Двумерно упорядоченные тела и поля

Актуальность темы

В теории упорядоченных полей и тел важную роль играют результаты, связанные с числом порядков, свойством архимедовости и с топологическим пополнением упорядоченных тел и полей.

Единственность упорядочения вещественно замкнутого поля доказана в классической работе [26]. В [44] найдено число вещественно замкнутых подполей алгебраически замкнутого поля характеристики нуль. В [ 6 3 описана конструкция формально вещественного поля с заданным числом неизоморфных порядков.

Архимедовы тела исследовались еще в [5]. В [50] рассмотрены архимедовы поля. Архимедовы расширения упорядоченных полей изучались в С 28]. Архимедовы подполя исследовались в [26]. Условия вложимости упорядоченного поля в поле действительных чисел сформулированы в [50].

Топологическое пополнение упорядоченных полей изучается в [28], [33] -[35].

В последние десятилетия в теории упорядоченных множеств и алгебраических систем развивается направление, связанное с понятием п-мерного порядка — обобщением линейного порядка по размерности и, вместе с тем, — ориентации п-мерного аффинного пространства.

Идея обобщения линейного порядка по размерности восходит к работам Кантора по пкратно упорядоченным множествам (см., например, С 29 ]). Работы Кантора были продолжены Шварцем [52], Риссом [51], а также Вагнером [58]. Из работ последнего времени интерес представляют, как отмечено Ю. Л. Ершовым [7], исследования ван ден Дриса [ 303 и Джекоба [36], посвященные пкратно упорядоченным полям.

Систематическое исследование обобщений линейного порядка по размерности начинается с работ Шпернера по функциям порядка, В основу определения функции порядка положено свойство произвольной точки п-мерного аффинного пространства занимать по отношению к ориентированной гиперплоскости одно из трех положений: лежать на гиперплоскости, по одну или другую сторону от нее. Значительная часть работ Шпернера [53], 155], 157] и его последователей: Глока L3I], Бахмана и Клингенберга L27], Карцеля С 39] -[41], Джоуссена [37], Ленца и Пейяша [43] посвящены чисто геометрическим вопросам. Вместе с тем, в ряде работ Шпернера [54], [ 56], Карцеля [ 38] и Керби [42] исследование функции порядка связано с рассмотрением алгебраических структур.

Следующий шаг в развитии понятия riмерного порядка был сделан Глоком [32]. При определении функции ориентации аффинного пространства им намечен аксиоматический подход.

Наиболее глубокое развитие идея обобщения линейного порядка по размерности получила в независимых работах Г. Г. Пестова и Л.Новаха.

Г. Г.Пестов определяет п-мерно упорядоченное множество как пару (X, «Ь), где X есть некоторое множество и.

О — функция, удовлетворяющая определенным условиям. Первый вариант аксиоматики введен в [12]. Более совершена: ный вариант приведен затем в [14]. Аксиомы выбраны с таким расчетом, чтобы одномерный порядок был эквивалентен линейному и имерно упорядоченные множества наследовали хотя бы некоторые существенные порядковые свойства подмножеств ориентированного п-мерного аффинного пространства. В работах [13 ] - [19] и 121] исследованы некоторые свойства п-мерного порядка, а также даны некоторые его приложения в геометрии.

Определение п-мерного порядка Л. Новаха [46] отличается от определения Г. Г. Пестова, по сути дела, выбором другой системы аксиом. Системы аксиом оказались существенно различными. Ни одна из них не влечет другой. В работах [46] - [48] рассмотрены некоторые свойства пмерного порядка по Новаху. Показано применение этого порядка в аксиоматическом определении трехмерного эвклидова пространства.

Таким образом, понятие пмерного порядка, введенное Г. Г. Пестовым и Л, Новахом, представляет собой несомненный интерес. Широкий круг вопросов, поставленных и рассмотренных в указанных выше работах, говорит о возможности развития содержательной теории пмерно упорядоченных систем. Среди этих систем выделяются двумерно упорядоченные алгебраические структуры.

Г. Г.Пестовым введены двумерно упорядоченные поля и исследованы некоторые их свойства. Размерность порядка поля взята равной двум потому, что при п = 2 пмерный порядок наиболее естественно связывается с двумя бинарными операциями поля. Как известно, линейный порядок поля полностью описывается своим положительным конусом. По аналогии с этим в [20], [ 23] и [60] введено понятие верхнего конуса двумерного порядка поля. Доказано, что двумерный порядок поля однозначно определяется своим верхним конусом. В [ 22 ] отмечено, что класс линейно или двумерно упорядочиваемых полей совпадает с классом полей характеристики нуль. Следовательно, с введением двумерного порядка сфера приложений порядковых, структур в теории полей распространяется с класса формально вещественных полей на весь класс полей характеристики нуль.

Далее, Новахом в [46] введено понятие ш-мерно упорядоченного поля. Приведены примеры п-мерно упорядоченных алгебраических систем: п-мерного векторного пространства, тела кватернионов, поля комплексных чисел. В [49] дана характеризация поля комплексных чисел в терминах двумерного порядка Новаха.

В силу перечисленных фактов представляется актуальным дальнейшее исследование двумерно упорядоченных алгебраических структур".

Диссертационная работа посвящена исследованию двумерно упорядоченных тел и полей. Двумерный порядок рассматривается только в смысле определения Г. Г. Лестова.

Цель работы:

I. Исследовать топологические свойства двумерно упорядоченных тел.

2″ Описать класс двумерно упорядочиваемых полей.

3. Определить число неизоморфных двумерных порядков алгебраически замкнутых полей.

4. Исследовать свойства двумерно упорядоченных тел, аналогичные свойствам архимедовых линейно упорядоченных тел.

Общая методика исследований. В работе использованы методы теории расширений полей, теории упорядоченных алгебраических систем (групп, тел, полей) и методы топологической алгебры.

Научная новизна. Разработан алгебраический метод исследования двумерного порядка тел. Получен метод топологизации тел на основе двумерного порядка" Новыми являются и основные результаты работы:

1. Доя каждого двумерно упорядоченного тела доказано существование пополнения по топологии двумерного порядка (см. ниже теорему 3.16)*.

2. Дано описание класса двумерно упорядочиваемых полей (теорема 5.4).

3* Определено число неизоморфных двумерных порядков алгебраически замкнутого поля (теорема 6.9). В качестве следствия получена характеризация поля всех алгебраических чисел в терминах двумерного порядка (предложение 6.10),.

4. Но аналогии с архимедово линейно упорядоченными телами охарактеризованы архимедово двумерно упорядоченные тела (теорема 10*6)" В частности получена характеризация поля комплексных чисел в терминах двумерного порядка (предложение 10.7).

Практическая и теоретическая ценность" Работа носит теоретический характер. Результаты исследования двумерно упорядоченных тел и полей, а также развитые в диссертационной работе методы представляют интерес для теории упорядоченных алгебраических систем (тел, полей, групп) и для теории топологических тел. Эти результаты могут найти приложения также в теории нормированных тел и полей.

Краткое содержание работы. Работа состоит из введения и трех глав.

ВВВДЕНИЕ кратко освещает тему и содержание работы.

ПЕРВАЯ ГЛАВА включает три параграфа и носит предварительный характер. Двумерно упорядоченное тело представляет собой тело с заданной на нём функцией двумерного порядка. В данной главе свойства функции двумерного порядка выражены алгебраическим языком. Далее проведена топологизация тела на основе двумерного порядка. Это позволило привлечь к исследованию двумерного порядка тел алгебраические и топологические методы.

Основным результатом главы является теорема 3.16.

В первом параграфе сначала введено понятие двумерно упорядоченного тела.

Определение 1.1. Тело к назовем двумерно упорядоченным, если на нем определен нетривиальный двумерный порядок 4., удовлетворяющий цри любых и, х, г е I*,, и + о условию: г) = и, и, и.1) — = г).

Данное определение является естественной модификацией определения двумерно упорядоченного поля.

Далее введено понятие верхнего конуса двумерного порядка тела \ • Показано, что двумерный порядок тела однозначно восстанавливается по своецу верхнему конусу. Пусть $>и= 4 Для всяких у, л: = Г п (Киг" тогда и и = и: и — с.

ЫОД.ос) = о чЛ 0. ос. е< о.

— г.

14,2) = если х =^, ."к (о, 1, (2 — - хУ*), если.

Получены характеристические свойства верхнего конуса двумерного порядка. Таким образом, двумерный порядок тела можно задавать как с помощью функции двумерного порядка 4 «так и с помощью верхнего конуса К4.

В заключение первого параграфа приведены примеры двумерно упорядоченных тела и поля. Рассмотрим второй из них.

Пример 1*8. Цусть Я — линейно упорядоченное поле с положительным конусом ^ и Л =, где I — корень уравнения X 2 + 1 =0. Тогда множество т + 1(И'ЧоШ и И* является верхним конусом некоторого двумерного порядка поля .

В случае поля С комплексных чисел имеем € = ЩО. Поэтому можно рассматривать верхний конус = ^ У. В этом случае получаем- &euro-о = «С* = ГОи С и — открытая верхняя полуплоскость комплексной плоскости. Данный верхний конус назван стандартным» а соответствующий ему двумерный порядок — стандартным двумерным порядком поля С •.

Характеристические свойства верхнего конуса двумерного порядка в целом громоздки. Поэтому во втором параграфе определена более простая система характеристических свойств верхнего конуса. Предварительно введены еще два понятия*.

Определение 2.1. Множество = С U — назовем базой двумерно упорядоченного тела ,.

Как следует из примера 1.8, в случае поля С со стандартным двумерным порядком база С0 представляет собой линейно упорядоченное поле с положительным конусом (Do — В общем случае имеет место.

Предложение 2.2. База tt0 любого двумерно упорядоченного тела С R, Ж u) является линейно упорядоченным подтелом с положительным конусом К = Vx" П (^" Г1″ .

Определение 2.3. Подмножество R" тела ^ назовем верхним конусом, если при любых х,, ъ & R ^ I о ^ имеем:

R, и — tr = ^.

Ra Ku П — - (oi,.

Uu + Г «r,.

Rs 1"Г, = ^.

R6 хГх-аГ.

Верхний конус тела назовем вырожденным, если = №иЧКиГ" = Ф*.

Роль верхнего конуса тела раскрывается в следующих двух утверждениях.

Предложение 2.4. Каждый невырожденный верхний конус тела является верхним конусом некоторого двумерного порядка на W .

Наоборот" верхний конус каждого двумерного порядка на ^ является невырожденным верхним конусом тела К .

Предложение 2.5, Каждый вцровденный верхний конус тела ^ является положительным конусом некоторого линейного порядка на^. Наоборот, положительный конус кавдого линейного порядка на R является вцроаденным верхним конусом тела ^.

Из предложений 2.4 и 2*5 следует" что в свойствах двумерного и линейного порядков есть много общего. Понятие верхнего конуса тела отражает общие характеристические свойства этих порядков.

Третий параграф посвящен топологическим свойствам двумерно упорядоченного тела 1 Vn, .

Сначала исследовано подмножество.

В = Ьсе х + х-^еГ} Ux€ R0 loc| < lu{xe-Ku| х + эс^е К*.

6 случае поля комплексных чисел С со стандартным двумерным порядком С" множество Ь представляет собой открытый круг единичного радиуса с центром в нуле. Ясно, что он является подполугруппой мультипликативной группы поля €. 6 общем же случае Ь является инвариантной подполугруппой мультипликативной группы тела К •.

Далее доказано, что двумерно упорядоченное тело можно топо-логизировать таким образом, что базисом окрестностей нуля будет служить семейство множеств fo = la? !iae BMoi.

Определение 3.13. Топологию двумерно упорядоченного тела, определяемую базисом окрестностей нуля $*>, назовем топологией двумерного порядка.

Имеет место.

Предложение 3.14. Двумерно упорядоченное тело относительно топологии двумерного порядка является отделимым топологическим телом.

Замечание 3*15″ Базис окрестностей нуля линейно упорядочен по включению и состоит из некоторых подполугрупп мультипликативной группы двумерно упорядоченного тела".

Таким образом, топология двумерного порядка обладает рядом свойств, аналогичных свойствам интервальной топологии. В заключение параграфа получен аналог еще одного свойства интервальной топологии.

Теорема 3.16. Для каждого двумерно упорядоченного тела существует пополнение по топологии двумерного порядка.

ВТОРАЯ ГЛАВА состоит из трех параграфов (§§ 4−6). В ней дано описание класса двумерно упорядочиваемых полей" Определено число неизоморфных двумерных порядков алгебраически замкнутого поля. В результате получена характеризация в терминах двумерного порядка поля всех алгебраических чисел.

Основными результатами главы являются теоремы 5"4 и 6.9″ Параграф 4 играет вспомогательную роль" В нем рассмотрены расширения полей одного частного вида. Доказано существование таких расширений".

В пятом параграфе сначала дано описание класса двумерно упорядоченных полей" Цри этом особое положение занимает максимальное нормальное расширение N поля рациональных чисел в поле вещественных алгебраических чисел".

Теорема 5.4″ Поле двумерно упорядочиваемо тогда и только тогда, когда оно имеет характеристику нуль и не изоморфно никакому подполю поля N .

Из теоремы 5.4 вытекает, что все поля характеристики нуль делятся на три класса:

1. Поля характеристики нуль, не являющиеся формально вещественными. Данные поля упорядочиваются двумерно, но не линейно".

2. Формально вещественные поля, не доцускащие изоморфного вложения в N. Поля этого класса как линейно, так и двумерно упорядочиваемы.

3. Поля, изоморфно вкладываемые в N. Такие поля допускают только линейное упорядочение.

В последнем параграфе второй главы определено число двумерных порядков алгебраически замкнутого поля. Дана характеризация поля всех алгебраических чисел.

Предварительно рассмотрены необходимые и достаточные условия изоморфности двумерных порядков тела. Затем приведено три примера неизоморфннх двумерных порядков полей. В результате определены некоторые параметры, от которых зависит число двумерных порядков произвольного поля. В частности, показано, что в общем случае вопрос о числе двумерных порядков поля связан с вопросом о числе линейных порядков произвольного поля. В случае алгебраически замкнутых полей он решен следующим образом.

Теорема 6.9. Дусть К — двумерно упорядочиваемое алгебраически замкнутое поле. Если изоморфно полю всех алгебраических чисел, то оно двумерно упорядочиваемо, с точностью до изоморфизма, единственным способом. В противном случае на К можно определить 2 Ш неизоморфных двумерных порядков.

Доказанная теорема дает новое характеристическое свойство поля всех алгебраических чисел.

Предложение б.10. Поле алгебраических чисел и, с точностью до изоморфизма только оно, алгебраически замкнуто и двумерно упорядочиваемо единственным, с точностью до изоморфизма, способом.

Как известно, всякое вещественно замкнутое поле доцускает единственное упорядочение. Из теоремы 6.9 следует, что для двумерно упорядочиваемых алгебраически замкнутых полей аналога указанного свойства нет.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА содержит четыре параграфа (§§ 7-Ю), Как известно" каждое архимедово линейно упорядоченное тело является" с точностью до изоморфизма, подполем поля IR. действительных чисел. Линейный порядок тела индуцируется естественным линейным порядком поля Hl • В данной главе показано, что аналог этого свойства имеет место и в случае двумерно упорядоченных тел. Роль поля fll играет поле € комплексных чисел со стандартным двумерным порядком. В силу этого поле € характеризуется в терминах двумерного порядка.

Основным результатом главы является теорема 10. б.

Параграф 7 носит предварительный характер. В нем рассмотрены простейшие свойства квазиархимедовых тел. Определение квазиархимедова тела является естественной модификацией определения архимедова линейно упорядоченного тела.

Определение 7.1. Двумерно упорядоченное тело С Ул,) назовем квазиархимедовым, если для любых х, е И" существует u такое натуральное п, что их — ^ е к .

Пример 7.2 квазиархимедова поля показывает, что квазиархимедовы тела могут не вкладываться в поле комплексных чисел со стандартным двумерным порядком.

Далее все квазиархимедовы тела разбиваются на два класса по топологическим свойствам верхнего конуса. Параграф 8 посвящен одному из этих классов.

Определение 8.1. Квазиархимедово тело (V>,) назовем бесконечно узким, если множество не является открытым в топологии двумерного порядка.

Цример 7.2 квазиархимедова поля служит одновременно и примером бесконечно узкого поля.

Бесконечно узкие тела описаны следующим образом.

Предложение 8.2″ Квазиархимедово тело & тогда и только тогда является бесконечно узким" когда его база плотна в \ •.

Предложение 8.5. Всякое бесконечно узкое тело является, с точностью до изоморфизма, подполем поля действительных чисел" Линейный порядок базисного подполя индуцируется линейным порядком поля действительных чисел.

Таким образом, бесконечно узкие тела по своим свойствам аналогичны, в какой-то степени, архимедово линейно упорядоченным телам. Получена стандартная процедура перехода от бесконечно узкого тела (К, №") к архимедово линейно упорядоченному телу ().

В двух последних параграфах работы исследован второй класс квазиархимедовых тел.

Определение 9.1. Квазиархимедово тело (№, ^и), в котором к открыто в топологии двумерного порядка, назовем архимедово двумерно упорядоченным телом.

Примером архимедова двумерно упорядоченного поля, как легко видеть, служит поле комплексных чисел С со стандартным двумерным порядком С и.

Согласно теореме 3.16 архимедово двумерно упорядоченное тело (^ ,) с топологией двумерного порядка изоморфно вкладывается в некоторое полное отделимое топологическое тело В параграфе 9 доказано, что архимедов двумерный порядок ^ тела.

А' продолжается до архимедова двумерного порядка ^ тела V*. V.

При этом топологии Т^. и тела \ совпадают. В десятом параграфе доказано, что топологически полное архимедово двумерно упорядоченное тело изоморфно полю комплексных чисел со стандартным двумерным порядком. Тем самым доказана.

Теорема 10,6. Всякое архимедово двумерно упорядоченное тело является, с точностью до изоморфизма, подполем поля комплексных чисел" Двумерный порядок тела индуцируется стандартным двумерным порядком поля комплексных чисел.

Таким образом, получено описание всех квазиархимедовых двумерно упорядоченных тел.

Известно, что поле действительных чисел и, с точностью до изоморфизма только оно, является максимальным архимедово линейно упорядоченным телом. 6 силу теоремы 10.6 имеем.

Предложение 10.7. Поле комплексных чисел и, с точностью до изоморфизма только оно, является максимальным архимедово двумерно упорядоченным телом.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на пятой конференции по математике и механике Томского университета (1975 г.), на семинаре по упорядоченным алгебраическим системам Новосибирского университета (1976 г.), на семинаре кафедры алгебры МГШ (1977 г.), на семинаре по кольцам и модулям кафедры высшей алгебры МГУ (1978 г.), на расширенном се-шнаре по упорядоченным алгебраическим системам Института математики СО АН СССР (Новосибирск, 1982 г.), на семинаре по общей алгебре и математической логике Института математики с ВЦ АН МССР (Кишинев, 1982 г.), на ХУП Всесоюзной алгебраической конференции (Минск, 1983 г.), а также на семинаре по упорядоченным алгебраическим системам Томского университета (1979;1983 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, сводки используемых результатов, трех глав (10 параг рафов) и списка литературы из 66 наименований.

1. Александров П. С.

Введение

в гомологическую теорию размерности. — М., Наука, 1975.

2. Арнаутов В. И., Водинчар М. И., Михалев А. В.

Введение

в теорию топологических колец и модулей. Кишинев, изд-во «Штиинца», 1981.

3. Бурбаки Н. Алгебра (Многочлены и поля. Упорядоченные группы).-М., Наука, 1965.

4. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М., Наука, 1976.

5. Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л., Гостехиздат, 1948.

6. Ершов Ю. Л. О числе линейных порядков на поле. Матем. заметки, 1969, 6, № 2, с. 201−211.

7. Ершов Ю. Л. Алгоритмические проблемы в теории полей (положительные аспекты). В кн.: Справочная книга по математической логике. ч.Ш. Теория рекурсий. М., Наука, 1982, с.269−353.

8. Зарисский 0., Самюэль П. Коммутативная алгебра, т.1. М., ИЛ, 1963.

9. Кокорин А. И., Копытов В. М. Линейно упорядоченные группы. -М., Наука, 1972.

10. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. М., Наука, 1973.

11. Ленг С. Алгебра. -М., Мир, 1968.

12. Пестов Г. Г. О полупроективных структурах. Доклады 3-ей Сибирской конференции по математике и механике. Томск, 1964, с. 208−109.

13. Пестов Г. Г. Аксиоматика конечных точечных систем. Изв. Томского политехн. ин-та, 1965, 131, с. 83−87.

14. Пестов Г. Г. Исследования по теории имерной функции порядка. Канд.дисс., Томск, 1966.

15. Пестов Г. Г. пмерные точечные системы. Тр. Томского ун-та, 1967, 191, с. 158−163.

16. Пестов Г. Г. Теоремы о внешних точках и гранях п-мерной точечной системы. Тр. Томского ун-та, 1967, 191, с.164−174.

17. Пестов Г. Г. Глубина точки и функция сечений п-мерной точечной системы. Тр. Томского ун-та, 1967, 191, с. 175−178.

18. Пестов Г. Г. О числе выпуклых и невыпуклых четверок в плоской точечной системе. Изв. Томского политехи. ин-та, 1967, 154, с.3−5.

19. Пестов Г. Г. Необходимые признаки наименьшей выпуклости точечной системы. Изв. Томского политехи. ин-та, 1967, 154, с.6−9.

20. Пестов Г. Г. 0 2-упорядоченных полях. Материалы итоговой научной конференции по математике и механике за 1970 год, вып. I, Томск, 1970, с. 156.

21. Пестов Г. Г. п-упорядоченные множества. Тр. Иркутского ун-та, матем., 1970, 74, вып.6, с. 146−169.

22. Пестов Г. Г. О двумерно упорядоченных полях. XI Всесоюзный алгебраический коллоквиум, Резюме сообщений и докладов. Кишинев, 1971, с. 328 — 329.

23. Пестов Г. Г. К теории 2-упорядоченных полей. Материалы пятой научной конференции по математике и механике, вып. I, Томск, 1974, с. 81.

24. Пестов Г. Г. О вещественно замкнутых подполях алгебраически замкнутого поля. Тр. Ш Омской областной математической конференции. Омск, 1981, Деп. в ВИНИТИ, № 1018−83 Деп., с.79−80.

25. GbxA. Ori^a^Lmx^cif^ijjL^ Сспгл иллп1961,78,^, S. 319−360.

26. U-cu^asc P., JUasf^ala Gr. TiU аф-нлхЛ AosiolcAv?. о-/ имх^егт -^yctt?A clhsoL crccLuu-dL — -^u/t wvctMu-ynati-i-cXz LwMji-C ижл/ OiuALollctc^eM dt/i MaJAinuisttA, 19 71, 17, У5, S. 377 Ш.

27. H, cu4yu^Jt?eAoi Vs. tUU/t oiie.^{LowydsuxAJusOvL} wifurcp-e/un. wuyt Yiii^z ixm UM^CIitc^CIam. t (XI.

28. Wz? H. Uhjt ILHJZ (hl McJA.1., 1956,64, S. 1*1−137.

29. Yihmtl Hv Sk^-ал Ui. VJU/c илиЛ ^игсущ-сл-е!^il. JUUL JUajtA. Нмхлг., 196 7, Ъ0} Mi, S). 11- 15.44. МЛoù-. e., U.

30. Мимт-сш И. uvi (ybolwe.cL oiiiyi^?on XIH.^4. У^осмл. &Yvwt. JlLcM. S-a*., I3? f9, 66, p. 101−151.

31. Mov-o-a L>. Chx vi- (ft-ob/ccot лЛл cutoi crccL/t lom^cAA^ua^XUU, 1965, 15, A/4J p. 1*37−1⁵.47. ?lcnroa L>. Той (х/хйхушл^tyr iuum cLimMi^io^boJ^ IjujJLL-OUCIM (^Hvcei^.-Ксус. Jllcdl. W., 19 68, 19, p. Hf 6- 151.

32. MtyirfrCL Ь. 6-. cv| a C? j~otaJ-n. (bocloM^cdaiи^лЖемл. —fWe. Л-wa/t. Jl? ail W., 19 69,11, p.^70.49. hUybOOL L. Ch. cUn cXcuccccbscUzajtion 'iJu с (yvutfJe^e ^?dtoL.— Сам. Modi'. ЪиМ., 19 78, 11, A/ p. 31S-318.

33. Qio^wrd Or. ¿-и. oLie. O-bitifL^eM.^ 1951.

34. SLuA/i. F. lUU/L WLtluL^Ctciu?.. JILcdA. JU-n., 1905, б 1, S. ?/06- ЦП.

35. S-cli/to-a/t/H. И.^tivi Zu/C UunU chst O^-dwaAvc^i. -tt^j^eM, LadJU, 1&&8.53. ^f-escne/t t. CU* O-vlJkcl. Modi., 19⁸, 1, У1, S. 9−12.

36. S^j-^HLe/t B^/z^ceJLxi^^e/tt ^z/MMxJhl^-cite/t LUVOLS. 4. JU& 153.

37. S-p-e/m-c/t: ZA-vwx. GzJHbcei^ccXl. — JlUii 19 4 9, 121, S. 107−130,.

38. Терре А. И. Вопросы аксиоматики. п-мерного порядка. -Тр.Томского ун-та, 1975, 258, с.205−232.

39. Пестов Г. Г., Терре А. И. К теории двумерно упорядоченных полей. В кн.: Группы и модули. Томск, изд-во ТГУ, 1976, с. 35−48.

40. Терре А. И. О классе двумерно упорядочиваемых ассоциативно-коммутативных колец. 1У Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы сообщений, Кишинев, 1980, с. 100−101.

41. Терре А. И. 0 числе двумерных порядков алгебраически замкнутого поля. ХУ1 Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы. чЛ, Ленинград, 1981, с. 155−156.

42. Терре А. И. Элементы геометрии пмерного порядка. Томск, 1982, 35с., Деп. в ВИНИТИ 2−12−82г., № 5941−82.

43. Терре А. И. 0 классе двумерно упорядочиваемых полей. Томск, 1983, 13с., Деп. в ВИНИТИ 26−8-83 г., № 4681−93.

44. Терре А. И. Отроение архимедовых двумерно упорядоченных тел. -Томск, 1983, 32с., Деп. в ВИНИТИ 26−8-83г., № 4680−83.

45. Терре А. И. Строение квазиархимедовых двумерно упорядоченных тел. ХУЛ Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообщений, ч. П, Минск, 1983, с. 233.