Гладкость решений нелинейных дифференциальных уравнений и теоремы разделимости

В настоящее время общая теория линейных операторов в наиболее важных направлениях в основном завершена. Однако, как правило, в рамках общей теории операторов невозможно получить обстоятельный ответ на ряд фундаментальных вопросов теории дифференциальных операторов без дополнительного исследования, определяемого спецификой предмета.

Такими вопросами, например являются вопросы о гладкости решений и их производных для дифференциальных уравнений.

В случае ограниченных областей и гладких коэффициентов (регулярный случай) эта тематика уже изучалась и при этом были разработаны методы исследования, которые доведены ныне до классического совершенства и подробно изложены в известных монографиях (см. [l.2j).

Сингулярные дифференциальные операторы исследованы менее подробно. По видимому, первыми систематический этот случай изучали В. Н. Эверитт и М. Гирц [з — б], им, частности принадлежит и постановка фундаментальной проблемы разделимости дифференциального оператора.35^.

В.Н.Эверитт и М. Гирц особенно подробно изучали в этом направлении оператор Штурма-Лиувилля, который, как известно, во многих случаях является «дробным камнем» для предлагаемых методов исследования. Их исследования продолжили Ф. В. Аткинсон.

Напомним (на примере оператора Штурма-Лиувилля), что уравнение Ltj~ -у называется разделимым в bp 00 J.

I <:p <, если из того, что у е hp (- € bp (-**>**) следует, что if1'? hp. ЛЦспИйП? К) [7,8], У. Д. Эванса и А. Цеттл (EveiflS W, geltle d) [9] и другие за рубежомв Советском Союзе К. Х. Бойматов |l0 — 14], М. Отелбаев |l5 — 19], а также ученики М. Г. Гасымова и Ф. Г. Максудова [21,22], О. А. Еаутыкова [23,24] .

Как правило, зарубежные математики применяли до нынешнего времени метод Эверитта и Гирцаон состоит в использовании классических приемов для изучения асимптотического поведения функции Грина рассматриваемого оператора на бесконечности.

С момента появления работ К. Х. Бойматова [ю] и М. Отелбае-ва ?15] в проблеме разделимости обозначился значительный шаг вперед. Они предложили для решения этих вопросов некоторую модификацию метода Титчмарша, которая ранее применялась для решения других задач в работах М. Г. Гасымова [2б], А.Г.Костючен-ко [2б], Б. М. Левитана [27] .

Позже М. Отелбаев предложил для решения проблемы о гладкости решения дифференциальных уравнений специальный метод локального представления резольвенты, который он назвал вариационным.

К.Х.Бойматову, М. Отелбаеву и их ученикам удалось получить при этом ряд важных принципиальных результатов, которые в частности обобщают основные достижения зарубежных авторов.

Для неограниченных областей существованием и гладкостью решений нелинейных дифференциальных уравнений (с сингулярном потенциалом) на примере уравнений Штурма-Лиувилля занимались М. Б. Муратбеков и М. Отелбаев [28]. В дальнейшем эта задача решалась также в работах Т. Т. Амановой [29], М. Б. Муратбекова [30] .

Тем не менее гладкость решений нелийных дифференциальных уравнений шло изучена по сравнению с гладкостью решений линейных дифференциальных уравнений. Здесь еще нет сложившихся традиционных методов, которым доступно большое число задач, встречающихся в приложениях.

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению вопроса существования и гладкости решений:

— Нелинейного дифференциального уравнения нечетного порядка.

— Нелинейного дифференциального уравнения с матричным потенциалом.

— Нелинейного уравнения Щредингера (трехмерный случай) и оценкам промежуточных производных решений в весовых пространствах, а также теоремам разделимости оператора Штурма-Лиувилля с вырождающимися или быстро растущим на бесконечности коэффициентов при старшей производной.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации.

Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 55 наименований.

1. JbiOHc Ж.Л., Мадасенес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: }Шр, I97I, — 372 с.

2. А1-кСпШ1. f.y. ^ici^cia. trUU-^UCL of CrvUftat i^pe. Pie5 -^68.

4. Бойматов К. Х. Теоремы разделимости для оператора ШтурмаЛизгвилля,-4Латем.заметки, 1973, т. 14,)^ 3, с.349−359.

5. Бойматов К. Х. Теоремы разделимости, — Докл. АН СССР, 1973, т.213, 1Ь 5, с. Ю О ^ Ю П .

6. Бойматов К.Х.Lp — оценки обобщенных решений эллиптических дифференциальных уравнений. — Докл. АН СССР, 1975, т.223, J,^ 3, с.521−524.

7. Бойматов К. Х, Об области определения оператора Штурма-Лиувилля.-Д1фференциальные уравнения, 1976, т, 12, В 7, с.1151-II60.

8. Бойматов К. Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения к краевым задачам. — ДА. Н СССР, 1979, т.247, ja 3, с.610−612.

9. Отелбаев М. О сут^ г^ шруемости с весом решения уравнения ШтурмаЛиувилля. — Матем. заметки, 1974, т. 16, !'& 6, с.969−980.

10. Отелбаев М. О гладкости решений дифференциальных уравнений.- Известия АН Каз. ССР, сер. физ.-мат., 1977, 1^ 5, с.45−48.

11. Отелбаев М. О гладкости решений псевдодифференциальных уравнений и теоремы разделимости. — В кн.: Штематические исследования, КарГ7, Караганда, 1976, вып. З, с.92−102.

12. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теореглы разделимости для эллиптических уравнений в Я" • Труды 1ШШ, 1983, т. 161, с.195−217.

13. Измайлов А. Л., Отелбаев М, О суммируемости с весом решения дифференциального уравнения в неограниченной области, -Известия АН Каз. ССР, сер. физ.-мат., 1977, i§ I, с.36−40.

14. Рашябеков Д. Ж. Гладкость решения в L^ сингулярного уравнения.- Известия АН Каз. ССР, сер. физ.-мат., 1974, й 3, с.78−83. — 96 ;

15. Алиев Б. И. Теоремы разделшлости для операторного уравнения Штурма-Лиувилля на полуоси. — Деп. в ВИНИТИ, 14, 782, № 37 (62−82).

16. Абудов А. А. О разделимости одного оператора, порожденного операторно-дифференщ^альным выражением. — В 1ш.: Спектральная теория операторов, Баку, «Элм», 1982, с.4−11.

17. Джумабаев Д. С, Медетбекова Р. А. О разделимости линейного дифференциального оператора второго порядка. Изв. АН Каз. ССР, сер. физ.-мат.-, 1983, II 5, с.21−26.

18. Джутлабаев Д. С. Об ограниченности решения и его производных на всей оси дифференциального уравнения первого поряд!^. Изв. АН Каз. ССР, сер. физ.-мат., 1982, В 5, с.5−7.

19. Гасымов М. Г. О распределении собственных значений сшлосопряженных дифференциальных операторов. — ДАН СССР, 1969, т.186, с.753−756.

20. Костюченко А. Г. Распределение собственных значений для сингулярных дифференциальных операторов. — ДАН СССР, 1966, т.168, № I, с.810−813.

21. Левитан Б. М. Исследование функции Грина уравнения ШтурмаЛиувилля с операторьшх коэффициентом. — Матем, сборник, 1968, т.76, Гв 2, с.239−270.

22. Муратбеков М. Б., Отелбаев М. О гладкости решения нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля. — В кн.: Математика: Тезисы докладов УП-ой казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике (Караганда, I98I), Караганда, I98I, с.34−35.

23. Аманова Т. Т. Гладкость и аппроксиглативные свойства решений двучленных дифференциальных уравнений на бесконечном интер— 97 -вале. — Канд.дйсо. … Алма-Ата, 1984, — 82с.

24. Муратбеков М. Б. О гладкости решения вырождающихся эллиптических уравнений и одномерного нелинейного стационарного уравнения Щредингера. — Канд.дисс. … Алма-Ата, I98I,-81с,.

25. Бубнов Б. А. Характеристические задачи для одного класса уравнений третьего порядка. — В кн.: Корр., краевые задачи для неклассичес1шх уравнений. Мат. физика, Новосибирск, 1980, с.44−50.

26. Кожанов А. И. Разрешимость смешанной задачи для нелинейных уравнений с диссипацией третьего порядка. — В кн.: Корр., краевые задачи для неклассических уравнений мат, физики. Новосибирск, 1980, с, 98−102.

27. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.-М.:Наука, 1969, с. 780.

28. Дубинский Ю. А. Нелинейные эллиптичесхше и параболические уравнения. — В кн.: Современные проблегш матеглатики, Москва, ВИНИТИ, 1976, т.9, с.5−130.

29. Лионе Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М.: Мир, 1972, — 587с.

30. Похожаев С И. О нормальной разрешимости нелинейных уравнений. — Докл. АН СССР, 1969, т. 184, 0.40−43.

31. Похожаев СИ. Об уравнении вида AU^oc, u, t)u-.. -Математический сборник, 1980, т. ПЗ (155), 1Ь 2, с, 324−338.

32. Похожаев С И. Об априорных оцешсах решений квазилинейных эллиптичес1шх уравнений произвольного порядка. — Дифференциальное уравнение, 1983, II 19, Ш I, c. IOI-IIO.

33. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976, 480с. — 98 ;

34. Колвлогоров А. Н., Фомин С В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Наука, I98I.

35. Отелбаев М. Теоремы вложения пространств с весом и их применения к изучению спектра оператора Щредингера. — Труды Ш АН СССР, 1979, т.150, с.265−305.

36. Треногий В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980,-496с.

37. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функцишл связанные с диф (|)еренциальными уравнениями второго порядка. — М.: ГДир, I96I, т.2.

38. Отелбаев М., Ценд Л. К теоремам о компактности. — Сиб. математический журнал, 1972, & 4, с.817−822.

39. Рид М., Са&лон Б. Методы современной математической физики. -М.: Itep, 1978, т.2, с. 395.

40. Коваленко В. Ф., Семенов Ю. А. Некоторые вопросы разложения по обобщенным собственным функциям оператора Шредингера с сильно сингулярными потенциалами. — Успехи матем. наук, 1978, т.33, вып.4- с.107−138.

41. Соболев Л. Некоторые пршленения функционального анализа в математической физике. — Л., ЛГУ, 1952.

42. Отелбаев М. Об условиях самосопряженности операторов Щредингера с операторнытл потенциалом. — У1Ж, 1976, Киев, т.280, В 5. — 99 ;

43. Биргебаев А. Разделимость одного дифференциального оператора в L^. — Известия АН Каз. ССР, сер.физ.-^лат., I98I, 1Ь 5, с. 1−5.

44. Биргебаев А., Муратбеков М. Б. Гладкость решений нелинейного стационарного уравнения Щредингера. — В кн.: Пршленение методов функционального анализа к неклассическим уравнениям математической физики. Ш СО АН СССР, 1983, с.33−45.

45. Биргебаев А. Оценки промежуточных производных одного разделенного оператора. — В кн.: Тезисы докладов УП-ой казахстанской межвузовской научной конференции по мате^ттике и механики. (Караганда, I98I), Караганда, I98I, с. 12.

46. Биргебаев А., Отелбаев М. Гладкость решений нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка. — Известия АН Каз. ССР, сер. физ.-мат., 1984, В 3, с.11−13.

47. Биргебаев А. Гладкость решений нелинейного дифференциального уравнения с матричным потенциалом. — В кн.: Тезисы докладов УШ-ой республиканской межвузовской научной конференции по ыатеглатике и механике, 1984, с.II.