Об асимптотической оптимальности последовательностей квадратурных формул С. Л. Соболева в пространствах Lp (m) (a, b)

Тематика диссертации.

Теория приближенного интегрирования является развитым разделом математического анализа. Наряду с другими авторами, ей посвящали свои исследования классики математики: И. Ньютон, J1. Эйлер, К. Гаусс, С. Н. Бернштейн, П. JI. Чебышев, С. JI. Соболев и другие. По данной тематике опубликован ряд монографий, в частности, [1−16]. В этих книгах даны многочисленные ссылки на статьи, тематика которых пересекается с задачами, рассматриваемыми в настоящей диссертации. Пожалуй, наиболее полная библиография научной литературы подобного плана приводится в книге [16].

Исследование задач теории приближенного интегрирования ведется с точек зрения разных научных направлений. Наиболее важными из них являются: построение формул высокой степени точностиприменение теоретико-вероятностных методов к вычислению интегралов и, так называемый, «функциональный» подход, связанный с исследованием оценок погрешностей интегрирования в классах суммируемых функций и линейных нормированных пространствах, включающих в себя интегрируемые функции.

Оценки погрешностей интегрирования, зависящие от квадратурной формулы и класса интегрируемых функций, например, если данный класс характеризуется наличием производной соответствующего порядка или модуля непрерывности, вообще говоря, давно известны.

Бурное развитие теории приближенного интегрирования в классах функций началось с середины 50-х годов XX века, начиная с работ С. М. Никольского [17, 18], Н. С. Бахвалова [19, 20], Н. М. Коробова [3] и других авторов.

Мощным стимулом к исследованиям в теории функциональных методов приближенного интегрирования стал выход работ С. JI. Соболева, посвященных решению задач, связанных с асимптотической оптимальностью решетчатых кубатурных формул в пространствах типа L™ [21−28]. Этому способствовало, в частности, то, что Соболев вскрыл связь важнейших проблем теории кубатурных формул с известными задачами других областей анализа: теорем вложения и продолжения функций, в том числе функций, заданных на решеткахгеометрии чиселаналитических функций многих действительных переменныхтеории полигармонического уравненияряда задач теории специальных функцийтеории обощенных функцийкомбинаторной топологии. Результаты С. JI. Соболева, а также ряд результатов его учеников и соавторов были подробно изложены в монографиях [1, 16].

Не только Соболев и математики из его научной школы посвящали в последние годы свои исследования применению методов функционального анализа и теории функций к задачам приближенного интегрирования. Можно привести примеры работ таких авторов, как Н. П. Корнейчука [9, 29, 30] и его учеников, обзор работ которых приведен в книге [15], ряде трудов.

И. В. Бойкова, например, в монографии [31]. Этот список может быть, конечно, увеличен.

Многие работы в функциональном направлении исследований задач теории приближенного интегрирования принадлежат ученикам С. JI. Соболева. Относительно подробная библиография их работ приводится в [16]. Упомянем о некоторых из них.

В монографии [8] и других своих работах М. Д. Рамазанов применил метод построения кубатурных формул, связанный с продолжением интегрируемых функций, заданных в произвольной ограниченной области с гладкой границей до периодических функций с некоторым п— мерным периодом и обосновал ряд вычислительных алгоритмов, построения кубатурных формул. Рамазанов продолжил исследования С. JI. Соболева и И. Бабушки [28], относящиеся к построению универсально асимптотически оптимальных формул, то есть формул, оптимальных одновременно в различных пространствах. Достаточно полный библиографический список работ М. Д. Рамазанова приведен в книге [16].

Стоит отметить, что несколько другой подход, который позволяет рассматривать задачи об универсальной асимптотической оптимальности в пространствах непериодических функций, был предложен в [32].

Ц. Б. Шойнжуров, в своих работах, в частности, в [34], обобщил теорию кубатурных формул Соболева для пространств типа W™, на классы функций, заданных на всем пространстве, нормы которых определяются через потенциалы Рисса.

Кубатурные формулы в пространствах, связанных с коэффициентами и преобразованием Фурье, исследовал Т. X. Шарипов [35].

Г. Н. Салихов вывел выражения норм функционалов ошибок функций, заданных на поверхности сферы для пространств типа Соболева [12].

М. В. Носков обобщил теорию С. J1. Соболева на развертывающиеся поверхности [36−38].

Вопросы, относящиеся к нахождению коэффициентов оптимальных решетчатых квадратурных формул исследовались X. М. Шадиметовым [39] и 3. Ж. Жамаловым [40].

Т. И. Хаитов [41], а позднее, JI. И. Дидур, совместно с В. И. Половин-киным [42, 43] изучали эрмитовы кубатурные формулы в пространствах Соболева.

О. В. Бесов [44] вывел асимптотические формулы функционалов ошибок кубатурных формул Соболева и родственных им формул для ряда линейных нормированных пространств. Метод, примененный Бесовым, отличен от предыдущих методов Соболева и Половинкина, относящихся к данным задачам.

Ученик О. В. Бесова Г. Г. Акопян [45] рассматривал задачи теории кубатурных формул при менее ограничительных, чем обычно предполагается, требованиях на границу области интегрирования.

Ряд исследований, связанных с теорией кубатурных формул в пространствах Соболева выполнил В. J1. Васкевич. Некоторые результаты этих исследований и библиографию можно найти в [16]. Укажем характерные особенности этих исследований. Они либо относятся к интегрированию бесконечно дифференцируемых функций, на рост производных которых наложены некоторые ограничения (например классов Жевре), либо к обобщенным эрмитовым формулам, то есть таким, порядки производных которых в узлах не ограничены. Им также получены интересные результаты, относящиеся к, так называемому, эффекту насыщения. Отметим, что вопросы, связанные с эффектом насыщения исследовались К. И. Бабенко и В. Н. Белых [46].

JI. В. Войтишек, В. И. Блинов [47−49]строили конкретные кубатурные процессы, основанные на формулах С. Л. Соболева. В частности, Блиновым были впервые составлены успешно работающие программы для вычисления кратных интегралов, основанные на теории кубатурных формул Соболева.

Большое количество работ, связанных с теорией кубатурных формул Соболева выполнил В. И. Половинкин (см. например [50]). Ряд его результатов будет использоваться при доказательстве теорем настоящей диссертации. Среди работ В. И. Половинкина можно выделить, в частности, решение проблемы Соболева о построении асимптотически оптимальных формул в классах и L^(En). (Случай L^i^En) был ранее исследован.

С. JL Соболевым [1]).

В. И. Половинкин также исследовал весовые кубатурные формулы [51−53]-асимптотически наилучшие формулы (то есть асимптотически оптимальные формулы), где меняются как узлы, так и коэффициенты [54, 55]- сходимость формул типа Соболева на конкретных функциях [56]. Он также подробно исследовал одномерный случай и получил ряд других результатов [61, 62, 63]. Отметим, что некоторые результаты Половинкина, относящиеся к одномерному случаю, были позднее другим способом получены в монографии [10]. В этой книге есть соответствующие ссылки на аналогичный результат Половинкина [62].

Ученица В. И. Половинкина, Н. А. Севостьянова исследовала квадратурные формулы Соболева в пространствах, связанных с дробными производными Римана-Лиувилля [67].

Настоящая диссертация по своей тематике относится к кругу научных работ, идейно связанных с работами С. Д. Соболева и его учеников по исследованию формул интегрирования в пространствах типа (Q), L^ (fi), в первую очередь, относящиеся к изучению асимптотически оптимальных последовательностей формул.

Последовательности асимптотически оптимальных формул.

Пусть заданы квадратурные формулы, а й=и, а также последовательности таких функционалов. Всегда будем предполагать, что —оо<�а<�Ь<�оо.

Квадратурные формулы (0.1) и функционалы (0.2) это одномерные случаи кубатурных формул.

0.1) где h = — и соответствующие им функционалы ошибок lh п.

0.2) где Q — ограниченная область, а хк = (ж*, • • • > xn) i k — 1>п и их функционалов ошибок.

Формулы (0.3) — кубатурные формулы с узлами в кубических решетках. Отметим, что исследовались их обобщения на формулы с узлами в других невырожденных решетках [1].

При изложении результатов будет удобнее формулировать их не как результаты, относящиеся непосредственно к квадратурным формулам, а как результаты, относящиеся к функционалам ошибок (0.2).

Через а, Ъ) будем обозначать банаховы пространства, порожденные полунормами.

Ь{™а, Ъ).

If (mx)pdx.

1 /р

В многомерном случае их аналогами будут пространства.

1 /Р? -±(D°f)(x)>dx jq а=т а.

Через a, b) и будем обозначать пространства, сопряженные b) и соответственно.

Квадратурные формулы (0.1) будут исследоваться для линейных нормированных пространств.

Условимся функционалы ошибок кубатурных (квадратурных) формул и порожденные ими функционалы из a, b) обозначать одинаково.

Везде на функционалы ошибок lh будут налагаться ограничения: lh (x), xk) =0, к = 0, ., m- 1.

0.5).

В многомерном случае, чтобы строить теорию кубатурных формул, необходимо предполагать, что рт > N, (0.6) а на области Г2 и их границы надо налолжить требования, достаточные, чтобы при выполнении условий (0.6) были верны теоремы вложения Соболева W (mfl) в пространство непрерывных функций С (О). Эти условия описаны в [1, 2].

Будем, главным образом, исследовать одномерный случай, то есть, N = 1 и р > I.

Множество функционалов lh вида (0.4), удовлетворяющих (0.5) будем обозначать V™(VL), а совокупности последовательностей функционалов = {lh)Zr с virm обозначим Vm (Q).

Положим: A™(h) = inf {||/|Ur (n)}lbvh (11).

Если последовательность lh вида (0.4) такова, что lHl4m)*(fl)/Ар№ то она называется асимптотически оптимальной. Соответствующие последовательности квадратурных и кубатурных формул будем называть асимптотически оптимальными.

Если выполняется равенство то формулы (0.3) называются оптимальными.

В одномерном случае Q = (а, Ь). Совокупность последовательностей {lh}, lh.

G V™(a, b) далее будем обозначать Vm. Исследования последовательностей асимптотически оптимальных формул имеют определенные преимущества перед исследованиями оптимальных формул. В частности, можно отметить, что: а) построение асимптотически оптимальных формул обычно значительно проще, чем построение оптимальных формул. Например, в ряде случаев при N = 1 асимптотически оптимальными являются известные квадратурные формулы Грегори. б) в многомерном случае при построении последовательностей асимптотически оптимальных формул меньшую роль играет форма области, чем при построении оптимальных формул. в) в случае асимптотически оптимальных формул можно добиться того, чтобы все коэффициенты при узлах, не лежащих близко от границы области (в «пограничном слое») будут равны между собой и не зависят не только от параметра р, но и от параметра т.

О содержании диссертации.

Данная диссертация состоит из 4 глав. Важнейшие результаты содержатся в главах 1 и 2 и посвящены решению задач о построении асимптотически оптимальных последовательностей квадратурных формул в пространствах 6) при значениях т — 6 и т — 8.

Перед изложением результатов работы, приведем несколько необходимых определений [63].

Определение 1. Последовательность j/'1] С Vm называется последовательностью функционалов с пограничным слоем, если найдутся натуральные числа d, t, К, t < d, и функционалы Щ,, I, равные 0 на многочленах степени ниже т, определенные равенствами.

U) = }f (x)dx-? Cjf (j).

0 3=~* a+dh t^fl = J №dx-Z%Qf (a + jh) a j=0 b. t+d (tf)= J f (x)dx-Z4nf (b-jh).

Ъ-dh i=° lh (x) = «ST *Z ((X a) h~l — i) + l*{x) + /?(*), (0.7) i=d где все Cj, Cj0, c^n — постоянные, такие, что cj0, cjn < Kh.

Определение 2. Число ae называется сопутствующим числом последовательности С Vm, если ae = lim [(Ь — a)-lh~m (lh (x), хт).

Определение 3. Последовательность функционалов с пограничным слоем называется последовательностью функционалов с регулярным пограничным слоем, если ее сопутствующее число равно 0.

Определение 3, по существу, является одномерным аналогом соответствующего определения С. Л. Соболева [1, с. 704].

Последовательности функционалов, удовлетворяющих определению 3, будем называть последовательностями функционалов Соболева, а соответствующие последовательности квадратурных формул будем называть последовательностями квадратурных формул Соболева.

В работах [57, 58] было показано, что последовательности функционалов с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны при р — 2.

Данный вопрос отражен и в книге [16]. Также последовательности формул с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны при т — нечетных в L^ {0) [60].

Для более глубокого изучения одномерного случая при т — четных, необходимо проводить исследования выражений, связанных с полиномами Бернулли. При этом будем опираться на результаты [60, 65].

В работах [62, 63] было установлено следующее утверждение. Если {lh} — последовательность функционалов с пограничным слоем, а ае — ее сопутствующее число, то при h —" 0.

1Н\ьГ (а, ь) = (Ьа)^^\Вт{х){-1Г + «|и,(0,1)Лт (1 + 0(h)), (0.8) где Вт (х) — многочлен Бернулли степени m, q = р (р — I)-1.

Минимизируя главные члены выражений норм функционалов ошибок квадратурных формул с пограничным слоем, мы, как показано в [65], тем самым, решаем задачу о минимизации (в рассматриваемом смысле) для произвольной последовательности квадратурных формул.

Известно, что среди последовательностей функционалов с пограничным слоем всегда есть асимптотически оптимальные и можно построить последовательности функционалов с пограничным слоем с любым сопутствующим числом ае.

Минимальное значение главный член правой части (0.8) принимает при единственном значении ае, если.

Вт (х)(-1)т + ае|Ue (o, i) = хс inf {||?mM (-l)ro + A||ig (0,i)} (0.9).

При т — четном, условие (0.9), с учетом того, что Вт (х) = Вт (1 — ж), можно записать так.

Вт (х) — ае||^д (о, 1) = - Л1к (о,|)}- (0.10).

Вид последовательностей, асимптотически оптимальных в классах L^(a, b) зависит от решения трансцендентного уравнения относительно эе = ae (s) 1 2.

J |Вт (х) — ае|ssign (Bm (x) — зe) dx = 0, (0.11) о где Вт{х) — полином Бернулли степени га, s = q — 1, p, q G (l, oo), ^ + ^ = 1. Таким образом, задачи о построении асимптотически оптимальных последовательностей квадратурных формул тесно связаны с вопросом о наилучших приближениях полиномов Бернулли индексов к Bk (x) постоянными.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема ([60−66]). Последовательности формул с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны в Z^m)(a, 6), р? (1, оо) тогда и только тогда, когда s = q — 1 удовлетворяет (0.11.

Как уже указывалось ранее [60, 62], квадратурные формулы с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны в пространствах b) при т — нечетных и всех р G (1, оо), а также при га = 2, га = 4, если р = 2.

Отметим, что при т — 2 уравнение (0.11) исследовалось в несколько другом плане в [5, гл. 11, § 2], [69].

В [50, 64] было показано, что функции ae (s) непрерывны на [0,1] и при s —у 0, s —> оо имеют пределы, которые не совпадают между собой. Кроме того, эе — строго монотонная функция. Это значит, что разным р соответствуют, вообще говоря, разные последовательности асимптотически оптимальных формул, и, следовательно, нельзя ожидать, что эе = 0 в этих случаях при всех р будет решением уравнения (0.11) и формулы Соболева не могут образовывать асимптотически оптимальные последовательности при всех р.

В работах [68] был исследован также случай р = оо. Теория же случая р = 1 существенно отличается от случаев р Е (1, оо].

В главах 1 и 2 настоящей работы будет показано, что формулы Соболева при т = 6, т = 8 могут быть асимптотически оптимальными в L^na, b) только при р — 2. Аналогичные результаты были получены В. И. Половинкиным при т ~ 2 и т = 4 [65]. Даже доказательство случая т = 4 было технически сложным.

Описанным выше исследованиям трансцендентного уравнения (0.11) и их следствиям для теории квадратурных формул посвящены главы 1 и 2. В главе 1 исследуется случай т = 6, а в главе 2 — случай т = 8.

При доказательстве этих результатов использован метод из [65], основанный на обращении полиномов Бернулли.

Известно [5], что нахождение корней полиномов Бернулли четной степени 2 т может быть сведено к обращению алгебраических полиномов соответствующей степени. При нахождении обратных функций для полиномов Бернулли при га = 6 и га = 8 используются известные [70] формулы Кардано и Феррари. Кроме того, для получения необходимых результатов в главах 1 и 2 пришлось выполнить ряд других технически громоздких преобразований, при выполнении которых использовалась вычислительная техника.

Сама задача обращения полиномов Бернулли представляет определенный математический интерес.

Глава 3 посвящена обращению полинома Бернулли степени 10. При этом большую помощь оказали научные материалы, изложенные в монографии Ф. Клейна [73].

Содержание главы 4, как и глав 1 и 2, связано с построением асимптотически оптимальных последовательностей кубатурных формул. В данном случае, речь идет о весовых решетчатых кубатурных формулах в пространствах периодических функций L^fo). Параметр т в главе 4 не обязательно целый, но, конечно, предполагается выполнение неравенства (0.6).

В работе [51] был предложен и обоснован метод построения асимптотически оптимальных последовательностей формул, связанных с вычислением частичных сумм Дирихле от весовых функций. В настоящей же работе эти результаты обобщаются на другие весовые кубатурные формулы, в построении которых участвуют многомерные аналоги частичных сумм Фейера весовых функций.

Несколько слов о приложениях. В приложении, А представлена программа, которая реализует формулу конечных приращений Лагранжа. Данные вычисления необходимы для доказательства основного результа главы 1. Программа из приложения Б, вычисляет значения вспомогательной функции из главы 2 в точках решетки. Приложения В, Г и Д содержат вспомогательные вычисления для главы 3, выполненные в пакете Maple 5V Release на компьютере Intel Pentium II.

1. Соболев С. J1.

Введение

в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.

2. Соболев С. JI. Некоторые ирименнения функционального анализа в в математической физике. Новосибирск: Изд-во Сибирского отд. АН СССР, 1962.

3. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.

4. Stroud А. Н., Secrest D. Н. Gaussian quadrature formulas. New Jersey: Prentice-Hall, 1966.

5. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. // М.: Наука, 1967.

6. Stroud А. Н. Approximate calculation of multiple integrals. Englewood Chiffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1971.

7. Бахвалов H. С. Численные методы. M.: Наука, 1973.

8. Рамазанов М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. Уфа: Изд-во Башкирского ун-та, 1973.

9. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976.

10. Levin M., Girshovich J. Optimal quadrature formulas. BSB. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1979.

11. Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. М: Наука, 1981.

12. С, а лихов Г. Н. Кубатурные формулы для многомерных сфер. Ташкент, Фан, 1985.

13. Бабенко К. И. Основы численного аеализа. М: Наука, 1986.

14. Никольский С. М. Квадратурные формулы. М: Наука, 1988.

15. Корнейчук Н. П. О новых результатах по экстремальным задачам теории квадратур (Дополнение к книге Никольского С. М. «Квадратурные формулы»). М.: Наука, 1988.

16. Соболев С. JL, Васкевич В. J1. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996.

17. Никольский С. М. К вопросу об оценках приближений квадратурными формулами // УМН, 1950. № V, вып. 2(36). С. 165−177.

18. Никольский С. М. Квадратурные формулы // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1952. № 16. С. 181−196.

19. Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. МГУ, 1959, № 4. С. 3−18.

20. Соболев С. J1. О формулах механических кубатур в п— мерном пространстве // ДАН СССР 137, № 3 (1961). С. 527−530.

21. Соболев С. JI. Различные типы сходимости кубатурных и квадратурных формул // ДАН СССР 146, № 1 (1962). С. 41−42.

22. Sobolev S. L. On cubature formulas, Studia Math. (Ser. Specjialna), Zesz. 1 (1963), p. 117−118.

23. Соболев С. JI. Об одном приеме вычисления коэффициентов для формул механических кубатур // ДАН СССР 150, № 6 (1963). С. 1238−1241.

24. Соболев С. JL Сходимость формул приближенного интегрирования на функциях из 4ТО) // ДАН СССР 162, № 6 (1965) С. 1259−1261.

25. Соболев С. JI. Кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем // ДАН СССР 163, № 3 (1965). С. 587−590.

26. Соболев С. J1. Различные типы сходимости кубатурных и квадратичных формул, ДАН СССР 146, № 1 (1962) С. 41−42.

27. Бабушка И., Соболев С. JI. Оптимизация численных методов // Apl. Mat. 1965, № 10, р. 96−129.

28. Корнейчук Н. П. Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций многих переменных // Мат. заметки, 1968, № 5. С. 565−576.

29. Корнейчук Н. П. Экстремальные значения функционалов и наилучшее приближение на классах периодических функций// Изв. АН СССР, 35 № 1, 1971. С. 93−124.

30. Бойков И. В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Часть 1. Пенза: изд-во Пензенского государственного техн. ун-та, 1995.

31. Половинкин В. И. Кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем и универсальная асимптотическая оптимальность // Оптимальные методы вычислений и их применение к обработке информации. Пенза: изд-во Пензенского политехи, ин-та, 1991. С. 36−41.

32. Шойнжуров Ц. Б. Некоторые вопросы теории кубатурных формул в пространстве W™ // Сиб. мат. журн. 1967. Т. 7, № 2. С. 433−446.

33. Шойнжуров Ц. Б. Асимптотически оптимальные кубатурные формулы с узлами в криволинейной решетке // Тр. семинрара ак. С. JI. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1976, № 1. С. 157−164.

34. Шарипов Т. X. Верхняя оценка нормы функционала ошибки кубатурных формул с регулярным в смысле Соболева пограничным слоем в пространствах //ДАН СССР. 1972. Т. 202, № 1. С. 51−53.

35. Носков М. В. Приближенное интегрирование функций, периодических по некоторым переменным // Тр. семинара акад. С. JI. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1982. № 1. С. 83−102.

36. Носков М. В. Асимптотически оптимальные кубатурные формулы на решетчатых поверхностях // Тр. семинара акад. С. JT. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1983. № 2. С. 103−112.

37. Половинкин В. И., Носков М. В. Асимптотические свойства декартовых произведений кубатурных формул // Функциональный анализ и математическая физика. Новосибирск: 1987. С. 39−56.

38. Шадиметов X. М. Оптимальные квадратурные формулы в L^ifl) иДокл. АН УзССР, 1983. № 3. С. 5−8.

39. Жамалов 3. Ж. Об одной экстремальной задаче квадратурных формул с заданием производных // Краевые задачи для дифференциальных уравнений. Ташкент: Фан, 1973.

40. Хаитов Т. И. Кубатурные формулы с заданием производных // Докл. АН ТаджССР, 1969. Т. 12, № 10.

41. Половинкин В. И., Дидур JI. И. Асимптотически оптимальные последовательности эрмитовых формул // Сиб. мат. журн., 1978. Т. 19, № 3. С. 663−669.

42. Дидур JI. И. Весовые эрмитовы кубатурные формулы на периодических функциях // Тр. семинара акад. С. J1. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1981. № 1. С. 52−70.

43. Бесов О. В. Межъячеечные усреднения и оценка ошибок кубатурных формул в пространствах С. JI. Соболева и их обобщениях // Тр. мат. ин-та АН СССР, 1977. Т. 143. С. 42−56.

44. Акопян Г. Г. Последовательности кубатурных формул с кубической решеткой для областей с вырожденными углами // Тр. семинара акад. С. Л. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1978. № 1. С. 27−35.

45. Белых В. Н. Несколько слов к феномену ненасыщаемости численных методов на отрезке // Вопросы математического анализа (сборник научных трудов). Вып. 6. Красноярск, КГТУ, 2003. С. 16−29.

46. Блинов Н. И. Алгоритм для вычисления кратных интегралов от функций с особенностями // Алгоритмы и программы. Информ. бюл. / ВНТИЦентр. М., 1974 № 2.

47. Блинов Н. И. Приближенное вычисление двойных интегралов // Алгоритмы и программы. Информ. бюл. / ВНТИЦентр. М., 1974 № 3.

48. Блинов Н. И., Войтишек J1. В. Кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем для куба // Вопросы выч. и прикл. мат. Ташкент: ин-т кибернетики с ВЦ АН УзССР, 1970. Вып. 38. С. 8−15.

49. Половинкин В. И. О некоторых оптимизационных задачах теории приближенного интегрирования // Оптимизация численных методов, часть I. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2000. С. 146−150.

50. Половинкин В. И. Весовые кубатурные формулы в периодическом случае. Математические заметки, Т. 3, № 3, 1968. С. 319−326.

51. Половинкин В. И. Некоторые вопросы теории весовых кубатурных формул // Сиб. мат. журн., 1971. Т. 12, № 1. С. 177−196.

52. Половинкин В. И. Весовые кубатурные формулы, соответствующие интерполяционным операторам с пограничным слоем // Тр. семинараакад. С. JI. Соболева. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1982. № 1. С. 103−115.

53. Половинкин В. И. Асимптотически наилучшие последовательности кубатурных формул // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16. № 6. С. 1255−1262.

54. Половинкин В. И. Асимптотически наилучшие кубатурные формулы // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30. № 2. С. 151−160.

55. Половинкин В. И. Сходимость последовательностей квадратурных формул с пограничным слоем на конкретных функциях // Мат. анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: Наука, 1978. С. 183−191.

56. Половинкин В. И. Асимптотически оптимальные в L^IQ) кубатурные формулы // Вопросы выч. и прикл. мат. Ташкент: ин-т кибернетики с ВЦ АН УзССР, 1970. Вып. 38. С. 88−92.

57. Половинкин В. И. Кубатурные формулы в Ь (™]{П) // ДАН СССР, 1970. Т. 190. № 1. С. 42−44.

58. Половинкин В. И. Последовательности функционалов с пограничным слоем // Сиб. мат. журн., 1974. Т. 15, № 2. С. 413−429.

59. Половинкин В. И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетных т // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16. № 2. С. 328−335.

60. Половинкин В. И. Асимптотически оптимальные последовательности квадратурных формул с пограничным слоем в L2(a, b) // Оптимальные методы вычислений и их применение. Пенза: изд-во Пензенского гос. техн. ун-та, 1996. Вып. 12. С. 78−83.

61. Половинкин В. И. Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори // Квадратурные и кубатурные формулы. Решение функциональных уравнений. Методы вычислений. Л.: ЛГУ. 1981. Вып. 12. С. 7−25.

62. Половинкин В. И. Некоторые свойства одного функционального уравнения теории квадратурных формул // Квадратурные формулы и их приложения: сборник статей семинара-совещания. Красноярск, 1994. С. 79−89.

63. Половинкин В. И. Квадратурные формулы и приближение константами полиномов Бернулли // Актуальные проблемы информатики, прикладной математики и механики. Часть 1. Изд-во РАН НовосибирскКрасноярск 1996. С. 96−103.

64. Polovinkin V. I. Approximations of the Bernoulli polinomials by constants and approximations to theory of quadrature formulas // Siberian Advances in Mathematics, 1998. V. 8, N 2. P. 110−121.

65. Севостьянова H. А. Последовательности функционалов с пограничным слоем в пространствах функций с дробными производными // Вопросы мат. анализа. Вып. 2. Красноярск: КГТУ, 1997. С. 106−119.

66. Шатохина JI. В. Оптимизация двухпараметрических квадратурных формул для пространства La, Ъ] // Кубатурные формулы и их приложения (материалы V международного семинара-совещания 13−18 сентября 1999 года). Красноярск, 2000. С. 228−237.

67. Шайдаева Т. А. Наиболее точные квадратуры для некоторых классов функций. Диссертация, Ленингр. гос. ун-т, 1954.

68. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.

69. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М, Наука, 1989.

70. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. М, Высшая школа, 1982.

71. Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. М.: Наука, 1989.

72. Семушева А. Ю., Цих А. К. Продолжение исследований Меллина о решении алгебраических уравнений // Комплексный анализ и дифференциальные операторы: Сб. науч. трудов. Красноярск, изд-во КрасГУ, 2000. С. 134−146.

73. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1979.

74. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука, 1968.

75. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции: формулы, графики, таблицы. М.: Наука, 1977.

76. Математическая энциклопедия в 5 томах. Том 1. М.: Советская энциклопедия, 1979.

77. Сидорова Т. В. Об асимптотической оптимальности квадратурных формул С. JI. Соболева в пространствах L^a, b) // Кубатурные формулы и их приложения (материалы V международного семинара-совещания 13−18 сентября 1999 года). Красноярск, 2000. С. 176−187.

78. Сидорова Т. В. Об асимптотической оптимальности квадратурных формул С. JT. Соболева в пространствах L^(a, b) // Вопросы математического анализа: сборник научных статей. Вып. 4. Красноярск, 2001. С. 174−184.

79. Сидорова Т. В. Весовые кубатурные формулы, построенные с использованием метода Фейера суммирования рядов // Информатика и информационные технологии (сборник тезисов), Красноярск, КГТУ, 1998. С. 129−130.

80. Сидорова Т. В. Об асимптотической оптимальности квадратурных формул С. JI. Соболева в пространствах L^(a, b) // Кубатурные формулы и их приложения: сб. тезисов V международного семинара-совещания, Красноярск, КГТУ, 1999. С. 35.

81. Сидорова Т. В. Квадратурные формулы С. JI. Соболева в пространствах Lf{a, b) // ИНПРИМ-2000, Новосибирск, 2000. С. 45−47.

82. Сидорова Т. В. Об асимптотической оптимальности последовательностей квадратурных формул в пространствах L^(a, b) // Кубатурные формулы и их приложения: материалы VI международного семинара-совещания, Уфа, ИМВЦ УфНЦ РАН, 2001. С. 115−119.

83. Сидорова Т. В. Исследование одного уравнения теории квадратурных формул //II Всесибирский конгресс женщин-математиков: тезисы докладов, Красноярск, 2002. С. 205−206.

84. Sidorova Т. V. Investigation of asymptotically optimal Sobolev sequences of quadrature formulas // The international conference on computational mathematics: proceedings, part I. Novosibirsk, ICM&MG Publisher, 2002. P. 170−173.

85. Сидорова Т. В. Нахождение обратной функции для полинома Бернулли 10 степени // Вопросы математического анализа (сборник научных трудов). Вып. 6. Красноярск, КГТУ, 2003. С. 231−236.