Изучение многих процессов, происходящих в различных природных и технических системах сводится к изучению их математических моделей, представляющих системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) tffx, = (ВЛ) где J: —-. Доминирующее положение занимает изучение систем ОДУ разрешенных относительно производных или, как часто говорят, приведенных к форме Коши. Меньшее, но все же значительное внимание привлекали всегда и системы, не разрешенные относительно производной. В различные периоды центральное положение занимало изучение различных классов таких систем. Исторически первыми изучались системы, состоящие из одного уравнения с одним неизвестным. Современное состояние этой теории отражено b[i, с.22]. Изучение линейных систем ОДУ с матрицей перед производными, которая выровдается в точке, привело к возникновению мощных теорий, изложение которых можно найти например в [31, с.90], [ 14]. Но в последнее десятиление в связи с тем, что в различных областях приложений математические модели процессов описываются взаимосвязанными системами алгебраических и дифференциальных уравнений, значительный интерес привлекают.
— гч — t) системы вида (ВЛ), у которых якобиан ^ - вырождается в некоторой обласжи изменения переменных (р, х, t), имеющей ненулевую меру в R. Скажем немного о терминологии. Ряд зарубежных авторов!, например, R. Marz, C.W.Gear, L. Petzold употребляет для обозначения систем такого рода словосочетания: differential-algebraic equation’s system". В отечественной литературе, а также зарубежной, используется такой термин: «сингулярные системы ОДУ», например Ю. Е. Бояринцев, s.L.Campbell. Этого же термина придерживается автор данной работы. В ходу также названия: «системы, не разрешенные относительно производных», «системы, не приведенные к форме Кош». Перед обзором литературы рассмотрим ряд примеров линейных систем ОДУ вида.
Aft) xft) = В ft) ас ft), ' (В. 2) где Aft), B (t) — fm*n) — матрицы, ccftj^fx) — искомая и заданная вектор-функции соответственно. Пусть заданы системы о i) g (t) at, ft) = xjtj+jft),.
В.З) f I (о w)*®*'*- (В-4).
О Aft), / / О ^ СВ.5) где t е[06,^2]. Легко проверить, что если i)?ft) * о Vtie[Ьб^], i = /71, то при достаточной гладкости входных данных системы (В.З), (В.4), (В.5) разрешимы для V^ft), а их общие решения можно записать в виде ftj #22 f^j Z2ft) О. О о где с — произвольный вектор из R2,, i=iT5 — вектор-функции оо свойством Vi (t) = о, если t)= О на [oCi (y3j, матрицы входящие в выражения для общих решений в (В.6) имеют ранг равный 2,1,0 соответственно для Vt е [оС,^]. Заметим, что если для существования гладких решений системы (В.З) достаточно выполнения включения ^ ft) е с (/рС, j&j), то для примеров (В.4), (В.5) достаточность обеспечивается лишь включениями с-f (t)e c’fljotfjS]J, ^ c2^[°?, cJ5J) соответственно* Далее, любое решение систем (В.З)-(В.4) на произвольном отрезке [o6i>o/5fJ ^ можно представить в виде (В. 6), Условие a: i (t0)=ar, i=/~3, tQ е[<^fc/3j, cre?2 выделяет единственное решение системы на [oC, j$У, если решение определено в окрестности этой точки. Обращение в нуль коэффициентовi (t), i = /^Т в некоторых точках отрезка [об,^] приводит к неприятным последствиям: несуществованию ограниченных решений на всем отрезке [оС, js] для любой rfft), неединственности проходящих через некоторую точку (а0, tiQ) решений. Обращение в нуль на всем отрезке [.
В.7) где t е f-<=><=>, J, tank AftJ — / Vt, невозможно догадаться, что она разрешима для V^Ct) е. с2([oC, j$]), если [об, ]ф / и существуют сколь угодно гладкие вектор-функции tfffi), для которых систегла не имеет ограниченных т,[оС>о/$] решений, если [об1с/$]э?. Можно заметить, что в примерах (В.3)~ (В. 5), если i) L (t)? О Vte [об, js J, i — 75, то размерность пространства решений совпадает со степенью характеристического многочлена det {А (Ь)яBftJ}. Оказывается, это не случайно. Для системы (В.2), если A (i>), B (t) постоянные матрицы и пучок Ал-В регулярен (то есть 3 ло det{Ал0-В}*о), степень многочлена det (А л-В} равна размерности пространства решений [51]. Как потом обнаружил автор, результат такого типа для систем с постоянными коэффициентами получил еще Н. Н. Лузин [23]. Для переменных матриц этот факт вообще говоря уже не имеет места, но можно наложить условия, когда размерность пространства решений" системы совпадает со степенью характеристического многочлена. Забегая вперед, скажем, что это, в частности, следствие постоянства ранга матрицы A (t) и равенства ему для любого t е[оС,^] степени характеристического определителя. Такие системы автор назвал (по предложению В.А.Данилова): системы, удовлетворяющие критерию «ранг-степень». Кстати, если в примерах (В.3)-(В.5) т)&- (t)*oеКД 6 =, i) e (t) = О то все три системы удовлетворяют критерию «ранг-степень» .
С численным решением сингулярных систем также не все обстоит благополучно. Применение схемы Эйлера О к (В.7) возможно только в том случае, если [<^>c/sJП-6, 1+ ё/¦= ф, <5- произвольное малое положительное число.
Иначе численный процесс расходится. Но самым существенным обстоятельством является тот факт, что сколь угодно малое возмущение матрицы A (t) в примере (В.4), например матрицей (? ?) приводит к сколь угодно большим изменениям множества решений, хотя малые возмущения правой части этой же системы мало меняют множество решений (если оно существует у возмущенной системы, а малость здесь понимается, конечно, в метрике С ([об,), но уже в примере (В.5) возмущения матрицы 3ft)% например матрицей (^ • ?), и вектор-функции fft) вектор-функцией (yg °in t/s) * могут приводит к тем большим возмущениям множества решений, чем меньше возмущение. И если в некотором смысле можно исправить положение, потребовав малости возмущений jCt) в метрике С'([<£, jity то повышение требований на гладкость возмущений матриц A (t), B (t) в общем случае никак не помогает. Таким образом задачи, связанные с сингулярными системами некорректны, причем некорректность может быть связана с различными явлениями: особенностью матрицы A (t), наличием на отрезке/Цtjs]" плохих" точек, вхозздение в выражение для решения производных элементов матриц A (t), B (t) и вектор-функции ^(t). Эта некорректность в теоретическом плане не так страшна, от нее можно избавиться соответствующим выбором функциональных пространств, но практически и она вносит свою долю в трудности исследования и решения сингулярных систем, так как возмущения мы можем измерять обычно только в метрике C ([oC, j3J). Подводя итоги, следует сказать, что построение численных методов решения сингулярных систем по своей сущности должно являться построением регуляризирующего оператора. Переходя к обзору существующей литературы, отметим что библиография хотя и сильно уступает литературе по системам с вырождением в точке, но она быстро растет, а область приложений расширяется. Большое число примеров из теории автоматического регулирования, теории вычислений, в которых решаемая задача имеет вид сингулярной системы, приведено в [9], а также есть указания на применимость сингулярных систем в математической экономике [37], электротехнике [2]. Хотя интенсивное развитие теории и особенно методов решения сингулярных систем происходило в последнее десятилетие, отдельные результаты получены в более отдаленные периоды. Большая часть их относится к системам с постоянными коэффициентами. Здесь отметим результаты Н. Н. Лузина [23], операторные методы, современное состояние которых кратко освещается в [24, с.19]. Большое влияние на последующее развитие теории сингулярных систем оказало замечание Ф. Р. Гантмахера о приложении теории пучков матриц к системам с постоянными коэффициентами [17, с.348]. Системы с переменными коэффициентами, нелинейные системы, методы решения цривлекают к себе внимание в начале-середине семидесятых годов. Обзор начнем с работ Ю. Е. Бояринцева [3−11]. Все они связаны общей идеей и мы будем рассматривать их в совокупности. Характеризуя их общую направленность, можно сказать, что центральным звеном их является открытие и изучение связей существующих между канонической структурой пучка матриц по Кронекеру [17, с.331] и структурой различных обобщенных обратных матриц, формирование на этой основе различных алгебраических понятий. Это привело к созданию аппарата, позволяющего выписывать общие решения обширных классов сингулярных систем (в частности класса систем с постоянными матрицами коэффициентов произвольной размерности) в виде конечных формул.
Полученные результаты дали возможность провести исследование краевых задач для систем вида (8.2) большой общности, сформулировать условия их разрешимости. Эти результаты распространены на некоторые классы разностных уравнений, что открыло пути конструирования численных методов. Большое место в теории Ю. Е. Бояринцева занимают признаки, выделяющие «решаемые системы». При изучении разностных схем он выявил интересное явление: «пограничный слой ошибок», сущность которого состоит в том, что решения разностных уравнений не сходятся в некоторой окрестности начальной точки к решению некоторых классов сингулярных систем. Ю. Е. Бояринцев предложил и обосновал для некоторых классов систем схему так называемого «метода возмущений» [9]. Работа автора создавалась под сильным идейным влиянием работ Ю. Е. Бояринцева, в том смысле, что они направили его внимание на поиск взаимосвязей между структурой пучка матриц и методами, использующими понижение порядка исходной системы.
Отметим работы Б. А. Данилова [18], [19]. В первой из них обоо-нована одна двухшаговая схема для решения задачи Коши, система которой является сингулярной, с регулярным пучком матриц коэффициентов. Во второй исследуется связь между так называемыми «жесткими системами» и сингулярными системами, показывается, что резкое изменение шага интегрирования может приводить к нарушающим счет явлениям: потере аппроксимации, расходимости. Рассматривается связь между этими явлениями и понятиями «А «- устойчивости и «L «- устойчивости.
В работах Ю. Д. Шлапака, В. А. Еременко [33],[34],[21], исследуются системы ввда (В. 2), когда t <в f-w, о=>), а матрицы A (t), B (t) периодичны. Изучение систем опирается на прием понижения. Если в [33] возможность понижения постулвдется, то в работах [34],[21] устанавливаются некоторые условия, при которых процесс понижения возможен на), а в работе [21] додается достаточный признак окончания процесса понижения на первом шагу.
Работы В. П. Скрипника [27]-[29] посвящены исследованию сходимости решений систем A (t, e) — В (t, e) x?(t) + <5 = 50. Изучение систем ведется в весьма общих предположениях о гладкости матриц A (t, s), B (tfs) и вектор-функции ^(t, sj. Класс выроненных систем представляет собой специальный случай систем, удовлетворяющих, А критерию «ранг-степень», хотя автор дает свои критерии разрешимости вырожденной системы.
Работы R. Marz [44 — 46J посвящены изучению многошаговых разностных методов применительно к сингулярным системам вида ffy, &, t) = 0, = [C (tjx (t)J, tefot,^], (B.8) где f: R2n Rn, Ci[oC, j9] — En*. Такая форма систем затрудняет сопоставление результатов. В [44],[45] дается ряд признаков разрешимости систем вида (В.8). Можно показать, что в случае линейных систем, когда матрица c (t) единичная, признаки разрешимости выделяют класс систем, не выходящий за рамки очерчиваете критерием «ранг-степень» [44], В работе [45], если с (t) — единичная матрица, то якобиан eft) неособенный, что приводит к иным чем у автора результатам. В работе [46] для классификации систем применяется уже структура пучка матриц. Во всех этих работах установлен ряд критериев устойчивости многошаговых разностных схем.
РабОТЫ S.L.Campbell'a, L.R.Petzold, C.W.Gear'a [37], [38], [39], [4l]'t [41], [47] затрагивают различные аспекты исследования и численного решения сингулярных систем (автор не касается работ S.L.Campbell1 а [38], [36], [40J И J.H.?ttlkinson'a [49J,[50], посвященных изучению сингулярных систем с постоянными коэффициентами, использующих аппарат обобщенных обратных матриц иди связанных с их построением). В работах [39],[42] обсуждаются вопросы о приводимости систем вида (В.2) к некоторому специальному виду, названному авторами центральной канонической формой, в предположении, что у систем есть семейство решений, удовлетворяющее ряду требований. В [42] повторяются результаты Ю. Е. Бояринцева (правда с некоторым обобщением) о разностных схемах для систем с постоянными коэффициентами. В работе [38] анонсируются результаты относящиеся к «методу возмущения» которые также повторяют результаты Ю. Е. Бощшнцева, разбирается случай применения разностной схемы к центральной канонической форме. В работе [37] рассматриваются требования к начальному условию для системы вида.
A (i) cc (t) —/^AW, в предположении, что решение существует, обсуждается вопрос о применимости метода Ньютона для поиска решений разностных уравнений, получающихся при дискретизации сингулярной системы. В работе [41] предлагается разностный метод для решения сингулярных систем, использующий так называемую формулу дифференцирования назад. Сюда же примыкает работа [13], где описывается ал.
— iZгоритм решения сингулярных систем без обоснования. В работе [47] обнаружен эффект расходимости разностной схемы на неравномерной сетке, для систем с постоянными коэффициентами.
Следует сказать о работах [43], [48]. В [43] изучаются системы вида (В.2), когда Ь комплексная переменная. Изучение ведется методом понижения. Отмечаются, что размерность пространства решений может быть меньше размерности системы, в частности может быть нулевой. Работа [48] не относится непосредственно к исследованиям сингулярных систем, но она часто цитируется в научной литературе. В ней изучаются вопросы существования аннуляторов к матрицам неполного ранга. На этом обзор литературы по теме закончим.
Настоящая диссертация посвящена вопросам исследования сингулярных систем и их численного решения. Центральное место в диссертации занимает исследование систем вида (В. 2), удовлетворяющих критерию «ранг-степень» и их нелинейных аналогов, хотя решен ряд вопросов относящихся к системам, не удовлетворяющим этому критерию. Такой выбор темы обусловлен следующими причинами: системы этого класса часто встречаются в исследованиях по вырожденным системам (смотри обзор), имеют прикладное значение (системы, возникающие при применении «метода прямых» к уравнению фильтрации, удовлетворяют критерию «ранг-степень»), наконец для систем этого класса удалось решить значительную часть вопросов, которые могут возникать у исследующего систему вида (В.2). А именно установлена размерность пространства решений, предложен способ поиска «плохих точек», удалось обосновать ряд методов решения задачи Коши для сингулярных систем с учетом их некорректности, не вводя никаких дополнительных предположений о.
— 4.3задаче. Сам вдитерий, условия совместности начального данного с системой удалось сформулировать в терминах входных данных, с использованием понятий, известных самому широкому кругу исследователей. Аналогичные результаты получены для одного класса нелинейных систем. На основе одного наблюдения, сделанного, над системами, удовлетворяющими критерию «ранг-степень» удалось получить конструктивные условия существования решений у следующего по сложности класса систем вида (В.2).
Введение
закончим краткой характеристикой содержания диссертации, которая состоит из трех глав, введения и заключения.
В первой главе приводятся и доказываются необходимые сведения о свойствах пучков переменных матриц. Центральное место занимают утверждения о возможности приведения пучка матриц А (Ь)лB (t) к канонической форме, если старший коэффициент многочлена det {А (?)л ~B (t)} не обращается в нуль на [<^,</5] и о локальной приводимости пучка матриц, А (у) л — В (у), у е к канонической форме в окрестности некоторой точки, если tank А{#0) равен степени многочлена det {А (#0)я-В{у0). Причем приводящие матрицы имеют ту же гладкость, что и матрицы пучка. Доказано также утверждение, позволяющее определять некоторые важные характеристики пучка после его малого возмущения.
Во второй главе вводятся понятия, формализующие рассуждения, которые были проведены при рассмотрении примеров (В.З)-(В.5), в частности дается определение «плохой точки» .
В начале главы доказывается теорема, основное содержание которой,-что система вида (В.2) имеет, так сказать," шаговую структуру" вообще говоря известно (смотри например [33], [43]), хотя локальный характер этого свойства не обсуждался. Эта теорема не играет большой роли в работе и нужна автору для демонстрации введенных понятий, а также места, занимаемого изученными системами относительно общего случая, Центральное место в этой главе занимают теоремы о свойствах систем, удовлетворяющих критерию «ранг-степень», и теорема о системах, которые не удовлетворяют этому критерию, но имеют одно свойство, сближающее их с классом систем, удовлетворяющих критерию. Здесь же обосновываются аналоги метода Эйлера и трапеций в предположении, что исходные данные возмущены. Основным способом изучения является анализ свойств переходного оператора. Следует заметить, что в предшествующей литературе вопрос о влиянии входных возмущений на процесс решения не затрагивался. Обоснован также один вариант «метода возмущений». В конце главы излагаются сведения о системах, не удовлетворяющих критерию «ранг-степень», высказываются соображения о возможных методах решения, излагается методика исследования линейных сингулярных систем.
В третьей главе исследуются нелинейные сингулэдные системы. Вначале доказываются теоремы существования решений для систем вида (B.I) и систем вида.
Att)a (t) t), (В.9) удовлетворяющих условию х (об) = а. Теоремы являются локальными, и условие равенства ранга матрицы—^- и степени многочлена det / я ~ #.
Для системы (В.9) обосновываются аналог метода Эйлера, метод линеаризации и «метод возмущения». Метод линеаризации обосновывается как в непрерывном, так и дискретном вариантах (в последнем анализируется влияние входных возмущений на процесс решения). Б методе Эйлера для системы (В.9) доказано, что в качестве начального приближения для исследуемой точки в методе Ньютона можно брать значение, вычисленное в предыдущей точке. Конечно, это выполнимо только при достаточно малом шаге интегрирования.
Приведен пример, показывающий, что в общем случае системы (B.I) это не так. Применимость методов обоснована в предпололо-жении, что выполнены условия теоремы существования, без дополнительных предположений. Для общей системы (B.I) доказано сущевыполнены условия теоремы существования для (B.I) и V > о достаточно мало. Обсуждается один специальный случай системы, не удовлетворяющий критерию «ранг-степень» .
Сформулируем отличия данной работы от предыдущих. Впервые учитывается некорректный характер задач, связанных с сингулярными системами, и исследован на устойчивость к входным ошибкам класс систем, удовлетворяющих критерию «ранг-степень». Получены признаки разрешимости систем в терминах входных данных, проверяемые за конечное число операций (если отсутствуют входные ошибки) — признаки дают не только информацию о разрешимости, но и о свойствах множества решений системы. Обсуждаются вопросы получения информации об исходной системе в условиях возмущенных входных данных. Исследуются вопросы о наличии «плохих» точек на отрезке интегрирования и их типе. Исследован на устойчивость к ошибкам входных данных ряд численных методов. Намечены пути построения численных методов для общих сингулярных систем. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [51−58]. ствование решения уравнения если.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
В диссертации исследовались сингулярные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные результаты можно сформулировать следующим образом.
I. Установлены критерии разрешимости линейных систем вида (2.I.I) в терминах входных данных. Это критерий «ранг-степень» и его обобщение (теорема 2.2.5). Исследованы свойства таких систем по отношению к входным данным, получены оценки для решений, установлена структура решения. Введено понятие «особой точки системы» и предложен способ поиска особых точек. На основе полученных результатов сформулирована методика исследования сингулярных систем.
П. Обоснованы методы решения систем удовлетворяющих критерию «ранг-степень»: аналог метода «трапеции», аналог метода Эйлера, «метод возмущений». Обоснование проводилось в условиях возмущенных входных данных. Намечен путь построения методов решения сингулярных систем, не удовлетворяющих критерию «ранг-степень» .
Ш. Получены конструктивные теоремы о существовании решений у нелинейных систем вида (3.I.I) и одного класса квазилинейных систем. Все теоремы сформулированы в терминах входных данных.
1У. Обоснован ряд методов для решения этого класса квазилинейных систем, метод линеаризации (в непрерывном и дискретном) вариантах, причем в дискретном варианте входные данные предполагались возмущенными, аналог метода Эйлера, обоснована одна схема «метода возмущений» .
У. Доказана теорема о существовании решения разностного уравнения, полученная при дискретизации системы (B.I). Полученные результаты были использованы цри создании пакета прикладных программ «/5Ш0Ш «в Иркутском Вычислительном Центре СО АН СССР, [25], который был принят межведомственной комиссией и признан оригинальной разработкой.
Скажем еще следующее: цри чтении диссертации можно заметить, что не затрагивались вопросы выбора шга интегрирования, контроля точности вычислений и другие вопросы, имеющие важное значение при создании программ. Это цроизошло по двум причинам: во-первых как и при реализации на ЭВМ алгоритмов для решения систем приведенных к форме Коши при выборе стратегии изменения шага, в зависимости от требуемой точности вычислений приходится прибегать к качественным, нестрогим рассуждениям, а во-вторых эти вопросы рассматривались и решались в соавторстве с А. А. Логиновым. Некоторые вопросы обсуждаются в [12].
