К вопросу о сингулярных функционально-дифференциальных уравнениях

Уравнение.

М-М.яЫя.х^Ь]). ыоМ,.

Хф’ЧСр, Хф'-Ч'Ср .если $#[0,1] благодаря своей актуальности [20, 23, 32, 59] и специфическим трудностям для исследователя вызывает постоянный интерес математиков (см., например, обзоры [б, 13, 50]). Основное предположение большинства известных нам работ об уравнении (I) состоит сг в том, что значения оператора $, оцределяемого равенством.

Тх) (Ъ —.

Хф=ЧЧ), если есть суммируемые функции при каждой абсолютно непрерывной функции X [2, 5, 7]. Однако существует довольно широкий класс уравнений, не удовлетворяющий указанному условию. Рассмотрим в качестве примера два линейных уравнения:

Х (Ъ= -ТГ + 2(Ъ, I б 10,-1]- (2) I.

3).

Положив, мы получим в правых частях обоих уравнений не суммируемые слагаемые. Таким образом результаты указанных работ не могут быть применены к рассмотренным уравнениям.

Хорошо известно, что эффективность исследования того или иного уравнения в значительной мере зависит от выбора пространства, в котором уравнение изучается. Очевидно, что в случае, когда не выполняются условия действия оператора % из пространства абсолютно непрерывных функций Ь в пространство суммируемых функций, для получения содержательных результатов мы должны ограничиться более узким классом, чем пространство абсолютно непрерывных функций. Например, уравнение (3) допускает рассмотрение в классе непрерывно дифференцируемых функций [бз1 • Но при этом мы должны требовать непрерывность функции 2 «что для рассматриваемого уравнения представляется излишне жестким ограничением. В качестве иллюстрации приведем одно утверждение, являющееся следствием результатов второй главы настоящей работы.

Утверждение I. Пусть существуют константы и л ' I такие, что ¦Ь о.

Тогда уравнения (2) и (3) разрешимы.

Мы рассматриваем сингулярные функционально-дифференциальные уравнения (примерами которых являются уравнения (2) и (3)) не на всем пространстве абсолютно непрерывных функций, а на некотором его подмножестве. Предлагаемые приемы построения таких подмножеств позволяют перенести на изучаемый нами объект ряд известных результатов и методов исследования уравнения (I).

Как известно [61] уравнение (I) в линейном случае может быть записано в каноническом виде: *.

5 К ДО),. (4) хф-о при июД.

Несколько упрощая ситуацию, рассматриваемую в основном тексте, предположим, что имеет дифференцируемую обратную функцию, Отметим, что уравнение (2) принимает вид (4), если.

10 при, а уравнение (3), если.

6(1)51,5<(>1г.

Ода |<841 «.

Следуя [61], обозначим.

I 0.

Ч о'^шо.й 1 и перепишем (4) в виде.

Большинство исследований, посвященных уравнению (4) с суммируемой функцией? , предполагают фредгольмовость оператора й: Ь^Ь определяемого равенств см.

62].

В предлагаемой работе рассматриваются случаи, когда.

В (Я) и могут иметь в точке 1=0 несуммируемые о1? особенности. При этих условиях не только отсутствует фредгольмовость, но и нарушаются условия действия оператора 0. в пространстве [ • Исходя из этого, мн предлагаем рассматривать оператор 0. в некотором банаховом пространстве Др, являющемся подмножеством пространства и определяемом следующим образом. Пусть тХ — определенная на [ 0 > неубывающая абсолютно непрерывная функция такая, что 17(0) = 0. Будем говорить, что ^ принадлежит пространству Д р, порождаемому функцией я/, если существует константа Ми таская, что о.

Норма в, А р определяется равенством ^.

Смысл введения пространства Д р состоит в следующем.

По виду функций Ц, ?> и С^ независимо от степени их сингулярности можно всегда эффективным образом построить функцию $ так, что оператор 0. будет действовать в порояща-емом ею пространстве Др. Очевидно, возрастание степени сингулярности будет отрицательно сказываться на широте пространства Др.

Важно отметить, что при некоторых ограничениях на функцию ^ (например, если, где) может быть эффективно построено пространство Др, в котором оператор Ц Д А0 будет обратим. В частности, главная г г.

часть уравнений (2) и (3) будет обратима в пространстве Д^, пороядаемом функцией при. Отсюда следует, что задета Коши.

•г разрешима при тех Ъ и, при которых Ъ.

О 5 Задача Коши разрешима при любом X, если о.

Рассмотрим теперь нелинейное уравнение (I), которое будем записывать в виде.

• (5).

При изучении уравнения (5) пространство Лр строится таким образом, чтобы оператор • А гГ* А 0 М^Р^Р⁰⁰) г гЧ был вполне непрерывен. Тогда, если уравнение (I) разрешимо относительно производной, точнее, если существует непрерывный оператор Н —> А 0 такой, что уравнение.

Г1 г эквивалентно уравнению (5), то последнее приводимо к виду.

Х-РХ. (6).

При этом оператор р' Дп" «^ А-0 вполне непрерывен. Здесь л г Г, а р — пространство таких функций X, что X € и ,.

Л0, 1X11, =11X11, МЛ Р. Лр

Факт приводимости уравнения (5) к виду (6) с вполне непрерывным оператором р%. Д 0 позволяет установить для.

Р Г уравнения (5) такие свойства как локальная разрешимость, продолжаемость и связность множества решений задачи Коши, а также на основе метода априорных оценок решений [5] устанавливать условия разрешимости краевых задета для уравнения (I) .

Отметим также, что использование пространств Л предг ставляется нам полезным потому, что становится возможным объединить в одном уравнении и исследовать едиными методами два класса сингулярных уравнений, которые обычно изучаются отдельно, Это уравнения с несуммируемыми коэффициентами и уравнения «нейтрального типа», в которых оператор 51 не ограничен в пространстве Д .

Сингулярные обыкновенные дифференциальные уравнения и краевые задачи для них исследованы достаточно полно [9, 17, 22, 24, 26, 27, 28, 36, 58, 60, 66, 69−73]. Особенно отметим здесь работу В. АДечика [67] и монографию И. ТЛСигурадзе [40].

В.АЛечик изучал условия существования, единственности и неединственности решений сингулярной задачи Коши для системы а-х (Ъ). (?).

Наиболее значительный вклад в изучение вопроса о разрешимости краевых задач для системы сингулярных уравнений (7) сделан И. Т. Кигурадзе в работах 1з8−40]. Им систематически исследованы вопросы существования и единственности решения, изучена структура интегральной воронки и зависимость решения от начальных данных и параметров.

Функционально-дифференциальные уравнения с не суммируемыми особенностями исследованы в значительно меньшей степени. Здесь отметим работы Ю. С. Шаталова и В. Г. Оганджаняна [бЗ, 54], изучавших разрешимость интегральных уравнений вида, а где функция Н может иметь по переменным I и ^ не суммируемые особенности.

Структура решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в окрестности особой точки изучается в работах [41, 52, 64].

Перейдем к краткому обзору результатов исследований уравнений вида (5) с оператором 5, не ограниченным в простраг-нстве I-. Современное состояние теории уравнений вида (5) освещено в обзорных работах [13, 50] и монографиях [49, 68]. не ограничена на [О Л1 .

В случае, когда функция, а г можно выделить два основных направления в исследовании таких уравнений. Первое заключается в тш, что изучаемое уравнение рассматривается в пространстве непрерывно дифференцируемых функций [и, 12, 18, 45, бб], в котором оператор? ограничен.

Второе направление связано с работами М. Е. Драхлина и ТЛС. Плышевской [зо, 31]. В этих работах конструируется новая мера^, относительно которой при минимальных предположениях оператор? действует в пространстве функций, суммируемых по мере V •.

Уравнения вида (4) с нефредгольмовой в пространстве Ь главной частью 0. были по-видимому впервые рассмотрены Л. М. Березанским в работах [14, 15]. В Схб1 им получены результаты, близкие к результатам § 2 Д настоящей работы .

В работах Г. П. Пелюха и А. Н. Шарковакого [55−57] изучается представление общего решения функционального уравнения в окрестности особых точек. Под особыми точками понимаются неподвижные точки отображения у: I пространства Я у Я в себя.

Отметим исследования А. Р. Абдуллаева [I], в которых изучат-ется разрешимость задачи Коши для уравнения т 6.

1 в^х^а^^а.йхо^^? а.уа)), в случае, когда функция ^ не удовлетворяет условиям действия оператора 2 в цространстве Ь .

Предлагаемая работа является продолжением цикла работ Н. В. Азбелева, В. П. Максимова, М. Е. Драхлина, Т. К. Плышевской и Л. М .Березанского.

Содержание диссертации.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. В первой главе исследуются свойства вольтерровых операторов в пространстве Др. В § 1.1 определяются пространства.

Ар и, А р, и устанавливается их полнота. Показано, что если линейный вольтерров оператор Н действует в простран-етве Iр, то он действует, в пространстве Л р, причем.

ПНИ. ИНН. Лр 1Р.

Здесь же исследуются свойства линейных операторов в пространствах, А р, порождаемых различными функциями я/ .

В § 1.2 изучается интегральный оператор Й в пространстве, А р. Сформулированы условия действия оператора Й в пространстве Ар и критерий его полной непрерывности. Покат* зано, как по виду оператора Н. построить пространство Ар такое, что норма Й в Ап будет меньше любого наперед заг данного числа.

§ 1.3 посвящен свойствам оператора внутренней суперпозиции В в пространстве Ар. Приведены условия действия оператора Я, оценка его нормы в Ар. Указаны условия, при которых его спектральный радиус равен нулю.

В главе II исследуется разрешимость задачи Коши и краевых задач для уравнения (4). В § 2.1 приводятся эффективные условия разрешимости задачи Коши для уравнения (4). Специально изучен случай, когда (-является монотонным оператором,, что позволило ослабить требования, гарантирующие существование.

— 12 абсолютно непрерывного решения,.

§ 2.2 посвящен исследованию краевой задачи для уравнения.

4), краевые условия которой задаются функционалом & о эде Y и Ф соответственно постоянная и переменная hх fl матрицы. Сформулированы теоремы о разрешимости, о зависимости решений от параметров, а также о связи операторов Грина различных краевых задач. Рассмотрена квазилинейная краевая задача kb — [ш — (s Й & -А ажо) = t а, ш о и приведены достаточные условия ее разрешимости.

Заключительная III глава посвящена нелинейному уравнению вида (5). В § 3.1 изучается задача Коши. Приведены теоремы о локальной разрешимости, продолжаемости и связности множества решений. § 3.2 носит вспомогательный характер. В нем исследуется воцрос о построении априорных оценок решений задачи Коши для уравнения (5). В § 3.3 приводятся эффективные условия разрешимости краевых задач для уравнения (5), полученные на основе метода априорных оценок, разработанного в работах fe, 48].

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Пермском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям и заседаниях секции «Функционально-дифференциальные уравнения» XXEI и ШП научно-технических конференций Пермского политехнического института (Пермь, I98I-I983 г. г.), на ХХХХ и.

XXXXI научно-технических конференциях Латвийского государственного университета им. П. Стучки (Рига, I98I-I982 г. г.)" на II Всесоюзном рабочем совещании «Гравитация и объединение фундаментальных полей» (Киев, 1982 г.), на семинаре института прикладной математики им. И. Н. Векуа (Тбилиси, 1983 г.), на УШ школе по теории операторов в функциональных пространствах (Рига, 1983 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Шиндяпин А. И. К вопросу о сингулярных функционально «дифференциальных уравнениях. — Пермь, 1981. — с. — Деп. в ВИНИТИ, № 113−82. Деп.

2. Шиндяпин А. И. О задаче Коши для одного линейного сингулярного уравнения нейтрального типа. — Пермь, 1982. — II с. Деп в ВИНИТИ, № 3400−82. Деп.

3. Шиндяпин А. И. 0 разрешимости краевой задачи для одного сингулярного функционально-дифференциального уравнения. -Краевые задачи. Межвуз. сб. научных тр. — Пермь, изд-во Пермского политехи, ин-та, 1982, с. 45−47.

4. Жуковский E.G., Шиндяпин А. И. К вопросу об исследовании разрешимости краевых задач методом априорных неравенств. -Краевые задачи. Межвуз. сб. научных тр. — Пермь, изд-во Пермского политехи, ин-та, 1983, с. 24−28.

5. Шиндяпин А. И. 0 краевой задаче для одного сингулярного уравнения. — Дифференц. уравнения, 1984, т. 20, № 3. с. 450−455.

— 14.

ОБОЗНАЧЕНИЯ.

5 — пространство вещественных векторов сА =.

1 (к) с нормой IIИ — ПАИ — норма оператора.

Е — единичная матрицаГП&euro-6 — мера Лебега;

— П, Нр<�ое? пространство функций Ъ * [(X, Кп | компоненты которых суммируемы на Д] со степенью р, а 1.

Р а.

I «[ОЙ — пространство функций.

•[а.^^к'1 о, измеримыми и ограниченными в существенном компонентами, Ш." «*** >"ир|1 — р' - показатель степени, сопряженный с р: р* р' * * (рА ^ °°, если р ^ 1);

Ла^Э^р <�°° - пространство таких абсолютно непрерывных функций х • №, -" е что хе Ь^р ,.

С — пространство непрерывных функций.

Х’Жвз, Ш1 «тахМСЬ»;

I — тождественный оператор- - полная вариация функции е4) — образ множества? * 1 (е) — прообраз мншества С ;

А — нуль-пространство оператора, А — - характеристическая функция множества нйМ^'-сииЬВ}.

1. Абдуллаев А. Р. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, не разрешенные относительно производной. — Ддс.. нанд. физ.-мат. наук, Одесса, 1982.

2. Азбелев Н. В. Краевые задачи для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений. В кн: Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. — Киев: Наукова думка, 1977, с. 5−11.

3. Азбелев Н. В., Березанский Л. М., Рахматуллина Л. Ф. О линейном функционально-дифференциальном уравнении эволюционного типа. Дифференц. уравнения, 1977, т. 13, № 11, с. 19 151 925.

4. Азбелев Н. В., Исламов Г. Г. Об одном классе функционально-дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1976, т. 12, № 3, с. 417−427.

5. Азбелев Н. В., Максимов В. П. Априорные оценки решений задачи Коши и разрешимость краевых задач для уравнений с запаздывающим аргументом. Дифференц. уравнения, 1979, т. 15, № 10, с. 1731−1747.

6. Азбелев Н. В., Максимов В. П. Уравнения с запаздывающим аргументом. Дифференц. уравнения, 1982, т. 18, № 12, с. 20 272 050.

7. Азбелев Н. В., Рахматуллина Л. Ф. Функционально-дифференциальные уравнения. Дифференц. уравнения, 1978, т. 14, № 5,с. 771−797.

8. Азбелев Н. В., Цашак З. Б. Об интегральных и дифференциальных неравенствах. Труды 1У Всесоюзного математического съезда, т. 2. — М.-Л.: Наука, 1964, с. 384- 391.

9. Андреев Л. Ф. Теорема единственности для нормальной области Фроммера второго типа. Докл. АН СССР, т. 142, Л 4, с. 754 757.

10. Анохин A.B. К общей теории линейных функциональнодифференциальных уравнений. Пермь, 1981. — 31 с. — Деп. в ВИНИТИ, 1389−81 Деп.

11. Антоневич A.B. Операторы со сдвигом, порожденным действием компактной группы Ли. Сиб. мат. журнал, 1979, т. 20, № 3, с. 467−478.

12. Антоневич A.B., Бреннер В. В. О символе псевдодифференциального оператора с локально независимыми сдвигами. Докл. АН СССР, 1980, т. 24, № 10, с. 884−887.

13. Ахмеров P.P., Каменский М. И., Потапов A.C., Родкина А. Е., Садовский В. Н. Теория уравнений нейтрального типа. Математический анализ, т. 19 /Итоги науки и техники/. — М.: ВИНИТИ, 1981, с. 55−126.

14. Березанский Л. М. О спектральном радиусе оператора внутренней суперпозиции. Краевые задачи. Межвуз. сб. научных тр. Изд-во Пермского ун^та, 1977, с. 60−61.

15. Березанский Л. М. Линейные функциональные и функционально-дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. -Дис.. канд. физ.-мат. наук, Алма-Ата, 1979.

16. Березанский Л. М. Существование и устойчивость решений линейных функционально-дифференциальных уравнений в лебеговых цространствах с весом. Новосибирск, 1983. — 16 с. — Деп. в ВИНИТИ, В.

17. Бессмертных Г. А. Несколько замечаний к вопросу о существовании решения у сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В сб.: Приближенные методы решения дифференциальных уравнений, Киев: Наукова думка, 1964, вып. 2, с. 23−32.

18. Бреннер В. В. О спектральном радиусе оператора с локально независимыми сдвигами. Изв. АН БССР, 1881, $ 3, с. 48−55.

19. Булгаков А. И., Лялин Л. Н. О связности множеств решений функциональных включений. Матем. сб. т.119, № 2, с. 295−300.

20. Дуров A.B. Исследование влияния запаздывания гравитационного взаимодействия в задачах классической механики. Докл. АН СССР, 1980, т. 255, № 5, с. I059-I06I.

21. Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1972.

22. Васильев Н. И., Клоков Ю. А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига: Зинатне, 1978.184 с.

23. Габасов Р., Кириллова Ф. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. — 508 с.

24. Гай Я. Г. Теорема 1снування I единоет1 розв’язку • системи диференцГальних рГвнянь з сингулярн? стю,-зб. наук, праць асп1рант1 В /фСз.-мат. науки/, вид-во КиГвського ун-ту, 1963, с. 108−116.

25. Горобец Г. Г. О единственности решения краевых задач для уравнений с несуммируемой особенностью. Латвийский математический ежегодник. Рига: Зинатне, 1982, вып. 26, с. 1523.

26. Грудо Э. И. Об аналитической структуре решений уравнений типа Врио и Дуке. Изв. АН БССР, 1962, ft 4, с. 5−13.

27. Гусейнов З. И., Перов А. И. Сингулярная задача Коши для нелинейного уравнения в гильбертовом пространстве. Уч. записки Азерб. ун-та, серия физ.-матем. наук, 1964, ft 3, с. 4150.

28. Двнфорд Н., Шварц Да. Линейные операторы. Общая теория. -М.: ИЛ, 1962, 896 с.

29. Драхлин М. Е., Плышевская Т. К. Краевая Задача для нелинейного дифференциального уравнения нейтрального типа. Диф-ференц. уравнения, 1975, т. II, № 6, с. 986−996.

30. Драхлин М. Е., Плышевская Т. К. К теории функционально-диффе-ренциалышх уравнений Дифференц. уравнения, 1978, т. 14, № 8, с. 1347−1361.

31. Жданов В. И., Пирагас К. А. О круговых орбитах в динамике двух частиц, учитывающих запаздывание взаимодействия. В сб.: Проблемы теории гравитации элемент, частиц. — М.: Атом-издат, вып. 5, 1974, с, 65−80.

32. Жуковский Е. С. Об интегральных неравенствах в пространствах суммируемых функций. Дифференц. уравнения, 1982, т. 18, ft 4, с. 580−584.

33. Жуковский Е. С. Об одном методе решения вольтерровых нераг-венств. Пермь, 1981. — 23 с. — Деп. в ВИНИТИ, ft 86−82 Деп.

34. Забрейко П. П. и др. Интегральные уравнения. (МБ. M. s Наука, 1968. — 448 с.

35. Зернов А. Е. Асимптотическое поведение решений некоторых систем дифференциальных уравнений. Лис.. канд. физ.-мат. наук, Одесса, 1977.

36. Канторович I.B., Акилав Г. П. Функциональный анализ. М.:Наука, 1977. 742 с.

37. Кигурадзе И. Т. О задаче Кош для сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1965, т. I, 16 10, с. 127t-1291.

38. Кигурадзе И. Т. О сингулярной задаче Николетти. Докл. АН СССР, 1968, т. 186, Л 4, с. 769−772.

39. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси, Изд-во Тбилисского ун-та, 1975. — 352 с.

40. Ковалевский Н. П. Аналитическая структура решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в окрестности регулярных особых точек. Дис.. канд. физ.-мат. наук, Минск, 1972.

41. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Наука, 1962.

42. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975, — 512 с.

43. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в цространнствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. — 500 с.

44. Курбатов В. Г. Об оценке спектральных радиусов запаздывающих операторов в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций. Функциональный анализ и его приложения, 1975, т. 9, J&3, с. 56−60.

45. Курбатов В, Г. О спектре оператора суперпозиции. Воронеж, 1979. — 21 с. — Деп. в ВИНИТИ, $ 4317−79 Деп.

46. Люстерник I.A., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. — 520 с.

47. Максимов В. П. Априорные неравенства и разрешимость нелиней- 100 ных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений, Дифференц. уравнения, 1981, т. 17, № 4, с. 750 752.

48. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 19^. — 352 с.

49. Мышкис А. Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. УМН, 1977, т. 32, № 2,о. 173−202.

50. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Гостехиздат, 1957. — 552 с.

51. Норкин С. Б. Структура решений трехчленного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом в окрестности особой точки. Рг. ае-ьий 78 йоргату аро^оу 2±-1±-пе. бег. таЬ.1а. 1980 (1981), N 2, 47−54.

52. Оганджанян~В.Г. К теории интегральных уравнений с неподвижными особенностями. Дис.. канд. физ.-мат. наук, Тамбов, 1970.

53. Оганджанян В. Г., Шаталов 10.С. Сингулярные интегральные уравнения с разрывным операторам. Тр. Тамбовск. ин-та хим. машиностроения, вып. 2, 1968, с. 41−43.

54. Пелюх Г. П. Общее решение одного класса систем нелинейных функциональных уравнений. В сб.: Приближенные и качественные методы теории дифференциальных и дифференциально-функциональных уравнений. — Киев, 1979, с. 49−53.

55. Пелюх Г. П. Существование и единственность и решений нелинейных функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа. Дифференциально-функциональные и разностные уравнения. — Киев, 1981, с. 57−64.

56. Пелюх Г. П., Шарковский А. Н. Общее решение систем функциоICE нальных уравнений в окрестности особой точки. В сб.: Функциональные и дифференциально-разностные уравнения. -Киев, 1974, с. 100−109.

57. Перов А. И. 0 сингулярной задаче Коши. Тр. семинара по функциональному анализу, Изд-во Воронежск. ун-та, Воронеж, 1963, вып.7, с. 104−107.

58. Писаренко В. Г. Проблемы релятивистской динамики многих тел и нелинейной теории поля. Киев: Наукова думка, 1974, -464 с.

59. Рабимов A.C. К теории сингулярных задач доя систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Дис.. канд. физ.-мат. наук, Самарканд, 1974.

60. Рахматуллина 1.Ф. Линейные функционально-дифференциальные уравнения. Дис.. д-ра физ.-мат. наук, Киев, 1982.

61. Рахматуллина Л. Ф. Оператор Грина и регуляризация линейных краевых задач. Дифференц. уравнения, 1979, т. 15, J& 3, с. 425−435.

62. Родкина А. Е. О задаче Коши для уравнений нейтрального типа. Дис.. канд. физ.-мат. наук, Киев, 1976.

63. Романенко Е. Ю., Фещенко Т. С. Об асимптотике решений дифференциально-функциональных уравнений. Дифференциальные уравнения и их применения. Тр. 2 конф., Руссе, 29 июня4 июля, 1981. Руссе, 1982, с. 635−638.

64. Тихонов А. И. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики. -Еюл. Московок, ун-та, Секция А, 1938, т. I, вып. 8, с. 2−25.

65. Чепурной JE.B. О поведении решений системы нелинейных дифференциальных уравнений в комплексной области вблизи неподвижной особой точки. Дис.. канд. физ.-мат. наук, Одесса, 1970.

66. Чечик В. А. Исследование систем обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярностью. Тр. московск. матем. об-ва, 1959, № 8,с. 155−198.

67. Эльсгольц Л. Е., Норкин С. Б.

Введение

в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.69* Andrika Dorin. Bounded solution for a singular ralue problem Mathematika (BSE), 1981, 23, n 2, — 164 p.

68. Balla Katalin. p11 singular boundary value problems for second order ODE-s. MTA Szamitastechn es automatiz. kut. inter, kozl. 1982, N 26, p. 9−15.

69. Eastham M.S.P. Asymptotic theory for a critical class of fourth-order differential equations. Proc. Koy. Soc. London, 1982, A 383, n 1785, p. 465−474.

70. Gilbert Eichard. Singular linear ordinary differential equations with non-zero second arori lary polinimial. Oper. Proc. Conf. Birmingham, Ala., March 26−28, 1981. Amsterdam, 1981, p. 195−198.

71. Iwano Masahiro. On a general solution of a nonlinear n sis-tem of the form = with a conatant diagonal matrix of signatur (In^ i1-m). -Ann. mat. pure ed appl. 1982, 130, p. 331- 384.