Множественность решений краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений

Качественные свойства решений дифференциальных уравнений в частных производных активно исследуются в последние полвека. Разнообразным аспектам качественной теории посвящсны работы [12], [13], [46], [14], [29], [19], [32], [б], [8], [33], [51], [4], [3], [15] и многие другие.

Диссертация посвящена эффекту возникновения множественных положительных решений задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений вариационной структуры. Впервые этот эффект был открыт Коффманом [26], который показал, что при п = 2 задача.

— Аи = и9−1 в а, идп = (О-1) в кольце = Вц+1 В л С Мп имеет любое наперед заданное количество неэквивалентных (то есть не получающихся друг из друга при помощи поворотов) положительных решений при д > 2, если Я достаточно велико.

В работе [34] этот результат был обобщен на случай п^ 4, 2 < д < 2* = —а также построены нерадиальные решения задачи (0.1) в достаточно тонком слое при некоторых д ^ 2*. Отметим, что в коротком замечании в конце работы [26] была сделана попытка обобщения основного результата на случай произвольного четного п, но, как указано в [9], это замечание в [26] нельзя считать обоснованным.

В [35] была предпринята попытка усилить результаты [34] и, в частности, получить соответствующее утверждение при п = 3. Однако в доказательствах [35] имеются серьезные пробелы. Более того, как показано в [20] с использованием результатов [39], «грубый» метод, использовавшийся в [34] и [35], вообще не может дать при п = 3 более пяти неэквивалентных нерадиальных решений.

В работе [20] трехмерная задача была решена с помощью существенно более деликатной техники — минимизации функционала энергии для задачи (0.1) при специальных дополнительных ограничениях, с использованием принципа концентрации Лионса ([36]) и тонких поточечных оценок решений. В [24] был предложен несколько иной метод, основанный на той же идее, который позволяет строить решения (0.1) при любом п ^ 2 с предписанной группой симметрий.

Дальнейшие статьи о множественности положительных решений (0.1) и других задач аналогичной структуры не поддаются учетуупомянем в связи с этим лишь недавние работы [40], [38], [41], [37], [52].

Заметим, что авторы перечисленных работ рассматривают лишь уравнения с оператором Лапласа в главной части. В то же время, как было показано в [10], при п ^ 3 «грубая» техника дает возможность не только усилить результаты [34], но и распространить их на задачу.

— Ари = и4'1 в О, идп = 0, (0.2) где Ари = сИу (|7и|р2Уи) — р-лапласиан, при произвольных 1 < р < оо и р < д < р* (при д < р положительное решение задачи (0.2) единственно). Также в [10] был обнаружен «двойственный» эффект множественности при четных пир>пдля фиксированного Я и достаточно больших q. Для п = 2 эти результаты были ранее получены в [9]. Кроме того, в [10] были построены нерадиальные решения задачи (0.2) для произвольного 1<�р<�оо, 2^т^|ир<�д< Рп-т• Именно, существует такое До = Н-о (п, р, д, т), что при всех Я > Яо существует как минимум два неэквивалентных решения. Решения, построенные в этой работе, концентрировались не в окрестности точек, а в окрестности некоторых многообразий. При [(п+ 1)/2] + 1 ^ р < п нерадиальное решение существует для любых q Е (р, оо), в то время как радиальные решения существуют при всех р и всех д < оо.

В работе [18] множественность положительных решений была установлена для задачи Неймана.

— Ари + уР'1 = 0 в Вя, Чир~2(Чщ п) = и9−1 на дВп (0.3) также в двух случаях: при фиксированном д > р и достаточно больших Я или (для четных п и р ^ п) при фиксированном Я и достаточно больших.

В статье [11] изучались положительные решения задачи Дирихле.

— Ари=хаЧ<1−1 в Ви и — 0 на дВъ (0.4) а также задач для уравнения с радиальным весом более общего вида. В частности, была изучена потеря симметрии решения (0.4) с минимальной энергией при фиксированном р и достаточно больших, а или при фиксированном, а и достаточно больших д. При р = 2 (в этом случае уравнение (0.4) именуют уравнением Хенона, см. [30]) часть результатов [11] была получена также в [47]. Еще один пример задачи, в которой центробежный" вес приводит к потере симметрии решения, — задача о точной константе в неравенстве Каффарелли — Кона — Ниренберга ([25], [48]). Отметим еще работы, в которых (также при р = 2) исследуются асимптотические профили решений задачи (0.4) с минимальной энергией: в [48]—[22] для заданного 2 0 и q 2*..

В качестве следствия основных теорем в [11] были выявлен эффект множественности положительных решений задачи (0.4) в двумерном случае..

Отметим, что при р — 2 из стандартной эллиптической теории (см., например, [7, гл. III]) следует, что обобщенные решения задач (0.2), (0.3) и (0.4) являются классическими. Это заведомо не так при р > 2 (предельная для этого случая гладкость обобщенных решений и € С1+7 была установлена в работах [27], [49])..

В диссертации исследуется эффект множественности решений задач (0.2) и (0.4). Под решением краевой задачи понимается обобщенное решео ние из пространства Соболева 1Ур (П). Норму функции и в пространстве Lp{?t) будем в дальнейшем обозначать.

При 1 < р < оо обозначим р*т предельный показатель в теореме вложения Соболева в Rm: — — ^ — ^ - р* = р* - обычный предельный показатель вложения в.

Для произвольной замкнутой подгруппы Q группы вращений 0{п) обоо значим Сд пространство ¿-/-инвариантных функций из (Г2). Кратностью орбиты точки х под действием группы Q будем называть количество компонент связности этой орбиты..

Доказательство множественности решений в модельных случаях обычно происходит по следующему плану:.

Краевая задача зависит от некоторого параметра Т..

1) Строится набор групп Ок ^ 0(п), зависящих от параметра к? N. о.

2) Рассмотрим Сдк — пространство функций из (Г2д) с группой сим-метрий ЯкДокажем, что Сдк компактно вкладывается в некоторое (возможно, весовое) пространство Ьч. Иногда (если, например, группа дискретная), достаточно обычной теоремы вложения Соболева. Если группа непрерывная, то фактически функция и € Сдк зависит от меньшего количества переменных и поэтому в некоторых случаях удается доказать вложение в с ц ^ р* (см., например, [31], [1])..

3) Минимизируем функционал J[u] = на замкнутом в норме Ья множестве Ск С <�Е>к — {у € А/ЛМ1д = Так как вложение Сдк в Ьд компактно, минимум достигается. Легко показать, что минимайзер (обозначим его и?, к) неотрицателен..

4) Докажем, что при достаточно больших Т минимум достигается во внутренней (с точки зрения топологии на (5 к) точке Ск (Если Ск = © к, то этот шаг тривиален). Таким образом, ит, к ~~ точка локального минимума на &-к.

5) По принципу симметричной критичности (см. [43]) и^к — критическая точка функционала J. Отсюда с использованием неравенства Хар-нака для р-гармонических функций получаем, что после подходящей перенормировки функция иг, к будет положительным решением краевой задачи..

6) Докажем, что при достаточно больших Т (т.е. Т > То (&х, &2)) функции ит, кг и ит, к2 различны (не эквивалентны)..

7) Заметим, что, задавшись произвольным числом ЛГ, мы можем подобрать такой набор ., км и такое число То (Л^, к±-,., к]т), что при Т > Т0 функции иг, Ли • • •, ит, к" различны..

Наибольшую сложность представляют шаги 1, 4, 6. В главе 1 рассматривается краевая задача (0.4). Основные результаты главы 1 следующие:.

Теорема 1. Пусть 1 < р < оо,.

Тогда существует ао = ам (п, т, р, такое, что при любом, а > ао существует не менее двух неэквивалентных положительных решений задачи (0.4)•.

Теорема 2. Пусть 1 < р < оо, п = 2 или п⁴:ир<�д<�р*. Тогда для любого N Е N существует а^ = а^(п, р, д) — такое, что при любом, а > существует не менее N неэквивалентных положительных решений задачи (0.4).

Теорема 3. Пусть п ^ 2 четно, п < р < оо. Тогда для любого N? N существует qN = такое, что при любом д > фу существует не менее N неэквивалентных положительных решений задачи (0.4)¦.

Решение задачи (0.4) при подходящей перенормировке будет критической точкой для функционала f VuPdx HVnlP R.

J [и] = = -г, (0.5).

IMI? (J u"r" *dx)V v —.

Si.

Пусть пара чисел m е N, fc € N U {0} удовлетворяет условиям т • Z + к = п для некоторого I G N-.

0.6) m ^ 2- А- — 0 или к ^ т. Тогда разложение пространства М. п = (Кт)г © Ж. к будем называть (т, А-)-разложением. Отметим, что если га < п, то (0.6) влечет п ^ 4. Пусть С — замкнутая подгруппа О (га). Введем группы.

ЩтМ = G X. х G х 0(/с), /C (m, fc) = {Per (8) Jm|<7 e Si} x О (к) и 6(m, k, G) = (7~t (m.k.G)i ?(тп, к)) ¦ Функцию и будем называть.

— m-радиальной, если она инвариантна относительно.

— (га, /с)-симметричной, если она инвариантна относительно /С (т>&),.

— (га, £)-радиальной, если она инвариантна относительно Qmjk, o (m).

В [1] показано, что при 2 ^ га ^ [|] пространство? gm, k, o (m) компактно вкладывается в Lq (Bi: с 1 ^ q < p*m+1, если, а > — ^ — 1)+..

В § 1.1 вводятся группы симметрий Gm, k, o{m)i указанным образом доказываются пункты 3, 4, 5 для произвольной группы симметрий Q ^ О (п), и доказывается оценка для (га, /с)-радиального решения:.

Gl (^-^"s-i" ^ JHmd ^ CaP (M"m+1)(H),.

При больших, а эти оценки дают возможность отличить друг от друга (га, /с)-радиальные решения при разных га, что доказывает теорему 1..

Аналогичные оценки на порядок роста дают возможность отличить друг от друга (т, &-)-радиальные решения при одинаковых т и различных к, за одним исключением: решения ск = 0иск = т различить не удалось..

В § 1.2 вводится группа (72,А-А> где группа Сь порождена поворотом на В пункте 2 для них используется обычная теорема вложения. Далее доказывается оценка.

МтАС)} < С (О)..

Таким образом, эти решения при больших, а не (2, &-)-радиальны. Затем доказывается, что если решения с группой симметрий (7(2,ад) и различными? совпадают при всех а, то они (2, /с)-радиальны, что противоречит предыдущей оценке. Таким образом, решения с различными? различны, что доказывает теорему 2. Различить решения при различных к удается в силу того, что решения концентрируются в окрестности подпространства размерности п — к. Единственный случай, в котором не удалось доказать различие решений с такими симметриями, таков: ?1 = 2, ?2 = 4 и 2к2 — к = п. Таким образом, пункт 6 доказан..

В § 1.3 исследуется эффект множественности решений при четных п, р > п и больших д. В качестве групп С//- выберем группы Я2¦ Пункты 2 — 5 уже доказаны в предыдущих параграфах. Далее, решения с различными? могут совпадать только в том случае, если они (2, &-)-радиальны. Доказывается, что вторая вариация функционала J на минимайзере в классе (2, &-)-радиальных функций не знакоопределена, и, следовательно, этот минимайзер не может быть минимайзером в классе (2, к, ¿-)-инвариантных функций, а значит, для различных? (2, к, ¿-)-инвариантные минимайзеры различны при больших что доказывает теорему 3..

Отметим, что в работе [53] результаты теорем 1 и 2 распространяются на более общие краевые задачи..

В главе 2 рассматривается краевая задача (0.2) в трехмерном пространстве. Основной результат этой главы следующий:.

Теорема 4. Пусть 1 < р < ооп = 3ир<�д<�р*. Тогда для любого N 6 N существует Ддг = В-ы{Р", Р, я), такое, что при любом Я > Ддг существует не менее N неэквивалентных положительных решений задачи (0.2)..

В § 2.1 собраны некоторые вспомогательные утверждения. Множественность решений задачи (0.2) при п — Зир<�д<�р* доказывается по описанному алгоритму с использованием техники концентрации в § 2.2..

Пусть группа 0к порождена вращениями на угол ^ в плоскости (жх, Х2) и отражением относительно плоскости Х2). У этой группы есть выделенные орбиты, порожденные, например, точками ТУд = (0, 0, Я) и Мд = (.Я, 0,0). Орбиту точки ЛГд будем называть полярной орбитой, орбиту Мд — экваториальной (так же мы будем называть орбиты всех точек, для которых хз = 0). Отметим, что полярная орбита имеет кратность 2, экваториальная орбита имеет кратность к, и орбиты всех остальных точек сферы имеют кратность 2к. Минимизируем функционал 3[и] = ЦУглЦ^ на множестве Ск — {г> € = 1, / ичйх ^ 1 — 5}, где А^ —.

-инвариантное множество, содержащее Мц. В пункте 2 используется обычная теорема вложения Соболева. Пункт 3 доказывается стандартно. Пункт 4 доказывается следующим образом: сначала мы устанавливаем, о что последовательность функций, ограниченная в И^ (Пд) и отделенная от нуля в Ьд (?2д), обязательно имеет точки концентрации. Затем мы доказываем, что последовательность минимайзеров функционала J на множестве Си имеет не более чем одну последовательность концентрации в каждом из множеств ЕхЬА^ и дАх. После этого доказывается, что ни для какой последовательности минимайзеров не может быть выполнено условие / ияс1: тс = 1 — 5. Таким образом, пункт 4 доказан. Попутно доказывается, что минимайзеры при разных к имеют разное количество точек концентрации, что доказывает пункт 6. Пункты 5 и 7 доказываются стандартно..

В главе 3 рассматривается краевая задача (0.2) при четном п ^ 4. Основной результат этой главы следующий:.

Теорема 5. Пусть 1 < р < ооп ^ 4 четно и р < д < Тогда для любого N (Е N существует Длг = q), такое, что при любом Я >.

Ду существует не менее N неэквивалентных положительных решений задачи (0.2)..

Решения, которые строятся в теореме 5, даже при р? (р, р*) отличаются от решений, построенных в [10], тем, что они концентрируются в окрестности не дискретного множества точек, а в окрестности некоторых кривых..

В § 3.1 подробно рассматривается случай п — 4, в § 3.2 рассматривается случай четного п ^ 6..

Именно, вводится некоторое семейство групп для каждой из которых орбита любой точки, кроме начала координат, имеет размерность 1..

Выбираются исключительные орбиты этих групп, для которых длина квалифицированно меньше длины любой орбиты в некоторой окрестности, и^{-инвариантное} множество А^, содержащее некоторую исключительную орбиту. Далее на множестве Ck — {vE A/fc||M|g — lj f uqdx¹ — 5} минимизируется функционал J [и] = || Результаты [31] гарантируют для ¿-/¿—инвариантных функций необходимую в пункте 2 компактность вложения Сдк в при р < q < р*п 1. Пункт 3 доказывается стандартно. Затем мы доказываем, что последовательность минимайзеров функционала J на множестве Ck имеет не более чем одну последовательность орбит концентрации в каждом из множеств IntA^, Extи дА^. После этого доказывается, что ни для какой последовательности минимайзеров не может быть выполнено условие J uqdx — 1 — 5. Таким образом, пункт.

А*.

4 доказан. Попутно доказывается, что минимайзеры при разных к имеют разное количество компонент связности множества концентрации, что доказывает пункт 6. Пункты 5 и 7 доказываются стандартно..

Результаты диссертации докладывались на семинаре им. В. И. Смирнова по математической физике в Санкт-Петербургском отделении математического института им. В. А. Стеклова РАН (2007;2010), на семинаре по нелинейным дифференциальным уравнениям в Московском Государственном Университете (2008, 2010), на семинаре отдела теории функций Математического института им. В. А. Стеклова РАН (2010), на конференции NPDE-2007 (Алушта, 2007), на конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2008, 2010), на конференции Spring School in PDE (Лувен-ла-Нев, Бельгия, 2008)..

Результаты диссертации опубликованы в работах [53] — [58]..

Работа [54] опубликована в журнале из перечня ВАК. Работа [53] опубликована в журнале, удовлетворяющем достаточному условию включения в перечень ВАК (переводная версия этого журнала «Journal of Mathematical Sciences» входит в системы цитирования Springer и Scopus)..

В работах [53, 55], написанных в соавторстве, научному руководителю А. И. Назарову принадлежит постановка задачи и общее руководство работой..

Работа поддержана грантами РФФИ № 08 — 01 — 748 и НШ — 4210.2010.1..

Список обозначений.

Под решением краевой задачи понимается обобщенное решение из проо странства Соболева Норму функции и в пространстве Ьр (0,) будем в дальнейшем обозначать ЦиЦр..

При 1 < р < оо обозначим р^ предельный показатель в теореме вложения Соболева в Ет: = —, где (а)+ = тах{а, 0}. р*п = р*.

Ут У у обычный предельный показатель вложения в Мп. Ари = с!1у (| Ум|р-2Угг) — рлапласиан..

Для произвольной замкнутой подгруппы <3 группы вращений 0(п) обозначим вд (х, р) = {дуу е В (х, р), д е 0}, где В (х, р) — открытый шар радиуса р с центром в х. Обозначим Сд о пространство (/-инвариантных функций из ¥-р (О). Кратностью орбиты точки х под действием группы 0 будем называть количество компонент связности этой орбиты. группа перестановок. Матрицей перестановок мы будем называть матрицу (Ра)ч — к,<�т{з), где о е Бп. COS ip sin ip.

Tip = I у — sin (р cos <р матрица вращений в М2..

1п — единичная матрица размера п. Символ <8> означает кронекеровское произведение матриц, символ фпрямую сумму. = од (1) означает, что lim / = 0. Все функции с нижним индексом.

R—> оо.

R имеют носитель в Пд и считаются продолженными нулем на Mn Од..

Различные абсолютные (зависящие только от n, р, q) константы будем обозначать буквой С. В случае зависимости константы от других параметров они перечисляются в скобках..

Нам, кроме этого, понадобится неравенство, а + bs ^ К + C (s) (|а|а1|6| + |6|5), (0.7) верное для любых a, oeRN, s > 1..

1. C.B. Иванов, А. И. Назаров. О теоремах вложения Соболева с весом для функций с симметриями // Алгебра и анализ, Т. 18 (2006), N1, С. 108−123..

2. JI.B. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ // Изд. 3, М., Наука (1984).

3. В. А. Кондратьев, Е. М. Ландис. О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка // Матем. сб., Т.135(177), вып. 3 (1988) С.346−360..

4. В. А. Кондратьев. О положительных решениях слабо нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях // Тр. МИ АН, Т. 250 (2005) С.183−191..

5. В. А. Кондратьев. Об асимптотических свойствах решений полулинейных эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях // Труды семинара им. И. Г. Петровского No. 25 (2006), С.98−111..

6. Коньков А. А. Об оценках для решений квазилинейных эллиптических неравенств // УМН. Т. 50. Вып. 4 (304) (1995) С. 79..

7. O.A. Ладыженская, H.H. Уральцева. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа // Изд. 2, М., Наука (1973).

8. Э. Митидиери, С. И. Похожаев. Отсутствие положительных решений для квазилинейных эллиптических задач в Исследования по теории дифференцируемых функций многих переменных и ее приложениям. Часть 18 // Тр. МИАН, Т. 227, Наука, М. (1999), С. 192−222.

9. А. И. Назаров. Об «одномерности» экстремали в неравенстве Фридрихса для сферического и плоского слоя, Пробл. мат. ан., Т.20 (2000), С.171−190..

10. А. И. Назаров. О решениях задачи Дирихле уравнения, содержащего р-лапласиан, в сферическом слое, Труды СПбМО, Т. 10 (2004), С.33−62..

11. А. И. Назаров. О симметричности экстремали в весовой теореме вложения, Пробл. мат. ан. Т.23 (2001), С.50−75..

12. С. И. Похожаев. О собственных функциях уравнения Аи + X/(и) = 0 // ДАН СССР, Т. 165, вып. 1 (1965), 36−39.

13. С. И. Похожаев. О собственных функциях квазилинейных эллиптических задач // Матем. сб., Т.82(124), выи.2(6) (1970), 192−212.

14. И. В. Скрыпник. Разрешимость и свойства решений нелинейных эллиптических уравненийю // Итоги науки и техн., Сер. Соврем, пробл. мат., Т.9, ВИНИТИ, М. (1976) С. 131−254.

15. Сурначев М. Д. Асимптотическое поведение на бесконечности решений уравнения типа Эмдена-Фаулера // Вестник Московского Университета, серия 1 (математика, механика), N0.2 (2009), С.53−56..

16. М. Д. Сурначев, И. В. Филимонова. Существование положительных решений полулинейного недивергентного эллиптического уравнения в конической области // Дифференциальные уравнения, У.43, N0.1 (2007), С.138−140..

17. А. П. Щеглова. Множественность решений для краевой задачи с нелинейным условием Неймана, Пробл. мат. ан. Т. ЗО (2005), С.121−144..

18. Н. Brezis, L. Nirenberg. Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents // Comm. Pure Appl. Math. V.36 (1983), 437−477..

19. J. Byeon. Existence of many nonequivalent nonradial positive solutions of semilinear elliptic equations on three-dimensional annuli //J. Diff. Eq., V.136 (1997), P.136−165..

20. J. Byeon, Z.-Q. Wang. On the Henon equation: asymptotic profile of ground states. I, Ann. Inst. H.Poincare. Anal. Nonlin. V.23 (2006), P.803−828..

21. J. Byeon, Z.-Q. Wang. On the Henon equation: asymptotic profile of ground states. II // J. Diff. Eq., V.216 (2005), P.78−108..

22. D. Cao, S. Peng. The asymptotic behavior of the ground state solutions for Henon equation // J. Math. Anal. Appl., V.278 (2003), P. 1−17..

23. F. Catrina, Z.-Q. Wang. Nonlinear elliptic equations on expanding symmetric domains // J. Diff. Eq., V.156 (1999), P.153−181..

24. F. Catrina, Z.-Q. Wang. On the Caffarelli Kohn — Nirenberg inequalities: sharp constants, existence (and nonexistence), and symmetry of extremal functions // Comm. Pure Appl. Math., V.54 (2001), P.229−258..

25. C.V. Coffman. A non-linear boundary value problem with many positive solutions // J. Diff. Eq., V.54 (1984), P.429−437..

26. E. DiBenedetto. C1+a local regularity of weak solutions of degenerate elliptic equations // Nonlin. Anal., V.7 (1983), P.827−850..

27. U. Gianazza, M. Surnachev, V. Vespri. A new proof of the Ho lder continuity of solutions to p-Laplace type parabolic equations // Adv. Calc. Var., V.3 (2010), no. 3, 263−278..

28. B. Gidas, Wei Ming Ni, L. Nirenberg. Symmetry and related properties via the maximum principle // Comm. Math. Phys. Volume 68, Number 3 (1979), 209−243.

29. M. Henon. Numerical experiments on the stability of spherical stellar systems, Astronomy & Astrophysics, V.24 (1973), P.229−238..

30. E. Hebey, M. Vaugon. Sobolev spaces in the presence of symmetries //J. Math. Pures Appl. V.76, No.9 (1997), 859−881.

31. B. Kawohl // Rearrangements and convexity of level sets in PDE // Springer Lecture Notes in Math., V.1150, (1985)..

32. B. Kawohl. Symmetry results for functions yielding best constants in Sobolev-type inequalities // Discr. and Cont.Dynam. Systems. V.6 (2000) N3, P.683−690..

33. Y.Y. Li. Existence of many positive solutions of semilinear elliptic equations on annulus // J. Diff. Eq., V.83 (1990), P.348−367..

34. S.-S. Lin. Existence of many positive nonradial solutions for nonlinear elliptic equations on an annulus // J. Diff. Eq., V.103 (1993), P.338−349..

35. P.L. Lions. The concentration-compactness principle in the calculus of variations. The locally compact case // Ann. Inst. H.Poincare. Anal. Nonlin. V. l (1984), P.109−145, 223−283..

36. A. Malchiodi. Consrtuzione di spike-layers multidimensionali // Bolletino U.M.I. V.8, N0.8-B (2005), 615−628.

37. A. Malchiodi, W.-M. Ni, J. Wei. Multiple clustered layer solutions for semilinear Neumann problems on a ball // Ann. Inst. H.Poincare. Anal. Nonlin. V.22 (2005), P.143−163..

38. N. Mizoguchi, T. Suzuki. Semilinear elliptic equations on annuli in three and higher dimensions // Houston J. Math., V. l (1996), P.199−215..

39. R. Molle, D. Passaseo. Positive solutions of slightly supercritical elliptic equations in symmetry domains // Ann. I. H. Poincare, V.21 (2004), P.639−656..

40. R. Molle, D.Passaseo. Concentration phenomena for solutions of superlinear elliptic problems // Ann. Inst. H.Poincare. Anal. Nonlin. V.23 (2006), P.63−84..

41. Z. Nehari. On a class of nonlinear second-order differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. V.95 (I960), P. 101−123..

42. R.S.Palais. The principle of symmetric criticality // Comm. in Math. Phys. V. 69 (1979), P. 19−30..

43. G. Polya. Sur la symetrisation circulaire // CRASP, V.230 (1950), P.25−27..

44. E. Serra. Non radial positive solutions for the Henon equation with critical growth // Calc. Var. and PDE, V.23 (2005), P.301−326..

45. J. Serrin. A symmetry problem in potential theory // Arch. Ration. Mech. 43, 304−318 (1971).

46. D. Smets, J. Su, M. Willem. Non radial ground states for the Henon equation // Comm. Contemp. Math., V.4 (2002), P.467−480..

47. D. Smets, M. Willem. Partial symmetry and asymptotic behavior for some elliptic variational problems // Calc. Var., V.18 (2003), P.57−75..

48. P. Tolksdorf. Regularity for more general class of quasi-linear elliptic equations //J. diff. Eq., V.51 (1984), p.126−150..

49. N.Trudinger. On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic problems // Comm. in Pure ad Appl. Math. V. 20 (1967), P.721−747.

50. J.L. Vazquez, L. Veron. Singularities of some elliptic equations with an exponential nonlinearity // Math. Annalen V.269, (1984) P.119−135..

51. J. Wei, S. Yan. Infinitely many solutions for the prescribed scalar curvature problem on S^ // Journal of Functional Analysis, V.258 (2010), P.3048−3081.Работы автора по теме диссертации..

52. С. Б. Колоницкий, А. И. Назаров. Множественность решений задачи Дирихле для обобщенного уравнения Хенона // Проблемы математического анализа. № 35. (2007) С.91−110..

53. С. Б. Колоницкий. Множественность решений задачи Дирихле для уравнения с р-лапласианом в трехмерном сферическом слое // Алгебра и анализ, Т.22, выпуск 3 (2010), С.206−221..

54. S.B. Kolonitskii, A.I. Nazarov. The multiplicity of positive solutions for the Dirichlet problem to the generalized Henon equation // Int. Conf. «NPDE-2007» dedic. to the memory of I.V. Skrypnik. Book of abstracts. Donetsk (2007) P.39..

55. S.B. Kolonitskii. Multiplicity of solutions to the Dirichlet problem for generalized Henon equation // Summer School in Nonlinear Partial Differential Equations, Universite catholique de Louvain, Louvain-la-Neuve (2008) P.43−44..

56. С. Б. Колоницкий. Множественность решений задачи Дирихле для уравнения с р-лапласианом в трехмерном сферическом слое / / Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Владимир (2008) С. 135−136..

57. С. Б. Колоницкий. Множественность решений задачи Дирихле для уравнения с р-лапласианом с суперкритическим показателем / / Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. М. (2010) С. 103..