Интегральные операторы свертки в лебеговых пространствах

Операторы свертки с момента их появления ' были и остаются актуальным предметом исследования. Это объясняется как внутренними потребностями различных областей математики, где они возникают (гармонический анализ, теория линейных операторов, теория вероятностей, дифференциальные и интегральные уравнения)}так и прикладным значением, поскольку с помощью операторов свертки описываются многие пространственно-инвариантные процессы. С другой стороны, общепризнано, что наиболее распространенными и с точки зрения приложений, и по своему центральному месту в анализе, являются лебеговы пространства и с рассмотрения в этих пространствах различных операторов свертки началось их изучение в работах У. Юнга, Д. Гильберта, А. Н. Колмогорова, А. Безиковича, Е. Титчмарша, М. Рисса, Г. Харди и Д. Литтлвуда, С. Л. Соболева и других авторов.

Оператор свертки задается ядром и проблемой здесь является поиск минимальных условий, обеспечивающих непрерывность оператора. Последнее обусловлено различными свойствами ядра: осцилляцией, гладкостью, поведением на бесконечности и т. д. За исключением ряда простых случаев эти свойства ядра оказываются слишком деликатными, чтобы их можно было извлечь со всей определенностью только из предположения о непрерывности оператора. Поэтому развитие вынуждено идти с другого, по-видимому, неисчерпаемого конца — с накопления фактов. Различные методы и примеры операторов свертки, ограниченно действу гощих в лебеговых пространствах, рассматривались в работах Ж. Марцинкевича, А. Кальдерона и А. Зигмунда, И. Хиршмана, С.Г. к) См., например, исторический обзор Н. Бурбаки [51 ^.

Михлина, Л. Хермандера, П. И. Лизоркина, И. Стейна, Ч. Феффермана, С. Г. Самко, Г. Сэмпсона и многих других авторов. В настоящее время количество публикаций по этой теме резко возросло.

Работа посвящена изучению интегральных операторов свертки. Здесь обычный объект гармонического анализа, — операторы свертки, обогащается новой структурой — интегральностью на всем лебеговом классе. Выделение этого случая является новым и приводит к содержательным результатам.

Пусть 1 ^ р ^ оо илебегово пространство измеримых функций, суммируемых с рой степенью модуля прир<�оо и существенно ограниченных при р — оо "? Ир — норма ££1Г. Пусть, Ьб!?^ - оператор сдвига такой, что.

Линейный оператор ~Т называется перестановочным со сдвигами, если —г- —г- ^.

41 ' Ь Для любого ПЕК.

Рассмотрим пространство линейных перестановочных со сдвигами операторов, ограниченно действующих из 1 Г в 13. Пусть ^ - пространство Шварца бесконечно дифференцируемых быстроубывающих функций, — двойственное к нему пространство медленно растущих распределений.

По теореме Л. Хермандера ^ ?>] линейный оператор~Т «ограниченный из в 1, принадлежит тогда и только тогда, когда существует единственный элемент 5еУ такой, что на функциях из У имеет место представление где свертка понимается в смысле распределений. Пусть С-ПУ (р/|) зе1) обозначает совокупность распределений ', которым по теореме В литературе по гармоническому анализу общепринято обозна-(см. следующую страницу).

Л.Хермандера изоморфно сопоставляются операторы из Естественно, на наш взгляд, назвать Сг) У (р, ср пространством ядер операторов свертки из ТВср^). Далее, допустим, что распределение Тв Сн/(р>с|) имеет плотность 1<�€, ее мы также будем называть ядром, такую, что в смысле интеграла Лебега выполнено соотношение.

Отсюда следует, что для оператораТ^ ^(р)0)), соответствующего ядру ^ с плотностью к, имеет место представление с п п.

Iе ^.

0ператор~Тб1 В (р>(}) мы называем интегральным оператором свертки, если последнее представление имеет место для каждой функции Совокупность всех таких операторов обозначим с^(р^).

Целью работы является систематическое изучение свойств операторов свертки из пространства с7^(р, С|) и совокупности ядер, порождающих такие операторы, всю совокупность мы обозчение М (р, ср пространства мультипликаторов интегралов Фурье [Ц. Пространства.

М (р, Я) иОМр связаны соотношением М (р>(0=[Ст/(р>ср]л, где [Ст/(р>с|Р обозначает совокупность преобразований Фурье в смысле распределений всех элементов.

Нетрудно видеть, что минимальным требованием для этого является абсолютная сходимость интеграла для каждой функции при П.В. но при этом исключительное множество нулевой меры (= те значения X, где нарушается условие сходимости интеграла), вообще говоря, может зависеть от ^ начаем. Это обозначение взято у П. Халмоша и В.Сандера. Кроме этого рассматриваются интегральные опера-. торы свертки, действующие из лебеговых пространств в лорен-цевы, связь между периодическими и финитными мультипликаторами интегралов Фурье, а также ряд прикладных вопросов.

Перейдем к изложению содержания диссертации.

Диссертация состоит из настоящего введения и четырех глав, разбитых на 14 параграфов. Нумерация теорем, лемм, формул и т. д., внутренняя для каждой главы.

Первая глава «Характеристические свойства интегральных операторов свертки» состоит из пяти параграфов.

Первые два параграфа посвящены изучению свойств пространства ядер Хр «порождающих интегральные операторы свертки из и в и, где — это совокупность всех измеримых п.в. конечных функций.

Пространство Хр для мы определяем следующим образом: если Ы0 и для каждой функции выполнено неравенство ««Х-ЧЖЧОШЧ <оо шгя п.в. ке*^.

00 для п.в. где исключительное множество нулевой меры может зависеть от ^ § 1.1 и 1.2 доказывается утверждение, описывающее зе).

Последнее обстоятельство препятствует применению в данной ситуации рассуящений, связанных с обращением неравенства Гельдера: если 1<? и для любой функции |-?

1 I то |<6 [Г. Указанная черта является специфической тонкостью теории интегральных операторов (см., напр., [65], § II). пространство^р и которые мы далее называем критерием интегральности.

Теоремы 1.1.1, 1.2.4. Пусть ,.

Следующие условия эквивалентны.

I. ке Жр .

2- Л|оС и ^ где куб с ребром положительной длины и центром в начале координат. 1.

3- Ь ^ и ± Р.

Л ' пеЛ И где 1 V — аддитивная группа точек• К с целочисленными координатами, — Г~ о ^ ?

1 * ^ МЛ.

Из сформулированного утверждения следует, что Л/р является банаховым пространством с нормой (0.1), причем совокупность этих пространств обладает свойством.

Х^сХрС^С/^ >со>р<>р4>1. (0.2).

На простых примерах показывается, что здесь все вложения собственные.

В связи с полученным выше утверждением отметим следующее. Хорошо известна задача о том, каковы необходимые и достаточные условия для того, чтобы линейный интегральный оператор (не обязательно свертка) действовал из одного цространства измеримых функций в другое аналогичное пространство ([4б]с.156) Теоремы 1.1.1, 1.2.4 дают ответ на эту задачу для сверточных операторов, действующих из, и этот критерий и 00 (0.1) оказывается по своим следствиям достаточно эффективным. Несколько новых результатов по указанной задаче для произвольных линейных интегральных операторов, полученных совместно В. Б. Коротковым и автором, приведено в § 1.1.

В гармоническом анализе имеется результат, с которым интересно, на наш взгляд, сравнить описание классов Л/р.

Теорема Эдвардса-Хьюитта-Риттера [б" 1], [62.] Пусть > • Тогда следующие условия эквивалентны.

1. Для всякой функции [5, у которой носитель компактен, выполнено условие.

ОООй О.

2. II () <00 т. е.? ЗС^. П—оо И/2.

Ввиду исследуемых далее алгебраических свойств пространств (см.§- 1.4.3) в § 1.2 рассмотрен вопрос о оборачиваемости двух элементов из классов. Опираясь на полученный критерий интегральности, этот вопрос решен полностью: если к^С чК/р^ и «то.

При Рг<�р!| ядра к^ и могут быть не сворачиваемыми.

Отметим также, что элементы пространств при любом представляют собой медленно растущие функции, т. е. для каждого ядра 1.

Эта теорема, полученная в 1977, является аналогом для интегралов Фурье следующего утверждения Орлича, Пэли и Сидона (1932): пусть ТлУп>0 при П =, тогда следующие условия эквивалентны, I) < 00 2) Ню}<00. п И п что а" < со.

Этот простой факт позволяет нам в § 1.5 получить эффективный критерий аппроксимации единичного оператора по норме растяжениями интегрального оператора свертки.

§ 1.3 посвящен вопросу, источником для которого служит теория интегральных операторов [12], [65]. Здесь мы находим критерий для того, чтобы произвольный линейный оператор, действующий из !? в) являлся интегральным оператором свертки. Этот результат дополняет существующие критерии ПреДагЛ ставимости линейных операторов в интегральном виде ' и формулируется следующим образом.

Теорма 1.3.1. Пусть 1 00, Т'. С линейный оператор. Тогда следующие условия эквивалентны.

1. ~Т~ - интегральный оператор свертки с ядром к 6 Хр.

2. а) Т инвариантен относительно сдвига, б) Существует предел.

Ьщ = к В, т. е. для любого ограниченного куба.

Ре Г выполнено условие.

Укажем, например, следующий результат А. В. Бухвалова ВД: линейный оператор допускает интегральное представление тогда и только тогда, когда он каждую порядково ограниченную последовательность функций, сходящуюся к нулю по мере, переводит в последовательность функций, сходящуюся к нулю почти всюду.

Теорема 1.3.1 утверждает, что для операторов свертки указанный критерий можно существенно облегчить, т. е. для необходимого заключения достаточно рассмотреть действие оператора лишь на одной последовательности функций.

Ьт = 0.

VI —> оо г п Здесь {" Ц^ последовательность функций таких, что х) = п%(пх), П= где «Н» в,. \У 1=1. в) Для некоторого куба Ц с с ребром положительной конечной длины выполнено условие ^.

Наиболее интересные в аналитическом отношении результаты содержатся в § 1.4. Здесь мы сначала на основе критерия интег-ральности, указанного выше, устанавливаем естественную, на наш взгляд, классификацию ядер сверточных преобразований, действующих из Ц* в, которая сводится к разложению где слагаемые в правой части попарно не пересекаются. Это соотношение делит множество Сп/(р3р)на соответственно сингулярные ядра, не имеющие локально суммируемой плотности, плотно определенные ядра (т.е. оператор свертки с таким ядром определен как интегральный лишь на плотном в множестве) и ядра из.

ЧР класса <�д/р>, задающие ограниченные операторы свертки, т. е. имеет место формула.

Ы (р, р) = Спу (р, р^П ЭСр.

На ряде известных примеров показано, что критерий интегрально-сти позволяет легко распознавать элементы двух последних классов, т. е. квалифицированно ответить на вопрос, следует ли некоторый оператор свертки понимать как линейное расширение, или.

Lf он корректно определен на всем классе L: как интегральный оператор.

В целом § 1.4 посвящен изучению свойств ядер из пространств InAcpjр) и операторов, порождаемых такими ядрами. Напомним, что класс всех операторов свертки с ядрами из ini^p) мы обозначили Л (р, р). Ввиду значительного объема § 1.4 разбит на три пункта. В первом из них рассмотрены наиболее общие свойства Ыф>р), наследуемые из свойств CflV (p., p). Главными из них являются двойственность и свойство шкалы. Как эти свойства трансформируются для классов Itt-'t (p)p) показывает следующее утверждение.

Теорема 1.4.7. Пусть 2 ^ р e оо. Тогда ttA (p>p}Q Int (Cj, Cj) ПрИ любом Cjetp^p^-^ + ^H.

Если 1 <1 р? 2. «то для каждого значения р существует ядро kp Cv>, такое, что кр (х) еМ (р>р), но кр ф I^cj^), если.

Данное утверждение показывает, что двойственность и свойство шкалы наследуются классами Iltt (p^p) в неполном виде. Последнее обстоятельство позволило дать содержательный ответ на одну из задач (применительно к сверточным преобразованиям) сформулированных в книге П. Р. Халмоша и В. С. Сандера [bS], относительно свойства интегральности оператора, сопряженного к интегральному оператору свертки. Отметим, что на протяжении всего пункта свойства ядер из 1пА (р>р) иллюстрируются на примерах, часть из которых известна, другие указываются впервые. Например, новым является пример ядра, заданного на действительной оси, принадлежащего к ЬгЦ^р)только при р=£. В плоском случае аналогичный пример хорошо известен (Ч.ФефферманДб?"]).

Хорошо известно, что применяя преобразование Фурье к обеим частям равенства к* мы получим. Отсюда применением обратного преобразования Фурье следует, что при задании оператора свертки отправной точкой может служить преобразование Фурье кА (х), которое обычно называют символом ядра. Эти обстоятельства накладывают существенный отпечаток на всю теорию в целом в том смысле, что если для операторов свертки получено некоторое утверждение в терминах ядра, то моментально возникает вопрос о том, как это свойство выражается в терминах символа ядра и наоборот. Например, в данном случае мы обсуждаем свойство интегральности оператора свертки, что эквивалентно принадлежности ксЪт-кр^)" возникает вопрос: что можно сказать о символе ядра? Во втором пункте § 1.4 доказывается следующие результат, который при р=? получен В. Б. Коротковым.

Теорема 1.4.11. Пусть 1 и к бТв.-Ц^р) при некотором фиксированном р. Пусть >0 и .

Тогда для любого >0 имеет место соотношение.

Далее значительную часть § 1.4 занимает обсуждение этого необходимого условия, а именно не является ли оно или его модификация достаточной для принадлежности элементов к ХйЛср, р). Ограничиваясь случаем, мы показываем, что ситуация здесь во многом аналогична той, которая имеется в теории тригонометрических рядов в связи с теоремой Римана-Лебега, а именно доказывается, что I) обращение теоремы 1.4.11 неверно, 2) не существует универсальной функции такой, что юД4) —> 0 при |П|->оо и для любого ядра кеМ&я). з) не существует универсальной константы о>0 такой, что для любого ядра его «порции» сумнируются в среднем, т. е.

XL <

Последнее утверждение вытекает из следующей теоремы.

Теорема 1.4.13. Пусть 0<�СК<�Х) и функция задана своим преобразованием Фурье по формуле cv AM), гдеj обозначает характеристическую функцию интервала.

W.jO^R1 • Тогда k^IftA^) Для любых значений 0<�а<�оо .

В этой теореме случай 0.

Последняя третья часть § 1.4 имеет итоговый характер для всей работы в целом. Здесь мы получаем решение аналога известной проблемы Халмоша и Сандера (i.65], задачи 7.1 и П.8)к) о том, является ли совокупность интегральных операторов подалгеброй алгебры.

5р), т. е. замкнуто ли множество с^(р> р) относительно произведения? При и р-оо выполнено соотношение поэтому ответ в указанной проблеме утвердительный, а при1<�р<�оо ответ оказывается отрицательным. Для доказательства последнего случая достаточно построить пример оператора свертки с ядром.

В цитируемой проблеме Халмоша и Сандера спрашивается, является ли алгеброй совокупность всех линейных интегральных операторов, ограниченно действующих из L (X-Jv) в L (X^Ja.). Отрицательное решение этой задачи получено независимо В. Б. Коротковым [42] и В. Шахермайером [102]. р) таким, что ииХр. Ядро с указанными свойствами, как показано в § 1.4, можно выбрать из семейства функций (х) «заданных на действительной оси по формуле со.

21 Г г Г) П-1 л 1.

1±?- '±-г 2п * £п2 х-и), где ,.

В заключение § 1.4 показывается, что в классе существуют нетривиальные подалгебры. Первый пример хорошо известен — это карлемановские операторы с ядрами из пересечения.

Ы (2Л) О I}..

Другой пример, уже не совпадающий с или случаем карлема-новских операторов, но и не содержащий эти примеры, возникает из доказательства свойств указанного выше семейства ядер Этим примером служит совокупность ядер, имеющих вид где целое число М зависит от к, функции ^(«Ь) таковы, что иаЧ, а последовательности чисел V таковы, что.

1 I о!^ 1 < (X). те, А и.

Ц * L*.

Л m me, А при.

Еще одно применение критерия интегральности приведено в § 1.5. Темой здесь является аппроксимация по норме LT единичного оператора растяжениями интегрального оператора свертки. Пусть l p) и.

Теорема 1.5.1. Пусть, кё 1п-1:(р>р). Тогда следующие утверждения эквивалентны: i) feo^ ^Х* ^ «^ *** любой Функции е ^.

П) для любых чисел ?>0 и ^>0 выполнено условие.

Перейдем к изложению результатов главы 2 «Интегральные операторы свертки слабого типа» ..

В этой главе мы рассмотрим, в основном, операторы свертки, действующие из лебеговых пространств в лоренцевы^и получаем ряд критериев в терминах ядер для действия указанных операторов в этих пространствах..

Первый параграф посвящен интегральным операторам свертки, действующим из L в пространство Лоренца Lcp^). Основным результатом здесь является следующее утверждение..

Теорема 2.1.1. Пусть 1<Ср<:00, К^ОО > р^{зафиксированы.} Тогда для того, чтобы интегральный оператор свертки >1 с ядром К G tH/. действовал из.

И в L (p>.

В данном утверждении особый интерес вызывает случай С|= оо, тогда соответствующий оператор свертки называют слабого типа (Л, р) .С этим важным частным случаем тесно связан вещественный метод интерполяции линейных операторов. Таким образом5теорема 2.1.1 дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы интегральный оператор свертки являлся слабого типа (4у р). Полученный результат позволяет во второй части параграфа 2.1 произвести сравнение теорем Харди-Литтлвуда-Соболева и Хермандера и выяснить, что для произвольных ядер вторая теорема слабее первой, при этом-строится разделяющий пример, а в случае радиальных и монотонных ядер указанные теоремы эквивалентны. Другим следствием теоремы 2.1.1 является обобщение теоремы Харди-Литтлвуда—Соболева, рассматриваемое ниже, в § 4.3..

Основным результатом § 2.2 является следующее утверждение ..

Теорема 2.2.1. Пусть € ЗС^ и оператор свертки с ядром к является слабого типа (1.1), т. е. для любой функции выполнено условие теф- 1Тк|м|>]| < Л>0, (0>3) где С не зависит от | и X Тогда имеют место следующие утверждения: г) Для любого >0 и константы С из (0.3)выполнено неравенство.

— лг.

С.

0) к^ €, где кА — преобразование Фурье к в смысле распределений..

Сформулированный результат позволил впервые указать примеры операторов свертки с полным интервалом действия, но не являющиеся слабого типа (1,1). Эти примеры важны, поскольку указывают границу метода вещественной интерполяции..

В связи с теоремой 2.2.1 возникает естественный вопрос о ее обращении. В полном объеме этот вопрос открыт, однако хорошо известно следующее утверждение Л. Хермандера [4%.]. I.

Теорема. Пусть ядро к (х) обладает следующим свойством где константа В не зависит от Ц. Тогда если преоб] I д I оо <] I вание Фурье к 6 /, то оператор свертки с ядром к слабого типа (1¹)..

§ 2.3 содержит результат, аналогичный результату § 1.3..

Теорема 2.3.1. Пусть 1 < р<�оо, /1<�С|$оо, р и С| зафиксированы. Тогда следующие условия эквивалентны..

I) | 1 —/(- линейный оператор, перестановочный со сдвигами..

II) Т — интегральный оператор свертки с ядром из ?-(р/р •.

Кроме этого в § 2.3 рассматривается разложение пространства ядер вида.

См (р>ср = Сп^ср^сриСт^Ср^сри Ти-^р^). и показывается, что при р<�С| здесь ни один из классов, стоящих в правой части, не является пустым..

Глава 3 «Дискретные преобразования свертки и мультипликаторы интегралов Фурье» посвящена вопросам взаимосвязи дискретных и непрерывных преобразований свертки. Оператор ~Т~, действующий на пространствах последовательностей по формуле л.

I Щ аст-пжго, пеЛ мы называем дискретным преобразованием свертки с ядром СКИУ Совокупность символов ядер из Сп/(р^>с|) называется мультипликаторами интегралов Фурье, и обозначается следующим образом.

Рассмотрим периодический мультипликатор.

0.4) а кТА и связанный с ним оператор свертки (не интегральный).

111(*>= Е ао<4(.х-кУ (0.5) а кеЛ.

Следующее утверждение принадлежит де Леу [75]. Теорема 3.1.1. Пусть 4? р? оо и задана последовательность чисел СЦк}, К? А.. Рассмотрим дискретный оператор свертки Т с ядром СЦк), периодический мультипликатор Ма (*Ь), заданный по формуле (0.4) и оператор свертки, заданный по формуле (0.5). Тогда следующие условия эквивалентны: —. Л «ч I и) т) и^бТВ (р, р), причем.

Мы приводим новое доказательство этого классического результата, что играет существенную роль в получении следующих утверждений этой главы. Так, например, в какой-то степени неожиданным оказывается следующий результат..

Теорема 3.1.3. Пусть р и такие, что ^ Р> Я е 00 з рф Ч '.

Тогда, если и | I является периодическим распределением, то М = О.

В § 3.2 рассматриваются финитные мультипликаторы, которые совпадают с сужением периодического мульт^ликатора на основной куб. По теореме М. Джодейта [69] при 1^р<00 следующие условия эквивалентны:.

С" М^еМ^, (и) И & М (рэр)..

Здесь М^ финитный мультипликатор, М — его периодическое продолжение. Таким образом, сопоставляя теоремы де Леу и Джо-дейта, мы видим, что между дискретными операторами свертки, периодическими и финитными мультипликаторами существует тесная связь. При р = С] эта связь указана в сформулированных утверждениях. При р" ^^ взаимообусловленность всех трех преобразований нарушается, ввиду теоремы 3.1.3,однако для финитных мультипликаторов и дискретных операторов свертки она сохраняется, как показывает следующее утверждение..

Теорема 3.2.3. Пусть 4 ^ р<�С| <:оо. Тогда имеет место следующие взаимообратные утверждения..

I. Если Т' дискретный оператор свертки с ядром ОС к"), то существует единственный мультипликатор такой, что ^(к^а (к) при кеА и.

1Нм'(м>* Vй 1 з где Вр^ зависит только от р и размерности V ~ обобщенные коэффициенты Фурье распределения ^.

2. Если^е то где Т^ - дискретный оператор свертки с ядром причем.

1 Н^* А^ч", ь где А^ зависит только от А/ ..

Глава 4 «Операторы свертки, не являющиеся операторами слабого типа на конце. интервала действия» посвящена проблеме ограниченности операторов свертки в лебеговых пространствах. Последнее свойство в лебеговых пространствах не зависит от интегральности оператора, однако и в этой главе в наших ре-льтатах речь будет идти, в основном, об операторах из класса р^ср. Другими словами мы хотим сказать, что сужая свои рассмотрения на класс интегральных операторов свертки и, таким образом, оставляя в стороне сингулярные преобразования, мы не отбрасываем все интересные случаи. Наоборот, результаты работы и главы 4, в частности, показывают, что и внутри класса с7^(р>С|) имеется достаточно богатая теория..

В данной главе рассматривается проблема концевых точек Эта проблема формулируется следующим образом. Из двойственности и свойства шкалы вытекает, что если Л ^ р < 2., то поэтому всякому ограниченному оператору свертки можно сопоставить интервал (ро^рА) на полуоси <Х)] замкнутый или открытый, вне которого ~Т неограничен. В случае замкнутого интервала проблемы нет, она возникает, когда интервал открыт., и сводится к изучению свойств оператора свертки на конце интервала действия. В конечном счете проблема концевых точек состоит в отыскании новых типов ограниченности на конце интервала действия, обеспечивающих сильный тип внутри интервала, либо доказательстве необходимости для всех операторов свертки уже имеющихся типов ограниченности на конце, если они имеют внутри интервала сильный тип. В связи с этой поста новкой напомним известные факты..

1. Если Т^Всрзр), , ноТ£8(1,1), то при р = 1 оператор а) может иметь слабый тип (1,1), б) иметь тип ограниченности.

-> И, где Н пространство Харди..

2. ЕслиТеЙфэр), 1<�р0^Р<, ноТф&Ср⁰), то т может иметь слабый тип (р0^ ро) ..

Результаты первого пункта а) восходят к А. Н. Колмогорову [74] 5 А. Безиковичу [52], Титчмаршу [92] (неравенство слабого типа для преобразования Гильберта), а также Ж. Марцинкевичу вещественный метод интерполяции), А. Кальдерону и А. Зигмунду [51], Л. Хермандеру (неравенства слабого типа для сингулярных преобразований). Результаты первого пункта б) берут начало в работе Ч. Феффермана и И. Стейна Отметим, что на основании результатов главы 2 следует, что в первом пункте а) и б) независимы..

Например, если п то, используя технику главы 3, нетрудно показать, что Т'- I? ~> Ц^оо), но Т: Н^ЬГ..

С другой стороны, рассмотрим ядро к., заданное на действительной оси формулой.

Тогда оператор свертки с эти ядром обладает свойством.

1. П1.

I),: И —> И, однако нетрудно показать, что, А к ¦ ц-^Ь^оО),.

Результаты второго пункта для дискретных преобразований получены М. Зафраном [^Оч], на их основе для непрерывного случая Г. Сэмпсоном ..

Указанные факты показывают, что оператор свертки может млеть слабый тип на конце, не имея сильного. Следующий шаг в проблеме концевых точек начинается с вопроса: является ли слабый тип на конце необходимым для оператора свертки, который ограниченно действует при р внутри интервала? Ответ оказывается отрицательным. Существуют операторы с более сильным вырождением на конце, чем слабого типа..

Случай полного интервала рассмотрен в § 4.1. Здесь построен пример интегрального оператора свертки с полным интервалом действия, но который одновременно теряет слабый тип (1,1) и ограниченность ЬР). Ядро этого оператора задается на действительной оси3^ по формуле п*о 1″ ш ' 2 т ].

Случай узкого интервала рассмотрен в § 4.2. Здесь построен пример интегрального оператора свертки, теряющего слабый тип на обоих концах интервала действия. Искомый оператор строится на с помощью тензорного произведения ядер. Пусть.

О < о1 г 4 и о Не Лт л оиу1, х О2 I 21п1 *.

Рассмотрим ядро Ч) на К вида.

Тогда, но этот оператор теряет слабый тип на концевых точках..

Отметим, что рассмотренные примеры имеют оригинальную технику доказательств их основных свойств, которая играет существенную роль при решении аналога проблемы Халмоша и Сандера в § 1.4.3..

Вопрос о том, какой тип ограниченности на конце интервала действия имеют рассмотренные выше операторы, остается открытым, описать их график с помощью интерполяционных методов не удается..

Можно показать, что на плоскости К2″ оператор свертки с ядром к (Х,|)=1/Х^ имеет полный интервал действия, но теряет слабый тип (1.1) и ограниченность (Н" 1) ..

-25 В § 4.3 доказывается несколько обобщений теоремы Харди—Литтлвуда-Соболева, в том числе на анизотропный случай лебеговых пространств. Укажем наиболее существенный результат. Хорошо известно неравенство Юнга,.

Его обобщением является неравенство видаИ<: р<�С|< ос^ в указанном виде полученное О’Нейлом, где |к || полунорма в пространстве Лоренца. В § 4.3 мы доказываем, что в последнем неравенстве условие на ядро можно существенно ослабить. Выполнено неравенство, 00 > где.

X X l-t1j)a>v).

Q Y>0 здесь JAсчетная мера. В § 4.3 показано, что f a ||k II* а «аэд и на простых примерах показывается, что может оказаться 00, но к С-00 • а.

В последнем параграфе 4.4 получено несколько результатов, относящихся к дифференциальным операторам с постоянными коэффициентами. Темами здесь являются резольвента и дробные степени резольвент гипоэллиптических операторов..

Результаты диссертации по мере их получения неоднократно докладывались на семинарах МИ АН СССР под руководством академика С. М. Никольского и члена-корреспондента АН СССР Л. Д. Кудрявцева, ИМ СО АН СССР под руководством академика С. Л. Соболева. Кроме этого основные результаты докладывались на семинарах член-корреспондента АН СССР П. Л. Ульянова в МГУ, профессоров Н. К. Никольского и В. П. Хавина в ЛО МИ и других семинарах МИ АН, МГУ, ИМ СО АН..

Доклады и научные сообщения, основанные на результатах диссертации^сделаны на Международном Конгрессе Математиков в Варшаве (1983), Дальневосточной математической школе (1982;1984), Воронежской зимней математической школе (1982), Всесоюзной конференции по дифференциальным уравнениям (Новосибирск, 1978), Всесоюзной Школе по теории операторов (Новосибирск, 1979), Советско-венгерском симпозиуме (Новосибирск, 1981)..

В заключение автор выражает глубокую благодарность академику С. М. Никольскому, члену-корреспонденту АН СССР Л. Д. Кудрявцеву, профессорам П. И. Лизоркину, 0.В.Бесову, В.Б.Ко-роткову, Н. В. Кузнецову за обсуждение результатов, ценные замечания и поддержку..

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [31−42], [88, 89] ..

1. Бари H.K. Тригонометрические ряды. М.: ГИФМЛ, 1961..

2. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства.

Введение

М.: Мир, 1980..

3. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев, «Наукова думка», 1965..

4. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975..

5. Бурбаки Н. Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара. Свертка и представление. М.: Наука, 1970..

6. Бухвалов A.B. Об интегральном представлении линейных операторов. Записки научных семинаров ЛОМИ, 1974, т.47,5−14..

7. Виноградов С. А. Мультипликаторы степенных рядов с последовательностью коэффициентов из Е^. Записки научных семинаров ЛОМИ, 1974, т.39, 30−40..

8. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т.1. М.: Мир, 1965..

9. Ивасишен С. Д., Эйдельман С. Д. Оценки матрицы Грина однородной параболической граничной задачи. Доклады АН СССР, 1967, т. 172, № 6, 1262−1265..

10. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967..

11. Коротков В. Б. О регулярной и компактной факторизации интегральных операторов в Lf. Матем. заметки, 1982, т.32, № 5, 601−606..

12. Коротков В. Б. Интегральные операторы. Новосибирск, Наука, 1983..

13. Коротков В.Б."Степанов В.Д. О некоторых свойствах интегральных операторов свертки. В кн.:Применение методов функционального анализа к задачам математической физики и вычислительной математики, Новосибирск, Наука, 1979, 64−68.14.