Исследование процессов упругогидродинамики в поплавковых приборах с несимметричным истечением жидкости при воздействии вибрации

Актуальность. В настоящее время условия эксплуатации современных изделий приборои машиностроения таковы, что они подвергаются воздействиям значительных перегрузок и различного рода вибрациям, обусловленным разнообразными источниками. Технические требования привели к необходимости использования упругих оболочек, которые обеспечивают необходимую прочность приборов и машин одновременно со снижением их массы и материалоемкости. Таким образом, запросы современной техники привели к необходимости построения и исследования математических моделей систем «упругая оболочка-жидкость-твердые тела», на основе которых возможно решение различных прикладных задач.

Основными элементами конструкций различных высокоточных чувствительных поплавковых приборов являются сложные механические системы, состоящие из твердых, жидких и упругих тел. Практикой подтверждается необходимость учета влияния упругой податливости конструкций включающей жидкость, однако исследование данной системы представляет собой чрезвычайно сложную и трудоемкую задачу, даже в простейших постановках, требуя разработки и исследования сложных математических моделей механических систем, учитывающих динамическое взаимодействие между твердыми, упругими и жидкими телами, составляющими данную систему. Таким образом создание и исследование механических систем, позволяющих максимально приблизиться к оригиналу, а также поиск подходящих форм записи приемлемых для инженерной практики разрешающих дифференциальных уравнений и методов их интегрирования, позволяющих исследовать динамические процессы в данных системах, уточнить вибрационную погрешность поплавковых маятниковых акселерометров и гироскопов являются актуальными проблемами в современном приборостроении.

В работе рассмотрены некоторые из таких моделей, построенные для поплавковых акселерометров и гироскопов. Для данных приборов принципиальными элементами являются упругая замкнутая цилиндрическая оболочка, заполненная жидкостью, и взвешенный в ней абсолютно твердый поплавок. В рассмотренных моделях принимается во внимание, что приборы подвержены значительным вибрациям от внешних источников [57−60, 93,102].

Таким образом, задача построения математических моделей, позволяющих исследовать динамику систем «упругая оболочка-жидкость-твердые тела» при воздействии вибрации, и уточнить вибрационные погрешности поплавковых приборов учетом упругой податливости элементов конструкции является важной и актуальной в настоящее время.

Поплавковые маятниковые акселерометры и гироскопы, исследуемые в данной работе, являются прецизионными приборами систем стабилизации, ориентации и наведения, и их точность определяет точность всей системы навигации. Достаточно сказать, что для поплавковых маятниковых акселерометров погрешность — отклонение нуля — должна быть менее 10″ 6g, а предъявляемые требования по дрейфу (некомпенсированная случайная составляющая) поплавковых гироскопов составляет менее 10~3 град/час, а в комфортных условиях — менее Ю-6 град/час [64, 71].

Исследованию гидроупругости тонкостенных конструкций посвящено множество работ различных авторов, таких как: A.C. Вольмир [29−32], А. Г. Горшков [36−41], Э. И. Григолюк [42−46], М. А. Ильгамов [48−51], Л. И. Могилевич [76−93], B.C. Попов [102], Д. В. Тарлаковский [107], Ф. Н. Шклярчук [ 110−113] и другие.

Большое число работ посвящено проблемам построения и исследования математических моделей поплавковых и «сухих» приборов. Среди них основополагающими являются работы: К. П. Андрейченко [6−9], О. М. Городецкого [34−35], Л. Г. Лойцянского [70], А. Ю. Ишлинского [52−53], Д. М. Климова [35], С. Ф. Коновалова [61−64], Л. И. Могилевича [76−93],.

Е.А. Никитина [96], В. М. Панкратова [98], Д. С. Пельпора [99−101], С. S. Draper [122], R. Kumar [124], R.A. Stein [134] и ряда других.

На первых этапах при исследовании влияния упругих элементов конструкции (корпус поплавка) эти элементы представлялись в виде двухзвенных абсолютно жестких элементов с прямолинейными звеньями и точкой излома. С. Ф. Коновалов и A.A. Трунова [61−64] в своих работах производили учет упругости корпуса поплавкового прибора и других элементов (сильфона), когда эти элементы представляются в виде твердой двухзвенной конструкции с прямолинейными звеньями и точкой излома в середине, либо в виде твердой конструкции прямолинейной формы при консольном закреплении навесного элемента. Однако, такой подход, видимо, приводит к некоторому завышению погрешности из-за упругой податливости.

Более точный подход. связан с использованием тонких оболочек} к. рамках-: которого тонкостенные упругие элементы конструкции, окруженные слоем жидкости, такие как корпус поплавка в поплавковых гироскопах, рассматриваются как упругая замкнутая цилиндрическая оболочка с жестким защемлением на торцах. При этом показано, что учет упругих свойств корпуса поплавка в поплавковых приборах необходим при некоторых параметрах прибора.

К.П. Андрейченко [6−9] в своих работах применил метод осреднения инерционных членов уравнений динамики жидкости с введением поправочных коэффициентов, учитывающих нестационарность профиля скорости. Этот метод позволяет найти присоединенную массу и момент инерции жидкости, коэффициенты демпфирования угловых и поступательных колебаний поплавка, исследовать наиболее полно устойчивость гидродинамической опоры. Однако при исследовании моментов поплавковых приборов этот метод справедлив только для чисел Рейнольдса значительно меньших единицы. Более точно учет влияния инерции жидкости, взаимодействующей с замкнутой цилиндрической оболочкой был проведен в режиме установившихся гармонических колебаний.

85]. В работах [75−81] К. П. Андрейченко, Л. И. Могилевича была исследована упругогидродинамика корпуса поплавка гироскопического прибора, с полным учетом инерционных членов уравнений гидромеханики и даламберовых сил инерции, но корпус прибора считается абсолютно твердым. В работах Л. И. Могилевича, К. П. Андрейченко, В. В. Гурова [77, 91−93] приближенно учитывалась упругость корпуса прибора. Поставленная в этих работах задача не являлась связанной, и на оболочку — корпус прибора оказывало влияние только гидростатическое давление, так как считалось, что поплавок не перемещается, плавая в состоянии нейтрального равновесия. Кроме того, при решении задачи динамики оболочки отбрасывались даламберовы силы инерции. В работах Д. В. Кондратова, Л. И. Могилевича и B.C. Попова [57 — 60] исследовались связанные задачи для поплавковых приборов с учетом упруГОСТИ.' -.. •.

Во всех этих работах рассматривались случаи симметричного истечения жидкости из радиальной щели в торцевые, и влияние несимметричности торцевого истечения жидкости не рассматривалось. Оно, как оказалось, значительно сказывается на величинах поступательных перемещений поплавка и постоянной составляющей момента, а следовательно на погрешности прибора.

Таким образом, для наиболее полного исследования факторов влияющих на динамику поплавковых приборов, и в частности, влияния упругости корпуса прибора, необходимо построение математической модели, учитывающей инерцию трехмерного движения слоя жидкости, взаимодействующего с упругой оболочкой и абсолютно твердыми телами, а также влияние несимметричности истечения жидкости из радиальной щели в торцевые на гидродинамические силы и моменты в поплавковых приборах.

Целью работы является построение комплексной математической модели для исследования динамики сложных механических систем, состоящих из упругой цилиндрической оболочки, взаимодействующей со слоем жидкости и абсолютно твердыми телами, находящимися внутри оболочки, при несимметричном истечении жидкости из цилиндрической щели в торцевые, при воздействии вибрации применительно к поплавковым датчикам первичной информации в системах навигации и разработка методов исследования таких математических моделей.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи: 1. Разработка физико-механической и соответствующей математической модели для сложных механических систем, состоящих из упругой цилиндрической оболочки, содержащей сдавливаемый слой вязкой жидкости и абсолютно твердый поплавок, плавающий в состоянии нейтрального равновесия при несимметричном истечении жидкости из цилиндрической щели в торцы при воздействии вибрации- 2. .Решение связанной нелинейной. задачи упругогидродинамики для. описанной механической системы, включающей в себя задачу гидродинамики в цилиндрической щели, две различные задачи для торцевых щелей, задачу для упругой цилиндрической замкнутой оболочки и для абсолютно твердых тел с соответствующими граничными условиями и условиями согласования при переходе из цилиндрической щели в торцевые под воздействием переносной силы инерции- 3. Определение на основе полученного решения силы и момента, действующих на поплавок, закона движения поплавка и вибрационной погрешности для поплавкового маятникового акселерометра и поплавкового гироскопа при несимметричном торцевом истечении жидкости, разгружающей опоры поплавка.

Объект исследования и обоснование математической модели и методов ее исследования. Решение сложных нелинейных связанных задач упругогидродинамики проводится методом возмущений [26, 65]. Осуществлен переход к безразмерным переменным в указанных выше системах уравнений динамики жидкости и оболочки, сам представляющий собой сложную задачу.

За малые параметры приняты, традиционная в теории смазки, относительная толщина сдавливаемого слоя жидкости и относительный эксцентриситет.

При решении поставленных задач используется одночленное разложение по относительной толщине сдавливаемого слоя жидкости, как это принято в теории смазки [106, 114−117, 120, 131], и двухчленное асимптотическое разложение по относительному эксцентриситету. При этом для исследования динамики приборов используется одночленное разложение в режиме гармонических колебаний, а второй член разложения по относительному эксцентриситету применяется для определения погрешности приборов. Второй член разложения в рассматриваемых задачах не достигает того же порядка что и первый член разложения ни при каких значениях безразмерных переменных и безразмерных постоянных-параметров подобия, имеющих: физический.смысл.: Поэтому в данном случае достаточно прямого разложения, и нет необходимости применять более тонкие методы возмущений, такие как метод сращивания асимптотических разложений, метод многомасштабных разложений [26, 65] и другие.

Ввиду присутствия в колебательных системах демпфирования, возникающего за счет сдавливания слоя вязкой жидкости, переходный процесс быстро затухает, влияние начальных условий в конечном итоге перестает сказываться на колебаниях, и возникают установившиеся вынужденные колебания. Таким образом, исследуется режим установившейся вибрации [116, 121, 124, 132] и переходный процесс не принимается во внимание. Математически это означает, что необходимо найти частное решение линеаризованных неоднородных задач, а общее решение соответствующих однородных уравнений не рассматривается. Следовательно, при рассмотрении достаточно длительных во времени процессов можно отбросить с самого начала общее решение однородных уравнений и начальные условия [25]. Данный подход позволил решить сложную нелинейную связанную задачу динамики твердых тел, вязкой несжимаемой жидкости и упругой цилиндрической оболочки.

Научная новизна. Основной особенностью данной работы является развитие принципа построения и исследования математических моделей механических систем, представляющих собой упругую цилиндрическую оболочку, слой жидкости с погруженным в нем абсолютно твердым телом, при несимметричном истечении жидкости из радиальной щели в торцевые. В ранних работах исследование этих приборов проводилось при симметричном торцевом истечении жидкости, и влияние несимметричности на вибрационную погрешность прибора не рассматривалось.

1. Впервые построена математическая модель поплавковых приборов для несимметричного истечения жидкости в торцы, при этом были.

•. поставлены три-связанные задачи: для^{цилиндрической} -.щели-.-и. для.-, каждой торцевой щели с соответствующими граничными условиями, учитывая то, что торцевая щель справа — одного порядка с цилиндрической, а торцевая щель слева — мала по сравнению с цилиндрической.

2. Предложенная математическая модель позволяет выявить совместное влияние поступательных и угловых колебаний корпуса прибора на закон поступательного перемещения поплавка, а также на постоянную составляющую гидромеханического момента, и, соответственно, на погрешность прибора, в то время как ранее, при исследовании приборов с несимметричным истечением жидкости, влияние угловых колебаний корпуса было принято отделять от влияния поступательных колебаний, так как они действовали независимо. Показано, что как на закон движения поплавка, так и на постоянную составляющую гидромеханического момента влияют не только члены, содержащие отдельно произведения угловых и произведения поступательных колебаний, но и их совместные произведения, появляющиеся в уравнениях из-за несимметричности, которые на определенных частотах сильно влияют на поступательные перемещения поплавка и приводят к значительному увеличению постоянной составляющей возмущающего гидромеханического момента, и как следствие, оказывают существенное влияние на погрешность прибора. 3. С помощью построенной математической модели исследовано влияние упругости корпуса прибора на закон движения поплавка и постоянную составляющую момента. При этом угловые колебания корпуса прибора сказываются еще сильнее, чем случае абсолютно жесткого корпуса, как на законе движения поплавка, так и на постоянной составляющей возмущающего момента.

Достоверность полученных результатов достигается с помощью построения: максимальноточных для =. достижения: поставленной .цели•- физической и математической моделей приборов, корректной постановки задачи, а также применения классических математических методов и известных методов возмущения для расчета, использования апробированных и основополагающих принципов и подходов теоретической механики, механики жидкости и теории упругости. Решения получены аналитическими методами и имеют физический смысл во всей области определения. Построенная математическая модель в отсутствии угловых колебаний основания, к которому крепится корпус, дает результаты, которые хорошо согласуются с уже известными результатами, полученными другими авторами при исследовании приборов с симметричным истечением жидкости, и не противоречат имеющимся физическим представлениям.

Практическая ценность и реализация результатов. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для исследования сложных динамических систем, содержащих упругую цилиндрическую замкнутую оболочку, заполненную жидкостью с взвешенными в ней абсолютно твердыми телами. Предложенные математические модели поплавковых приборов позволяют разработчику исходя из известного частотного диапазона вибраций уже на этапе проектирования определить наиболее оптимальные параметры системы, обеспечивающие необходимую точность.

Полученные аналитические решения позволяют исследовать влияние различных факторов на динамику и точность поплавковых приборов, а также быстро и эффективно проводить численные расчеты на ПЭВМ для приборов с заданными параметрами. Результаты исследования использованы в отчетах по грантам РФФИ 05−08−33 329а, 06−08−43а.

Кроме того, предложенная математическая модель может быть использована для определения резонансов колебания оболочки, считая поплавок неподвижным, как для двигателя внутреннего сгорания с водяным охлаждением, применяемым на тепловозах. Резонансы колебаний приводят к ."-•• появлению кавитации. и кавитационному износу гильзы • цилиндра двигателя и: ¦: самой оболочки — рубашки, ограничивающей слой охлаждающей жидкости, а также и в других приложениях.

Результаты диссертации получены в рамках бюджетной темы кафедры высшей и прикладной математики Российского государственного открытого технического университета путей сообщения «Устойчивоподобные свойства траекторий динамических систем. Приложение к изучению математических моделей транспортных динамических процессов», по разделу «Вопросы исследования прикладных статических и динамических задач механики сплошной среды транспорте». Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 05−08−33 329а, 06−08−43а.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научно-практической конференции студентов и аспирантов «Проблемы железнодорожного транспорта в условиях реформирования отрасли» Поволжского филиала Российского открытого государственного технического университета путей сообщений (Саратов, 2004), на X, XI и XII Международных симпозиумах в МАИ «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва-Ярополец, 2004, 2005, 2006), кафедре.

Высшая и прикладная математика" Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (Москва, 2005).

На защиту выносятся следующие положения:

1. Новая физико-механическая и математическая модели взаимодействия слоя вязкой несжимаемой жидкости с твердым телом и упругой оболочкой в условиях вибрации впервые учитывают влияние несимметричности истечения жидкости в торцы на погрешность поплавковых маятниковых акселерометров и гироскопов.

2. С помощью построенной математической модели выявлено значительное влияние угловых колебаний основания, к которому крепится прибор, на закон поступательного перемещения поплавка и на постоянную составляющую — гидромеханического:. возмущающего:. момента, — .и, соответственно, на погрешность прибора. Как на закон движения поплавка, так и на постоянную составляющую момента помимо произведений поступательных и произведений угловых колебаний, большое влияние оказывают смешанные произведения поступательных и угловых колебаний корпуса, появляющиеся из-за несимметричности истечения жидкости в торцы.

3. Использованная математическая модель выявила влияние упругости корпуса прибора на закон движения поплавка и постоянную составляющую гидромеханического момента. При этом учет упругости корпуса прибора значительно больше сказывается на поступательных перемещениях поплавка за счет угловых вибраций основания, чем на поступательных перемещениях поплавка за счет поступательных колебаний. Гидромеханический момент значительно больше при учете упругой податливости корпуса, чем без ее учета, и при этом является не монотонным.

Публикации: Основные положения диссертационной работы и результаты исследования опубликованы в научных трудах [10−21].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, приложений и списка использованной литературы. Работа содержит 175 страниц машинописного текста, 7 рисунков, 9 таблиц и приложения. Список использованной литературы включает 136 наименований.

Заключение

.

По итогам проведенных аналитических и численных исследований можно сделать следующие выводы:

1. В диссертационной работе предложены и исследованы новые физическая и математическая модели механических систем, включающих в себя упругую цилиндрическую замкнутую оболочку, содержащую абсолютно твердые тела и вязкую несжимаемую жидкость, применительно к поплавковым приборам на вибрирующем основании при несимметричном истечении жидкости в торцы. Математическая модель представляет собой связанную задачу гидроупругости, включающую в себя задачи гидродинамики в цилиндрической щели и в двух торцевых щелях, состоящие из уравнений Навье-Стокса и неразрывности и соответствующих граничных условий, условия согласования давления и расхода жидкости припереходе из цилиндрической щели в торцевые, задачу динамики корпуса ПМА как замкнутой упругой цилиндрической оболочки, состоящую из уравнений в частных производных и задачу для абсолютно твердого поплавка, основанную на обыкновенных дифференциальных уравнениях второго закона Ньютона для описания поступательных перемещений абсолютно твердых элементов рассматриваемых систем.

2. Для исследования математической модели был осуществлен переход к безразмерным переменным, что позволило выделить параметры подобия и малые параметры задачи. Для исследования взаимодействия упругой цилиндрической оболочки с абсолютно жесткими телами через слой вязкой несжимаемой жидкости при решении связанной задача упругогидродинамики применен метод возмущений, и предполагается поступательная и угловая вибрация основания гармонической.

В качестве малых параметров задачи рассматриваются относительная ширина цилиндрического слоя жидкости, окружаемой упругой цилиндрической оболочкой (как принято в теории смазки) — |/ и относительный эксцентриситет X.

При решении задачи упругогидродинамики используется одночленное разложение по параметру 1|/ и двучленное разложение по параметру X.

Одночленное разложение по относительному эксцентриситету А, приводит к линейной связанной системе уравнений, которая может быть решена в предположении установившихся гармонических колебаний. При этом в силу присутствия в системе демпфирования за счет вязкой несжимаемой жидкости, приводящего к быстрому затуханию свободных колебаний и возможности исключить начальные условия с самого начала, исследуется режим вынужденных установившихся колебаний. Найденное решение определяет динамику взаимодействия слоя жидкости с абсолютно жесткими-телами и с упругой цилиндрической оболочкой, составляющих механическую систему, применительно к поплавковым приборам и может быть использована, например, для ДВС с водяным охлаждением.

Второй член разложения по малому параметру X определяет возмущающие моменты рассматриваемых систем, характеризующие вибрационную погрешность поплавковых приборов, и, таким образом, определяет точность приборов. При этом второй член разложения значительно меньше первого при всех реальных значениях, входящих в решение независимых переменных и безразмерных постоянных.

Найдены гидромеханические реакции для поплавкового маятникового акселерометра при несимметричном истечении жидкости в торцы, действующие на поплавок, и возмущающие моменты, действующие со стороны слоя жидкости как для абсолютно твердого корпуса прибора, так и с учетом влияния упругости цилиндрической оболочки — корпуса, ограничивающей слой жидкости.

Для поплавкового гироскопа найденные гидромеханические реакции, действующие на поплавок, и возмущающие моменты в случае несимметричного истечения жидкости в торцы, которые как и в случае симметричного [58 — 60] разделяются на два вида. Возмущающий момент Ьпг за счет сил инерции и, как следствие, смещения центра масс поплавка из центра масс камеры и возмущающий момент Ь^, действующий со стороны слоя жидкости на поплавок при абсолютно твердом корпусе прибора.

На основе полученных реакций и возмущающих моментов найдены законы поступательного движения поплавка и определены постоянные составляющие возмущающих моментов для поплавкового маятникового акселерометра и поплавкового гироскопа в случае внешней вибрации. Исследование показало существенное влияние несимметричности истечения жидкости в торцы на величины поступательных перемещений поплавка и постоянную составляющую возмущающего момента, и, следовательно, на погрешность прибора. При этом выявлено влияние угловых вибраций на закон движения поплавка и постоянную составляющую гидродинамического момента при несимметричном истечении жидкости. Показано, что, несмотря на малые поступательные перемещения поплавка, вызванные угловыми вибрациями основания, к которому крепится прибор, они, тем не менее, оказывают существенное влияние на постоянную составляющую момента как в случае жесткого, так и в случае упругого корпуса прибора. Более того, отклонения нуля, соответствующие значениям постоянной составляющей гидродинамического момента, обусловленного угловыми вибрациями основания, в случае упругого корпуса акселерометра значительно превышают допустимые пределы (10″ 6?). Это означает, что при построении и исследовании физико-механической и соответствующей ей математической модели поплавковых приборов с несимметричным истечением жидкости из цилиндрической щели в торцевые нельзя пренебрегать влиянием угловых вибраций основания, к которому крепится прибор, т.к. угловые вибрации могут оказывать значительно большее влияние чем поступательные на погрешность прибора, а, следовательно, и на точность всей системы навигации.

Возмущающий инерционный момент Ьпг в поплавковом гироскопе в рамках рассматриваемых приближений оказывается практически независимым ни от динамики жидкости, ни от упругих свойств оболочки для рассматриваемых условий внешней вибрации.

Таким образом, полученная модель позволяет для различных параметров толщины и материала упругой цилиндрической оболочки, вязкости и ширины слоя вязкой несжимаемой жидкости проводить исследование динамики и точности поплавковых приборов.

Предложенная математическая модель позволяет оценить вклад различных факторов на работу поплавковых приборов на этапе проектирования, и, исходя из известного частотного диапазона. вибраций,. выбрать наиболее оптимальную конструкцию прибора, обеспечивающую необходимую точность.