Информационные множества в модельных задачах наблюдения за движением самолета в горизонтальной плоскости

В диссертации исследуются способы построения информационных множеств для модельных задач, связанных с движением самолёта.

Под информационным множеством /(?) понимаем совокупность всех фазовых состояний системы в момент совместных с известным для наблюдателя процессом управления-наблюдения. В практическом плане построение множества /(??+1) в момент наблюдения ??+1 сводится к нахождению множества прогноза ?(??+1) на основе построенного в момент множества 1{и) и известных свойств динамики на промежутке [и, и+1]. Если в момент ??+1 получен новый замер фазового состояния системы и при этом известно ограничение на ошибку замера, то формируем множество неопределённости Н (и+1), описывающее совокупность всех фазовых состояний, совместных с такими сведениями о замере. Множество /(??+1) получается в результате процедуры пересечения: г+1/1.

Информационное множество /(?) представляет собой точную гарантированную оценку фазового состояния системы, задаваемую в виде множества. В теории стохастического оценивания аналогом информационного множества в случае нормального распределения может рассматриваться задание в момент? математического ожидания и дисперсии исследуемой случайной величины. Тогда, применяя правило «трёх сигм», устанавливаем область, где только и может быть с практической точки зрения наблюдаемая величина.

В задачах управления с неполной информацией, когда текущее состояние системы измеряется неточно, но с известными ограничениями на ошибку замера, информационное множество может трактоваться как «обобщенное» состояние системы. Управление обратной связи при этом строится как функция от такого обобщённого состояния.

Вопросы, связанные с правильной постановкой (формализацией) и решением задач наблюдения и управления, где в той или иной форме появляются информационные множества, рассматривались, начиная с середины 60-х годов прошлого века в работах Н. Н. Красовского, А. Б. Куржанского, Ю. С. Осипова, А. И. Субботина, Ф. Л. Черноусько, их учеников и сотрудников [3,6,14,17−25,30,34,38,49,54−56,74,77].

В зарубежной литературе эквивалентными к термину «информационное множество» являются термины «feasible set», «membership set», «likelihood set», «uncertainty set». Сам подход часто называют «set membership estimation», «unknown but bounded error description (UBB approach)». Важную роль в развитии детерминированного гарантированного оценивания сыграли работы D.P.Bertsecas, M. Milanese, J. Norton, H. Piet-Lahanier, ^ I.B.Rhodes, F.C.Schweppe, E. Walter, H.S.Witsenhausen [61,62,81,82,85−88].

Детерминированное гарантированное оценивание применяют не только для оценивания положения, но и для оценки неизвестных параметров системы. Здесь, кроме работ указанных выше авторов, отметим работы В. М. Кунцевича, М. М. Лычака [28,29], Б. Н. Пшеничного, В. Г. Покотило [46].

Вопросы устойчивости построения информационных множеств изучались М. И. Гусевым [11].

Развёрнутые по времени информационные множества дают трубку гарантированного оценивания фазового состояния системы. Теоретическому описанию таких трубок посвящены работы А. Б. Куржанского, О. И. Никонова, Т. Ф. Филипповой [31,37].

С самого начала развития теории детерминированного гарантированного оценивания разрабатываются методы внутренней и внешней аппроксимации информационных множеств. Особенно много работ, в которых исследуется эллипсоидальная аппроксимация. Среди работ последнего времени выделим книги Ф. Л. Черноусько [53],? А. Б. Куржанского и I. Valyi [77]. Различные варианты полиэдральной аппроксимации изучались в работах Е. К. Костоусовой [15,16], Т. Alamo, J.M.Bravo, E.F.Camacho [58],.

B.R.Barmish, J. Sankaran [60], L. Chisci, A. Garulli, A. Vicino, G. Zappa [64,65].

Поскольку построение информационных множеств связано с нахождением множеств прогноза (или что-то же самое — множеств достижимости), а также с операцией пересечения, то трудности, возникающие здесь, близки к тем, что появляются при построении максимальных стабильных мостов в дифференциальных играх. В связи с этим отметим работы В. Н. Ушакова, А. М. Тарасьева, А. А. Успенского, А. П. Хрипунова [39,50,51], посвящённые численному построению максимальных стабильных мостов в системах с нелинейной динамикой, и работы [10,13,41], выполненные под руководством Н. Л. Григоренко, В. С. Пацко, Е. С. Половинкина, в которых изложены алгоритмы построения стабильных мостов для линейных дифференциальных игр.

В конкретных содержательных задачах информационные множества, как правило, имеют сложную структуру, что доставляет трудности при их аналитическом или численном исследовании. Построению информационных множеств в конкретных задачах посвящены работы Д. Д. Емельянова, Е. Я. Рубиновича, Б. М. Миллера [12,68−70],.

C.И.Кумкова, В. С. Пацко [27,40,76], М. О. Антонова, В. И. Ширяева, К. Е. Афанасьевой, А. И. Коблова [5], А. В. Кряжимского, С. Д. Филиппова [26], В. Я. Рузакова [48], А. Ф. Шорикова [57], M. Marco, A. Vicino, A. Garulli, A. Giannitrapani [79, 80], L. Jaulin, M. Kieffer, O. Didrit, E. Walter, O. Leveque, D. Meizel [72, 73] A.G.Parlos, A.F.Henry, F.C.Schweppe, L.A.Could, D.D.Lanning [83].

Данная работа примыкает именно к этому направлению исследований.

Модельные уравнения движения. Говоря о движении самолёта, считаем, что оно присходит в горизонтальной плоскости и описывается либо системой третьего, либо четвёртого порядка.

В первом из этих случаев фазовые переменные есть две координаты х, у геометрического положения и угол tp направления вектора скорости. Величина скорости V полагается постоянной. Скалярное управление ограничено по модулю и определяет мгновенный радиус разворота вектора скорости. Описание динамики имеет вид х — Vcosp, у = 1/sin^, (0Л) с ф = —и, и < 1, V = const > 0, к = const > 0.

Во втором случае величина скорости V является переменной (четвёртая фазовая кордината). Добавлена также ещё одна компонента управляющего воздействия, влияющая на величину скорости. Она стеснена геометрическим ограничением. Описание динамики: х — V cos 92, у — Fsin^, ф = ku/V, (0.2).

V = w, к — const >0, V > const > 0, |u| <1, Hi <

Предполагаем, что в процессе наблюдения за движением самолёта производятся замеры его геометрического положения на плоскости х, у. Ошибки замеров стеснены геометрическими ограничениями. Полученный в момент t замер и известное априорное ограничение на его ошибку выделяют на плоскости х, у множество неопределённости H*{t).

На рис. 0.1 представлены три разных множества H*{i) (в виде квадрата, круга и кольцевого сектора), сформированные по замерам положения объекта, двигающегося по пунктирной траектории. Точки на траектории, показывающие положение в моменты замеров, отмечены крестиками, а сами замеры — значком 8.

Рис. 0.1: Примеры множеств неопределённости. х.

Например, типичным источником информации является радиолокатор, от которого поступают замеры положения самолёта: дальность Д. и местный азимут аг (рис. 0.2). Априорно известны максимальные ошибки (по дальности) и еа (по углу). Соответствующее множество Н* есть кольцевой сектор, который разумно подменять выпуклым четырёхугольником.

Рис. 0.2: Замер, получаемый при помощи РЛС, и его множество неопределённости.

В работе множества Н* считаются выпуклыми.

Способы описания динамики движения самолёта в виде системы (0.1) или системы (0.2) являются простейшими. Такие модели используются также в работах по управляемым тележкам. Обзорные статьи на эту тему собраны в книге [78], выпущенной под редакцией Л.-РХаитопё.

В работах по управляемым тележкам систему (0.1) часто называют БиЬтв’Саг, поскольку Ь.Е.БиЬтв в статье [67] изучал задачу быстродействия для системы (0.1) (перевод в заданную точку трёхмерного фазового пространства) и доказал утверждение о числе и характере переключений оптимального управления.

Построение оптимального управления обратной связи в задаче быстродействия для системы (0.1) с трёхмерным условием окончания исследовал Т. РесвуагасИ в статье [84]. В этой статье рассматривались вопросы, связанные с маневрированием самолёта в районе аэропорта. В этой связи можно также отметить статью [71], где рассматривалось построение простых для реализации и близких к оптимальным маневров движения самолёта в горизонтальной плоскости.

Трёхмерную модель динамики вида (0.1) активно использовал Р. Айзеке [1] (причём даже в игровых ситуациях, когда в описании динамики присутствует помеха).

Задача быстродействия для четырёхмерной модели вида (0.2) изучалась в работе Ю. И. Бердышева [7].

Покажем, как уравнения вида (0.1), (0.2) получаются при рассмотрении движения самолёта в горизонтальной плоскости. Воспользуемся для этого материалом из книги [35, с. 60−61].

Рис. 0.3: Силы, действующие на самолёт при полёте в горизонтальной плоскости.

На рис. 0.3 показаны силы, действующие на самолёт при движении в горизонтальной плоскости. Здесь D— сила сопротивления, тд— сила тяжести, Т— сила тяги, L— подъемная сила. Векторы Т и L лежат в плоскости симметрии, ортогональной плоскости самолёта. Такое расположение силы тяги и подъёмной силы соответствует ситуации координированного разворота [35,84]. Символом е обозначен угол атаки тяги, символом угол крена, т. е. угол между вертикальной плоскостью и плоскостью симметрии.

Если взять кинематические уравнения и соотношения равновесия сил в проекции на естественные оси (касательную (?), главную нормаль (п) и бинормаль (Ь)), то получится система из пяти уравнений: х — ^cos = 0, у — Vsin = 0, Tcose-D-mV = 0, (0.3).

Tsine + L) sin? — тУф = 0, (Tsme + L) cos/i — mg = 0.

Считаем массу самолёта и его динамические характеристики постоянными на рассматриваемом промежутке времени. Выразив круглую скобку четвёртого уравнения через пятое уравнение в системе (0.3), получим соотношение для ф:

Ф = (д/У)Ьа, щ (ц).

Обычно угол крена не превышает 30° (см. [84]). Вводя символ и для управляющего воздействия, запишем соотношение для ф в виде д • tang30°. .^, , .

Р= у и, Н<1. (0.4).

Третье уравнение системы (0.3) перепишем в виде.

V = (Тсове — И)/т. (0.5).

В случае постоянной по величине скорости движения имеем Тсоъе = Б. Если величина V не является постоянной, то правую часть соотношения (0.5) трактуем как управляющее воздействие ъи, стеснённое некоторым ограничением ?1 <ио <

Таким образом, в случае постоянной скорости V из системы (0.3) получаем систему (0.1), а в случае переменной скорости — систему (0.2).

Краткое содержание диссертации.

Первая глава диссертации посвящена численно-аналитическому исследованию множеств достижимости системы (0.1). В литературе известно описание множеств достижимости этой системы на плоскости х, у. В диссертации множества достижимости исследуются в трёхмерном фазовом пространстве х, у, (р. Вначале доказывается, опираясь на принцип максимума Понтрягина, теорема о числе и характере переключений управляющих воздействий, ведущих на границу множества достижимости. Далее, с использованием этого результата численно строится граница множества достижимости и исследуется её изменение по времени. Обнаружены ситуации, когда множество достижимости перестаёт быть односвязным. Приведены изображения множества достижимости в различных системах координат.

Во второй главе рассматривается задача о построении информационных множеств для системы с динамикой (0.1), когда относительно реализации управляющих воздействий известно лишь то, что они удовлетворяют ограничению |м| < 1. Предложен способ построения оценки С (£) сверху для множеств прогноза (?(?) (множеств достижимости). Доказано утверждение о полугрупповом свойстве отображения Ь —> С (£). При численной реализации способ использует сетку по координате ¡-р. Каждому узлу сетки сопоставляется выпуклое множество на плоскости х, у. Разумность предлагаемой аппроксимации подтверждается сравнением с точными результатами, полученными в первой главе.

При построении информационных множеств предполагаем, что в дискретные моменты времени {??} выполняются замеры геометрического положения (на плоскости х, у). Каждому замеру соответствует множество неопределённости Н (и) цилиндрическое по координате <р. Предлагаемый способ оценки сверху множеств прогноза удобен для выполнения операции пересечения С (^) р| Я (^).

При пересчете информационных множеств в процессе поступления замеров базовыми являются операция пересечения выпуклых многоугольников и операция построения выпуклой оболочки объединения выпуклых многоугольников. Реализация таких операций на плоскости не требует больших затрат. В конце второй главы приведены результаты моделирования движения информационных множеств I (t).

В третьей главе процедура построения информационных множеств переносится на случай системы (0.2). Здесь используется сетка по координатам tp, V. Приведены результаты моделирования.

В четвёртой главе рассматривается задача проводки самолёта (движущегося в горизонтальной плоскости) через заданные области. Для описания динамики выбрана система х — V cos tp + v i, у = Vsmtp + v2, v = (vi, V2) t€Q ф = ku/V,.

V = w, к = const >0, V > const > 0, |u| <1, ?J>i, v2) T в первых двух строках динамики. Наложено ограничение v € Q. Исследуется задача о возможности гарантированного перевода самолета из начального состояния на заданное терминальное множество в фиксированный момент времени с соблюдением фазовых ограничений в промежуточные моменты времени.

На основе методов теории дифференциальных игр предложен алгоритм попятного построения оценки сверху множества разрешимости в задаче о гарантированном переводе. В алгоритме применены аппроксимирующие процедуры аналогичные тем, что использованы в главе 3. Именно поэтому данная задача включена в диссертацию.

В приложении помещены результаты расчёта трубки четырёхмерных информационных множеств для двух примеров, в которых по постановке задачи замеры геометрического положения самолёта вместе с ограничениями на их ошибку считаются известными для некоторой совокупности моментов времени на весьма большом промежутке времени. Предполагается, что какие-либо дополнительные замеры больше не поступают. Для построения информационных множеств применяется алгоритм из третьей главы, который прогоняется несколько раз в прямом и обратном времени. Кратко описываются также результаты построения некоторого «эталонного» движения, идущего в трубке информационных множеств.

Основные результаты диссертации:

1. Доказана теорема о числе и характере переключений управления, ведущего на границу множества достижимости нелинейной системы третьего порядка, описывающей движение самолёта в горизонтальной плоскости.

2. Исследована структура границы множества достижимости нелинейной системы третьего порядка, описывающей движение самолёта в горизонтальной плоскости.

3. Предложен способ аппроксимации сверху информационных множеств в задаче наблюдения за движением самолёта в горизонтальной плоскости. Реализованы алгоритмы для трёхмерного и четырёхмерного случаев.

4. Предложен алгоритм построения оценки сверху множества разрешимости в игровой задаче проводки самолёта через заданные области.

Результаты диссертации опубликованы в работах [89−100].

Автор выражает глубокую признательность Валерию Семёновичу Пацко за постоянное внимание и поддержку при подготовке работы.

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967.

2. Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр / Под ред. А. И. Субботина, В. С. Пацко. Свердловск: ИММ УНЦ АН СССР, 1984.

3. Ананьев Б. И., Куржанский А. Б., Шелементъев Г. С. Минимаксный синтез в задачах импульсного наведения и коррекции движения // Прикладная математика и механика, Т. 40, Вып. 1, 1976, С. 3−13.

4. Анодина Т. Г., Мокшанов В. И. Моделирование процессов в системе управления воздушным движением. М.: Радио и связь, 1993.

5. Антонов М. О., Ширяев В. И., Афанасьева К. Е., Коблов А. И. Точность управления летательным аппаратом в условиях неопределенности на этапе захода на посадку // Авиакосмическое приборостроение, 2004, N. 7, С. 64−69.

6. Батухтин В. Д. Об одной игровой задаче наведения с неполной информацией // Прикладная математика и механика, Т. 44, Вып. 4, 1980, С. 595−601.

7. Бердышев Ю. И. Синтез оптимального по быстродействию управления для одной нелинейной системы четвертого порядка // Прикладная математика и механика, Т. 39, Вып. 6, 1975, С. 985−994.

8. Бердышев Ю. И. Об одной задаче построения области достижимости для нелинейной системы третьего порядка / / Сборник научных трудов «Методы построения множеств достижимости и конструкции расширений». Екатеринбург: Издательство УГТУ-УПИ, 2004, С. 6−12.

9. Болычевцев Э. М. Одна задача оптимального управления // Вестник МГУ. Серия Математика, Механика. 1968, № 1, С.91−98.

10. Григоренко Н. Л., Киселев Ю. Н., Лагунова Н. В., Силин Д. Б., Тринько Н. Г. Методы решения дифференциальных игр // Математическое моделирование, 1993, С. 296−316.

11. Гусев М. И. Об устойчивости информационных множеств в задаче гарантированного оценивания // Труды Института математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2000, Т. 6, N1, С. 55−72.

12. Емельянов Д. Д. Оптимальное импульсное управление информационным множеством в задаче наведения по неполным данным // Автоматика и телемеханика, № 1, 1998, С. 35−43.

13. Кац И. Я, Куржанский A.B. Минимаксное оценивание в многошаговых системах // Доклады АН СССР, 1975, Т. 221, N3, С. 535−538.

14. Костоусова Е. К. О полиэдральном оценивании областей достижимости линейных многошаговых систем // Автоматика и телемеханика. 1997, N3, С. 57−68.

15. Костоусова Е. К. Параллельные вычисления при оценивании областей достижимости и информационных множеств линейных систем // Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений. Сборник научных трудов. Екатеринбург: УрО РАН. 1999, Вып. 3, С. 107−126.

16. Кощеев A.C., Куржанский A.B. Адаптивное оценивание эволюции многошаговых систем в условиях неопределённости // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1983, N2, С. 72−93.

17. Красовский H.H. Игровая задача о коррекции движения //Прикладная математика и механика, 1969, Т. 33, Вып. 3, С. 386−396.

18. Красовский H.H. Игровые задачи динамики. II // Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1970, N. 1, С. 3−13.

19. Красовский H.H. Об управлении при неполной информации //Прикладная математика и механика, 1976, Т. 40, Вып. 2, С. 197−206.

20. Красовский H.H. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970.

21. Красовский H.H., Осипов Ю. С. Задача управления с неполной информацией // Известия АН СССР. Механика твёрдого тела, 1973, N. 4, С. 5−14.

22. Красовский H.H., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

23. Крекнин A.A. Дифференциальная игра преследования с неполной информацией // Дифференциальные игры и задачи управления. Сборник статей УНЦ АН СССР. Свердловск: 1975, С. 113−124.

24. Кряжимский A.B. Дифференциальная игра сближения в условиях неполной информации о системе // Украинский математический журнал. 1975, Т. 27, N. 4, С. 521−526.

25. Кряжимский A.B., Филиппов С. Д. Об одной игровой задаче сближения двух точек на плоскости в условиях неполной информации // Задачи управления с неполной информацией. Свердловск, 1976, С. 62−77.

26. Кумков С. И., Пацко B.C. Информационные множества в задаче импульсного управления // Автоматика и телемеханика, № 7, 1997, С. 195−207.

27. Кунцевич В. М. Оптимальное управление дискретными динамическими объектаг ми с неизвестными нестационарными параметрами // Автоматика и телемеханика, 1980, N2, С. 79−88.

28. Кунцевич В. М., Лычак М. М. Синтез оптимальных и адаптивных систем управления. Игровой подход. Киев: Наукова думка, 1985.

29. Куржанский A.B. Управление и наблюдение в условиях неопределённости. М.: Наука, 1977.

30. Куржанский A.B., Филиппова Т. Ф. Об описании множества выживающих траекторий управляемой системы // Дифференциальные уравнения. 1987, Т. 23, N8, С. 1303−1315.

31. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985.

32. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

33. Меликян А. А., Черноусъко Ф. Л. Некоторые минимаксные задачи управления с неполной информацией //Прикладная математика и механика, 1971, Т. 35, Вып. 6, С. 952−961.

34. Миеле А. Механика полёта. Т. 1. М.: Наука, 1965.

35. Никольский М. С. Об альтернированном интеграле JI.C. Понтрягина // Математический сборник, 1981, Т. 116, N1, С. 136−144.

36. Куржанский A.B., Никонов О. И. Эволюционные уравнения для пучков траекторий синтезированных систем управления // Доклады РАН. 1993, Т. 333, N. 5, С. 578−581.

37. Пак В. Е. Задача наведения с неполной информацией // Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1976, N. 4, С. 29−36.

38. Пахотинских В. Ю., Успенский A.A., Ушаков В. Н. Конструирование стабильных мостов в дифференциальных играх с фазовыми ограничениями // Прикладная математика и механика, 2003, Т. 67, Вып. 5, С. 771−783.

39. Пацко В. С. Модельный пример игровой задачи преследования с неполной информацией. 1,11 // Дифференциальные уравнения, 1971, Т. 7, N.3 С.424−435. 1972, Т. 8, N. 8 С. 1423−1434.

40. Половинкин Е. С., Иванов Г. Е., Балашов М. В., Константинов Р. В., Хорее A.B. Алгоритмы численного решения линейных дифференциальных игр // Математический сборник, 2001, Т. 192, N10, С. 95−122.

41. Понтрягин JI.C. О линейных дифференциальных играх. II // Доклады АН СССР, 1967, Т. 175, N4, С.764−766.Л.

42. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

43. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. М.: Мир, 1989.

44. Пшеничный Б. Н., Сагайдак М. И. Дифференциальные игры с фиксированным временем // Кибернетика, 1971, Т. 6, N1, С. 72−80.

45. Пшеничный Б. Н., Покотило В. Г. Минимаксный подход к оценке параметров линейной регрессии // Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1983, N2, С. 77−85.

46. Розенберг Г. С. Построение траекторий оптимального преследования // Автоматика и телемеханика. 1965, № 4.

47. Рузаков В. Я. Программное наблюдение по нелинейному сигналу, измеряемо-^ му с ошибкой // Задачи управления с неполной информацией. Свердловск, 1976, С. 109−121.

48. Субботина H.H., Субботин А. И. Игровая задача управления при неполной информации // Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1977, N. 5, С. 14−23.

49. Тарасьев A.M., Ушаков В. Н., Хрипунов А. П. Об одном вычислительном алгоритме решения игровых задач управления // Прикладная математика и механика, 1987, Т. 51, Вып. 2, С. 216−222.

50. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988.

51. Черноусько Ф. Л., Меликян A.A. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978.52.

52. Шелементъев Г. С. Об одной задаче коррекции движения // Прикладная математика и механика, 1969, Т. 33, Вып. 2, С. 251−260.

53. Ширяев В. И. Синтез управления линейными системами при неполной информации // Известия РАН. Техническая кибернетика, 1994, N. 3, С. 229−237.

54. Шориков А. Ф. Одна нелинейная задача наблюдения // Задачи управления с неполной информацией. Свердловск, 1976, С. 129−138.

55. Alamo Т., Bravo J.M., Camacho E.F. Guaranteed state estimation by zonotopes // Proceedings of the 42th IEEE Conference on Decision and Control, Maui, Hawaii USA, 2003, pp. 5831−5836.

56. Bardi M., Dolcetta I.C. Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman Equations. Boston: Birkhauser, 1997.

57. Barmish B.R., Sankaran J. The propagation of parametric uncertainty via politopes // IEEE Trans, on Automatic Control. 1979, Vol. AC-24, No 2, pp. 346−349.

58. Bertsecas D.P., Rhodes I.B. Recursive state estimation for a set-membership description of uncertainty // Automatica, 1971, Vol. 16, No. 2, pp. 117−128.

59. Bertsecas D.P., Rhodes I.B. Sufficiently informative functions and the minimax feedback control of uncertain dynamic systems // Automatica, 1973, Vol. 18, No. 2, pp. 117−124.

60. Cardaliaguet P., Quincampoix M., Saint-Pierre P. Set-valued numerical analysis for optimal control and differential games // Annals of the International Society of Dynamic Games, Vol.4 / M. Bardi, Т.Е.Raghavan, T. Parthasarathy, eds., 1999, pp. 177−247.

61. Chisci L., Garulli A., Vicino A., Zappa G. Block recursive parallelotopic bounding in set membership identification // Automatica, 1998, Vol.34, No. 1, pp. 15−22.

62. Chisci L., Garulli A., Zappa G. Recursive state bounding by parallelotops // Automatica, 1996, Vol. 32, No. 7, pp. 1049−1055.

63. Cockayne E.J., Hall G.W.C. Plane motion of a particle subject to curvature constraints // SIAM J. Control, 1975, Vol. 13, No. 1, pp. 197−220.

64. Dubins L.E. On curves of minimal length with a constraint on average curvature and with prescribed initial and terminal positions and tangents. // Amer. J.Math., 1957, Vol. 79, pp. 497−516.

65. Emeliyanov D., Rubinovich E., Miller B. Advanced guidance law design based on the information-set concept / / Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control, Orlando, Florida USA, 2001, pp. 652−657.

66. Emeliyanov D., Rubinovich E., Miller B. Information set-based guidance algorithm against a decelerating maneuvering target // IEEE Trans, on Aerospace and Electronic Systems. Vol41, No. 1, January 2005.

67. Erzberger H., Lee H.Q. Optimum Horizontal Guidance Techniques for Aircraft // J. Aircraft. Vol.8, No.2, 1971.

68. Jaulin L., Kieffer M., Didrit O., Walter E. Applied interval analysis with examples in parameter and state estimation, Robust Control and Robotics. London: SpringerVerlag, 2001.

69. Jaulin L., Walter E., Leveque O., Meizel D. Set inversion for^-algorithms, with application to guaranteed robot localization // Mathematics and Computers in Simulation Vol. 52, Issues 3−4, 2000, pp. 197−210.

70. Krasovskii N.N. Game-theoretical control under incomplete phase-state information // Problems of Control and Information Theory. 1976, Vol. 5, pp. 291−302.

71. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game-Theoretical Control Problems. New York: Springer-Verlag, 1988.

72. Kumkov S.I., Patsko V.S. Informational sets in a model problem of homing // Journal of optimization theory and applications, 2001, Vol. 108, No. 3, pp. 499−526.

73. Kurzhanski A.B., Valyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. Boston: Birkhauser, 1997.

74. Laumond J.-P. (editor). Robot Motion Planning and Control / Lecture notes in control and information sciences- 229. London: Springer-Verlag, 1998.

75. Marco M. Set-membership estimation techniques for mobile robotics applications. Ph.D. Thesis, Firenze, 2001.

76. Marco M., Garulli A., Giannitrapani A., Vicino A. Set membership pose estimation of mobile robots based on angle measurements // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control, Orlando, Florida USA, 2001, pp. 3734−3739.

77. Milanese M., Norton J., Piet-Lahanier H., Walter E. (editors). Bounding Approaches to System Identification. London: Plenum Press, 1996.

78. Milanese M., Vicino A. Optimal estimation theory for dynamic systems with set membership uncertainty // Automatica, 1991, Vol.27, No.6, pp.997−1009.

79. Parlos A.G., Henry A.F., Schweppe F.C., Gould L.A., banning D.D. Nonlinear multivariable control of nuclear power plants based on the unknown-but-bounded disturbance model // Automatica, 1988, Vol. 33, No. 2, pp. 130−137.

80. Pecsvaradi T. Optimal horizontal guidance law for aircraft in the terminal area // IEEE Trans, on Automatic Control. 1972, Vol. AC-17, No. 6, pp. 763−772.

81. Schweppe F.C. Recursive state estimation: unknown but bounded errors and system inputs // IEEE Trans, on Automatic Control. 1968, Vol. AC-13. No. 1, pp. 22−28.

82. Schweppe F.C. Uncertain dynamic system. Pretice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1973.

83. Witsenhausen H.S. A minimax control problem for sampled linear systems // IEEE Trans, on Automatic Control. 1968, Vol. AC-13, No. 1, pp. 5−21.

84. Witsenhausen H.S. Sets of possible states of linear systems given perturbed observations // IEEE Trans, on Automatic Control. 1968, Vol. AC-13, No. 5, pp. 556−558.

85. Кумков С. И., Пацко B.C., Пятко С. Г., Федотов А. А. Информационные множества в задаче наблюдения за движением самолета // Труды Института математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2000, Т. 6, N1−2, С. 413−434.

86. Кумков С. И., Пацко B.C., Пятко С. Г., Федотов А. А. Построение множества разрешимости в задаче проводки самолёта при ветровом возмущении / / Труды Института математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2005, Т. 11, N1, С. 149 159.

87. Пацко B.C., Пятко С. Г., Кумков С. И., Федотов А. А. Оценивание траекторного движения воздушного судна на основе информационных множеств. / Научные доклады, Академия гражданской авиации, Санкт-Петербург, ИММ УрО РАН, Екатеринбург, 1999.

88. Пацко B.C., Пятко С. Г., Федотов А. А. Трехмерное множество достижимости нелинейной управляемой системы // Известия РАН. Теория и системы управления, 2003, N3, С. 8−16.

89. Кумков С. И., Пацко B.C., Пятко С. Г., Решетов В. М., Федотов А. А. Информационные множества в задаче наблюдения за движением самолета в горизонтальной плоскости // Известия РАН. Теория и системы управления, 2003, N4, С. 51−61.

90. Федотов А. А. Информационные множества в задаче наблюдения за движением самолета // Проблемы теоретической и прикладной математики. Тезисы докладов 30-й Региональной молодёжной конференции. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1999, С. 70−71.

91. Федотов А. А. Оценивание четырехмерных множеств достижимости в задаче наблюдения за движением самолета // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 31-й Региональной молодёжной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2000, С. 102−103.

92. Федотов А. А. Построение множества достижимости для нелинейной управляемой системы третьего порядка // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 32-й Региональной молодёжной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2001, С. 224−228.

93. Kumkov S.I., Patsko V.S., Pyatko S.G., Fedotov A.A. Informational Sets in a Problem of Observation of Aircraft Trajectory // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl.2, 2000, pp. 94−112.