Исследование нелинейной асимптотической устойчивости состояния равновесия для системы моментных уравнений переноса заряда в полупроводниках

При современном стремительном развитии микроэлектронных технологий становится все более актуальным математическое моделирование полупроводниковых структур. Для снижения стоимости и ускорения процесса разработки при создании новых приборов необходимо использовать модели, обладающие достаточной точностью в соответствующей области применения. Использование упрощенных аналитических моделей для анализа и проектирования полупроводниковых устройств оказывается затруднительным, поскольку в основу таких моделей положены упрощающие принципы, которые могут существенно нарушаться в современных приборах.

Моделирование процесса переноса заряда в полупроводниковых устройствах основывается на кинетическом уравнении Больцмана, описывающем движение носителей зарядов (электронов или дырок) в полупроводнике. Для электронной функции распределения / = /(?, х, v) имеем уравнение [1]:

Здесь постоянная q — заряд электрона, т* - эффективная масса электрона, Е — электрическое поле, Q — оператор Больцмана, учитывающий взаимодействие электронов с решеткой. Уравнение (1) написано для случая, когда имеются носители заряда только одного типа. При наличии нескольких типов носителей (электронов и дырок, «легких» и «тяжелых» дырок и т. д.) надо ввести свою функцию распределения для каждого типа. Соответственно мы будем иметь столько кинетических уравнений вида (1), сколько есть таких типов. При этом в правой части формулы (1) появится сумма по всем типам частиц, на которых рассматриваемые носители заряда могут рассеиваться. Поэтому, если существенно взаимное рассеяние или превращение частиц разных типов, то мы приходим к системе связанных кинетических уравнений.

Для численного решения уравнения Больцмана широко применяется метод Монте-Карло. Этот метод зарекомендовал себя, как дающий достаточно точные результаты. Среди недостатков метода следует отметить, что он требует больших и довольно неоправданных вычислительных затрат. Кроме того, в некоторых случаях, например, если концентрация носителей заряда в отдельных областях прибора очень низкая, результаты вычислений с помощью этого метода могут значительно различаться.

Другой подход, основанный на разложении функции распределения в ряд по сферическим гармоникам, успешно применяется для решения уравнения Больцмана в работах [2,3]. В отличие от метода Монте-Карло, этот метод детерминированный и вычислительные затраты значительно ниже. Тем не менее, не до конца ясно, в какой степени влияет на точность результатов рассмотрение только младших членов разложения.

Таким образом, велика потребность в более простых моделях, представляющих собой разумный компромисс между физической точностью и вычислительной эффективностью.

Естественным упрощением, позволяющим получить приемлемую точность является рассмотрение только некоторых моментов функции распределения / = f (t, x, v), таких как концентрация и температура носителей.

Дрейф-диффузионная модель — простейшая модель переноса заряда, полученная методом моментов из уравнения Больцмана. Стандартная дрейф-диффузионная модель была предложена Van Roosbroeck [4] в 1950 году и состоит из уравнений неразрывности для носителей заряда и уравнения Пуассона для электрического потенциала (р{х, t): f) n.

V-Jn = R (p, n), (2) ft-V-Jp = R (p, n), (3).

A.

Jn = DnWn — цппЧ (р, Jp = DpVp — iippV (p.

Здесь Dn, Dp — коэффициенты диффузии, fim jip — подвижности электронов и дырок, q — величина заряда электрона, £о — относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника. Предполагается, что структура полупроводника легирована донорной и акцепторной примесями с концентрациями Nd (x) и Na (x), а также в полупроводнике происходит рекомбинация частиц со скоростью R{p, n).

Математические аспекты модели (2)-(4) хорошо исследованы многими авторами. Так, существование и единственность решения доказана в [5], вопросы точности описания различных физических явлений обсуждаются в [6]. Численное моделирование переноса заряда в полупроводниковых устройствах восходит к известной работе Шарфеттера и Гум-меля [7], предложивших устойчивую дискретизацию уравнений дрейфа и диффузии, используемую и по сей день.

На протяжении долгого времени именно на дрейф-диффузионной модели основывалось большинство прикладных программ, используемых при моделировании полупроводников. Однако при переходе полупроводниковых устройств на субмикронный уровень, предположения на которых она основывается перестают выполняться. Поэтому транспортные модели постоянно расширяются и улучшаются для более детального охвата физических явлений в таких приборах.

Тем не менее, для описания таких важных явлений, как горячие электроны, ударная ионизация, генерация тепла и тому подобное, наиболее подходящими оказываются гидродинамические модели. При построении таких моделей выбирается подходящая процедура замыкания, позволяющая из бесконечной системы моментов уравнения Больцмана получить замкнутую систему из конечного числа уравнений (как правило, из трех или четырех). Существование процедур замыкания, основанных на разных предположениях, обуславливает наличие большого количества различных гидродинамических моделей. Достаточно подробно различия и общие черты основных моделей описаны в [8].

Одна из самых первых гидродинамических моделей была получена Blotekjaer [9] и изучалась Baccarani, Wordeman [10] и другими авторами. В предположении одного типа носителей (электронов) модель записывается в виде системы для электронной плотности, скорости и плотности энергии (р, и,?) (см. [И]): + div (H = 0, (5) diу (ри ®-и) + Vp (p, Т) = pVV — (6) at ти.

Щр- + div (Su + р (р, Т) и — fiVT) = ри • W — (7).

AV = p-C{x). (8).

Здесь T — температура, р (р, Т) — давление, ти > 0 и те > О — времена релаксации, V — электростатический потенциал, С (х) — проф>иль легирования, Si = рквГь, кв — постоянная Больцмана, Ti — температура решетки. Плотность энергии Е имеет следующее выражение где m — эффективная электронная масса. Надо отметить, что полный математический анализ гидродинамической модели (5)-(8) пока отсутствует. В то же время достаточно хорошо изучена упрощенная, так называемая изэнтропическая гидродинамическая модель, которая получается из (5)-(8) в предположении, что температура постоянна: + div (pw) = 0, (9) + div (pu и) + Vp = pVV — —, (10).

01 ти.

AV = p-C (x), (И) где р — р{р). Часто предполагается, что р{р) =^р1, 7 > 1.

Для упрощенной модели исследовались такие вопросы, как существование и асимптотическое поведение решения [12−15]. Также существует большое количество работ посвященных вычислительным аспектам модели, см., например, [16]. Работа [17] посвящена моделированию электронных ударных волн в стационарном случае для субмикронных полупроводниковых устройств.

В настоящей диссертации изучается недавно предложенная гидродинамическая модель [23,59], полученная из четырех моментов уравнения Больцмана с помощью так называемого принципа максимума энтропии (или МЕР от Maximum Entropy Principle). Модель имеет вид четырех моментных уравнений дп.

12) gt + div (nV) = О, V (^nW^j + пеЕ — пСр, dnW.

— + div (nS) + пе ¦ (Е, V) = nCw, d (nS) /10 5 W ^ яГ + V Тп~7 + опе~Е = nCw, dt 9 т* J 3 т* рассматриваемых совместно с уравнением Пуассона бДФ = е (п — N). (13).

Здесь п, V, W, S — соответственно электронная плотность, средняя скорость электрона, средняя энергия электрона, поток энергииР = m*V — средний момент кристалла, т* — эффективная масса электрона, е — абсолютное значение заряда электрона, Е = — 7Ф — электрическое поле, Ср (W), Cw (W), Cw (W0 — члены производства балансных уравнений, б — диэлектрическая постоянная, N = Nd — Na, Nd и Na — плотности доноров и акцепторов.

Исследование новой модели (12), (13) представляет большой интерес. Естественно, какая бы математическая модель ни была предложена, она должна быть адекватна описываемому физическому явлению. С этой точки зрения очень важной проблемой при изучении гидродинамических моделей переноса заряда в полупроводниках является проблема устойчивости состояния термодинамического равновесия. Дело в том, что выбранная модель должна правильно описывать переходный процесс при снятии напряжения смещения. Известно, что при отсутствии напряжения смещения в реальных полупроводниковых приборах отсутствует перенос носителей зарядов (то есть электрический ток). Другими словами, требуется, чтобы состояние термодинамического равновесия было асимптотически устойчивым (по Ляпунову) для гидродинамической модели переноса заряда. Настоящая диссертация посвящена исследованию этого вопроса для модели (12), (13).

1. В. J1. Бонч-Бруевич, С. Г. Калашников, Физика полупроводников, М.: Наука, 1990.

2. М. С. Vecchi and М. Rudan, Modelling electron and hole transport with full-band structure effects by means of the spherical-harmonics expansion of the BTE, IEEE Trans. Electron Devices, vol. 45, pp. 230−238, Jan. 1998.

3. С. K. Lin, N. Goldsman, I. Mayergoyz, S. Aronowitz, and N. Belova, Advances in spherical harmonic device modelling: Calibration and nanoscale electron dynamics, Proc. Simulation Semiconductor Processes and Devices, 1999, pp. 167−170.

4. W. van Roosbroeck, Theory of flow of electrons and holes in germanium and other semiconductors, Bell Syst. Techn. J., vol. 29,1950, pp. 560−607.

5. M. Mock, An initial value problem from semiconductor device theory, SIAM J. Math. Anal., vol. 5, 1974, pp.597−612.

6. S. Selberherr, Analysis and simulation of semiconductor devices, Wien New York, Springer-Verlag, 1984.

7. D. L. Scharfetter and H. K. Gummel, Large-signal analysis of a silicon Read diode oscillator, IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED-16, pp. 64−77, Jan. 1969.

8. Т. Grasser, T.-W. Tang, H. Kosina and S. Selberherr, A review of hydrodynamic and energy-transport models for semiconductor device simulation, Proc IEEE 91 (2003) (2), pp. 251−274.

9. K. Blotekjaer, Transport equations for electrons in two-valley semiconductors, IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED-17, pp. 38−47, Jan. 1970.

10. G. Baccarani and M. R. Wordeman, An investigation on steady-state velocity overshoot in silicon, Solid-state electronics, 29 (1982), pp. 970 977.

11. Hailiang Li and P. A. Markowich, A Review of Hydrodynamical Models for Semiconductors, Asymptotic Behavior, Boletim da Sociedade Brasileira de Matematica, vol. 32, No. 3, pp.321−342, 2001.

12. T. Luo, R. Natalini and Z. Xin, Large time bahavior of solutions to a hydrodynamic model for semiconductors, SIAM J. Appl. Math. 59 (1998), pp. 810−830.

13. H. Li, P. Markowich and M. Mei, Asymtotic behaviour of solutions of the hydrodynamical model of semiconductors, Proceedings of the Royal Society of Edinburg 132 A (2002) pp. 359−378.

14. I. M. Gamba, Stationary transonic solutions of a one-dimensional hydrodynamic model for semiconductors, Commun. PDE, vol. 17, N3, 1990, pp. 25−29.

15. B. Zhang, On a local existence theorem for a simplified one-dimensional hydrodinamic model for semiconductor devices, SIAM J. Math. Anal., v.25, N3, 1994, pp. 941−947.

16. J. Jerome and C.-W. Shu, Energy models for one-carrier transport in semiconductor devices, ШA Volumes in Mathematics and Its Applications, v59, Springer-Verlag, 1994, pp. 185−207.

17. C. L. Gardner, Numerical simulation of a steady-state electron shock wave in a submicrometer semiconductor device, IEEE Transactions on Electron Devices, 38 (1991) pp. 392−398.

18. N. B. Abdallah and P. Degond, On a hierarchy of macroscopic models for semiconductors, J. Math. Phys., 37 (1996) pp.3308−3333.

19. G. Ali and A. M. Anile, Moment equations for charged particles: global existence results, preprint 2003.

20. G. Ali, D. Bini and S. Rionero, Global existence and relation limit for smooth solutions to the Euler-Poisson model for semiconductors, SIAM J. Math. Anal. 32 (2002) pp. 572−587.

21. A. M. Anile, M. Junk, V. Romano, G. Russo, Cross-validation of numerical schemes for extended hydrodynamical models of semiconductors, Math. Models Meth. Appl. Sci., 10 (2000) pp. 833−861.

22. A. M. Anile, G. Mascali and V. Romano, Lecture Notes in Mathematics, Springer (2003).

23. A. M. Anile and V. Romano, Non parabolic band transport in semiconductors: closure of the moment equations, Cont. Mech. Thermodyn., 11 (1999) pp. 307−325.

24. A. M. Anile and V. Romano, Hydrodynamical modeling of charge carrier transport in in semiconductors, MECCANICA, 35 (2000) pp. 249−296.

25. А. М. Anile, О. Muscato. Improved hydrodynamical model for carrier transport in semiconductors, Phys. Rev. B, 1995, V.51, 23, p.p. 1 672 816 740.

26. A. M. Anile, V. Romano and G. Russo, Extended hydrodynamical model of carrier transport in semiconductors, SIAM J. Appl. Math., 61 (2000) pp. 74−101.

27. A. M. Blokhin, Well posedness of a mixed problem for the nonstationary model of a flow around an infinite cone, Numer. Meth. Mech. Cont. Medium, 10(7) (1979) pp.10−25.

28. A. M. Blokhin, A. D. Birkin, Global resolving of a problem on supersonic flow around a cone, Mathematical Modelling, 8(4) (1996) pp. 89−104.

29. A. M. Blokhin, A. D. Birkin, Global resolving of a problem about piston, Sib. J. Industrial Math., 2(1) (1999) pp. 13−24.

30. A. M. Blokhin, A. S. Bushmanova and E.V. Mishchenko, On solution of a nonlinear boundary value problem for a singularly perturbed differential equation, Computational Technologies, 6(4) (1999) pp. 27−57.

31. A. M. Блохин, P. С. Бушманов, Глобальная разрешимость задачи о баллистическом диоде для некоторых упрощенных моделей переноса заряда в полупроводниках, Вестник НГУ, серия «Математика, механика, информатика», том IV, 2004 г., выпуск ¾, с. 3−16.

32. А. М. Blokhin, R. S. Bushmanov, V. Romano, Electron flow stability in bulk silicon in the limit of small electric field, Proceedings WASCOM 2001, World Scientific (2002), pp. 55−60.

33. A. M. Blokhin, R. S. Bushmanov, V. Romano Asymptotic stability of the equilibrium state for the macroscopic balance equations of charge transport in semiconductors, Сотр. Technologies, Vol. 8/3 (2003), pp. 7−22.

34. A. M. Blokhin, R. S. Bushmanov, V. Romano, Asymptotic stability of the equilibrium state for the hydrodynamical model of charge transport in semiconductors based on the maximum entropy principle, Int. J. Engineering Science., 42(8−9) (2004) pp. 915−934.

35. A. M. Blokhin, R. S. Bushmanov, V. Romano, Global existence for the system of the macroscopic balance equations of charge transport in semiconductors, J. Math. Anal. Appl. 305 (2005), pp. 72−90.

36. A. M. Blokhin, R. S. Bushmanov, V. Romano, Nonlinear asymptotic stability of the equilibrium state for the МЕР model of charge transport in semiconductors, Nonlinear Analysis, 65 (2006), pp. 2169−2191.

37. A. M. Blokhin, R. S. Bushmanov, A. S. Rudometova, and V. Romano, Linear asymptotic stability of the equilibrium state for the 2-D МЕР hydrodynamical model of charge transport in semiconductors, Nonlinear Analysis, 65 (2006), pp. 1018−1038.

38. A. M. Blokhin and A. A. Iordanidy, Numerical investigation of a gas dynamical model for charge transport in semiconductors, COMPEL, 18 (1999) pp. 6−37.

39. A. M. Blokhin, Yu. L. Trakhinin, Symmetrization of Radiation hydrodynamics equations and global resolving of Cauchy problem, Sib.Math. J., 37 (1996) pp.1101−1109.

40. D. Chen, E. C. Kan, U. Ravaioli, C-W. Shu and R. Dutton, An improved energy-transport model including nonparabolicity and non-maxwellian distribution effects, IEEE on Electron Device Letters, 13 (1992) pp. 2628.

41. C.L.Gardner, J.W.Jerome and D.J.Rose, Numerical methods for the hydrodynamic device model: subsonic flow, IEEE Transactions on Computeraided Design, 8 (1989) pp. 501−507.

42. С. К. Годунов, Уравнения математической физики, М.: Наука, 1979.

43. W. Hansch, The drift-diffusion equation and its applications in MOSFET modeling, Wien, Springer-Verlag, 1991.

44. D. Jou, J. Casas-Vazquez and G. Lebon, Extended irreversible thermodynamics, Berlin, Springer-Verlag, 1993.

45. Lee Da-tsin, Yu Wen-tzu, Some existence theorems for quasi-linear hyperbolic systems of partial differential equations in two dependent variables, Scientia Sinica 13(4) (1964) pp. 529−562.

46. C. D. Levermore, Moment Closure Hierarchies for Kinetic Theories, J. Stat. Phys., 83 (1996) pp. 331−407.

47. H. Ling and W. Shu, The asymptotic behaviour of global smooth solutions to the macroscopic models of semiconductors, Chin. Ann. of Math., 22 В (2001) pp. 195−210.

48. H. Ling and W. Shu, Asymtotie behaviour of global smooth solutions to the full ID hydrodynamical model for semiconductors, Math. Models and Methods in Applied Sciences 12 (2002) pp. 777−796.

49. Т. Luo, R. Natalini and Z. R Xin, Large-time behaviour of the solutions to a hydrodynamical model for semiconductors, SIAM J. Appl. Math. 59 (1998) pp. 810−830.

50. E. Lyumkis, B. Polsky, A. Shir and P. Visocky, Transient semiconductor device simulation including energy balance equation, COMPEL, 11 (1992) pp. 311−325.

51. P. A. Marcati and R. Natalini, Weak solutions to hydrodynamical model for semiconductors and relaxation to the drift-diffusion equation, Arch Rational Mech. Anal. 129 (1995) pp. 129−145.

52. P. Markowich, C. A. Ringhofer and C. Schmeiser, Semiconductor equations, Wien, Springer-Verlag, 1990.

53. I. Muller and T. Ruggeri, Rational Extended Thermodynamics, Berlin, Springer-Verlag, 1998.

54. V. Romano, Non parabolic band transport in semiconductors: closure of the production terms in the moment equations, Cont. Mech. Thermodyn., 12 (2000) pp. 31−51.

55. V. Romano, Nonparabolic band hydrodynamical model of silicon semiconductors and simulation of electron devices, Math. Meth. Appl. Sci., 24 (2001) pp. 439−471.

56. V. Romano, 2D simulation of a silicon MESFET with a non-parabolic hydrodynamical model based on the maximum entropy principle, J. Сотр. Phys., 176 (2002) pp. 70−92.

57. V. Romano and G. Russo, Numerical solution for hydrodymamical models of semiconductors, Math. Models Meth. Appl. Sci., 10 (2000) pp. 1099−1120.

58. С. Мизохата, Теория уравнений с частными производными, М.: Мир, 1977.

59. А. М. Блохин, Интегралы энергии и их приложения к задачам газовой динамики, Новосибирск: Наука, 1986.

60. О. А. Ладыженская, Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой эюидкости, М.: Наука, 1970.

61. С. J1. Соболев, Некоторые применения функционального анализа в математической физике, JL: изд. ЛГУ, 1950.

62. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, М.: Наука, 1973.

63. Д. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, М.: Наука, 1989.

64. X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас, Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения, М.: Мир, 1978.