работ и др. Подробная и оперативная информация о режимах динамического нагружения требуется на всех этапах процесса проектирования, так как по ней определяются геометрические размеры и материал несущих элементов конструкции.

Актуальность темы

возрастает ещё и в связи с тем, что интенсивная и продолжительная вибрация оболочек топливных емкостей, цистерн для перевозки токсичных и горючих жидкостей может приводить к авариям и экологическим катастрофам. Большие объёмы перевозимых «экологически грязных жидкостей» предъявляют особые требования к прочности и надёжности транспортных средств, поскольку последствия загрязнения окружающей среды становятся все более необратимыми, а расходы на их устранение и восстановление естественных природных условий всё обременительнее.

Задачами исследования динамики тонкостенных конструкций с жидкими и вязкоупругими средами занимались многие видные российские и зарубежные ученые. Большой вклад в разработку теоретических основ современных методов расчета тонкостенных конструкций внесли работы Н. А Алфутова, H.A. Амбарцумяна, Л. И. Балабуха, В. В. Болотина, А. Н. Гузя, И. И. Гольденблата, В. Т. Лизина, И. Ф. Образцова, В. И. Усюкина и многих других. Успешное исследования динамики конструкций возможно, если решены две задачи. Первая задача заключается в создании модели конструкции, вторая — в решении уравнений движений, полученных для разработанной модели. Модель конструкции должна учитывать геометрическую форму всей конструкции и отдельных ее элементов, реальные изменения механических и массовых свойств, позволять увеличивать степень её детализации и сложности в процессе проектирования, позволять находить не только кинематические параметры, но и характеристики напряженно-деформированного состояния элементов конструкции. Наиболее полно этим требованиям удовлетворяют модели, построенные на основе метода конечных элементов (МКЭ). Широкому распространению, теоретическому обоснованию и развитию МКЭ способствовали работы российских и зарубежных ученых Постнова В. А. [72], Розина JI.A. [74], Корнеева В. Г. 31], Зенкевича О. [28, 29], Стренга Г., Фикса Дж. [76], Галагера Р. [19] и др. В указанных работах установлена связь МКЭ с другими численными методами, разработана общая методология построения конечно-элементных моделей. Использование конечно-элементных моделей, учитывающих особенности динамического взаимодействия тонкостенных конструкций с жидкими и вязкоупругими средами, позволяет повысить надежность проектируемых конструкций, снизить их материалоемкость и повысить качество всего процесса проектирования. Расчет динамического нагруженности конструкций является составной частью таких сложных проектных задач как: многовариантный анализ, оптимизация, структурный синтез. В этих случаях расчет динамической нагруженности конструкции приходится выполнять многократно. При этом высокая эффективность используемых методов исследования динамики конструкций есть необходимая предпосылка успешного выполнения многовариантного проектного анализа и оптимизации сложных технических объектов. Анализ наиболее распространенных конечно-элементных программ, используемых при проектировании конструкций, показывает, что в большинстве из них возможности расчета колебаний конструкций с жидкими и вязкоупругими средами либо отсутствуют либо ограничены и не обладают достаточной надежностью и эффективностью, что объективно отражает состояние развития методов исследования в данной области.

Целью работы является разработка эффективных методов исследования динамики конструкций, содержащих жидкие и вязкоупругие среды, на основе конечно-элементных моделей.

Задачи моделирования динамического поведения топливных баков ракетных конструкций в полете и при наземной эксплуатации, ёмкостей и цистерн при транспортировке больших объёмов жидкостей, оборудования нефтегазопромыслов приводят к необходимости исследовать колебания системы: «упругая конструкция — жидкость — поверхностные волны». Решение задач динамики конструкций с жидкостью рассматривалось в работах как российских учёных И. Б. Богоряда, A.C. Вольмира, А. Г. Горшкова, М. А. Ильгамова, К. С. Колесникова, Г. Н. Микишева, H.H.

Моисеева, Ю. С. Павлюка, Б. И. Рабиновича, В. В. Румянцева, К. В. Фролова, Ф. Н. Шклярчука, В. П. Шмакова, так и зарубежных — H.N. Abramson, H.F. Bauer, D.D. Капа, О.С. Zienkiewicz и др.

Одна из основных проблем, возникающих при построении моделей твердотопливных ракет, оболочек с демпфирующими покрытиями, конструкций из полимеров и пластмасс и т. п., связана с тем, что элементы этих конструкций обладают вязкоупругими свойствами. В настоящее время теория вязкоупругости достаточно хорошо разработана в трудах российских и зарубежных ученых Работнова Ю. Н. [73], Москвитина В. В. [65], Кристенсена P.M. 39], Бленда Д. [14], Колтунова М. А. [41] и др., в которых для описания вязкоупругих свойств используется широкий набор моделей, базирующихся на интегральном и дифференциальном исчислении. Решение некоторых задач расчета конструкций из вязкоупругих материалов приведено в работах К. Д. Джонсона, Д. А. Кинхольца, В. П. Майбороды, М. И. Мирсаидова, В. Г. Пальчиковского, Я. С. Садикова, И. Е. Трояновского и др.

Важным элементом динамического анализа является решение уравнений, описывающих в рамках выбранной модели колебания конструкции. Основные трудности здесь обусловлены высоким порядком матриц, полученных при конечно-элементной дискретизации конструкции. Из существующих в настоящее время методов решения матричных уравнений наиболее часто применяется модальный метод, использующий разложение вектора перемещений конструкции в ряд по собственным формам. При этом задача сводится к проблеме нахождения собственных значений матричных уравнений большого порядка. Решению этой проблемы посвящены работы Кандидова В. П. [32], Кислоокого В. Н. [36, 37], Банах Л. Я. 9, 10], Бате К. Д. и Вилсона E.JI. 11], Гайана Р [18], Андерсона JI.P. и Халлоуэра B.JI. [2] и др. В отличие от упругой задачи матрицы, получаемые при исследовании конструкций с вязкоупругими и жидкими средами, являются неположительно определенными, что предъявляет к надежности метода нахождения собственных значений довольно жесткие требования.

Программная реализация методов исследования является одной из наиболее сложных и трудоемких задач. Программы, реализующие методы исследования динамики конструкций с жидкими и вязкоупругими средами, необходимы для испытания разработанных методов, определения их точности, надежности и эффективности.

Исходя из вышеизложенного, основными направлениями диссертационной работы являются:

— создание метода решения проблемы собственных значений больших матричных систем, возникающих при конечно-элементной дискретизации конструкций с вязкоупругими и жидкими средами;

— создание эффективного метода исследования динамики конструкций с жидкостью;

— разработка метода исследования динамики конструкций с вязкоупругими средами;

— создание программ, реализующих разработанные методы;

— испытание разработанных методов и программ с целью определения точности, достоверности и эффективности получаемых решений.

Для решения задачи собственных чисел и векторов больших матричных систем разработан метод частотной конденсации, представляющий как самостоятельный научный интерес, так и имеющий большое значение для решения задач динамики упругих конструкций с жидкими и вязкоупругими средами. Основой метода является алгоритм понижения порядка матриц, который позволяет получать т — мерное матричное уравнение эквивалентное исходному п — мерному (т <С п) в том смысле, что собственные значения этих уравнений совпадают в заданной частотной области с заданной точностью. Алгоритм понижения порядка матриц базируется на фронтальном подходе и эффективной процедуре выбора удерживаемых и исключаемых степеней свободы. Для снижения требований к оперативной памяти предлагается использовать сегментирование фронтальных матриц.

При решении задач динамики конструкций с жидкостью используется конечно-элементная дискретизации конструкции методом Лагранжа, — .10 а жидкости методом Эйлера, полученные уравнения приводятся к симметричной матричной форме и решаются с помощью разложения в ряд по собственным формам. Рассмотрены различные модели поведения жидкости: несжимаемая, сжимаемая, с учётом волн на свободной поверхности. Для нахождения собственных значений матричных уравнений построены различные математические схемы метода частотной конденсации, учитывающие сингулярность гидродинамических матриц и позволяющие снижать трудоемкость вычисления собственных частот конструкций, содержащих сжимаемую жидкость.

Для решения задач динамики конструкций, содержащих вязкоуп-ругие среды, разработан метод обобщенных комплексных форм. Метод использует дифференциальную форму связи напряжений и деформаций для описания вязкоупругих свойств материала, а для решения полученных уравнений разложение в ряд по обобщенным комплексным формам. Показывается, что дифференциальный оператор с шестью коэффициентами позволяет описывать свойства реальных вязкоупругих материалов с хорошей для практических расчетов степенью точности. Движение вяз-коупругой конструкции описывается расширенной системой дифференциальных уравнений второго порядка. Расширение системы обусловлено увеличением числа степеней свободы вязкоупругих конечных элементов. Привлекательность разработанного метода состоит в том, что он позволяет достаточно простым способом строить и решать уравнения движения конструкции, деформируемые элементы которой обладают различными вязкоупругими свойствами.

Новыми результатами в диссертации, которые автор выносит на защиту, являются: ;

1. Метод частотной конденсации, позволяющий определять собственные значения в заданном интервале и соответствующие им собственные векторы больших матричных систем, возникающих при решении задач динамики с жидкими и вязкоупругими средами.

2. Метод обобщенных комплексных форм для решения задач динамики конструкций с вязко упругими средами, основанный на конечно-элементной дискретизации конструкции, описании свойств вязкоупругих сред дифференциальными операторами и решении полученных уравнений движения с помощью разложения по обобщенным комплексным формам конструкции.

3. Схема приближенного учета сжимаемости жидкости, позволяющая снизить трудоемкость решения задач динамики систем «упругая конструкция — сжимаемая жидкость» в области низкочастотных колебаний.

Практическая ценность работы заключается в создании комплекса программ ДИАС, позволяющего решать широкий круг задач по исследованию динамического поведения широкого класса конструкций при различного рода внешних воздействиях. Разработанный комплекс программ использовался.

— при оценки динамической нагруженности твердотопливных и жидкостных ракет в Государственном ракетном центре «КБ им. академика В. П. Макеева,» .

— для определения динамических характеристик топливных баков ракето-носителя «Энергия» в Волжском филиале НПО «Энергия» (г. Самара),.

— при проектировании энергонапряженных машиностроительных конструкций в КБ ПО «Полет» (г. Омск), КБ «Арсенал» (Санкт-Петербург) и других предприятиях. I.

Данная фа/бота поддержана грантами Министерства общего и профессионального образования РФ по фундаментальным исследованиям в области транспортных наук (96−10−4.1−15), машиностроения (97−24−12.3−1), в области фундаментальных проблем охраны окружающей среды и экологии человека (проект 1−21).

4.9 Выводы.

1. Предложен новый метод, — метод обобщенных комплексных форм, -для решения задач динамики неоднородных вязкоупругих конструкций, базирующейся на конечно-элементной дискретизации конструкции, описанию вязкоупругих свойств дифференциальными операторами и разложении решения в ряд по обобщенным комплексным формам. Выведены уравнения движения в виде системы дифференциальных уравнений второго порядка, моделирующих поведение конструкций, вязкоупругие свойства которых описываются несколькими функциями. На основе модели с шестью коэффициентами получены соотношения для вычисления матриц жесткости, вязкости и масс вязкоупругого конечного элемента.

2. Разработан алгоритм определения коэффициентов дифференциальных операторов по результатам динамических испытаний. Проведены исследования точности предлагаемой вязкоупругой модели, которые показывают, что выбранная модель позволяет описывать вязкоупругие свойства реальных материалов с достаточно хорошей точностью.

3. Для нахождения комплексных собственных чисел и векторов матричного уравнения предлагается эффективный способ, в основе которого лежит использование метода частотной конденсации для решения задачи собственных значений исходного матричного уравнения без матрицы вязкости, понижение порядка матричного уравнения с помощью матрицы найденных собственных векторов и вычислении комплексных собственных значений и векторов матричного уравнения небольшого порядка.

4. Разработана экономичная схема метода обобщенных комплексных форм. Показано, что в ряде случаев экономичная схема метода позволяет снизить трудоёмкость решения задач собственных и вынужденных колебаний при небольшой потере точности.

5. Проведено исследование точности и эффективности метода обобщенных комплексных форм. Сравнение полученных результатов с решениями, найденными методом комплексного модуля, демонстрирует хорошую точность метода обобщенных комплексных форм. На примерах расчета однородных и неоднородных вязкоупругих конструкций проведено сопоставление метода обобщенных комплексных форм и метода энергии деформаций. Результаты сравнения показывают, что использование метода энергии деформаций может приводить к значительным искажениям результатов расчета.

6. Проведено изучение влияния на амплитуды вынужденных колеба.

160 ний конструкций вязкоупругих свойств, описываемых двумя функциями (комплексным модулем упругости и комплексным коэффициентом Пуассона). Показано, что с ростом частоты влияние на амплитуды вынужденных колебаний вязкоупругих свойств, связанных с изменением коэффициента Пуассона в частотной области, растет и может оказаться весьма существенным.

Глава 5.

Практическое применение разработанных методов.

5.1 Исследование продольных колебаний топливных баков жидкостных ракет.

Динамика ракетных конструкций обычно описывается такими характеристиками, как собственные частоты и формы. Эти характеристики необходимы для оценки динамических нагрузок на конструкцию, возникающих при пуске и разделении ступеней. В случае ракет на жидком топливе динамические характеристики включают в себя также собственные формы топливных баков. Баки могут быть цилиндрическими, коническими, сферическими или иметь форму тора. Обечайка бака выполняется в виде тонкостенной оболочки, днища бака также представляют тонкостенную оболочку и имеют обычно форму части сферы. Ниже определяются собственные частоты трех различных баков, для которых известны экспериментальные решения. Все вычисления выполняются с помощью комплекса программ ДИАС.

Рассматриваются собственные колебания полусферической бака, заполненного водой и шарнирно закрепленного по верхнему краю, А (рис. 5.1). Параметры оболочки: радиус 0,133 м, толщина оболочки 0,0007ж, модуль упругости 4,016 • 109Да, плотность материала 1180кг/ж3, коэффициент Пуассона 0,3. Подобная оболочка была аналитически и экспериментально исследована в работе [85]. При проведении эксперимента оболочка закреплялась по контуру кольцами к стакану, который крепился к подвиж.

Конечно-элементная модель полусферической оболочки с водой А.

Рис. 5.1. ному столу электродинамического вибратора. Для определения частот на поверхности полусферы в 2-х плоскостях наклеено четыре проволочных датчика сопротивления. Усиление сигналов датчика проводилось универсальным тензометрической установкой УТС1-ВТ-12. Колебания записывались шлейфовым осциллографом К-9−21 [85]. В табл. 5.1 представлены значения первых трёх частот осесимметричных колебаний оболочки, полученные в аналитическим и экспериментальным методами в работе [85].

Заключение

.

1. Разработан новый метод — метод частотной конденсации — для решения проблемы собственных значений больших матричных систем. Метод использует понижение порядка матриц и в отличии от известного метода статической конденсации определяет собственные значения в заданном интервале, а выбор основных и вспомогательных степеней свободы осуществляет на основе анализа матрицы погрешности аппроксимации. Показано, что метод частотной конденсации позволяет находить решения с точностью достаточной для научных и инженерных расчётов. По быстродействию разработанный метод не уступает наиболее эффективным сегодня итерационным методам, но в отличии от них не накладывает ограничений на матрицы, что позволяет использовать его для решения матричных уравнений, возникающих при конечно-элементной дискретизации конструкций с жидкими и вязкоупругими средами.

2. Создан новый метод — метод обобщенных комплексных форм — для решения задач динамики конструкций с вязкоупругими средами, базирующийся на конечно-элементной дискретизации конструкций, описании вязкоупругих свойств дифференциальными операторами, представлении деформации вязкоупругих конечных элементов виде суммы элементарных составляющих, движение которых описывается системой дифференциальных матричных уравнений. Решение полученного уравнения движения вязкоупругой конструкции ищется с помощью разложения в ряд по комплексным собственным формам. Преимущество разработанного метода заключается в том, что он позволяет достаточно простым способом построить и решить матричные уравнения движения конструкции, деформируемые элементы которой обладают различными вязкоупругими свойствами.

3. Разработана экономичная схема метода обобщенных комплексных векторов, позволяющая существенно снизить трудоёмкость расчета собственных и вынужденных колебаний конструкций с вязкоупругими средами при некоторой потере точности. На примерах расчёта конкретных конструкций показано, что во многих случаях эта потеря точности является незначительной.

4. Получена эффективная и надежная схема метода исследования динамики конструкций с жидкостью, который использует конечно-элементное моделирование жидкости по Эйлеру, а упругой конструкции — по Ла-гранжу и симметричную форму матричных уравнений движения. Эффективность и надежность полученной схемы обусловлены тем, что для вычисления собственных значений и векторов используется метод частотной конденсации, который позволяет наиболее просто учитывать особенности матричных уравнений, описывающих колебания упругой конструкции с жидкими средами.

5. Разработана схема приближенного учёта сжимаемости жидкости для исследования собственных и вынужденных колебаний конструкций, содержащих сжимаемую жидкость. Показано, что с помощью этой схемы можно довольно точно определять собственные частоты, лежащие ниже акустического спектра частот, при существенном снижении трудоёмкости расчётов. Предложена простая формула для вычисления акустической частоты, определяющей верхнюю границу области применения схемы приближенного учёта сжимаемости жидкости. Исследование точности решения задач вынужденных колебаний показали, что разработанная схема позволяет достаточно точно определять амплитуды вынужденных колебаний, если их частоты лежат ниже акустической частоты.

6. Разработано программное обеспечение, реализующее разработанные методы в программном комплексе ДИАС. По своим функциональным возможностям данный комплекс не уступает, а по некоторым из них превосходит зарубежные аналоги. Программный комплекс использовался в ГРЦ им. академика Макеева В.П.(г. Миасс) при создании морских баллистических ракет, в ВФ НПО «Энергия» (г. Самара) при проектировании топливных баков ракето-носителя «Энергия», в КБ ПО «Полет» (г. Омск), КБ «Арсенал» (Санкт-Петербург) и других предприятиях при проектировании энергонапряженных машиностроительных конструкций.