Геометрическая теория гравитации и электромагнетизма в аффинно-метрическом пространстве-времени

Привлечение геометрических идей в теоретическую физику оказалось чрезвычайно плодотворным для описания физической реальности. На сегодняшний день любая фундаментальная физическая теория содержит в своей основе некоторый комплекс геометрических идей.

Путь развития теоретической физики, намеченный Т. Калуцей [1] еще в 1919 г., привел к построению физических теорий в пространственно-временных многообразиях размерности, большей четырех. Возникло и уже оформилось целое направление геометрического описания гравитации и других фундаментальных взаимодействий в многомерной схеме Калуцы-Клейна [2].

Идея о многомерном мире, в котором скрытые (дополнительные) размерности проявляются в виде электромагнитных, слабых и сильных взаимодействий необычайно обогащает теоретическую физику, приводит к геометрической унификации фундаментальных физических закономерностей.

Одной из центральных проблем современной теоретической физики является проблема объединения теорий известных физических взаимодействий. Большинство исследований в этой области ведется в рамках калибровочного подхода, который основан на введении тех или иных внутренних симмет-рий и локализации соответствующих групп Ли. Классическим примером полевой теории такого типа является модель электрослабых взаимодействий Вайнберга-Салама [3].

Другой канал исследований в современной теоретической физике представляют собой многомерные геометрические модели объединенных теорий физических взаимодействий. Их создание обусловлено тем, что согласно эйнштейновской теории относительности гравитация обусловлена искривлением пространства-времени, и объединение гравитации с другими полями представляется естественным развивать в рамках геометрического подхода. Основная идея этого подхода состоит в том, что дополнительные компоненты метрики многомерного пространства-времени можно интерпретировать как бо-зонные поля переносчиков физических взаимодействий.

Такой подход развивается в так называемых «теориях типа Калуцы-Клейна», основанных на построении римановой геометрии в пространстве.

4 -Ь п измерений и последующей редукции дополнительных размерностей. При этом уравнения Эйнштейна в 4 + п-мерном пространстве будут описывать как теорию гравитации в 4-мерном пространстве-времени, так и другие фундаментальные взаимодействия. Для случая п = 1 такие 5-мерные теории анализировались еще в 20-х годах в работах Т. Калуцы [1], О. Клейна [4, 5], А. Эйнштейна [6], Г. Манделя [7, 8, 9], В. А. Фока [10], Луи де Бройля [11] и других.

В работе Калуцы [1] предложено единое описание гравитации и электромагнетизма в рамках 5-мерного искривленного пространства-времени с метрикой йлв, где А, В = 0,1,2,3,5. Калуца постулировал независимость геометрических величин от 5-ой координаты.

Перечислим результаты 5-мерной теории, получившие название «чудес Калуцы» .

1. Пятнадцать 5-мерных «уравнений Эйнштейна» в вакууме соответствуют 4-мерному электровакууму и распадаются на систему из десяти 4-мерных стандартных уравнений Эйнштейна, систему из четырех вакуумных уравнений второй пары Максвелла и еще одного «скалярного» уравнения.

2. В правой части получающихся 4-мерпых уравнений Эйнштейна автоматически появляется известный тензор энергии-импульса электромагнитного поля.

3. Четыре из пяти уравнений геодезических представляют собой стандартные 4-мерные уравнения движения заряженных частиц в гравитационном и электромагнитном полях.

4. При использовании условия цилиндричности по хъ допустимые преобразования пятой координаты генерируют известные в стандартной электродинамике градиентные преобразования векторного потенциала.

Как пишет сам Калуца «нелегко примириться с мыслью, что все эти соотношения, которые вряд ли можно превзойти по достигнутой в них степени формального единства, — всего лишь капризная игра обманчивой случайности.» [1] Но 5-мерная теория не завоевала всеобщего признания, так как в подходе Калуцы остался ряд нерешенных проблем.

Перечислим их:

1) Не был ясен физический смысл 5-ой координаты.

2) Вызывало недоумение условие цилиндричности компонент 5-мерного метрического тензора по 5-ой координате.

3) Не удавалось физически истолковать 15-ю компоненту метрического тензора ^55.

4) При использовании дополнительного условия (^55 = — 1 пятнадцатое скалярное) уравнение Эйнштейна означало жесткую связь между скалярной кривизной и инвариантом электромагнитного поля Р111/Р, ш, фактически исключавшую существование кулоновского электрического поля.

5) Претензия Эйнштейна к 5-мерию состояла, в частности, в том, что в 5-мериой теории правая часть геометрических уравнений, соответствовавших 2-ой паре уравнений Максвелла, не содержала источники (токи) геометрического происхождения.

6) В рамках 5-мерия достигалось лишь формальное объединение гравитации и электромагнетизма. Не предсказывалось каких-либо новых эффектов.

7) 5-Мерная теория Калуцы-Клейна никак не была связана с квантовой теорией.

8) 5-Мерная теория Калуцы-Клейна объединяла лишь два из имеющихся четырех видов физических взаимодействий. Она никак не затрагивала ни слабые, ни сильные взаимодействия.

9) Имелись альтернативные варианты объединения гравитации и электромагнетизма. В частности, основным конкурентом теории Калуцы-Клейна была 4-мерная теория Вейля, основанная на переходе к более общей, нежели риманова, геометрии (с неметричностыо).

Нельзя сказать, что 20-е — 30-е годы — были бесплодным периодом исследований многомерия. Именно в это время теория обогатилась рядом новых методов и приемов. В конце 30-х годов был развит метод 1 + 4-расщепления 5-мерного многообразия [12, 13], который впоследствии был переоткрыт в рамках 4-мерия (метод 1 + 3-расщепления) для описания систем отсчета в общей теории относительности [14].

Следующий этап исследований многомерия (конец 40-х — начало 50-х годов) связан с отказом от условия постоянства пятнадцатой компоненты 5-метрики (С?55 = —1). Это было сделано П. Йорданом [15, 16]. В результате была получена теория с дополнительным скалярным полем. В работах П. Йордана, И. Тири [17], К. Юста [18], Г. Людвига [19] и других было рассмотрено взаимодействие скалярного поля с обычными видами материи, найдены первые сферически-симметричные и космологические решения скалярно-тензорной теории гравитации. К этому же периоду относится первая попытка обоснования гипотезы Дирака о возможном изменении гравитационной константы посредством скалярного ноля. Несколько позже К. Бранс и Р. Дикке [20] предложили теорию, видимо имеющую истоки в 5-мерии, со скалярным полем, не связанным с геометрией. Она была названа скалярио-тензорной теорией Йордана-Бранса-Дикке.

Цикл исследований, проведенный в 50-х годах Ю. Б. Румером, имел большое значение для развития отечественных исследований многомерных теорий. Его результаты изложены в монографии «Исследования по 5-оптике» [21]. Следует отметить некоторые характерные черты этих работ. Массивные частицы в 4-мерном мире рассматривались в 5-мерии как движущиеся по изотропным геодезическим. В рамках 5 измерений это привело к ряду трудностей. Однако в многообразиях большего числа измерений трудности 5-оптики устраняются [22], а постулирование изначального отсутствия масс покоя у частиц широко используется в теоретической физике, например в модели электрослабых взаимодействий Вайнберга-Салама (до спонтанного нарушения симметрии) и в теории сильных взаимодействий.

Во-вторых, Ю. Б. Румер пытался связать идею Эйнштейна-Бергмана о замкнутости мира по 5-й координате с закономерностями квантовой механики. Известно, что сами авторы не связывали замкнутость с какими-либо физическими обстоятельствами. Эта идея не получила дальнейшего развития.

В конце 50-х и в 60-х годах интерес к многомерным теориям спадает. Однако исследования по этой тематике продолжаются в группах А. Лихнеро-вича [23], М. Тоннеля [24] (Франция), Э. Шмутцера [25, 26] (ГДР), Ю.П.Пы-тьева [27] (СССР, МГУ) и других. Именно в этот период выполнен ряд интересных исследований. И. Сурьо [28] рассматривает зависимость от х5 всех компонент метрики и волновых функций частиц. В. И. Родичев [29] предложил описывать электромагнитное поле 5-мерным тензором кручения. Начинается изучение возможностей физического ириложеиия многомерных теорий шести и большего числа измерений (Дж.Подоланский [30], Н. С. Калицин [31]).

После относительного спада в 50-е — 60-е годы интерес к многомерным геометрическим моделям типа теории Калуцы-Клейна в 70-е — 80-е годы значительно возрос. Это было обусловлено рядом обстоятельств. Прежде всего, это связано с прогрессом исследований электрослабых и сильных взаимодействий. Было показано, что эти взаимодействия переносятся векторными промежуточными бозонами, как и электромагнитное поле, геометризуемое в 5-мерной теории Калуцы-Клейна. Во-вторых, многомерные модели привлекли внимание теоретиков новыми возможностями обобщения подхода Калуцы-Клейна на случай неабелевых векторных полей и грассмановых переменных [32, 33, 34, 35, 36], играющих на сегодняшний день принципиальную роль при описании взаимодействий элементарных частиц.

Кроме того, в последнее время удалось существенно продвинуться в решении ряда проблем многомерной теории, которые стояли еще на первом этапе ее развития: проблемы пеиаблюдаемости пятого измерения [37, 38], построения методики физической интерпретации дополнительных компонент многомерной метрики [37, 39] и других.

В работах Ю. С. Владимирова и его группы (МГУ) начиная с 70-х годов систематически исследуются возможности 5-мерных, 6-мерных, 7-мерных и т. д. классических геометрических теорий [37, 40, 41, 42, 43, 44, 45]. Основу этих исследований составляют:

— существенно усовершенствованные методы l+(n — 1)-, l+1-f (га —2) —,. .расщепления n-мерного многообразия (монадный, диадпый и т. д. соответственно) имеющие истоки в работах Г. Манделя [7, 8, 9], А. Эйнштейна и П. Бергмана [13, 46, 47], А. Л. Зельманова [48, 49, 50] и других авторов;

— рассмотрение связи скалярного ноля с конформным фактором, в свое время введенным в теорию Вейлем [51];

— использование более общей зависимости от дополнительных координат вида.

Ф = cp (xlt) ехр[га (е5ж5 + е6я6)], (0.0.1) где (р (х11) — часть величин, как геометрических, так и вводимых в геометрию извне, зависящая лишь от классических координат, а — малый параметр размерности [с-1], характеризующий периоды компактифика-ции по дополнительным размерностям, ?5, ?q — безразмерные параметры;

— процедура усреднения по периодам зависимости от дополнительных координат;

— современные методы описания спиноров в многомерных искривлённых многообразиях.

В результате исследований были построены многомерные теории поля, объединяющие общую теорию относительности с теориями электромагнитного, электрослабого и даже сильного взаимодействий: 6-мерпая модель грави-электро-слабых взаимодействий [22, 44, 37], содержащая основные элементы модели электрослабых взаимодействий Вайнберга-Салама- 7-мерная модель гравиэлектрослабых взаимодействий [37, 41, 42], описывающая три поколения элементарных частиц- 7-мерная модель гравиэлектросильных взаимодействий [37], описывающая основные элементы классической (не квантовой) хромодинамики.

И, наконец, совсем недавно в работах Ю. С. Владимирова [57, 100] и Губанова [101, 102] была построена 8-мерная модель грависильных взаимодействий в метрическом варианте, в которой бозонный и фермионный секторы взаимосогласованы. Она путем редукции к 7-мерию переходит в геометрическую модель гравиэлектрослабых взаимодействий для всех трех поколений лептонов.

При этом возможны варианты с меньшим числом измерений, если вводить в многомерное пространство кручение и иеметричность [37, 52].

Одиим из таких вариантов является 5-мерная геометрическая теория гравиэлектрослабых взаимодействий [55], в которой «экономия» дополнитель-иых измерений достигается благодаря использованию в качестве модели 5-мерного пространства-времени аффинно-метрического пространства с кручением и неметричностыо вейлевского типа (Vа9ВС — 2Ига9вс).

Здесь важно отметить, что многомерные геометрические теории типа Калуцы-Клейиа могут рассматриваться как генераторы аффинно-метричес-ких теорий гравитации в 4-мерном пространстве-времени, которые получаются в результате (4 + п) разбиения определенной многомерной теории Калуцы-Клейна с помощью моиадного, диадного, триадного и т. д. формализмов. В результате такой процедуры получается 4-мерная аффинно-метрическая теория гравитации со взаимодействующими векторными и скалярными нолями, имеющими геометрическое происхождение, которая возникает путем проектирования на 4-мерное пространство-время функционала действия многомерной теории.

В данной работе мы как раз и используем эту схему пространственно-временного проектирования упомянутой выше 5-мерной геометрической модели гравиэлектрослабых взаимодействий [56] для построения теории гравитационного взаимодействия электромагнитного поля, имеющего геометрическое происхождение в аффинно-метрическом пространстве-времени.

В предлагаемой диссертации рассматриваются и астрофизические и космологические эффекты этой геометрической теории электрослабых взаимодействий. Отдельно исследуются эффекты в бозонном секторе модели и сии-норном.

В первой главе предлагается 5-мерная геометрическая модель гравиэлектрослабых взаимодействий, рассматриваемых как взаимодействие лептонных полей с геометрией 5-мерного аффинно-метрического пространства с псев-доримановой метрикой (II2 = длв (1хА (1хв {А, В = 0,1,2,3,5), то есть как геометродинамика лентонов в 5-мерном искривленном пространстве, оснащенном кручением и неметричностыо, при этом дополнительное измерение выбирается пространственно-подобным. В начале главы дается обоснование выбора подхода с использованием в качестве модели 5-мерного пространства-времени аффинно-метрического пространства. Кратко приводится необходимый математический аппарат, основные свойства и соотношения между геометрическими объектами в 5-мерном аффинно-метрическом пространстве, используемых в дальнейшем изложении. Далее представляются основные черты 5-мерной геометрической модели гравиэлектрослабых взаимодействий. Производится редукция этой модели путем (4+1)-разбиения действия 5-мерной теории с помощью монадного формализма. В результате получена теория гравитационного взаимодействия электромагнитного поля в 4-мерном аффинно-метрическом пространстве с кручением и неметричностыо, где естественным путем возникает калибровочно инвариантное взаимодействие электромагнитного поля с неметричностыо пространства-времени, описанной вектором Вейля. Здесь же с помощью процедуры варьирования 4-мерного действия получены основные уравнения рассматриваемой теории. Полученная теория распадается на два варианта: когда учитываются геометрические скалярные ноля #55 = е2ф и Т = АлТА (моиадная проекция следа иометрич-ности), а также когда эти поля отсутствуют, то есть когда <755 = const и Т = const.

Во второй главе исследуются сферически-симметричные равновесные полевые конфигурации в рассматриваемой теории. Сначала рассматривается, какую форму принимает обобщенный закон Кулона в данной теории в отсутствии геометрических скалярных нолей, при этом векторные поля могут быть как безмассовыми, так и массовыми, а также при наличии геометрических скалярных полей. Затем решалась задача о распределении полей сферически симметричного источника (обобщенная задача Райснера-Нордстрема) при учете собственного гравитационного поля в отсутствии геометрических скалярных полей и при их наличии, когда векторные поля также рассматриваются двух типов — безмассовые и массовые. Заключительный параграф данной главы посвящен рассмотрению гравитационной модели с тремя взаимодействующими скалярными полями, когда вектор неметричности Вейля выбирается градиентным со скалярным потенциалом.

В третьей главе исследуются цилиндрически-симметричные равновесные полевые конфигурации для исследуемой теории. Здесь последовательно рассматриваются отдельно электростатические конфигурации и магнитные с продольным и азимутальным магнитными полями, а также когда присутствуют одновременно электрическая и магнитная составляющие. Данные задачи также как и в сферической симметрии исследуются как в отсутствии геометрических скалярных полей, так и при их наличии. Векторные поля также рассматриваются как безмассовыми, так и массовыми.

Четвертая глава посвящена исследованию вращающихся однородных равновесных и неравновесных полевых конфигураций. В данной главе показана возможность существования однородных статических вращающихся конфигураций для рассматриваемых нолевых распределений только и отсутствии неметричности, поскольку присутствие неметричности, как нами показано, несовместимо с наличием вращения. Также исследуются динамические космологические модели с вращением. Вращающиеся космологические модели рассматриваются как с одним магнитным полем, так и для случая, когда кроме магнитного присутствует еще и электрическое иоле при наличии или в отсутствии геометрических скалярных нолей. Также исследуется вращающаяся космологическая модель со спипорным полем, то есть с учетом наличия фермионных полей.

В последней пятой главе рассматриваются однородные и анизотропные космологические модели в интегрируемой геометрии Вейля. Рассматриваются варианты, когда вектор Вейля Уп является градиентом скалярного ноля, и полевые массивные члены компенсируются следом кручения, а также когда не компенсируются. В результате получились космологические модели при наличии трех взаимодействующих скалярных полей. Показана возможность того, что эти поля могут описывать «темную материю», обнаруженную в наблюдаемой Вселенной.

Таким образом, в диссертации путем редукции 5-мерной геометрической модели гравиэлектрослабых взаимодействий к 4-мерному пространству-времени построена теория гравитационного взаимодействия электромагнитного поля и скалярных полей, имеющих геометрическое происхождение в аффинно-метрическом пространстве, оснащенном кручением и неметрично-стью вейлевского типа. Исследованы и найдены различные астрофизические эффекты и космологические следствия разработанной теории.

Основные результаты работы содержатся в одиннадцати публикациях [56, 65, 68, 71, 78, 79, 90, 91, 92, 93, 104], докладывались на 6-ой конференции молодых ученых (Ярославль, ЯГПУ, 1998), 10-ой Российской гравитационной конференции «Теоретические и экспериментальные проблемы гравитации» (Владимир, 1999 г.), 11-ой международной конференции «Теоретические и экспериментальные проблемы относительности и гравитации» (Томск, 2000 г.), У-ой международной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона (Москва, 2001 г.), а также обсуждались на научных семинарах «Геометрия и физика» под рук. док. физ.-мат. наук, проф. Ю. С. Владимирова (физический фак-т МГУ, 2003 г.), международной школы-семинара «Проблемы теоретической космологии» (Ульяновск, 2000 г., 2003 г.), .

Автор глубоко благодарен научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Георгиевичу Кречету за постоянный интерес, большую помощь и поддержку при работе над диссертацией.

Автор благодарен профессору Ю. С. Владимирову, профессору В. Н. Мельникову, доценту О. В. Бабуровой, профессору Б. Н. Фролову за проявленный интерес к работе, обсуждения и ценные замечания.

Автор благодарен также участникам научного семинара Российского гравитационного общества и московского семинара «Геометрия и физика» за полезные замечания, сотрудникам кафедры теоретической и экспериментальной физики ЯГПУ за помощь и создание благоприятных условий для работы.

Заключение

.

В диссертации в рамках аффинно-метрической теории гравитации с учетом кручения и неметричности исследованы свойства гравитационного взаимодействия электромагнитного поля, взаимодействующего со скалярными полями. Рассмотренная теория получается путем редукции бозонного сектора 5-мерной геометрической модели гравиэлектрослабых взаимодействий к 4-мерному пространству-времени.

Таким образом, наряду с традиционным подходом, который основан, главным образом, на использовании свойств кривизны пространства-времени в рамках ОТО, в диссертации изложена теория гравитационного взаимодействия физических скалярных и векторных полей в пространствах аффинной связности общего вида (Ь^д).

Построен формализм теории (вариационный принцип и динамические уравнения), доказан ряд общих теорем о свойствах гравитационного взаимодействия указанных материальных распределений.

Получены новые точные решения уравнений гравитационного взаимодействия материи в рамках ближайших обобщений ОТО, учитывающих кручение и неметричность пространства-времени, вскрывающих главные эффекты рассматриваемых взаимодействий. В частности, удалось получить точные решения для самогравитирующих массивного векторного и безмассового скалярного полей.

Наряду с полученными точными решениями на их основе мы позволили себе сформулировать ряд гипотез о взаимосвязи физики микромира и космоса, а также о роли гравитации в структуре элементарных частиц. Следует отметить, что представленные в диссертации исследования свойств гравитационного взаимодействия в рамках общерелятивистских теорий, учитывающих кручение и неметричность пространства-времени и проблем о роли гравитации в физике микромира, находятся в русле основной идеи Эйнштейна о взаимосвязи физики и геометрии пространства-времени. Указанные обобщения теории гравитации базируются на эйнштейновской ОТО и удовлетворяют принципу соответствия с ней. Поэтому полученные здесь эффекты не противоречат основным положениям ОТО и, наоборот, принципиальные эффекты ОТО автоматически имеют место в ее обобщениях, используемых в диссертации.