Математические уравнения и функции

Варивант № 2

Задание 1

Дан треугольник ABC, где А (-3,2), В (3,-1), С (0,3). Найти:

1. Длину стороны АВ;

2. Внутренний угол, А с точностью до градуса;

3. Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;

4. Точку пересечения высот;

5. Уравнение медианы, опущенной из вершины С;

6. Систему неравенств, определяющих треугольник АВС;

7. Сделать чертеж;

Решение:

1. Найдем координаты вектора АВ:

Длина стороны АВ равна:

2. Угол, А будем искать как угол между векторами АВ и АС (-3,1)

Тогда

3. Прямая СК перпендикулярна АВ проходит через точку С (0,3) и имеет нормалью вектор .

По формуле получим уравнение высоты:

Сокращаем на 3 получим уравнение высоты:

4. Координаты основания медианы будут:

;

Уравнение медианы найдем, пользуясь данной формулой, как уранение прямой, проходящей через 2 точки: С и М Так как знаменатель левой части равен нулю, то уравнение медианы будет иметь такой вид х=0

5. Известно что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено, выведем аналогично высоту BD проходящую через точку В перпендикулярно вектору

Координаты точки Р найдем как решение системы уравнений:

х=11 у=23

6. Длину высоты hc будем ее искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку, А и имеет направляющий вектор .

Теперь воспользовавшись формулой Подставляя в нее координаты точки С (0,3)

Задание 2

Даны векторы Доказать, что образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора «в» в этом базисе.

Решение:

1. Докажем, что подсистема линейно независима:

Из четвертого уравнения имеем, что, тогда из первого, второго и третьего следует, что. Линейная независимость доказана.

Докажем, что векторы можно представить в виде линейных комбинации векторов .

Очевидно,

Найдем представление через .

Из четвертого уравнения находим и подставляем в первые три Получили, что данная система векторов не может называться базисом!

Задание 3

Найти производные функций:

Задание 4.

Исследовать функцию и построить ее график

1. Область определения:

то есть

2. Кривая имеет вертикальную ассимптоту х=-1, так как

Находим наклонные асимптоты. а то означает, что есть вертикальная асимптота у=0.

3. Функция общего вида, так как и

4. Функция периодичностью не обладает

5. Находим производную функции

Получаем 3 критические точки х=-1 х=1, и х=5.

Результаты исследования на монотонность и экстремумы оформляется в виде таблицы

6. Находим вторую производную функции

Получаем критические точки х=-1; х=0,22; х=6,11

Результаты исследований на выпуклость и точки перегиба оформляем в виде таблицы.

7. Находим точки пересечения графика с осями координат Ох и Оу

получаем точку (0;1); получаем точку (1;0)

8. При х=-2, у=-9, при х=-5, у=-0,56, при х=-10, у=-0,166

9. Строим график в соответствии с результатами исследований:

Задание 5

Найти неопределенные интегралы и проверить их дифференцированием.

а); б); в); г)

Решение:

а) сделаем подстановку sin3x=t, тогда dt=cos3x dx, следовательно:

Проверка:

б) сделаем подстановку

Проверка:

в) Воспользуемся способом интегрирования по частям Проверка:

г) воспользуемся способом интегрирования рациональных дробей Проверка:

Задание 6

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

Решение:

находим координаты точек пересечения заданных графиков функций:

приравнивая правые части, получаем квадратное уравнение корни этого квадратного уравнения

следовательно: , и значит координаты точек пересечения А (0,7) и В (5,2). Точка х=2 находится между точками 0 и 5. Подставляя в уравнения 2 получаем:

т.к получаем: