Особый интеграл, интеграл типа Коши с непрерывной плотностью и краевая задача Римана

В настоящей работе исследуется особый интеграл Коши, интеграл типа Коши и краевая задача Римана.

В первой главе введены необходимые обозначения и приведены используемые в дальнейшем сведения. Часть этих утверждений доказана, а часть приведена без доказательств с указанием источника, где эти доказательства могут быть найдены.

Все утверждения из этой главы названы леммами, хотя многие приводимые результаты являются довольно значительными достижениями в соответствующих областях. Это, на наш взгляд, оправдано тем, что в данной работе они носят вспомогательный характер.

Утверждения и обозначения имеют двойную нумерацию: первое число показывает номер главы, второе — порядковый номер утверждения или обозначения внутри этой главы.

Во второй главе исследован интеграл типа Коши, который является основным математическим аппаратом при решении непрерывных и кусочно-непрерывных граничных задач теории аналитических функций. f.

Пусть? — замкнутая жорданова спрямляемая кривая (з.ж.с.к.), а /е Су (С^ - множество непрерывных на f функций).

Рассмотрим интеграл типа Коши.

FW.+rf-M-dt. zi,.

2П J? — 2 0.

If.

Важным является вопрос о непрерывной продолжимости на? (изнутри или извне) функции в зависимости от функции плотности f и кривой интегрирования /f. Начало исследованиям, посвященным этому вопросу, было положено работами Сохоцкого Ю. В.,.

Гарнака А., Племеля И. (см. [ 22 ]).

После основополагающих работ Привалова И. И. (Г23]) и Мусхе-лишвили Н.И. ([22 ]), сформировался классический результат, подводящий итог всем предыдущим исследованиям: функция F (&) непрерывно продолжима на f изнутри и извне, если jf — кусочно-гладкая кривая и ^ (Н^ - множество функций, удовлетворяющих условию Гельдера с показателем ote (0,1]).

В дальнейшем последний результат обобщался в работах Магна-радзе Л.Г. ([ 21]), Давыдова Н. А. ([ 12]), Гегелия Т. Г. ([ 22]), Бабаева А. А. ([ I ],[ 2 ]), Тамразова П. М. ([36 ]), Салаева В. В. (Г 27J), Геруса О. Ф. (ГИ ]) и других.

Если, следуя [25] или [ 20 ], ввести сле, пующие обозначения:

В±(Ю = wes (wes X обозначает линейную меру Лебега измеримого множества X с Jf),.

9(Ю = sup Q (S), §,(&) =в,(Г)-вШ, iejf t ¦ t то можно сформулировать наиболее общее достаточное условие непрерывной продолжимости F (2) на jf, полученное независимо друг от друга Дынькиным Е. М. ([13]) и Салимовым Т. С. ([29 ]): если J — з.ж.с.к., f е Су и то F (i) непрерывно продолжима на jf изнутри и извне и верны формулы Сохоцкого Ю. В.:

I) S г~с± / t кюко ,.

4 где F (i), F (i) — граничные значения, соответственно, изнутри и извне^, а.

0)?($) = Ssupr1 SUp, &>0. f Нг-Ь21**.

Достаточное условие для непрерывной продолжимости интеграла типа Коши F (jO на jf, в несколько иных терминах было получено Гончаром А. А. и Григоряном Л. Д. ([ 10]): для непрерывной продолжимости на гладкую жорданову кривую jf, достаточно, чтобы.

Е/^Г)<<*>, (2) где через j>n (jf) обозначено наилучшее приближение f на Jf (в равномерной метрике) посредством рациональных функций порядка не выше П с полюсами вне jf .

Несмотря на достаточно большое количество исследований, посвященных вопросу о непрерывной продолжимости F (Sr) на jf, необходимые и достаточные условия найдены только Салаевым В. В. (T26J), который, используя громоздкий метод трансфинитной индукции, показал, что, если jf — замкнутая кусочно-гладкая кривая без точек возврата (в доказательстве этот факт существенен), f Е Cj", то FC2) непрерывно продолжима на jf изнутри или извне тогда и только тогда, когда интеграл J.

J ь rh (u сходится равномерно по i е jf при 8 -* 0 .

Во второй главе последний результат обобщен на широкий класс негладких кривых, причем доказательство проще, чем соответствующее доказательство Салаева В. В. (в частности, трансфинитная индукция, не используется). Рассмотрен также случай произвольной з^ж.с.к.

В первом параграфе, при дополнительных условиях на функцию^, несколько уточняется основная лемма Привалова И. И. (лемма 2.1). Далее, во втором параграфе, на основе этого уточнения доказывается следующее необходимое условие непрерывной продолжимости на)[ .

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть jf — з.ж.с.к., f € Cf. Тогда, если интеграл типа Коши непрерывно продолжим на jf изнутри или извне, то интеграл.

— 7 сходится равномерно по i е Т при ?->0.

Если кривая ^ такова, что =, то это условие также и достаточно для непрерывной продолжимости F (30 на If .

ТЕОРЕМ 2.3. Пусть jf — з.ж.с.к., у которой = 0($). Тогда интеграл типа Коши FOO непрерывно продолжим на f изнутри и извне тогда и только тогда, когда интеграл.

-<75 сходится равномерно по I е f при? -+0.

Нам неизвестно, остается ли верной теорема 2.3. в случае произвольной з.ж.с.к. Для этого случая получен следующий результат.

ТЕОРЕМА 2.6. Пусть f — з.ж.с.к., Су. Тогда интеграл типа Коши F (i) непрерывно продолжим на jf изнутри и извне тогда и только тогда, когда существует неотрицательная функция (X^fe), ? >0, удовлетворяющая следующим условиям:

1) йт =.

->0 Т.

2) для любого ё >0 и любых Z jf и /е^" таких, что I $ -{ 14 &/2 «выполняется соотношение.

I, | ^ оЛ>сгf (i), C)(i)>sO f (.i) = 0(fli))*3C>o IHeSSfOSg f (V * С.

При этом граничные значения изнутри FW и извне Ftt) функции FOO определяются формулами (I).

Третья глава посвящена изучению особого интеграла Коши. Пусть ^ - з.ж.с.к., Рассмотрим особый интеграл.

Коши Г где jf «а интеграл в правой части понимается в смысле главного значения по Коши.

Хорошо известна связь между интегралом типа Коши FOO и особым интегралом Коши, которую вскрывает основная лемма Прива.

ГТТ лова И.И.: существование почти всюду ?(i) эквивалентно существованию почти всюду угловых граничных значений /" (*) изнутри и извне и при этом для почти всех /б f верны формулы (I).

В силу классической теоремы Племеля И.-Привалова Й.И.(Г22 3), если jf — гладкая кривая и? в Н^ (0 < * 1), то при 0 < оС < 1 f е Н^, а при 1 происходит логарифмическая потеря, то есть для любого? У 0 и .

В дальнейшем теорема Племеля-Привалова для более широкого класса кривых и некоторые ее обобщения доказывались в работах Магнарадзе Л. Г. (Г21 ]), Давыдова И. А. (Г 12 3), Гегелия Т. Г. ([22 3), Бабаева А. А. (С 13~[ 3 3), Салаева В. В. (Г27 3), Там-разова П.М. (Г35 3, Г36 3), Геруса О. Ф. (С IlJ), Дынькша Е. М. (CI3J) Салимова Т. С. (Г29 3)" В то же время ни в одной из этих работ не исследовался вопрос о нахождении необходимых и достагр точных условий непрерывности особого интеграла? ({). Такое условие было получено Заманским М. М. (Г44 ]) и Салаевым В. В. ([26 ]), соответственно, для случаев, когда кривая интегрирования fr — окружность и кусочно-гладкая кривая без точек возврата.

В первом параграфе показано, что условие, приведенное в [44 J и [26 ], является необходимым и достаточным для непрегр рывности f (г) ив случае негладких кривых, то есть верна.

ТЕОРЕМА 3.3. Пусть Г — з.ж.с.к., у которой 8(. У гр f € Cj-. Тогда, чтобы особый интеграл f (i") был непрерывен на? , необходимо и достаточно, чтобы интеграл t МhM-b.

J (tett) сходился равномерно по 4 Е ]f при 8 0 •.

При доказательстве этой теоремы используются следующие результаты, представляющие самостоятельный интерес.

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть jf — з.ж.с.к., у которой Q (S) =, /в Ср. Тогда интеграл типа Коши F (i)е Ер, ps (0, ooj (Ер — классы Смирнова В.И.).

Далее, на основе теорем 2.3, 3.2 и 3.3 устанавливается ТЕОРЕМА 3.5. (основная) Пусть? — з.ж.с.к., у которой 9(Ю и С^. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

I. Интеграл типа Коши г.

— 10 непрерывно продолжим на jf изнутри и извне.

2. Угловые граничные значения интеграла типа Коши изнутри или извне jf почти всюду совпадают с некоторой непрерывной на jf функцией.

3. Особый интеграл Коши.

If непрерывен на jf 4. Интеграл сходится равномерно по i? jf при б-*-0 .

Принципиально важным обобщением теоремы Племеля И.-Привалова И.И. является оценка модуля непрерывности особого интеграла Коши t) через модуль непрерывности функции плотности .

Впервые такая оценка была получена Зигмундом А. (Г14Д), точнее верна.

ТЕОРЕМА (Зигмунд А.) Пусть? — единичная окружность, fsC^ и a/fir).

А,.

•f СО.

Тогда /го е С/г и верна оценка.

— II $ or.

0 * где С — постоянная, не зависящая от j! .

Для особого интеграла Коши по гладкой кривой эта оценка была доказана Магнарадзе Л. Г. (С 213). В терминах введенных ими же характеристик кривой, Бабаев А. А. и.

Салаев В.В. ([ 4 ]) получили оценку типа оценки Зигмунда А. в случае произвольной з.ж.с.к., из которой, в частности, вытекает оценка Зигмунда А. для кривых, у которых отношение небольшей из длин дуг, стягивающих любые две точки к длине хорды, соединяющей эти же точки, ограничено сверху. Телесный аналог этой оценки было получено Тамразовым П. М. (Г 35],[ 361). Впоследствии подобные оценки получались в терминах характеристики 9(ft") (или ее аналогов) Салаевым В. В. (Г 27]), Герусом О. Ф. (ГП ]), Дынькиным Е. М. ([13 ]), Салимовым Т. С. (Г29 ]). Из оценки Са-лаева В.В. следует, что если jf — з.ж.с.к., у которой.

— О (Ю, то на этой кривой верна оценка Зигмунда А.

В совместной работе [7 3 Бари Н. К. и Стечкин С. Б. рассмотрели вопрос о точности оценки Зигмунда А. и доказали, что верна.

ТЕОРЕМА. Пусть jf — единичная окружность, if> - модуль непрерывности. Тогда, при г:-= +00 О существует функция С|" такая, что ^(fr) г—I и f Ц) е С^, а при.

Г W" J J —=-< + 0° О существует функция^е такая, что 0)^(8) ^ и Яо $ где С — абсолютная постоянная.

Объединением оценки Зигмунда А. и теоремы Бари Н. К. — Стеч-кина получается.

ТЕОРЕМА (Зигмунд А.- Бари Н. К. — Стечкин С.Б.). Пусть fединичная окружность,. Тогда для того, чтобы соЛП — 0(П =? ьу (О = Oiftty т т необходимо и достаточно, чтобы о 5 О J s.

Последняя теорема была перенесена Салаевым В. В. на случай з.ж.с.к. — j*, у которой 5(0 = и касательная к <Г непрерывна хотя бы в одной точке, а оценка типа обратной оценки Бари Н. К. — Стечкина С. Б. была получена Салимовым Т.С.

Эти результаты показывают, что если — з.ж.с.к., у которой 9 (?) =¦ 0 (&), то знание модуля непрерывности функции f позволяет получить подробную информацию о модуле непрерывности гр функции 1. В то же время Салаевым В. В. (Г26]) показано, что существуют кусочно-гладкая кривая и функция С^ такие, что d.

— - +00 0 гр a f (i) e Сд*.

В связи с вышеизложенными результатами возникает задача о нахождении новых отличных от модуля непрерывности, естественных для рассматриваемого круга вопросов, характеристик непрерывных функций и изучения особого интеграла Коши в терминах этих характеристик. В этом направлении отметим работу Салаева В. В. и Исса Р. Б. (CI6J), в которой вводится класс S^, состоящий из функций f, fs Ср, таких, что интеграл J.

ГГМ) сходится равномерно по i е:? при ?-*0. Далее, для функции^е S^ определяется характеристика aco-fsupr-'aipl f Ь-fr ^ ief в терминах которой для з.ж.с.к. без точек возврата и такой, у которой = 0(B), изучается поведение особого ин-^ теграла Коши и строится шкала инвариантных относительно / •• -f функциональных пространств, среди которых имеются пространства отличные от инвариантных пространств Ну. Аналогичные результаты в случае разомкнутого контура (удовлетворяющего условию = 0(&)) были получены Селимом М. С. ([32 ]).

Во втором параграфе третьей главы в терминах пары характеристик (са>^, функции f устанавливаются оценки для этих же характеристик функции?. Эти оценки приведены в теореме 3.6. ТЕОРЕМА 3.6. Пусть jf — з.ж.с.к., у которой Q (?) = 0(S), fsSf. Тогда. для любого (0,d] верны неравенства a) d f i где постоянные Cf и Сг зависят разве лишь от jf .

Отметим, что эти оценки проще соответствующих оценок работы С 32J и обобщают их. Из теоремы 3.6 получено.

СЛЕДСТВИЕ 3.1. Пусть jf — з.ж.с.к., у которой 9(f>) = = 0(S), feSp. Тогда Sr.

ТЕОРЕМА 3.6 позволяет строить новые, инвариантные относительл ПР, но особого интегрального оператора, А: f f пространст.

— 15 ваgy, определяемые следующим образом.

Zp * I /е 5r 1 c^ff) — OQftb)) = 0(у> f ft)} и со.

2y> Cr tefo. di W) J ?(*) ' где ij> - модуль непрерывности, a d/ = sup li-^j teef.

Верна.

ТЕОРЕМА 3.7. Пусть f — з.ж.с.к., у которой в (Ю *()($), /е С^, у ~ модуль непрерывности и d В.

Тогда особый интегральный оператор *? ограниченно действует из 2 у в .

Отметим, что если jf — гладкая кривая, то класс Sp содержит функции^, ? е Ср, с сколь угодно «медленно» стремящимися к нулю модулями непрерывности (Г 9 1, Г 10 1).

Если же f — произвольная з.ж.с.к., то S f содержит все функции? , С^, удовлетворяющие условию d.

Г) л.

J *, tfg < +оо о s.

С Г 13 Л, Г 29 J).

— 16.

Четвертая глава посвящена применению полученных результатов к решению краевой задачи Римана.

Пусть Y — з.ж.с.к. Обозначим, как обычно, через и, соответственно, внутренность и внешность ft .

Функцию ф (?) будем называть кусочно-аналитической функцией с линией скачков jf, если: а) ф (ъ) — аналитична в jf+ и непрерывна в? * - б) ф (2) — аналитична в (включая ?=со) и непрерывна в Гв) ф (оо) = о.

Пусть Gе Су «причем (r (i)^O для любого.

Задача Римана. Найти кусочно-аналитическую функцию с линией скачков f, удовлетворяющую в каждой точке линейному соотношению.

Задачу Римана в такой постановке будем называть неоднородной непрерывной краевой задачей, а функцию — ее непрерывным решением.

При (r (t)? / задача Римана называется задачей о скачке, а при — однородной задачей Римана.

Развивая и продолжая идеи предыдущих исследований, Гахов Ф. Д. (Г 8 2) ввел понятие иццекса задачи и с помощью этого понятия дал полное решение как однородной, так и неоднородной задач Римана в интегралах типа Коши в классических предположениях: ft* - простая замкнутая гладкая кривая, ?, ^ 6 j-j^ и для любого {€.]*, (r (i)? О.

В дальнейшем результаты Гахова Ф. Д. обобщались в работах.

Симоненко И.В., Хведелидзе Б. В., Иванова В. В. и др. (полный перечень этих работ имеется в Г 8 3, С 22 1, Г 41 1).

Из работ, близких к теме данной диссертации отметим работу Бабаева А. А. и Салаева В. В. Г 6 1, в которой непрерывная крае-задача Римана решена на произвольной з.ж.с.к. при условии, что коэффициенты Q, (j удовлетворяют естественному обобщенному условию Дини.

В классах непрерывных функций, не описываемых в терминах модулей непрерывности эта задача рассматривалась в работах Исса Р. Б. (Г151), Селима М. С. ([ 311). В первой работе, в случае, з.ж.с.к. без точек возврата и удовлетворяющей условию в (Ю ~ 0($), ослаблены условия на коэффициенты С-, (j, а во второй — аналогичные результаты получены в случае разомкнутой ж. С.к., у которой as 0($).

Отметим также недавние результаты Каца ([193), в которых непрерывная задача Римана решена при очень обших предположениях на линию скачка, которая, вообще говоря, может быть и не спрямляемой. Решение задачи выражается в плоских интегралах, которые являются естественными обобщениями интеграла типа Коши.

В то же время до сих пор оставалась нерешенной следующая проблема, поставленная Гаховым Ф. Д. (Г 8 3, стр.146): при каких минимальных условиях на коэффициенты ?(«0 и Cj (i) задача Римана имеет непрерывное решение.

В главе 1У эта проблема полностью решена в случае задачи о скачке и однородной задачи Римана.

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть ^ - з.ж.с.к., у которой О (^) *.

Су. Тогда для существования непрерывного решения задачи о скачке необходимо и достаточно, чтобы | е S^ .

Решением задачи является функция г.

ТЕОРЕМ 4.2. Пусть f — з.ж.с.к., у которой 9(&)= 0(Ъ), fy и для любого % ief. Ш фО f ЭС * 2nd £СО «0 .

Тогда, чтобы однородная задача Римана имела непрерывное решение, необходимо и достаточно, чтобы 6п GS. Sy.

При условии <р foo) =1 решение дается функцией tf.

ТЕОРЕМА 4.3. Пусть — з.ж.с.к., у которой Of= 0(Ь)9 Q е ty, и для любого if е G (i)t0,2C = Ш G (i) >0 Тогда, чтобы однородная задача Римана имела 2С+/ линейно независимых непрерывных решений необходимо и достаточно, чтобы.

Ьп Q б.

Эти решения определяются формулами Г.

Km.^Hdrf-^Ф1*).

If к = оУи ., к).

— 19.

При К < 0 задача не разрешима. Для случая неоднородной задачи Римана получены следующие результаты.

ТЕОРЕМА 4.4. Пусть jf — з.ж.с.к., у которой Q (S) = 0(К) $¦>9 и для любого i^jf (r (i) ^ О, (n (r€=$f и оо.

Тогда неоднородная краевая задача Римана разрешима и общим непрерывным решением является функция.

I * О.

3) где р (г) — полином с произвольными коэффициентами, а.

Х (г) = Л fiP (-5T / f fTi-" i^pij-fA^ai.

2ffi J.

ТЕОРЕМА 4.5. Пусть f — з.ж.с.к., у которой Q (&) s 0(5), gt (}GCf и для любого G (t)$ 0, 9e*0, d.

Ufi (Ю .

— Г:—< +00 .

0 g.

Тогда неоднородная краевая задача Римана разрешима и общее непрерывное решение определяется формулой (3).

Автор выражает искреннюю признательность Бабаеву А. А., Салаеву В. В. за постоянное внимание.

— 21.

1. Бабаев А. А. Об особом интеграле с непрерывной плотностью.-" Уч.зап." Азерб. ун-та, сер.физ.-мат.наук, 1965, № 5, с.11−23.

2. Бабаев А. А. Некоторые свойства особого интеграла с непрерывной плотностью и приложения.- ДАН СССР, 1966, 168, № 2, с.255' 258.

3. Бабаев А. А. Некоторые оценки для особого интеграла.- ДАН СССР, 1966, 170, № 5, c. I003-I005.

4. Бабаев А. А., Салаев В. В. Об одном аналоге теоремы Племе-ля-Привалова в случае негладких кривых и приложения.- ДАН СССР, 1965, 161, № 2, с.267−269.

5. Бабаев А. А., Салаев В. В. Одномерный сингулярный оператор с непрерывной плотностью по замкнутой кривой.- ДАН СССР, 1973, 209, № б, с.1257−1260.

6. Бабаев А. А., Салаев В. В. Краевые задачи и сингулярные уравнения на спрямляемом контуре.- Матем. заметки, 1982, 31, № 4, с.571−580.

7. БариН.К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций.- Тр.Матем.общества, 1956, 5, с.483−521.

8. Гахов Ф. Д. Краевые задачи.- Изд.3-е, М., 1977, 640с.

9. Гончар А. А. О наилучших приближениях рациональными функциями.- ДАН СССР, 1955, 100, № 2.

10. Гончар А. А., Григорян Л. Д. Об оценках нормы голоморфной составляющей мероморфной функции.- Матем.сб., 1976, 99 (X4I), 4, с.634−638.1. Герус О. Ф. Некоторые оценки модулей гладкости интегралов типа Коши.- Укр.матем.журн., 1978, 30, № 5, с.594−601.

11. Давыдов Н. А. Непрерывность интеграла типа Коши в замкнутой области.- ДАН СССР, 1949, 64, № 6, с.759−762.

12. Дынькин Е. М. Гладкости интегралов типа Коши.- Зап.науч. сем. по теор.функ.ЛОМИ, 1979, 92, с.115−133.

13. Зигмунд А. Тригонометрические ряды.- М. 1965, т.1, 538с.

14. Исса Р. Б. К теории краевой задачи Римана, — Уч.зап.МВ и ССО Азерб. ССР, сер.физ.-мат.наук, 1978, № 2, с.

15. Исса Р. Б., Салаев В. В. Об одном классе пространств непрерывных функций, связанных с особым интегралом Коши по замкнутой кривой.- Уч.зап. MB и ССО Азерб. ССР, 1977, № I.

16. Камке Е. Интеграл Лебега-Стильтьесса.- М. 1959,.

17. Кац Б. А. Об условиях разрешимости однородной задачи Римана на негладкой кривой бесконечной длины.- Известия вузов, математика, 1982, № 6, 75−77.

18. Кац Б. А. Краевая задача Римана на неспрямляемой жордано-вой кривой.- ДАН СССР, 1982, 267, № 4, с.789−792.

19. Кулиев Т. К. Шкала многомерных сингулярных интегралов из нижнего класса Коши по замкнутым негладким многообразиям.- Деп. ВИНИТИ № 990−76, 1976, 23с.

20. Магнарадзе Л. Г. Об одном обобщении теоремы Племеля-При-валова.- Сообщ. АН Груз. ССР, 1947, УШ, № 8, с.509−516.

21. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.-Изд. 3-е, М., 1968, 511с.

22. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций.-Изд. 2-е, М.-Л., 1950, 336с.

23. Салаев В. В. Многомерный сингулярный интеграл по замкнутым негладким многообразиям в пространствах непрерывных функций.-Деп. в ВИНИТИ, № 1843−74, 18с.

24. Салаев В. В. Поведение интеграла типа Коши вблизи контура- 90 интегрирования.- В сб. прик.мат.вузов Азерб. ССР, 1974, № I.

25. Салаев В. В. Сингулярные операторы в пространствах непрерывных функций, — Докторская диссертация, Баку, 1975.

26. Салаев В, В. Прямые и обратные оценки для особого интеграла Коши по замкнутой кривой, — Мат. заметки, 1976, 19, № 3,с.365−380.

27. Салимов Т. С. 0 теореме Племеля-Привалова.- В сб.: Научные труды MB и ССО Азерб. ССР, сер.физ.-мат.наук, 1979, № 3, с.102−113.

28. Салимов Т. С. Прямая оценка для сингулярного интеграла Коши по замкнутой кривой, — В сб. Научные труды MB и ССО Азерб. ССР, сер.физ.-мат.наук, 1979, № 5, с.59−75.

29. Салимов Т. С, Обратная оценка для сингулярного интеграла Коши по замкнутой кривой.- Материалы науч.конф.аспир.АН Аз. ССР, 1980, с.242−245.

30. Селим М. С. Неоднородная задача Римана на негладкой разомкнутой кривой, — В сб. Научные труды MB и ССО Азерб. ССР, сер.физ.-мат.наук, 1979, № 5, с.17−23.

31. Селим М. С. Необходимые и достаточные условия непрерывности интеграла типа Коши вплоть до разомкнутой негладкой кривой.-Науч.труды MB и ССО Азерб. ССР, сер.физ.-мат., 1979, № 3, с.92−101,.

32. Симоненко И. Б. Краевая задача Римана с непрерывным коэффициентом.- ДАН СССР, 1959, 124, № 2, с.278−281.

33. Симоненко И. Б. Краевая задача Римана и Римана-Газемана с непрерывным коэффициентом.- В сб. Исследование по современным проблемам теории функций комплексного переменного, М., 1961, с.380−389,.

34. Тамразов П. М. Контурные и телесные структурные свойстваголоморфных функций комплексного переменного.- Успехи мат. наук, 1973, 28, I (169).

35. Тамразов П. М. Гладкости и полиномиальные приближения.-Киев, 1975, 272с.

36. Токов А. О. О краевой задаче Римана.- В сб. Нелокальные краевые задачи для нагруженых уравнений смешанного типа и родственные проблемы непрерывного анализа, Нальчик, 1982, с.218−224.

37. Токов А. О. О непрерывности особого интеграла и интеграла типа Коши.- Деп. в АзНИЙНТИ № 135-Аз-Д83, 14с.

38. ЗУмаркин Г. Ц. Свойства аналитических функций, представи-мых интегралами типа Коши-Стильтьеса и типа Коши-Лебега.Из в. АН Арм. ССР, сер .физ. -мат. наук, 1963, Т. ХУ1, № 5, с.23−45.

39. Хавин В. П. Граничные свойства интеграла типа Коши и гармонически сопряженных функций в областях со спрямляемой границей.- Мат.сб., 1965, 68, № 4, с.499−517.

40. Хведелидзе Б. В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения.- Тр.Тбил.мат.ин-та АН Груз. ССР, 1956, 23, с. З-158.

41. Хведелидзе Б. В. Метод интегралов типа Коши в разрывных граничных задачах теории голоморфных функций одной комплексной переменной.- В сб.Современ.пробл.математики, М., 1975, 7, с.5−162.

42. CarCeman Т. Sur & resotuiion de ceriaines equations integrates. Arkiv for maastr.och.fys., Bcl. I9&2, I6- N 2.6.

43. Zamansky M.M. Sur С approximation des functions continues. Compbes Rendus Sciences, iQ4:9, 228, c.460−461.

44. ResoMiM des conjectures de CaPderon ei espaces de Hardy generalises (d'apres Coif man R., Aavid Mtfniosh A, Meyer У.) Bony Уеап-MCchei, Jsterisgue", 1982 7jr 92−93, c. 293−300.