Анализ модели Ван-дер-Поля

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина»

Курсовая работа

Анализ модели Ван-дер-Поля

Исполнитель:

Студент 5 курса г. Лесной

Чурин Михаил Владимирович

Руководитель: Башкирцева Ирина Адольфовна

г. Лесной 2012 г.

• Введение
• Аналитическое исследование уравнения Ван-дер-Поля
• Компьютерное исследование модели Ван-дер Поля
• Метод Эйлера
• Метод Рунге-Кутта 4 порядка
• Сравнение точности метода Эйлера и Рунге-Кутта на одном графике, рисуя фазовые траектории из 1 точки
• Вывод
• Приложение
• Список литературы
• Введение
• В настоящее время выработалась технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такой метод исследования называют вычислительным экспериментом. Основное требование, предъявляемое к математической модели — адекватность рассматриваемому явлению, то есть она должна достаточно точно отражать характерные черты явления.
• Вместе с тем она должна обладать сравнительной простотой и доступностью исследования. Для решения математических задач используются основные группы методов: аналитические и численные. При практическом решении систем уравнений, как правило, не удается получить решение, выраженное через элементарные функции. Основным инструментом для решения сложных математических задач в настоящее время являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами, при этом результаты получаются в виде числовых значений.
• Пусть, например, требуется исследовать какой-то физический объект, явление, процесс. Формулируются основные законы, управляющие данным объектом исследования и строится соответствующая математическая модель, представляющая обычно запись этих законов в форме системы уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и т. д.).

При выборе физической и, следовательно, математической модели мы пренебрегаем факторами, не оказывающими существенного влияния на ход изучаемого процесса. Типичные математические модели, соответствующие физическим явлениям, формулируются в виде уравнений математической физики.

Большинство реальных процессов описывается нелинейными уравнениями и лишь в первом приближении (при малых значениях параметров, малых отклонениях от равновесия) эти уравнения можно заменить линейными.

После того, как задача сформулирована в математической форме, необходимо найти ее решение. Только в исключительных случаях удается найти решение в явном виде, например, в виде ряда. Иногда утверждение «задача решена» означает, что доказано существование и единственность решения. Ясно, что этого недостаточно для практических приложений. Необходимо еще изучить качественное поведение решения и найти те или иные количественные характеристики.

Именно на этом этапе требуется привлечение ЭВМ и, как следствие, развитие численных методов. Под численным методом здесь понимается такая интерпретация математической модели («дискретная модель»), которая доступна для реализации на ЭВМ. Результатом реализации численного метода на ЭВМ является число или таблица чисел.

Чтобы реализовать численный метод необходимо составить программу для ЭВМ или воспользоваться готовой программой.

После отладки программы наступает этап проведения вычислений и анализа результатов. Полученные результаты изучаются с точки зрения их соответствия исследуемому явлению, и при необходимости вносятся исправления в численный метод и уточняется математическая модель.

Полная погрешность складывается из неустранимой погрешности, погрешности метода и вычислительной погрешности.

Таким образом, ЭВМ изменили подход к применению математики как метода исследования. Они вызвали переориентацию многих сложившихся направлений математики и развитие ряда новых. Благодаря ЭВМ, идет интенсивный процесс математизации не только естественных и технических, но также и общественных наук. Важное значение приобрело применение математических методов в экономике. Во многих университетах и институтах созданы факультеты прикладной и вычислительной математики. Подтверждается точка зрения К. Маркса, который, по словам П. Лафарга, считал, что «наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается воспользоваться математикой».

Аналитическое исследование уравнения Ван-дер-Поля:

любой вещественный параметр

Точка покоя M=(0,0)

Корни действительные

a)

б)

1) Корни комплексные

а) a>0 неустойчивый фокус

б) a<0 устойчивый фокус

3) Корни чисто мнимые

a=0 центр

1. Устойчивый узел

2. Устойчивый фокус

3. Неустойчивый фокус

4. Неустойчивый узел

Компьютерное исследование модели Ван-дер Поля.

Метод Эйлера

1. Устойчивый узел (= -3)

2. Устойчивый фокус (= -1)

3.Центр (= 0)

4.Неустойчивый фокус (= 1)

В системе наблюдается предельный цикл

5. Неустойчивый узел (= 3)

В системе наблюдается предельный цикл

Метод Рунге-Кутта 4 порядка

1. Устойчивый узел (= -3)

2. Устойчивый фокус (= -1)

3. Центр (= 0)

4.Неустойчивый фокус (= 1)

В системе наблюдается предельный цикл

5. Неустойчивый узел (= 3)

В системе наблюдается предельный цикл

Сравнение точности метода Эйлера и Рунге-Кутта на одном графике, рисуя фазовые траектории из 1 точки

Траектория — центр

График зависимости Корней от параметра

Графики x(t), y(t) (По методу Эйлера)

1. Центр (Начальная точка (0.5; 0.5), (= 0))

2. Устойчивый узел (Начальная точка (0.5; 0.5) (= -3))

3. Устойчивый фокус (Начальная точка (0.5;0.5),(= -1))

4.Неустойчивый фокус (Начальная точка (0.01;0.01), (= 1))

В системе наблюдается предельный цикл

5. Неустойчивый узел (Начальная точка (0.01; 0.01), (= 3)

В системе наблюдается предельный цикл

уравнение поль эйлер рунге

Вывод

В данной курсовой работе рассматривается система уравнений Ван-дер-Поля:

В первой части проведено аналитическое исследование по системе первого приближения.

Решив систему первого приближения можно сделать следующий вывод, что

q при > 0 точка покоя (0.0) исходной системы (и системы первого приближения) неустойчива;

q при < 0 точка покоя (0.0) исходной системы (и системы первого приближения) устойчива;

q при = 0 наблюдается устойчивость, но не асимптотическая.

Во второй части рассмотрены численные методы Эйлера и Рунге-Кутта. Применяя один из этих методов, возможно нахождение приближенного решения системы дифференциальных уравнений.

По результатам решения проведен сравнительный анализ погрешности этих методов.

Таким образом, опытным путем было подтверждено, что метод Эйлера имеет порядок точности О (h), а метод Рунге-Кутта - О (h⁴). Следовательно, мы еще раз убедились, что метод Рунге-Кутта имеет более высокую точность, и дальнейшие построения, расчеты и анализ проводились только этим методом.

Решая систему уравнений Ван-дер-Поля, при различных значениях параметра были установлены следующие случаи:

q при > 0 наблюдается неустойчивый фокус;

q при < 0 наблюдается устойчивый фокус;

q при = 0 наблюдается центр.

Приложение

Program eyler;

var

rez: text; x1, y1,x0,y0:real; i: integer;

const h=0.01; k=3; n=5000;

function f (x, y: real):real;

begin

f:=y;

end;

function g (x, y: real):real;

begin

g:=a*y — x*x*a*y — x;

end;

begin

assign (rez, 'churin.txt');

rewrite (rez);

x0:=-0.01;y0:=-0.01;

writeln (rez, x0,' ', y0);

for i:=1 to n do

begin

x1:=x0+h*f (x0,y0);

y1:=y0+h*g (x0,y0);

writeln (rez, x1,' ', y1);

x0:=x1;

y0:=y1;

end;

close (rez);

end.

Program rungecut;

var

rez: text;l1,l2,l3,l4,k1,k2,k3,k4,x0,y0,x1,y1:real; i: integer;

const h=0.01; k=3; n=5000;

function f (x, y: real):real;

begin

f:=y;

end;

function g (x, y: real):real;

begin

g:=a*y — x*x*a*y — x; {Tut pisat svou funcciu}

end;

begin

assign (rez, 'churin.txt');

rewrite (rez);

x0:=-0.01;y0:=-0.01;

writeln (rez, x0,' ', y0);

for i:=1 to n do

begin

k1:=h*f (x0,y0); l1:=h*g (x0,y0);

k2:=h*f (x0+k½, y0+l½); l2:=h*g (x0+k½, y0+l½);

k3:=h*f (x0+k2/2,y0+l2/2); l3:=h*g (x0+k2/2,y0+l2/2);

k4:=h*f (x0+k3,y0+l3); l4:=h*g (x0+k3,y0+l3);

x1:=x0+(k1+2*k2+2*k3+k4)*1/6;

y1:=y0+(l1+2*l2+2*l3+l4)*1/6;

writeln (rez, x0,' ', y0);

x0:=x1; y0:=y1;

end;

close (rez);

end.

Список литературы

1. В. И. Арнольд «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Москва «Наука», 1984 г.

2. Академик А. Н. Тихонов, профессор Д. П. Костомаров Научно-технический прогресс и математика".

3. А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк «Дифференциальные уравнения: примеры и задачи»

4. Л. Б. Ряшко Лекции по предмету «Дифференциальные уравнения»

5. И. А. Башкирцева Лекции по предметам: «Методы вычислений» и «Компьютерное моделирование»