Предметом настоящей работы является применение метода изомоно-дромной деформации для системы Гарнье (см. [17]), при этом используются алгебро-геометрические методы теории представлений групп петельцелью работы является изучение дискретных симметрий, решение проблемы разделения динамических переменных и исследование компактификации для системы Гарнье. Кроме того, общей мотивацией данной работы является круг вопросов, связанных с изомонодромны-ми деформациями фуксовых систем дифференциальных уравнений на сфере Римана.
1.1 Мотивация и актуальность работы.
Метод изомонодромных деформаций появился в современной науке в работах Джимбо—Мивы—Сато ([23], [24]) и Флашки—Ньюэла ([14]), и с тех пор активно используется и развивается. Метод изомонодромных деформаций применяется для исследования нелинейных уравнений, его идея состоит в том, чтобы реализовать нелинейное уравнение как изомонодромное условие некоторой системы, а такая интерпретация дает существенную информацию о нелинейном уравнении. В частности, сохранение монодромии означает, что монодромия системы является первым интегралом нелинейного уравнения. Оказывается, что некоторые нелинейные уравнения математической физики, например, все уравнения Пенлеве и некоторые редукции уравнений Кадомцева—Петвиашвили и Кортевега—де Фриза, являются условиями изомонодромности некоторых систем линейных уравнений. Таким образом, метод изомонодромной деформации позволяет изучать нелинейную систему, ее асимптотику, получать информацию о ее решениях. Однако для реализации такой схемы изучения нелинейной системы нужно сначала по данной монодромии построить саму систему, а потом ее изомонодромно продеформировать, то есть нужно решить обратную задачу — задачу Римана-Гильберта. Эта проблема была включена Д. Гильбертом в 1900 г. в список наиболее важных проблем математики, иногда эту задачу называют 21-й проблемой Гильберта. Она формулируется следующим образом: «Показать, что всегда существует линейное дифференциальное уравнение фуксова типа с заданными особыми точками и с заданной монодромией.» Другими словами, 21-я проблема Гильберта — это обратная задача в теории фуксовых систем дифференциальных уравнений.
Задача изомонодромной деформации и проблема Римана-Гильберта рассматривались в разных аспектах, — кроме фуксовых систем рассматривались системы с регулярными особыми точками, для которых такая задача тоже имеет смысл. Оказалось, что самый сложный вариант проблемы Римана-Гильберта связан именно с фуксовыми системами. В последнее время интерес к задаче изомонодромной деформации стимулируется работами ряда ученых под руководством М. Джимбо, Т. Мива по исследованию задачи изомонодромной деформации фуксовых систем (впервые исследованной Л. Шлезингером в работе [44] в 1912 г), а также контрпримером А. А. Болибруха ([5], [6], [1]) к проблеме Римана—Гильберта.
Система Гарнье была описана в работе [17] в 1917 году. В 1970;е годы эта система стала применятся в физических моделях и активно изучаться методами современной математической физикив специальной литературе ее иногда называют «магнетиком Годена» .
В представлении Лакса система Гарнье задаётся Ь-оператором п д.
Цг)^—. ыг2-* для матриц вычетов В, — € (./V, С) с фиксированными собственными значениями. То есть предполагается, что каждая матрица Д* принадлежит своей 5'/у (ЛГ)-орбите 0{. В общем положении размерность орбиты равна — 1). Гамильтонианы {На} системы представляются как коэффициенты в разложении к = 2, N в окрестностях точек а,., ап. Фазовое пространство системы отождествляется с га-мильтоновым фактором.
О1 х. х Оп//ЗХ (ЛГ, С) и для каждого гамильтониана На существует М-оператор Ма. При этом динамика системы по соответствующему времени £а задается уравнением Лакса где скобка [•, •] обозначает обычное коммутирование матриц в смысле присоединенного действия алгебры Ли. В частности, при N — 2 гамильтонианами являются коэффициенты разложения ЬгЬ2{г) в окрестностях точек а,., ап, и соответствующие М-операторы имеют вид.
Ва.
Ма (г) = г — а, а.
В таком представлении очевидно, что динамика системы Гарнье сохраняет аффинную алгебраическую кривую С, называемую спектральной кривой:
С = {в, еЬ (Ь{г) -Х'Ы) = 0}.
Эта кривая параметризует собственные значения Ь-оператора и для? С естественным образом существует собственная функция фо (г) такая, что Ь (го)фо (го) = Ло^о (^о) — Уравнение Лакса является условием совместности системы уравнений ЦгЩг) = Цг) ф (г), задачи на собственные значения и линейного дифференциального уравнения. Эта система обладает калибровочными симметриями, порожденными действием С? 6 N,?(2)):
Ь —у в • Ь • СГ1, Ма —> дгав 'в^ + в-Ма' в-1, ф —У <3 • ф.
Преимущество представления Лакса для системы заключается в предъявлении некоторого количества независимых гамильтонианов (первых интегралов) системы. В данной работе на примере системы Гарнье иллюстрируется эффективность метода изомонодромной деформации, позволяющего получить информацию о динамических переменных системы (координатах на фазовом пространстве), о ее асимптотиках и вырожденияхпри этом полученные результаты полностью согласуются с результатами классических работ [26], [27], [28], [35], [45], [46] и представляют их новую геометрическую интерпретацию.
Суть метода изомонодромной деформации заключается в следующем. Рассмотрим вместо Ь-оператора дифференциальный оператор называемый связностью, и представим особые точки {ах,., ап} как времена системыто есть будем изучать систему двух линейных дифференциальных уравнений с неавтономной динамикой по {ах,., ап} ис1, М, определенными ранее. Условие совместности [V, МЦ = 0 называется системой Шлезингера (см. [44]) и описывает изомонодромную деформацию дифференциального оператора У (г). С очевидностью, как и в системе Годена, система Шлезингера допускает следующие калибровочные симметрии ь —> йс-сгЧс-.ь-сг1, Мг —* а^а.сгчс.мгсг1, Ф —> с?-^,.
О 6 ЗЬ{Ы, С), но теперь эти симметрии меняют спектр оператора Ь (г) и, следовательно, меняют спектральную кривую С. В работе мы используем этот факт для интерпретации и исследования динамики изо-монодромной деформации и системы Гарнье в терминах спектральной кривой (см. [26]). Более того, асимптотики и компактификация систем Шлезингера и Гарнье также естественным образом интерпретируются в терминах вырождений кривой С.
Целью работы является описание метода изомонодромной деформации в терминах представлений группы петель 5£(./У, С ((г))) и соответствующей алгебры Гекке. Для демонстрации эффективности нашего подхода и метода изомонодромной деформации мы изучаем систему Гарнье—Годена второго порядка и решаем следующие проблемы:
1. Вычисление дискретных симметрий системы;
2. Построение координат рг} на фазовом пространстве системы;
3. Компактификация фазового пространства системы;
4. Описание динамики системы и изучение ложных особых точек системы.
В работе используется геометрический подход Д. Аринкина и С. Лысенко. В работах [2] и [3] они изучили дискретные симметрии и описали геометрию пространства начальных данных для уравнения Пенлеве-У1 — изомонодромной деформации фуксового уравнения второго порядка с четырьмя особенностямито есть в работах [2] и [3] решались лишь задачи 1 и 2 из нашего списка. Первые две части диссертации по сути являются обобщением результатов работ [2], [3] на случай фуксо-вых систем ранга два с произвольным числом особенностей. Ключевой и принципиально новой идеей нашей работы является интерпретации метода изомонодромной деформации для системы Гарнье—Годена исключительно в терминах геометрии пары «некомпактная поверхность и кривая на ней». Процедура разделения переменных в такой интерпретации представляется отображение"! фазового пространства в симметрическое произведение поверхностей с координатами {х{, рг}- в каждую такую поверхность естественным образом вложена спекральная кривая С системы Гарнье—Годена. В этих геометрических терминах описывается и компактификация фазового пространства, и особенное внимание в работе уделяется исследованию вырожденных конфигураций системыпомимо этого, исследуются вырождения кривой в особых точках и изучается компактификация системы Гарнье—Годена. В частности, оказывается, что поведение системы в окрестностях особенностей 0 = аг-, г = 1 ,., п дискретно, и спектральная кривая С меняется дискретно. В работе вычисляется дискретная решетка таких преобразований кривой.
Итак, рассмотрим фуксову систему линейных дифференциальных* уравнений на сфере Римана.
1 г.
У, и включим ее в изомонодромное аналитическое семейство. То есть, мы меняем положение особенностей {а1,., ап} на сфере Римана и при этом меняем коэффициенты Д- = Д (аь., ап) таким образом, чтобы сохранить монодромию системы. Действие монодромии системы на фундаментальную матрицу решений У (г) описывается следующим образом. Выберем петлю 7г-, обходящую вокруг особой точки г = а*, и рассмотрим аналитическое продолжение фундаментальной матрицы У {г) вдоль 7г-. После обхода вдоль 7гфундаментальная матрица У (2:) домножится на матрицу Стг— если соответствующая матрица коэффициентов В (нерезонансная (то есть, если разность ее собственных значений А±А~ не является натуральным числом), то (?г- ~ ехр (2тгл/—1Вг). При этом локальное поведение фундаментальной матрицы имеет вид У (г) ~ Сг (1 + О (г — сц))^ — щ) В{, и условие изомонодромности можно представить как — =—-—. Окончательно условием совместности г — а, системы дУ В{ дсц г — щ является уравнение на коэффициенты Д (аь., ап) или.
Это условие совместности называется уравнением Шлезингера.
В работе используется следующая схема исследования системы Шлезингера для случая N = 2. Объектом исследования является пространство модулей М. п{2) расслоений С ранга 2 на сфере Римана с фиксированной комплексной структурой ф: йеЬС ~ О^г, оснащённое п.
5/(2)-связностью V с особенностями в модуле Ш = ^ аги с фикг=1 сированными собственными значениями вычетов в точках носителя 5 = {а1,., ап} модуля ШТ. Фиксация собственных значений означает фиксацию 5/(2)-орбит О,-, г = 1, ., п коприсоединенного действия. Расслоение (С, ф) не всегда тривиально и пространство модулей Л4п (2) стратифицировано локально-замкнутыми множествами М^(2) соответствующими раслоениям С ~ 0(к) (В О (—к), при этом максимальный страт М&bdquo-(2) отождествляется с симплектическим фактором М := р х О х. х С)//5?(2,С). Таким образом, пространство модуп лей Л4п (2) представлено как пространство начальных данных изомо-нодромной деформации, при этом динамика системы интерпретируется в терминах бирациональных изоморфизмов между пространствами Л4п (2) с различными параметрами.
Здесь возникает задача параметризации (координатизации) пространства Л4п (2) — так называемая проблема разделения динамических переменных. Решение этой проблемы представлялось эвристическими формулами, полученными С. Новиковым—А. Веселовым ([35]) и Б. Скляниным в работах [45], [46], и обоснованными И. Кричевером— Д. Фонгом в [28]. В настоящей работе приводится независимое решение проблемы разделения переменных для случая N = 2, при этом формулы Веселова—Новикова и Склянина объясняются в терминах теории представлений группы петель 5Х (2, С ((^г))) и им даётся геометрическое описание.
В классических и в большинстве современных работ по математической физике изучается симплектический фактор
М:= 01 х. .Оп//БЬ (2,€), хотя расширение пространства начальных данных изомонодромной деформации с М до Л4п (2) дает богатую информацию о ней. Впервые системы изомонодромных деформаций на нетривиальных расслоениях были подробно изучены А. Болибрухом (см. [5], [6], [1]), что позволило обнаружить контрпримеры к соответствию Римана-Гильберта. Кроме того, такой подход позволяет изучить систему более полно и глубоко, проследить связи с многими смежными принципиальными задачами математической физики, теории дифференциальных уравнений и теории интегрируемых систем, теории представлений и симплекти-ческой геометрии, теории автоморфных форм и теории чисел. Перечислим трудности и преимущества, возникающие при рассмотрении Л4&bdquo-(2) вместо симплектического фактора.
Во-первых, при отказе от условия тривиальности расслоения С, возникает необходимость вводить понятие стабильности пары (С, V) и рассматривать (полу)стабильные расслоения со связностями. В то же время для симплектического фактора М весьма важен вопрос о ком-пактификации, поскольку при динамике система выходит за пределы М, ив этом смысле Л4п (2) более естественно (и более полно) описывает динамику. В этом можно убедиться, рассматривая дискретную часть системы, и в данной работе этот факт наглядно демонстрируется на примере шестого уравнения Пенлеве. Соответствующее пространство начальных данных Л44(2) отождествляется с алгебраической поверхностью К'4, изоморфной некомпактной поверхности ТЪ^Р1,0(2)), раздутой в восьми точках и с четырьмя разрезами. При этом вся К'4 за исключением одного из восьми исключительных дивизоров отождествляется со стратом ^(2) ~ М, а оставшийся страт 3^(2), соответствующий С ~ 0(1) ф 0(—1), отождествляется с восьмым исключительным дивизором. Дискретная структура Пенлеве-У1 изоморфна прямоугольной решетке С4 и действует преобразованиями Кремоны (см. [31], [43]) — парами «стягивание исключительного дивизора и раздутие» — на компактификации К'4, естественным образом задействуя все восемь исключительных дивизоров, в том числе невходящий в М.
Во-вторых, рассмотрение и изучение геометрии стратов М>°(2) позволяет намного более тонко исследовать систему изомонодром-ной деформации, в частности, с точки зрения соответствия Римана-Гильберта. Согласно результатам А. Болибруха (см. [5], [1], [6]) соответствие нарушается именно на стратах М^(АГ) при к > О, N > 3 и п > 4. В настоящей работе не заостряется внимание на исследовании нарушений соответствия Римана-Гильберта и основной целью ставится изучение геометрии дискретной структуры изомонодромной деформации и геометрии разделенных переменных.
Помимо этого, на стратах МА (2) при некоторых к ф О пара (?, V) с заданными параметрами может быть неединственной и в работе вычисляется соответствующее аффинное пространство связностей. Таким образом в работе тщательно исследуется координатизация пространства Л4п (2) и объясняются трудности, возникающие при N > 2.
В-третьих, в большинстве работ по данной тематике изучается система в общем положении, без рассмотрения поведения динамики при вырождении параметров и начальных данных системы. В частности часто рассматривается параметризация пространства начальных данных Л4п (2) вне дивизоров {агг- = и вне диагоналей {гсг- = хВ данной работе изучается поведение системы в особых точках {ах,., ап} и демонстрируются методы разрешения диагоналей в случае совпадения двух координат.
И, наконец, в работе рассматривается компактификация пространства начальных данных и изучается поведение системы на компактифицирующем дивизоре. Оказывается, что подход, развитый в работе, дает новую интерпретацию изомонодромной деформации в терминах геометрии компактификации пространства начальных данных. А именно, динамика изомонодромной деформации отождествляется с динамикой некоторой деформации компактифицирующего дивизора. Впервые такал интерпретация, но в других, аналитических терминах теории Кодаиры-Спенсера, была дана в работе [48] М.-Х.Саито— Т. Такебе—Х.Тераджимы и в диссертации X. Тераджимы [49] для уравнений Пенлеве. В данной работе этот результат интерпретируется в инвариантных геометрических терминах соответствий Гекке и обобщается на случай изомонодромной деформации фуксовых систем ранга два с произвольным числом особенностей.
В настоящей работе основное внимание уделяется системам ранга N = 2. Логическую структуру работы можно представить следующим образом. Сначала вычисляется дискретная группа бирациональ-ных изоморфизмов между пространствами Л4п (2) и изучается геометрическая интерпретация этой дискретной группы в терминах соответствий Гекке. Затем дискретная структура системы Шлезингера некоторым образом деформируется и дает параметризацию компактифицированного пространства Л4п (2), а также решение проблемы разделения переменных в тех же геметрических терминах.
Основным инструментом изучения изомонодромной деформации в настоящей работе является техника соответствий Гекке в группе петель 5Х (2, С) <8> С ((г)) или, другими словами, техника модификаций расслоений со связностями. Суть конструкции соответствий Гекке между расслоениями состоит в следующем. Если предположить, что для расслоения С, а V ® О имеется глобальное разложение V = и ф II, то модификациями расслоения в точке х &euro-Е Р1 в подпространстве и С £|х, — верхней и нижней, соответственно, — называются расслоения а?, И)1™© = и ® О 0 и <8> О (-х) и ж, и) ир© = и ® о (х).
Другими словами, мы модифицируем расслоение, локально меняя базис сечений (51(2),., в окрестности точки х в следующем смысле.
Если в этом локальном базисе и®-0~ {^(г),., $*(*)} и и®(Э~ {зш (г),., sN (z)}t то базис нижней модификации расслоения порождается сечениями $!(*),(г — яг) ., {г — х) 5ЛГЙ}, а базис верхней модификации — г — х)-1 (г),., (г — х)~1 вк (г), ??+1(2),.,.
Иначе говоря, в проколотой окрестности действие таких модификаций можно представлять следующими матрицами переклейки: Г)-= (^ ° V (Х, иг=({*-х)-11к 0 V.
V 0 (г-х)-1№-к) 0 1″ -* / где через 1 т обозначена единичная (т х т)-матрица.
4 Заключение.
1. В работе сформулирована задача изомонодромной деформации для фуксовых систем ранга два в терминах теории представлений группы петель 5?(2, С ((-г))). С точки зрения алгебраической геометрии изомо-нодромная деформация представляет бирациональные преобразования типа Кремоны пространства начальных данных. В работе показано, что эта структура имеет место как для разностной задачи, так и для непрерывного предела.
2. В работе развита техника соответствий Гекке для изучения дискретно-групповой структуры разностной и непрерывной систем в соответствии с работами [2], [3]. а.
3. В работе вычислены дискретные симметрии разностной и непрерывной систем, а также непрерывной структуры изомонодромной деформации фуксовой системы второго порядка с произвольным числом особенностей. В работе также представлены приложения этих результатов для вычисления соотношений между специальными трансцендентными функциями — решениями соответствующих матричных уравнений.
4. В работе демонстрируется эффективность развитого геометрического подхода и метода изомонодромной деформации на примере матричной системы Гарнье—Годена. В работе представлено независимое решение проблемы разделения переменных для системы Гарнье—Годена и, таким образом, дается геометрическая интерпретация результатов ([35], [45], [28]) по описанию координат Дарбу на фазовом пространстве системы.
5. При помощи метода изомонодромной деформации в работе решается проблема компактификации фазового пространства и описываются соответствующие сингулярно-возмущенные задачи в предельных точках.
6. Конструкции, полученные и изученные в работе являются универсальными для разностных и непрерывных систем изомонодромных деформаций. Более того, они могут быть перенесены на случай систем произвольного ранга и на случай многомерных систем.
