Исследование устойчивоподобных свойств решений конечно-разностных уравнений

Конечно—разностные уравнения достаточно широко применяются в различных областях математики. и развитием науки и техники возникли новые задачи, решение которых требует исследования свойств конечно-разностных уравнений. Они являются удооной моделью для описания дискретных динамических систем 11 >* ], в также для математического моделирования импульсных систем [12 ] ?

147 j .

По дискретной системе в определенных случаях можно судить.

00 устойчивости систем дифференцильных уравнений [18]. Различные стороны вопроса о связи между устойчивостью решений дифференциальных и разностных уравнении рассмотрены в работах 14У], 150], [51 ] =.

Уравнения в конечных разностях возникают и в случае разностной аппроксимации дифференциальных уравнении при решении их численными методами. О использованием вычислительной техники становится актуальной проблема устойчивости вычислительных процессов. Оходммость итерационных процессов напрямую связана с устойчивостью дискретных систем [63, [16], [34 3, [63 3. Кроме того, конечно—разностные уравнения представляют особый интерес в качестве моделей при решении математическими методами проолем биологии и медицины [393, Е803, [68], [81], [843, ЕУ43″ [963,.

1 (¿-ъ 1, [ у у .], I об 3 >

Исследование устойчивоподобных свойств (устойчивость, асимптотическая устойчивость, ограниченность, стабилизация) решений является одним из ведущих направлений в развитии качественной теории конечно-разностных уравнений. Понятие устойчивости для систем с дискретным временем было введено.

0.Перроном [93]. Наиболее распространенным методом изучения устойчивоподобных свойств решений как непрерывных так и дискретных систем является прямой метод Ляпунова.

Прямой метод Ляпунова, не требующий определения общего решения системы, благодаря своей универсальности, часто применяется на практике. Исследование устойчивости положения равновесия системы конечно-разностных уравнений с помощью прямого метода Ляпунова проводилось В. Ханом [783 и другими авторами С81, [81, [393, [383, [883, [753, [763, [803, [853. В зависимости от условий, накладываемых на дискретные функции Ляпунова, получают различные критерии устойчивости [403, [553, [793, [923, [953, [993.

При исследовании на устойчивость нелинейных систем важное значение имеют теоремы об устойчивости по линейному приближению [553, [593. Необходимые и достаточные условия линеаризуемости дискретной системы рассматриваются в работах [643, [823. При замене нелинейной системы соответствующей линеаризованной возникает необходимость оценить разницу между решениями этих систем. Такая оценка позволила бы определить корретность метода лине аризации.

Понятие устойчивости по части переменных, введенное для систем конечно-разностных уравнений [273, [543, обобщает понятие устойчивости по всем переменным. Устойчивость по части переменных зависит от структуры линейной части системы и вида нелинейных слагаемых. Теоремы, решающие задачу об устойчивости по части переменных по линейному приближению учитывают лишь характер нелинейности системы. Здесь встает вопрос о построении методов, устраняющих этот недостаток. Для систем дифференциальных уравнений таким методом является метод^{-систем} [113, который заключается в том" что вместо исходной системы рассматривается специально построенная вспомогательная система (р—система). Этот метод позволяет расширить область применимости метода линеаризации.

Если задача об устойчивости не решается первым линейным приближением, а зависит от нелинейных членов, то имеет место критический случай. В работах [32], [811 вопрос устойчивости системы конечно-разностных уравнений решается с применением так называемой «укороченной» системы, определенной критическими переменными. В [881 получены необходимые и достаточные условия устойчивости в первом критическом случае нелинейной дискретной системы первого порядка. В Е 523 предложен критерий асимптотической устойчивости нулевого решения в случае произвольного числа пар комплексных корней, по модулю равных единице. Существуют и другие работы по исследованию критических случаев для систем конечно-разностных уравнений [303, [311, [ 331, [ 4'У 3 «[ 62 3, [ 87 3, [ 88 3.

О учетом трудностей, возникающих при исследовании устойчивости систем конечно-разностных уравнений в критическом случае, актуальной становится проблема стабилизации таких систем. основополагающими работами в теории управления дискретными системами являются работы Р. Калмана [o4j и Я.3.Пушкина Е583. Основные результаты, полученные в этой области касаются линейных дискретных систем [103, ы93″ ldoj, [65.1, [y23. Развитие теории управления для нелинейных дискретных систем связано с использованием прямого метода Ляпунова [203, [21 3,.

I ¿-ос? j, i iJD j «L Jd j.

В теории устийЧИьиити вашни" меити Занимает динятив иилаити асимптотической устойчивости. Линеаризация как правило осуществляется именно в этой области. Одно из направлений в изучении области асимптотической устойчивости систем конечно-разностных уравнений связано с применением дискретных функций Ляпунова, на основании допустимых свойств которых производится оценка области асимптотической устойчивости как автономных, так и неавтономных систем общего вида С691, [70], [713. Наличие функции Ляпунова, обеспечивающей асшптотиче скую устойчивость в некоторой окрестности начала координат, позволяет при помощи обратных преобразований аппроксимировать границу области асимптотической устойчивости для дискретных автономных систем [91].

Важным результатом в решении задач такого рода является теорема В.й. Зубова 122], по условию которой требуется наличие двух функций V и Дискретный аналог теоремы В.й. Зубова подучен Шеа Р. П. [90]. Доказательство этой теоремы дает практический способ построения функции Ляпунова как решения разностного уравнения, соответствующего уравнению в частных производных для непрерывного случая. Предположение о функции ® как о положительно определенной квадратичной форме в работе [90] исключает из рассмотрения общий случай, когда функция ¦§ задана в виде степенного ряда, В этом направлении необходимо продолжить исследования.

Настоящая работа посвящена решению поставленных выше задач. Диссертация состоит' из введения и четырех глав.

В первой главе содержатся основные сведения из теории устойчивости систем конечно-разностных уравнений, даны необходимые определения и излагаются основные теоремы прямого метода Ляпунова для изучаемых уравнений, приводятся теоремы об устойчивости по части переменных и для критического случая, приведена также формулировка дискретного принципа максимума.

Во второй главе разрабатывается метод построения оценки погрешности лшеаризации, которая позволяет определить насколько отличаются друг от друга решения нелинейной и линеаризованной системы. В основе получения оценок лежит прямой метод Ляпунова [55 3 и дискретная теорема сравнения, приведенная в работе г-а луч! т" ** и. иагияма шп. сказаны уиливия существования таких идеяик, связанные с разрешимостью скалярного уравнения.

В первом параграфе оценивается норма погрешности линеариации по всем переменным.

Во втором параграфе верхняя оценка нормы погрешности линеаризации строится по части переменных при наличии устойчивости линейной части системы по соответствующим переменным. По остальным переменным оценка зависит от дискретного параметра времени, причем, если имеется устойчивость по всем переменным, то предельное значение оценки не зависит от параметра времени.

В третьем параграфе вариационный метод исследования устойчивости параметрически возмущенных систем, развитый в работах 141], [443, [463, применяется для нахождения максимальной области изменения параметра. При значениях параметра из этой области получена оценка нормы погрешности линеаризации исходной системы.

Разработанный во второй главе метод нахождения оценки нормы погрешности линеаризации дает возможность определить корректность применения линеаризованной системы при исследовании нелинейной системы.

Третья глава включает в себя три параграфа. В первом параграфе рассматривается задача определения области асимптотической устойчивости для дискретных систем в случае аналитических правых частей системы. Подучены уравнения для определения коэффициентов разложения функции Ляпунова V в ряд по однородным формам относительно переменной х в случае, когда функция ® задана аналитически.

Во втором параграфе решается задача об устойчивости по части переменных нулевого решения нелинейной системы конечно-разностных уравнений с применением метода систем, который заключается в том" что вместо линейной части исходной системы рассматривается специально построенная линейная м-система и в зависимости от ее устойчивости или неустойчивости делается вывод об устойчивости по заданным переменным нулевого решения исходной системы. Этот метод позволяет учитывать структуру не только нелинейных, но и линейных членов в исходной системе, при этом расширяется область применимости метода лине аризации.

В третьем параграфе решается задача стабилизации нелинейной системы конечно-разностных уравнений в критическом случае т простых корней, по модулю равных единице, при помощи управления, содержащего нелинейные слагаемые. Решение поставленной задачи осуществляется поэтапно. Сначала стабилизируется линейная часть системы по некритическим переменным исходной системы, затем находятся соответствующие параметры и строится стабилизирующее управление для всей системы. Доказана теорема, которая дает достаточные условия стабилизируемости системы. Полученный результат является развитием работ С14], [58].

В четвертой главе, состоящей из двух параграфов, даны приложения представленного во второй главе метода оценивания.

В первом параграфе рассматриваются разностные схемы решения нелинейной системы дифференциальных уравнении численными методами Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта четвертого порядка как системы конечно—разностных уравнений. На основе метода, изложенного во второй главе, оценивается норма разности решений нелинейной и линеаризованной систем дифференциальных уравнений, полученных с помощью разностных схем метода Эйлера и Рунге-Кутта четвертого порядка.

Во втором параграфе рассматривается математическая модель раковой опухоли при лучевой терапии. Показано, что при определенных соотношениях кинетических параметров модели допустима линеаризация. В случае, когда такая замена не может быть произведена, оценивается разница между числом патологических клеток линейной и нелинейной модели при одинаковой оптимальной дозе облучения. Данная оценка позволяет определить эффективность лечения при лучевой терапии.

В диссертации представлены следующие новые результаты, выносимые на защиту.

1. Получены оценки погрешности линеаризации по всем переменным и по части переменных для систем конечно-разностных уравнений.

2. Оценена погрешность линеаризации для параметрически возмущенных систем конечно-разностных уравнений.

3. Получены уравнения для определения коэффициентов разложения дискретной функции Ляпунова в ряд по однородным формам.

4.Доказана теорема, решающая задачу об устойчивости по части переменных для нелинейных систем конечно—разностных уравнений.

5. Доказана теорема, дающая достаточные условия стабилизируемости системы конечно-разностных уравнений в критическом случае т простых корней" по модулю равных единице.

6. Разработанный способ оценивания погрешности линеаризации применяется для получения соответствующих оценок при решении дифференциальных уравнений методами Эйлера и Рунге-Кутта 4-го порядка.

7. Проведено исследование корректности применения линейной математической модели раковой опухоли при лучевой терапии.

П1АВА i. основные определении и тъорьмы i ьории усюйчивости систем конечно-разностных уравнений.

1,1. iibi-БЫИ И ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА для СИСткМ КОНЕЧНО—РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИИ.

ОиСТвМа ураННУНйй ВДЦЗ xt. Jc+i У =г xi k J 9 к"=Ы, N^-tO, 1,.. • У, 1, 1 .1) где — постоянные матрицы размерности пхп, х< kj — п—ме вектор, называется линейной однородной системой конечно-разностных уравнений.

Определение 1.1.1 LidoJ. 110 СЛеДОВЗТеЛЬНО СТЬ ВеКТОрОВ хС k J, xt j ,., называется решением системы (1.1.1), заданным npi k? k, если выполняются соотношения и начальная задача для системы <1.1.ч} формулируется следующим образомнайти решение системы ('1.1.15 при к>к, удовлетворяющее начальному условию хСк*:>-х" при к~>к .

Теорема 1.1.1 [ИЗ]. Начальная задача дня системы (1.1.1} при к>к* разрешима единственным образом. Если к<�кж, то решение существует и единственно тогда и только тогда, когда матрицы, ко<�к<�к', неособые. Если среди этих матриц есть особые, то либо начальная задача не имеет решения, либо решение неединственное, система уравнений вида.

Xv. К +1 3 — Н xv «KJ «к^к, хС к+1 У «Н х (к> к>, кеМ, {1.1,2) где чСк> — вектор размерности называется линейной неоднородной системой конечно—разностных уравнений.

Как показано в [23] систему (1.1.2) можно привести к виду (1.1.1), увеличив размерность матрицы коэффициентов и размерность векторов хсю на единицу. Рассмотрим матрицу С 1С * К У ясг~. •""!". «о к-1 к о.

Теорема! .1.2 123 ]. 110 С Л©ДОВЗТеЛЬНОСТЬ ВбКТОрОВ хС кЭ ®С!?С к. к У. к? к о * о является решением системы О .1.1). Здесь — произвольный постоянный вектор.

В случае, когда р не зависит от к, имеем линейную однородную систему с постоянными коэффициентами хС к#1У —РхС. кЗ, к"=Н, ^ 1. I, с>) и линейную неоднородную систему конечно-разностных уравнений хСк+1 У зрхСк> к!>, кеН, (1 .1, 4).

Индукцией по к можно показать, что решение начальной задачи для системы (1.1.3) определяется равенством хСкО-РкхСО), ПрИ к>0, (1 .1, 5) а для сно х умы О.1. 4) к — х х<: к!> -Р хС 0У+? Р}'яС к -1 ~уУ, при к>0. (1.1.6) у= о.

Рассмотрим нелинейную систему конечно—разностных уравнений х< к +1У &trade-±-" С к, хС К. У У, к"нМ. 1. 1. У).

Здесь Гек, хСко> - векторная функция, заданная при кго, и хСкЭеК" .

Под решением системы (1 .1. 7) понимается последовательность векторов, заданная при кгк^, обращающая (1.1.7) в тождество. Если с — произвольный п—мерный вектор и к, к, кУ к, к=1. ?4. к=К" «». , 1С к, хУ У «» «Ю, о о то последовательность хС к +1У С к. к, с У «к?к, (1 .1 • У } о о * является решением системы (1.1.7).

Из формулы (1.1, 8) видно, что начальная задача для системы (1.1.7), определяемая также, как и для линейной системы (1.1.1), всегда имеет решение, если к>к~ при начальном значении хск*)-х*.

Если к<�к*, то решение этой задачи связано с разрешимостью системы нелинейных уравнений п* Я? х =£Ск, к, с> о относительно компонент вектора с.

Перейдем теперь непосредственно к рассмотрению поведения решений систем конечно—разностных уравнений при к-«-со. По аналогии с системами дифференциальных уравнений естественным образом вводятся определения устойчивости для систем конечно—разностных уравнений Iйй].

Определение 1.1.2. Решение хсю, заданное при к£0, называ"тои устойчивым по Ляпунову, уилй для Каждого ® и люииго <�е>о можно найти ¿-ск ,£)>о, такое, что при йхСк з-х-ск- >"<�"& будет и ^ о о ^ хск>-хСкэ « к. При этом хско называется асимптотически устойчивым, если число <5 можно выбрать так, чтобы йхсю-хск> н -*о.

ПРИ к .

Определение 1.1.3. гВШеНИе хСК1>=0 Н, а ЗЫВ 39 ТС Я НеуСТОЙЧИВЫМ, если оно не является устойчивым.

Здесь через хскэ обозначено какое—либо решение рассматриваемой системы. теорема 1.1.3 •[ 55 ]. Если все собственные числа матрицы р |Хлрэ|<1, то нулевое решение хСк:>-=о системы (1,1.3) асимптотически устойчиво. Если же 1 кхру ?<1 и все собственные значения х, для которых |х ср>}¦!, простыв, то нулевое решение хСк>=о устойчиво. Во всех других случаях решение хСк>=о неустойчиво.

Рассмотрим систему (1.1.7) при условии, что гск, <�х>=о, то есть предполагается, что система (1.1.7) имеет нулевое решение.

Теорема 1.1.4 [Ь51. ЙЭОбХОДИМЫМ И ДОСТАТОЧНЫМ уСЛОВИвМ асимптотической устойчивости нулевого решения хс ю =осистемы (1.1.7) является существование дискретной функции Ляпунова ус к, хС кУз, обладающей следующими свойствами.

1). и> С ?1 х НУ ^г?С к, хУ? гсо>С II х ¡-1У, ¡-А). I V*- к, хУ = ?< к, уУ «х=у И ,.

3) «УЧ. к+1, 1» <1 к, хС кУ У -=УС к, х< к. У У Зг—со С 1! хч. к +1У й У .

Здесь о>, , <�"> - строго возрастающие функции, со со>о>".

•'со 1 (.) > тО, 3 в работе [ 43 .1 показано, что если собственные числа матрицы р по модулю меньше единицы, то существует функция Ляпунова ус к" хСкээ линейная относительно компонент переменной хСк>, удовлетворяющая неравенствам с постоянными Красовского, а } о.!! хС к У !1 <ЧС хС к 3 «У ¿-/» Л! хС кЗ Я, ?) ¥-С хС к Ф1 У У С ХС к У У? где &, ¡-у — положительные числао< х< 1.

Теорема 1.1.5 [ЬЬ 3. ЕСЛИ Нулевое р8Ш6НИ© ЛИНеЙНОЙ СИСТ8МЫ первого приближения х<. к +1У ==А^х (. к У, к"нЫ, ^ I. 1. 9) системы хС к+1 У к У к, х< к У У, кеН, «1. 1 «1' и) где гс к, со —о, у гс к, хс ю у н <г и к>"г» г > 1, асимптотически устойчиво, то нулевое решение системы (1,1.10) также асимптотически устойчиво.

В заключении приведем следующую теорему сравнения 19?]. теорема 1.1.6. Пусть скалярная функция кс к, и.>, определенная для всех к"ЕН=<�о, 1, ё,. > и является неубывающей по и для любого фиксированного к. Тогда, если «с ну и^-с к) удовлетворяют отношениям.

— уС к +1У £КС к, >" С к У У, иС к 4−1У «КС к, иС к’У У, к.~М, то выполняется неравенство уСк>?иСк>, к"М, ПрИ УСЛОВИИ, ЧТО к ^ > ^ иС к ^ > .

— 1 У.