Акустические волны в среде с флуктуирующей плотностью

Введение

Аморфное состояние формируется, как правило, из жидкого или парообразного в условиях сверхбыстрой закалки, предотвращающей кристаллизацию. Отличительными особенностями такого состояния являются отсутствие дальнего порядка в расположении атомов и неравновесность. Структурный беспорядок аморфной фазы характеризуется флуктуациями величины межатомных расстояний, а так же плотности вещества. Кроме того, в сплавах имеют место флуктуации концентрации атомов различных компонентов (химический беспорядок). В аморфном состоянии отсутствует точка плавления. При повышении температуры аморфное вещество размягчается и переходит в жидкое состояние постепенно. Эти особенности обусловлены отсутствием в аморфном состоянии так называемого дальнего порядкастрогой периодической повторяемости в пространстве одного и того же элемента структуры. В то же время у вещества в аморфном состоянии существует согласованность в расположении соседних атомовтак называемый ближний порядок, соблюдаемый в пределах первой координационной сферы, и постепенно теряющийся при переходе ко второй и третей сферам, т. е. соблюдающийся на расстояниях, сравнимых с размерами кристаллической ячейки. С расстоянием согласованность уменьшается и через 5−10 исчезает.

1. Акустические волны Кристаллический и ориентационный порядки сильно отличаются. Ориентация сохраняется на расстояниях 100−1000, когда кристаллический порядок разрушен. На рис. 1 условно изображена атомная структура, в которой координаты атомов существенно стохастизуются уже при расстояниях, а ориентация оси кристаллографической ячейки сохраняется примерно однородной на гораздо больших расстояниях. Такая модель (с разными элементами стохастизованной кристаллической решетки, имеющими разные корреляционные радиусы) существенно меняет представление о структуре аморфного состояния.

Рис. 1. Условное изображение модели атомной структуры аморфного вещества, в которой различным параметрам стохастизованной решетки соответствуют различные радиусы корреляций. Расстояния между атомами (черными кружками) стохастизованы на расстояниях, средняя ориентация элементарной ячейки (прямоугольники) имеет гораздо больший радиус корреляций .

Корреляционный радиус экспериментально определяется методами хорошо развитыми для кристаллических материалов (рентгеновская, электронная, нейтронная спектроскопии). Для определения корреляционных радиусов порядка 100−1000 потребовалось обоснование и развитие новых методов исследования. Теоретически было показано, что корреляционные радиусы крупномасштабных композиционных и структурных неоднородностей должны проявляться в виде характерных особенностей на законах дисперсии и затухании всех элементарных возбуждений твердого тела: спиновых, упругих [2, 3], плазменных, и электромагнитных волн.

В данной работе рассматриваются упругие волны, распространяющиеся в среде с флуктуирующей плотностью. Решение задачи проводится методом, развитым в работе [2], однако спектральные характеристики вычисляются в приближении Бурре.

2. Дисперсионное соотношение для волн в неоднородной упругой среде

2.1 Одномерный случай Объемная плотность лагранжиана для вектора упругого смещения в сплошной одномерной среде определяется выражением

(1)

где первый и второй членплотность кинетической и потенциальной энергии, соответственно, Gплотность вещества, Aконстанта взаимодействия. Уравнение движения имеет вид

. (2)

Для начала рассмотрим случай, когда G и A постоянные величины, не зависящие от координаты.

, (3)

. (4)

Получили уравнение колебаний в привычном виде.

Положим, что плотность вещества меняется в зависимости от координаты, а константа взаимодействия остается постоянной.

, (5)

. (6)

Удобно переписать, где Gсредняя плотность, — среднеквадратичная флуктуация плотности, — безразмерная случайная функция с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией. Угловые скобки означают усреднение по ансамблю реализаций случайных функций.

. (7)

Положим, что константа взаимодействия меняется в зависимости от координаты, а плотность вещества остается постоянной. Сразу заменим

(8)

, (9)

. (10)

В большинстве реальных материалов, преобладает неоднородность какого-то одного физического параметра. Поэтому мы здесь не будем рассматривать случай одновременных флуктуаций A и G.

Рассмотрим уравнение колебаний (7) с неоднородной плотностью G (x).

Выполним в (7) преобразование Фурье

. (11)

В (11) после интегрирования по возникает свертка.

(12)

где. (13)

Введем обозначения

, (14)

тогда уравнение (12) перепишется в виде

. (15)

Если положить (), т. е. плотность среды однородная, то уравнение (15) принимает вид

. (16)

Поскольку амплитуда упругой волны отлична от нуля, то уравнение (16) выполняется при. Решение этого дисперсионного уравнения дает линейный закон дисперсии волны

(17)

где — скорость звука, — волновой вектор возбуждений.

В случае неоднородной плотности, закон дисперсии должен некоторым образом модифицироваться. Получим эту модификацию на основе теории возмущений, считая параметр .

Запишем формальное решение уравнения (15)

. (18)

Подставим это решение в подинтегральное выражение уравнения (15), получим

. (19)

Учитывая, что

(20)

усредним по случайным реализациям

. (21)

Приближенно расцепляем коррелятор

. (22)

Для однородной случайной функции справедливо, или

(23)

где — спектральная плотность корреляционной функции. Подставим (23) в (21)

(24)

выполним интегрирование по, получим

. (25)

Таким образом получено дисперсионное уравнение в приближении Бурре (25) для усредненной волны.

Дисперсионное соотношение несет информацию о спектральной плотности, т. е. о корреляционной функции флуктуирующего в пространстве параметра плотности среды.

Для оценок выберем экспоненциальную корреляционную функцию и связанною с ней преобразованием Фурье спектральную плотность (см. приложение 1).

;, (26)

где — характерное волновое число (2/характерный размер неоднородности, — радиус корреляций случайной функции, описывающей неоднородности); Dдисперсия (в нашем случае D=1 по определению).

Подставим (26) и (14) в (25), получаем

. (27)

Введем обозначения. Тогда уравнение (27) примет вид

(28)

или

. (29)

Из граничных условий, где — действительные и положительные числа, а kдействительное волновое число, определяемое размерами образца.

Под интегралом будем считать — действительным. В соответствии с выбранной формой преобразования Фурье имеем

. (30)

С учетом (30) введем обозначение

. (31)

Этот интеграл вычислим методом вычетов вводя комплексную переменную Z. Контур представлен на рис. 2. .

Рис. 2. Контур интегрирования. Обход против часовой стрелки Особые точкиполюсы первого порядка. В результате имеем

. (32)

Подставив (32) в уравнение (29), получим

. (33)

Решая это уравнение получим модифицированный закон дисперсии и затухания волны в приближении Бурре.

Удобно работать с безразмерными величинами. Введем обозначение,. Тогда (33) принимает вид

. (34)

Как было указано выше,,. Тогда уравнение (34) от комплексной переменной, можно представить в виде системы двух уравнений

(35)

Получили нелинейную систему уравнений, которую можно решать численно. Эта система была решена двумя способами: с помощью вложенного в Maple 10 численного метода решения систем уравнений и метода релаксации (см. приложение 2). Совпадение получилось до шестого знака.

Если в правой части (33) положить как это делалось в работах [2], (разложение Релея-Шредингера), то имеем

. (36)

Таким образом, для модифицированного закона дисперсии упругой волны получаем простое выражение,

(37)

совпадающее с соответствующим выражением в работе.

В безразмерных величинах (36) принимает вид

. (38)

На рис. 3 приведены кривые: сплошныеприближение Бурре (решение системы (35)), штриховыеприближение РелеяШредингера, точечная прямаялинейный закон дисперсии. Было взято.

Рис. 3. Дисперсионные соотношения. Сплошные кривыеприближение Бурре (решение системы (35)), штриховые кривыеприближение РелеяШредингера, точечная прямая соответствует невозмущенному дисперсионному соотношению. .

2.2 Трехмерный случай Уравнение колебаний для трехмерного вектора упругого смещения в сплошной среде с флуктуирующей плотностью имеет вид

. (39)

Выполним в (39) преобразование Фурье

. (40)

В (40) после интегрирования по возникает свертка.

(41)

где

. (42)

В обозначениях (14), уравнение (41) примет вид

. (43)

Так же, как и в одномерном случае модификацию закона дисперсии будем получать на основе теории возмущений, считая параметр .

Запишем формальное решение уравнения (43)

. (44)

Подставляя это решение в подинтегральное выражение уравнения (43), получим

. (45)

Учитывая, что

(46)

усредним (45) по случайным реализациям

. (47)

Расцепив коррелятор и выполнив интегрирование по получим

. (48)

Для оценок выберем экспоненциальную корреляционную функцию и связанною с ней преобразованием Фурье спектральную плотность (см. приложение 1)

;, (49)

Подставляя (49) и (14) в (48), получаем

. (50)

Выполнив интегрирование в (50) по угловым переменным, используя сферическую систему координат, получим

. (51)

Так же как и в одномерном случае .

Введем обозначение

. (52)

Этот интеграл вычислим методом вычетов. Контур представлен на рис. 3. .

Рис. 4. Контур интегрирования. Обход против часовой стрелки Особые точкиполюсы первого порядка. В результате имеем

. (53)

акустическая волна флуктуирующая плотность Подставив (53) в уравнение (51), получим

. (54)

Решая это уравнение получим модифицированный закон дисперсии и затухания волны в приближении Бурре.

Перепишем (54) в безразмерных величинах.

. (55)

. Тогда уравнение (55) от комплексной переменной, можно представить в виде системы двух уравнений

(56)

Получили нелинейную систему уравнений, которую можно решать численно. Эта система была решена с помощью вложенного в Maple 10 численного метода решения систем уравнений.

Если в правой части (54) положить (разложение Релея-Шредингера), то имеем

. (57)

Таким образом, для модифицированного закона дисперсии получаем простое выражение, совпадающее с соответствующей формулой в.

. (58)

В безразмерных величинах (57) принимает вид

. (59)

На рис. 5 приведены кривые: сплошныеприближение Буре (решение системы (56)), штриховыеприближение РелеяШредингера, точечная прямаялинейный закон дисперсии. Было взято.

Рис. 5. Дисперсионные соотношения. Сплошные кривыеприближение Бурре (решение системы (56)), штриховые кривыеприближение РелеяШредингера, точечная прямая соответствует невозмущенному дисперсионному соотношению. .

Заключение

Рассмотрим пределы применимости полученных законов дисперсии. Приближение сплошной среды (39) применимо при условии

(60)

где — межатомное расстояние. Приближенное решение интегрального уравнения (43) было получено при условии малости возмущений

. (61)

Приближение Релея-Шредингера накладывает условие связанное с требованием малости затухания. В трехмерном случае, как это следует из выражения (57) имеем

. (62)

Численное решение в приближении Бурре дало меньшее затухание в области. Значит это приближение применимо в более широкой области значений, определяемой только неравенствами (60) и (61).

Необходимо так же отметить, что закон дисперсии в приближении Бурре имеет точку излома при больших значениях волнового вектора k (см. рис. 3,5), чем в приближении Релея-Шредингера. При обработке эксперимента с использованием этой теоретической кривой могут получиться другие значения корреляционного радиуса.

Приложение 1

Корреляционные функции Аморфный магнетик является стохастической системой, параметры которой (намагниченность, константа обмена и т. п.) есть случайные функции координат. Как известно, характеристики случайной функции координат представляют собой неслучайные функциимоменты различного порядка. Основные из них: момент первого порядкаматематическое ожидание и центрированный момент второго порядкакорреляционная функция

(1.1)

где — центрированная случайная функция.

Параметры аморфного материала описываются однородными случайными функциями, для которых корреляционные функции зависят только от модуля разности координат. Здесь мы будем иметь дело только с однородными случайными функциями. В пространстве волновых векторов эквивалентном корреляционной функции является связанная с ней преобразованием Фурье спектральная плотность

(1.2)

где. Спектральная плотность связана с трансформантой Фурье флуктуации следующим соотношением (мы будем обозначать трансформанты Фурье случайных функций теми же буквами, что и сами функции):

. (1.3)

Корреляционная функция (или спектральная плотность) является основной характеристикой стохастичности в системе, ибо она описывает и величину флуктуаций случайной функции (дисперсию или среднеквадратичное отклонение), и характерный пространственный размер флуктуаций (радиус корреляций). Расчет и измерение корреляционной функции каждого флуктуирующего параметра (и функции взаимной корреляции при флуктуации нескольких параметров) есть основная задача при изучении любой стохастической системы.

В данной работе, для оценок была выбрана экспоненциальная корреляционная функция и связанная с ней преобразованием Фурье спектральная плотность. В одномерном случае функции имеют вид

;. (1.4)

Их вид представлен на рис. 6. В трехмерном случае

;. (1.5)

Рис. 6. Корреляционная функция случайной функции и спектральная плотность (1.4). Одномерный случай Рис. 7. Спектральная плотность (1.5). Трехмерный случай

Приложение 2

Метод релаксации для решения систем нелинейных уравнений Дана система уравнений, или подробно

. (2.1)

Начальное приближение .

. (2.2)

Когда, то — начальное приближение.

Когда, то — решение системы.

Перепишем систему (2.2) через индексы

. (2.3)

Полагая что переменные зависят от,, в (2.3) возьмем производную по от левой и правой части, получим

. (2.4)

Обозначим

. (2.5)

Так как функция от независимых переменных, то можно перейти к частным дифференциалам. Из элементов (2.5) можно составить матрицу размерности n на n.

. (2.6)

В (2.4) явно распишем скалярное произведение

. (2.7)

Подставив (2.6) в (2.7), получим

(2.8)

или

. (2.9)

Умножим левую и правую часть в (2.9) на слева

(2.10)

Требование .

Система дифференциальных уравнений (2.10) решается методом РунгеКутта четвертого порядка. Разностная схема для уравнения

(2.11)

имеет вид

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

. (2.16)

1. Займан Дж. Модели беспорядка. М.: «Мир», 1982 г.

2. Игнатченко В. А., Исхаков Р. С. Стохастическая магнитная структура и спиновые волны в аморфном ферромагнетике. Сб. Физика магнитных материалов. Новосибирск: «Наука», 1983. Стр. 3−30.

3. Хандрих К., Кобе С. Аморфные феррои ферримагнетики. М.: «Мир», 1982 г.

4. Игнатченко В. А., Исхаков Р. С. Стохастические свойства неоднородностей аморфных магнетиков. Сб. Магнитные свойства кристаллических и аморфных сред. Новосибирск: «Наука», 1989. Стр. 128−144.