Гурвицевость и (2, 3) — порожденность матричных групп малых рангов

Актуальность темы

Диссертационная работа относится к исследованиям по теории (2,3)-порожденных и гурвицевых групп. Эта область теории групп зародилась еще в XIX веке в работах Ф. Клейна [56], Р. Фрике [41], [42], А. Гурвица [48] и сохранила свою актуальность до настоящего времени.

Интерес к (2,3)-порожденным группам объясняется их связью с факторгруппами модулярной группы РЗЬг^). А именно, согласно классическому результату Ф. Клейна и Р. Фрике [42], эпиморфные образы модулярной группы, за исключением трех циклических Ъ, 1<2, ~ это в точности (2,3)-порожденные группы.

Гурвицевы (или конечные (2, 3, 7)-иорожденные) группы образуют весьма важный подкласс (2, 3)-порожденных групп. В 1893 г. А. Гурвиц доказал [48], что для группы автоморфизмов компактной римановой поверхности 71 рода д > 2 справедливо неравенство АиЬ (Л) < 84(д — 1) и что гувицевы группы — это в точности те группы автоморфизмов, для которых достигается равенство.

Таким образом, исследования алгебраических свойств гурвицевых и (2, 3)-порожденных групп могут иметь интересные приложения не только в самой теории групп, но и в различных областях, так или иначе связанных с модулярной группой: в теории чисел, анализе, теории римановых поверхностей.

В ряду групп РБЬиС^) модулярная группа РЭЬгО^) занимает особое положение. Если структура нормальных подгрупп РЗЬ-п^) при п > 3 довольно хорошо изучена и для подгрупп конечного индекса описывается теоремой Басса-Милнора-Серра [16], то аналогичный вопрос для Р8Ьг (2) оказывается чрезвычайно сложным. Причина заключается в том, что в РЗЬ2(Ж) имеются подгруппы, не являющиеся копгруэнц-подгруппами. В некотором смысле нормальных подгрупп «слишком много», и поэтому надеяться на полную классификацию их и соответствующих факторгрупп практически безнадежно. В связи с этим обычно исследуют ограниченную задачу о том, какие группы из важных классов (например, классических матричных групп, конечных простых групп и т. п.) являются (2,3)-порожденпыми.

Задача о (2,3)-порождении знакопеременных групп изучалась еще Дж. Миллером [74] в 1901 году. Случай классических матричных групп над различными коммутативными кольцами (включая конечные поля, евклидовы и полулокальные кольца) рассматривался в работах М. К. Тамбурини [86], Л. Ди Мартино и М. К. Тамбурини [33], М. К. Тамбурини, Дж. Уилсона и Н. Гавиоли [92], [94], П. Санкини и М. К. Тамбурини[78], М. К. Тамбурини и С. Вассалло [88], Л. Ди Мартино и Н. А. Вавилова [36], [37].

Л. Ди Мартино и Н. А. Вавилов [36] выдвинули гипотезу о том, что для произвольного конечнопорожденного коммутативного кольца Я всякая элементарная группа Шевалле над Я достаточно большого ранга является (2,3)-порожденной. Можно уточнить эту гипотезу и ставить вопрос о нахождении наименьшего допустимого значения ранга.

Конструктивный подход, развитый в работах Л. Ди Мартино и Н. А. Вавилова [36], [37], М. К. Тамбурини, Дж. Уилсона и Н. Гавиоли [92], [94] подтвердил справедливость гипотезы Ди Мартино—Вавилова для конечных классических матричных групп. Частный случай матричных групп малых рангов также рассматривался в работах М. К. Тамбурини и С. Вассалло [89], К. Ча-керяна [98], П. Манолова, К. Чакеряна [73], М. Каццолы, Л. Ди Мартино [20].

М. Либек и А. Шалев [59], [60] предложили принципиально иной вероятностный подход, основанный на детальном изучении максимальных подгрупп конечных простых групп.

Аналогичные вероятностные методы применимы и к исключительным конечным простым группам типа Ли. Для исключительных серий (кроме групп Сузуки, которые даже не содержат элемента порядка 3) проблема была положительно решена (также неконструктивно) в работах Г. Малле [71], [72] и Ф. Любека и Г. Малле [66].

К сожалению, вероятностные методы приводят к чистым теоремам существования и не дают никакой информации о самих образующих. Кроме того, эти методы существенно использует информацию о структуре максимальных подгрупп конечных классических простых групп и не могут быть непосредственно перенесены на группы Шевалле над другими кольцами. Поэтому предпочтительнее конструктивные результаты, в которых удается явно построить образующие.

Следует отметить, что в проблемах такого рода (в частности, для задачи конструктивного (2,3)-порождения) случай групп малых рангов оказывается существенно более сложным по сравнению с группами больших рангов. Это объясняется тем, что во втором случае имеется большая свобода в выборе образующих. Для групп малых рангов сложность заключается не только в доказательстве того, что те или иные элементы порождают рассматриваемые группы, но и в поиске самих образующих. Эти случаи зачастую требуют привлечения индивидуальных методов. Поэтому уже даже для классических матричных групп над кольцом целых чисел вопрос об их (2,3)-порождении был решен не до конца. В случае линейных групп над Ъ наилучший из известных результатов содержался в серии работ М. К. Тамбурини и ее соавторов [78], [87], [88]. В частности, известно, что группы при п > 13 и СЬп (й) при п = 13 или 71 > 15 являются (2, 3)-порождеиными.

С другой стороны, хорошо известно, что при п — 2,4 группы 8Ь? г (2) и СЬп (^) не (2,3)-порождены. М. Кондер поставил в ^ Коуровской тетради" [10] вопрос о том, будут ли (2,3)-порожденными группы 8Ьз (й) и СЬз (2). Отрицательный ответ дали независимо Я. II. Нужин [11] и М. К. Тамбурини и Р. Цукка [96]. В случае п — 5 А. Ю. Лузгарев и И. М. Певзнер [9] свели проблему к анализу конечного числа случаев, однако окончательный ответ получить так и не удалось.

Таким образом, до настоящего времени оставался открытым вопрос о (2,3)-порождении групп ЭЬп (Щ при п = 5,., 12 и ОЬп (^) при п = 5,., 12, 14.

В задаче о гурвицевом (или (2,3,7)-) порождении групп открытых вопросов еще больше. Первый пример гурвицевой группы и соответствующая риманова поверхность были известны еще Ф. Клейну. Он показал [56], что группа Р8Ь2(7) порядка 168 является группой автоморфизмов так называемой квартики Клейна, заданной уравнением х3у + у3г + г^х = 0. Р. Фрике [41] исследовал группу Р8Ьг (8) порядка 504. Этот же пример и риманова поверхность рода 7 также рассматривались А. М. Макбетом [68].

Однако на протяжении длительного времени примеры гурвицевых групп носили единичный характер. Первую бесконечную серию РЭЬг^) для подходящих ц описал А. М. Макбет [67] в 1969 году.

Дж. Коэн [21] показал, что Р8Ьз (Ш, р) не содержит новых гурвицевых подгрупп. Эти результаты многими рассматривались как свидетельство в пользу предположения (как потом выяснилось, ошибочного) о том, что гурвицевы группы встречаются весьма редко.

Настоящий прорыв произошел после работ М. Кондера [22] и, в особенности, А. Луккини, М. К. Тамбурини и Дж. Уилсона [64], [65]. Используя диаграммный метод Хигмана, М. Кондер [22] доказал, что знакопеременные группы Ап при п > 167 являются гурвицевыми. Доказательство Кондера конструктивно, то есть гурвицевы образующие указываются явно. Лишь в конце 90-х годов XX века А. Луккини, М. К. Тамбурини и Дж. Уилсон [64], [65] сумели обобщить диаграммный метод Хигмана-Кондера на случай линейных групп. Разработанная ими техника позволила доказать гурвицевость многих серий конечных классических групп больших рангов.

В случае групп БЬтт^д) наилучший на данный момент результат принадлежит М. А. Всемирнову [101]: для всех п > 252 группы ЗЬп (<?) гурвицевы.

Отметим, что упомянутые результаты также конструктивны, то есть соответствующие гурвицевы образующие описываются явным образом. Как и в случае (2,3)-порождения, случай малых рангов требует изобретения новых методов. Альтернативный неконструктивный подход, основанный на подсчете числа решений некоторых уравнений в группах и в их максимальных подгруппах, предложил Г. Малле [71], [72]. Наиболее эффективным этот метод оказывается для исключительных серий групп типа Ли. Случай групп Ри 2С2(32т+1) также исследовался в работах Г. Джонса [51] и Ч.-Х. Са [77], К. Чакеряна [97]. Также известен полный список гурвицевых спорадических простых групп. Эти результаты содержатся в работах Ч.-Х. Са, Л. Финкель-штейна, А. Рудвалиса, М. Ворбойза, А. Волдара, С. Линтона, Р. Уилсона, М. Кондера, П. Клейдмана и Р. Паркера.

В ряде работ устанавливается, что группы из некоторых бесконечных семейств не являются гурвицевыми. Исследования в этом направлении вели Л. Ди Мартино, М. К. Тамбурини, А. Е. Залесский и Р. Винсент [35], [100].

Одним из интересных подклассов (2,3,7)-порожденных групп являются абстрактные группы (2,3,7- те) = (Х, У: X2 = У3 = (XV)7 = [Х, У]п) и их факторгруппы. Впервые они рассматривались в работах Г. С. М. Коксетера. В этом случае появляется дополнительное ограничение на порядок коммутатора двух образующих, и о таких группах известно крайне мало. Частные случаи п < 9 рассматривались еще в работах Дж. Лича [57], [58] и Ч. Сим-са [79]. Д. Нольт, В. Плескен и Б. Сувинье [45], [46], а также независимо Дж. Хови и Р. Томас [47] и М. Иджвет [38] установили, что группа (2,3,7-тг) бесконечна в том и только в том случае, когда п > 9. Особенно интересной является работа Д. Нольта, В. Плескена и Б. Сувинье [46], в которой строится семимерное комплексное представление группы (2,3,7- 11). М. Кондер показал [27], что для достаточно больших п знакопеременные группы Ап являются эпиморфными образами группы (2,3, 7- 84). Однако аналогичные вопросы о том, какие линейные группы являются факторгруппами (2,3,7-п), оказываются довольно сложными, и явные примеры носят единичный характер.

Другие аспекты гурвицевых групп рассматривались в работах М. Кондера [24], [25], [26], [28], Л. Ди Мартино и М. К. Тамбурини [34], Н. С. Семенова [12], [13].

В заключение разумно выделить наиболее актуальные и приоритетные направления в указанных задачах. К ним относятся проблемы явного построения (2,3) — и гурвицевых образующих различных групп, в частности, групп Шевалле над конечнопорожденными кольцами. Особый интерес представляет случай групп Шевалле малых рангов, для которых общие методы неприменимы.

Цель работы. Основной целью работы является конструктивное исследование вопроса о возможности порождения матричных групп наборами образующих, удовлетворяющих дополнительным соотношениям. К задачам такого типа, в частности, относятся: давно стоящая проблема о порождении линейных групп над кольцом целых чисел парой элементов порядков два и три и проблема о гурвицевом порождении групп типа Ли. В рамках общей задачи требуется разработать технику, применимую к наиболее сложному для анализа случаю групп малых рангов.

Методы исследований. В работе используются методы теории групп, включая метод исследования максимальных подгрупп конечных групп типа Ли. Также используются методы линейной алгебры и теории представлений, в частности, методы, основанные на применении формулы Л. Л. Скотта для описания инвариантов допустимых образующих.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Разработанные в ней методы и полученные результаты могут быть применены для дальнейшего изучения структурных свойств матричных групп над различными классами конечнопорожденных колец и для изучения образующих таких групп. Материалы диссертации могут составить содержание специальных курсов, для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности математика.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты:

• Классифицированы с точностью до сопряженности пары (2,3)-образую-щих групп БЬ^Й) и ОЬб^) (теорема 2.1 из параграфа 2.1).

• Доказана (2,3)-порождеиность группы ЗЬб (^) и показано, что имеется лишь конечное число несопряженных пар (2,3)-образующих (теорема 3.1 из параграфа 3.1 и теорема 3.2 из параграфа 3.2).

• Доказано, что группа ЯЬо (^) является (3,3,12)-порожденной (теорема 3.3 из параграфа 3.2).

• Доказана (2,3)-порожденпость групп БЬ^Й) и для малых значений п > 5. Тем самым получен полный ответ на вопрос, когда группы и ОЪп (%>) являются (2, 3)-порожденными (теорема 4.1 из параграфа 4.1).

• Доказана (2,3, к) -порожденность унитарных групп РЭ^(Я, В) для некоторых колец алгебраических чисел Я и для к = 7, 11, 13 и показано, что данный результат нельзя распространить на большие значения к (теоремы 5.1 и 5.2 из параграфа 5.1).

• Классифицированы все допустимые инварианты подобия неприводимых проективных (2, 3,7)-троек в РСЬ7(Р) над полем Е (теорема 6.1 из параграфа 6.1).

• Классифицированы с точностью до сопряженности все подгруппы в РСЬу (Е), порожденные неприводимыми (2,3, 7)-тройками, удовлетворяющими условию жесткости (теоремы 6.2 и 6.5 из параграфа 6.2). Как следствие, найдены новые серии гурвицевых групп РБЬ^д) и РБи7(д2) для подходящих с[ (теорема 6.5 из параграфа 6.2).

• Получено достаточное условие, гарантирующее, что тройка образующих, удовлетворяющая условию жесткости, содержится в унитарной группе (лемма 6.2 из параграфа 6.2).

• Найдена параметризация всех неприводимых (2,3, 7)-троек в РСЬт (Р), не удовлетворяющих условию жесткости (теорема 6.6 из параграфа 6.3).

• Впервые построены явные гурвицевы образующие для групп С?2(р) Для простых р > 5. Доказано, что для таких р группа £?2(р) является эпи-морфным образом группы (2,3,7- 2р) = (Х, У: X2 = У3 = (XV)7 = [X, У]2р — 1) (теорема 6.7 из параграфа 6.4).

Личный вклад соискателя. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты, полученные лично автором.

В совместной работе [106] автору принадлежит доказательство совпадения групп Р8и (2,ад,?) и Т (2,3, к) при к = 7, 9, 11 ([106, теорема 1.2]) и доказательство того, что при четных к > 8 и нечетных к > 13 группа Т (2,3, к) будет собственной подгруппой в РБи (2, Ще], В) ([106, теорема 1.5]).

В совместной работе [90] автору принадлежит результат о каноническом выборе линейных прообразов проективной (2,3,7)-тройки (лемма 2), а также анализ (2,3,7)-троек и подгрупп в РЭН^^) (раздел 3.3 и лемма 7 и теорема 8 в разделе 6).

В совместной работе [91] автору принадлежит результат о параметризации (2,3,7)-троек (теорема 1 и леммы 1−9).

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Д. К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 24−29 сентября 2007 г.) — на международной конференции «Группы и топологические группы» (Милан, Италия, 10−11 июня 2005 г.) — на франко-китайском симпозиуме по теории представлений (Гуанчжоу, Китай, 3−10 ноября 2006 г.) — на общеинститутском математическом семинаре ПОМИ РАН под руководством проф., д.ф.-м.н. А. М. Вершикана Санкт-Петербургском алгебраическом семинаре им. Д. К. Фаддеева под руководством проф., д.ф.-м.н. А. В. Яковлева, на Московско-Петербургском семинаре по маломерной математике под руководством к.ф.-м.н. С. В. Дужина, на алгебраическом семинаре университета г. Милана (Италия) под руководством проф. Л. Ди Мартинона математическом семинаре Католического университета г. Брешии (Италия) под руководством проф. М. К. Тамбуринина алгебраическом семинаре университета г. Кембриджа (Великобритания) под руководством проф. Я. Саксла.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 11 работ: [2], [3], [4], [90], [91], [101], [102], [103], [104], [105], [106], в том числе 8 работ в изданиях, входящих в список ВАК (издания [2], [3] входили в список ВАК на момент публикациииздания [4], [90], [91], [102], [103], [106] входят в текущий список ВАК).

Структура и объем диссертации

Диссертация изложена на 230 страницах и состоит из общей характеристики работы, 6 глав, разбитых на 19 параграфов, 1 приложения и списка использованной литературы. Библиография включает 111 наименований.