Классификация дискретных интегрируемых уравнений

Уравнения с дискретными независимыми переменными, но нраву занимают важное место в современной теории нелинейных интегрируемых систем. Дифференциально-разностные уравнения, или цепочки, возникают во многих задачах математической физики. Ряд моделей, определивших дальнейшее направление исследований, был введён и проинтегрирован, в рамках метода обратной задачи рассеяния, в основополагающих работах Тоды [176], Флашки [68], Манакова [114], Каца, ван Мёрбске [91] и Абловида, Ладика [2]. Следует упомянуть также ещё более ранние работы Шрёдингера [153] и Инфельда, Халла [90], связанные с приложениями в квантовой механикеэта тема получила дальнейшее развитие в работе Шабата, Веселова [183]. Полностью дискретные уравнения изучались в работах Хироты [85, 86, 87, 88], Мивы [128), Матвеева [116], Куиспела, Найхофа, Капела, ван дер Линдена [143], Найхофа [130] и многих других.

Несмотря на разнообразие дискретных уравнений, оправдана общая точка зрения, согласно которой все интегрируемые цепочки интерпретируются как преобразования Дарбу-Бэклунда для непрерывных уравнений (см., в частности, работы Леви [108] и Шабата, Ямилова [156], где этот принцип чётко сформулирован и подкреплен целым рядом типичных примеров). На следующем шаге, коммутативность преобразований Бэклунда приводит к уравнениям с двумя дискретными независимыми переменными. Наоборот, любое дискретное уравнение, обладающее инфинигезимальными высшими симметриями, допускает интерпретацию, как принцип нелинейной суперпозиции для некоторого преобразования Бэклунда.

Таким образом, дискретные и непрерывные уравнения рассматриваются как равноправные части общей иерархии интегрируемых уравнений. Эта картина привлекательна не только с философской точки зрения, но и подсказывает пути решения классификационных задач, которым посвящена данная диссертация.

Напомним, что для уравнений в частных производных имеется уже довольно много классификационных результатовнаиболее важные из них получены в рамках симметрийного подхода, в котором определяющим является свойство совместности, или коммутативности потоков, образующих интегрируемую иерархию. Этот подход, в основном, разработан школой Шабата, см. например обзоры Соколова, Шабата [158], Михайлова, Шабата, Ямилова [126],.

Михайлова, Шабата, Соколова [125] и Хабибуллина, Соколова, Ямилова [80]. Для дифференциально-разностных уравнений классификационных результатов существенно меньше (практически все они получены Ямиловым и представлены в обзоре [193]), а для дискретных уравнений их практически нет, поэтому разработка подходящих методов является здесь актуальной задачей.

В целом, содержание диссертации можно охарактеризовать как развитие темы о связи дискретного и непрерывного. Некоторый уклон в дискретную сторону объясняется двумя обстоятельствами. Во-первых, во многих случаях дискретная часть иерархии представляется более фундаментальной и прозрачной. Особенно это проявляется в приложениях к геометрии, которые переживают за последние 10−15 лет настоящий ренессанс, именно благодаря переходу к дискретной части картины, см. напр. книги Роджерса, Шифа [147] и Бобенко, Суриса [45]. Во-вторых, сам выбор задач обусловлен уже отмеченным отставанием в классификации дискретных уравнений. Вообще, если проследить историю открытий в той или иной иерархии интегрируемых уравнений, то можно убедиться, что они, как правило, начинаются с непрерывной части. Например, сначала было открыто уравнение эт-Гордона (Боур, 1862 [50]), затем преобразование Бэклунда для него (Бэклунд, 1883 [36]), затем свойство перестановочности для последнего (Бьянки, 1892 [40]) и, наконец, лишь совсем недавно было осознано, что сами соотношения перестановочности обладают замечательной групповой структурой. Это можно объяснить тем, что хотя условия совместности для дискретных уравнений более элементарны, зато для непрерывных они проще и для понимания, и для вычислений.

Соотношения перестановочности, или принцип нелинейной суперпозиции преобразований Бэклунда, можно рассматривать как самостоятельное дискретное уравнение. Роль групповой структуры заключается в том, что при изучении таких уравнений она позволяет оставаться на чисто дискретном уровне. Переходя ближе к содержанию диссертации, отметим, что в работах Адлера [3, 5, 6] и Адлера, Ямилова [30] эта структура описывается тождествами определяющими нелинейное представление группы перестановок. Преобразования Як имеют вид и действуют на последовательности переменных ип и параметров преобразования Бэклунда ап (рис. 0.1 слева). Тождества (0.1) означают, что преобразования, оставляющие на месте параметры, действуют тривиально и на переменных ипэто доказывается из единственности разложения преобразований Дарбу-Бэклунда на элементарные.

Альтернативно, эта же групповая структура описывается при помощи свойства ЗБ-совместности, или совместности вокруг куба, введённого в работах.

-(ад^)3-(вд-)2 = и, зфк±- 1,.

0.1).

Як: а'^ = ак, а’к = <*к-1, а’п = ап, пфк- 1, к, и’к = Р{ик+ъик, ик-ъак,<�Хк-), «п —» п, пфк.

Рис. 0.1. Тождество (RkRk, ,)3 = id. ЗВ-совместность, или совместность вокруг куба.

Найхофа, Уокера [133] и Бобенко, Суриса [43]. Оно относится к квад-уравнениям, то есть уравнениям вида.

U12 = f (u, ui, u2), (0.2) где индекс обозначает сдвиг по дискретной переменной на квадратной решётке. Это свойство означает, что имеются ещё два уравнения такого типа, заданные на ортогональных плоскостях кубической решётки,.

Urs = g (u, Iii, it3), и2з = h (u, и2, и3), и такие, что значения um, вычисленные отсюда тремя возможными способами, тождественно совпадают. Это равносильно тому, что равенства.

U123 = h (u1,f (u, ui, u2), g (u, щ, и3)) 5(u2,/(u, ui, u2),/i (u, tt2, u3)) (0.3) f (u3,g (u, ui, u3), h (u, u2, u3)), должны выполняться тождественно по начальным данным и, щ, и2, щ. Комбинаторная структура этих тождеств поясняется рис. 0.1 справа, где штриховка граней показывает один из трёх возможных способов осуществления отображений. При этом каждая грань куба интерпретируется как диаграмма Бьянки.

Оба определения 3D-совместности работают и в случае, когда поля ассоциированы с рёбрами решётки, что отвечает так называемым отображениям Янга-Бакстера, ещё одному важному классу интегрируемых систем, см. в частности работы Дринфельда [63], Бухштабера [53] и Веселова [183].

Свойство ЗБ-совместности является весьма специальным и можно гарантировать интегрируемость уравнений, для которых оно выполняется. Однако, использовать ех-о для классификации не так-то просто, поскольку условия (0.3) являются функциональными уравнениями относительно /, д, h. Для сравнения, легко видеть, что если бы индекс в (0.2) обозначал частную производную, то вместо (0.3) возникла бы система дифференциальных уравнений, выражающая равенство смешанных производных. Это и имелось в виду, когда говорилось, что условия совместности для непрерывных уравнений проще. Для условий совместности в форме (0.1) ситуация ещё хуже, поскольку здесь приходится рассматривать двукратную композицию функций.

В наиболее общей постановке задача описания ЗО-совместных уравнений до сих пор остаётся открытой. Приведённая в диссертации классификация получена при ряде дополнительных предположений, сводящих (0.3) к алгебраическим уравнениям.

Помимо квад-уравнений и отображений с переменными на рёбрах решётки, в диссертации рассматриваются также дискретные уравнения типа Тоды. Все эти уравнения можно задавать не только на квадратной решётке, но и на достаточно произвольных плоских графах — черта, которой трудно подобрать аналог в непрерывном случае. Такие системы стали изучаться лишь недавно. Обсуждаются некоторые их общие свойства.

Приводятся также результаты, относящиеся к дифференциально-разностным уравнениям типа цепочек Тоды, Руджснарса-Тоды, Абловица-Ладика и Вольтерра.

В двух последних главах свойство совместности на четырёхмерной решётке используется для классификации трёхмерных дискретных уравнений типа АКР.

Методы исследования. В диссертации применяется симметрийный подход к исследованию интегрируемых нелинейных уравнений. Обычно, для эффективной классификации дифференциальных уравнений в частных производных и цепочек, используют, в рамках этого метода, технику основанную на понятиях формальной симметрии и канонических законов сохранения. Глава 8, посвящённая векторным цепочкам Вольтерра, представляет собой довольно типичный пример применения этой техники. В остальных классификационных задачах оказывается достаточным ограничиться вульгарной версией симметрийного подхода, приняв в качестве определяющего свойства наличие всего одной симметрии специального вида. Такое концептуальное упрощение объясняется тем, что наличие у уравнения нетривиальной дискретной симметрии (преобразования Бэклунда) является очень сильным свойством, обеспечивающим интегрируемость. Фактически, преобразование Бэклунда можно интерпретировать, как нелинейную версию представления нулевой кривизны. В результате, оказывается возможным получать всю информацию, нужную для решения классификационной задачи, непосредственно из условий совместности (например, в случае квад-уравнений, из условий (0.3)).

Научная новизна. В работе представлены следующие результаты.

1) Получена классификация ЗБ-совместных квад-уравнений. Основным примером является уравнение (<54), определяющее принцип нелинейной суперпозиции для уравнения Кричевера-Новикова.

2) Исследован вопрос о постановке корректной задачи Коши для уравнений на квад-графе.

3) Дана геометрическая конструкция скалярных квадрирациональных отображений с полями на рёбрах, удовлетворяющих свойству ЗО-совместности.

4) Построены примеры интегрируемых дискретных уравнений типа Тоды на плоских графах. Они связаны с квад-уравнениями на двудольном квад-графе посредством ограничения на вершины одного типа. В случае треугольной решетки и в полунепрерывном случае (отвечающем цепочкам типа Руджс-нарса-Тоды) получена классификация уравнений инвариантных относительно сдвига.

5) Получена классификация одного класса совместных цепочек, связанных с цепочками типа Тоды, Рудженарса-Тоды и Абловица-Ладика. Эти цепочки определяют авто-преобразования Бэклунда для систем типа Полмайера-Лунда-Редже и типа НУШ (нелинейного Шрёдингера).

6) Изучены дискретные аналоги уравнения Ландау-Лифшица: установлена связь между цепочками Склянина и Шабата-Ямилова, исследованы дискретные уравнения типа Тоды, связанные с уравнением ((З4).

7) Получена классификация интегрируемых изотропных уравнений типа цепочки Вольтерра на сфере.

8) Предложено обобщение понятия .'Ш-совмсстности для некоторых трёхмерных уравнений и его геометрическая иллюстрация при помощи тангенциального отображения, заданного на плоских кривых. На основе этого понятия получена классификация трёхмерных дискретных уравнений типа АКР (Кадомцева-Петвиашвили).

Диссертация состоит из десяти глав. Опишем кратко их содержание.

1. V.E. Adler. The tangential map and associated integrable equations. J. Phys. A 42 (2009) 332 004. 17, 229.

2. V.E. Adler, A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. Classification of integrable equations on quad-graphs. The consistency approach. Comm. Math. Phys. 233 (2003) 513−543. 12, 17, 83, 84, 85, 270.

3. V.E. Adler, A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. Geometry of Yang-Baxter maps: pencils of conics and quadrirational mappings. Comm. Anal, and Geom. 12:5 (2004) 967−1007. 14, 128, 129.

4. В. Э. Адлер, А. И. Бобенко, Ю. Б. Сурис. Дискретные нелинейные гиперболические уравнения. Классификация интегрируемых случаев. Фупкц. анализ 43:1 (2009) 3−21. 12, 83.

5. V.E. Adler, A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. The classification of integrable discrete equations of octahedron type. Подаио в печать. 17, 270.

6. В. Э. Адлер, А. Б. Шабат. Обобщенные преобразования Лежандра. Теор. Мат. Физ. 112:2 (1997) 179−194. 14, 156, 157, 177.

7. В. Э. Адлер, А. Б. Шабат. Первые интегралы обобщенных цепочек Тоды. Теор. Мат. Физ. 115:3 (1998) 349−357. 177, 178.

8. V.E. Adler, А.В. Shabat. On the one class of hyperbolic systems. SIGMA 2 (2006) 093. 15, 177.

9. В. Э. Адлер, А. Б. Шабат. Модельное уравнение теории солитонов. Теор. Мат. Физ. 153:1 (2007) 29−45. 18, 270, 271.

10. В. Э. Адлер, А. Б. Шабат, Р. И. Ямилов. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости. Теор. Мат. Физ. 125:3 (2000) 355−424. 17, 177, 178, 206, 271.

11. В. Э. Адлер, С. Я. Старцев. О дискретных аналогах уравнения Лиувилля. Теор. Мат. Физ. 121:2 (1999) 271−284. 17, 230.

12. V.E. Adler, Yu.B. Suris. Q4: Integrable master equation related to an elliptic curve. Int. Math. Res. Notices (2004) 2523−2553. 12, 13, 156.

13. A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. Discrete differential geometry: integrable structure. AMS, Providence, 2009. 8, 47, 230.

14. L.V. Bogdanov, B.G. Konopelchenko. Lattice and^-difference Darboux-Zakharov-Manakov systems via 3-dressing method. J. Phys. A 28:5 (1995) L173−178. 17, 229.

15. L.V. Bogdanov, B.G. Konopelchenko. Analytic-bilinear approach to integrable hierarchies. I. Generalized KP hierarchyII. Multicomponent KP and 2D Toda lattice equations. J. Math. Phys. 39:9 (1998) 4683−4700- 47 014 728. 17, 229.

16. L.V. Bogdanov, B.G. Konopelchenko. Mobius invariant integrable lattice equations associated with KP and 2DTL hierarchies. Phys. Lett. A 256:1 (1999) 39−46. 17, 229.

17. R. Boll, Yu.B. Suris. Non-symmetric discrete Toda systems from quad-graphs. arXiv:0908.2822vl. 14, 157.

18. E. Bour. Theorie de la deformation des surfaces. J. I’Ecole Imp. Poly tech. 19:39 (1862) 1−48. 8.

19. M. Bruschi, O. Ragnisco. On a new integrable Hamiltonian system with nearest-neighbour interaction. Inverse Problems 5:6 (1989) 983−998. 177.

20. M. Bruschi, O. Ragnisco, P.M. Santini, T.G. Zhang. Integrable symplectic maps. Physica D 49:3 (1991) 273−294. 189.

21. B.M. Бухштабер. Отображения Янга-Бакстера. Успехи Mam. Наук 53:6 (1998) 241−242. 9.

22. H.W. Capel, F.W. Nijhoff, V.G. Papageorgiou. Complete integrability of Lagrangian mappings and lattices of KdV type. Phys. Lett. A 155:6−7 (1991) 377−387. 108.

23. A. Doliwa. Geometric discretization of the Toda system. Phys. Lett. A 234 (1997) 187−192. 230.

24. A. Doliwa, P. Grinevich, M. Nieszporski, P.M. Santini. Integrable lattices and their sublattices: Prom the discrete Moutard (discrete Cauchy-Riemann) 4-point equation to the self-adjoint 5-point scheme. J. Math. Phys. 48 (2007) 13 513. 157.

25. A. Doliwa, М. Nicszporski, P.M. Santini. Integrable lattices and their sublattices. II. From the B-quadrilateral lattice to the self-adjoint schemes on the triangular and the honeycomb lattices. J. Math. Phys. 4& (2007) 113 506. 157.

26. A. Doliwa, P.M. Santini. An elementary geometric characterization of the integrable motions of a curve. Phys. Lett. A 185:4 (1994) 373−384. 48, 188.

27. A. Doliwa, P.M. Santini. Multidimensional quadrilateral lattices are integrable. Phys. Lett. A 233:4~6 (1997) 365−372. 17, 230.

28. V.G. Drinfeld. On some unsolved problems in quantum group theory. In «Quantum groups» (Leningrad, 1990), Lecture Notes in Math., 1510, Springer, 1992, p. 1−8. 9, 128.

29. B.C. Дрюма. Об аналитическом решении двумерного уравнения Кортевега-де Вриза (КДВ). Письма в ЖЭТФ 19:12 (1973) 753−755. 229.

30. И. А. Дышгаков, С. П. Новиков. Преобразования Лапласа и симплициаль-ные связности. Успехи Мат. Наук 52:6 (1997) 157−158. 108.

31. P. Etingof. Geometric crystals and set-theoretical solutions to the quantum Yang-Baxter equation. Comm. in Algebra 31:4 (2003) 1961;1973. 128, 129.

32. P. Etingof, T. Schedler, A. Soloviev. Set-theoretical solutions to the quantum Yang-Baxter equation. Duke Math. J. 100:2 (1999) 169−209. 128.

33. H. Flaschka. On the Toda lattice. I. Existence of integrals. II. Inverse scattering solution. Phys. Rev. В 9:4 (1974) 1924;1925; Progr. Theor. Phys. 51:3 (1974) 703−716. 7.

34. E.V. Ferapontov, K.R. Khusnutdinova, S.P. Tsarev. On a class of three-dimensional integrable Lagrangians. Comm. Math. Phys. 261:1 (2006) 225 243. 18, 271.

35. A.S. Fokas. A symmetry approach to exactly solvable evolution equations. J. Math. Phys. 21:6 (1980) 1318−1325. 206.

36. A.S. Fokas, B. Fuchssteiner. Symplectic structures, their Backhand transformations, and hereditary symmetries. Physica D 4-'l (1981) 47−66. 207.

37. A.P. Fordy. Derivative nonlinear Schrodinger equations and Hermitian symmetric spaces. J. Phys. A 17:6 (1984) 1235−1245. 207.

38. А.P. Fordy, P.P. Kulish. Nonlinear Schrodinger equations and simple Lie algebras. Comm. Math. Phys. 89:3 (1983) 427−443. 207.

39. B. Fuchssteiner. Master symmetries, higher order time-dependent symmetries and conserved densities of nonlinear evolution equations. Progr. Theor. Phys. 70:6 (1983) 1508−1522. 178.

40. Е. И. Ганжа, С. П. Царёв. Алгебраическая формула суперпозиции и полнота преобразований Бэклунда (2 + 1)-мерных интегрируемых систем. Успехи Mam. Наук 51:6 (1996) 197−198. 17, 270.

41. R.E. Goldstein, D.M. Petrich. The Kortewcg-de Vries hierarchy as dynamics of closed curves in the plane. Phys. Rev. Lett. 67:23 (1991) 3203−3206. 48.

42. И. З. Голубчик, В. В. Соколов. Многокомпонентное обобщение иерархии уравнения Ландау-Лифшица. Теор. Мат. Физ. 124:1 (2000) 62−71. 189.

43. V.M. Goncharenko, А.P. Veselov. Yang-Baxter maps and matrix solitons. In: New trends in integrability and partial solvability. NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem. 132, pp. 191−197. Kluwer, Bordrecht, 2004. arXiv: math-ph/30 3032vl. 129.

44. Я. И. Грановский, A.C. Жеданов. Решения доменного типа в анизотропных доменных цепочках. Теор. Мат. Физ. 71:1 (1987) 143−153. 189.

45. J. Hietarinta. Permutation-type solutions to the Yang-Baxter and other n-simplcx equations. J. Phys. A 30:13 (1997) 4757−4771. 128.

46. J. Hietarinta. A new two-dimensional lattice model that is «consistent around a cube». J. Phys. A 37:6 (2004) L67−73. 83.

47. J. Hietarinta. Searching for СAC-maps. J. Nonl. Math. Phys. 12:2 suppl. (2005) 223−230. 84.

48. Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. ОНТИ 1936. 230.

49. R. Hirota. Nonlinear partial difference equations. I. A difference analog of the Korteweg-de Vries equation. J. Phys. Soc. Japan 43 (1977) 1424−1433. 7, 84.

50. R. Hirota. Nonlinear partial difference equations. II. Discrete-time Toda equation. J. Phys. Soc. Japan 43 (1977) 2074;2078. 7, 156.

51. R. Hirota. Nonlinear partial difference equations. III. Discrete sine-Gordon equation. J. Phys. Soc. Japan 43 (1977) 2079;2086. 7, 84.

52. R. Hirota. Discrete analog of a generalized Toda equation. J. Phys. Soc. Japan 50:11 (1981) 3785−3791. 7, 17, 22 989| А. Гурвиц, P. Курант. Теория функций. M.: Наука, 1968. 84.

53. L. Infeld, Т.Е. Hull. The factorization method. Rev. Mod. Phys. 23:1 (1951) 21−68. 7, 47.

54. M. Kac, P. van Moerbeke. On an explicitly soluble system of nonlinear differential equations related to certain Toda lattices. Adv. in Math. 16:2 (1975) 160−169. '7, 16, 47.

55. B.B. Kadomtsev, V.I. Petviashvili. On the stability of the solitary waves in the weak-dispersive media. Dokl. Akad. Nauk SSSR 192 (1970) 753−756.229.

56. R.M. Kashaev. On discrete three-dimensional equation associated with the local Yang-Baxter relation. Lett. Math. Phys. 38 (1996) 389−397. 270.

57. P.M. Катаев, И. Г. Корепанов, C.M. Сергеев. Функциональное уравнение тетраэдров. Теор. Mam. Физ. 117:3 (1998) 370−384. 270.

58. A. King, W. Schief. Tetrahedra, octahedra and cubo-octahedra: integrable geometry of multi-ratios. J. Phys. A 36:3 (2003) 785−802. 230.

59. I.G. Korepanov. Algebraic integrable dynamical systems, 2 + 1-dimensional models in wholly discrete space-time, and inhomogeneous models in 2-dimensional statistical physics. arXiv: solv-int/950 6003vl. 271.

60. I.M. Krichevcr. Elliptic analog of the Toda lattice. Int. Math. Res. Notices 20 00:8 383−412. 16, 190.

61. I. Krichever, O. Lipan, P. Wiegmann, A. Zabrodin. Quantum integrable models and discrete classical Hirota equations. Comm. Math. Phys. 188:2 (1997) 267−304. 230.

62. И. М. Кричевер, С. П. Новиков. Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения. Успехи Mam. Наук 35:6 (1980) 47−68. 12, 84.

63. В.A. Kupershmidt. Discrete Lax equations and differential-difference calculus. Paris: Asterisque, 1985. 47.

64. G.L. Lamb, jr. Analytical descriptions of ultrashort optical pulse propagation in a resonant medium. Rev. Mod. Phys. 43:2 (1971) 99−124. 47.

65. G.L. Lamb, jr. Backlund transformations for certain nonlinear evolution equations. J. Math. Phys. 15:12 (1974) 2157−2165. 47.

66. G.L. Lamb, jr. Backlund transformations at the turn of the century. In: Backlund transformations, the Inverse Scattering Method, solitons, and their applications. Lect. Notes in Math. 515, pp. 69−79. Springer-Verlag, 1976.47.

67. G.L. Lamb, jr. Elements of soliton theory. New York: J. Wiley, 1980. 47.

68. P.D. Lax. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves. Comm. Pure Appl. Math. 21 (1968) 467−490. 47.

69. D. Levi. Nonlinear differential difference equations as Backlund transformations. J. Phys. A 14:5 (1981) 1083−1098. 7, 177.

70. D. Levi, L. Pilloni, P.M. Santini. Integrable three-dimensional lattices. J. Phys. A 14:7(1981) 1567 1575. 230.

71. D. Levi, R.I. Yamilov. Conditions for the existence of higher symmetries of evolutionary equations on the lattice. J. Math. Phys. 38:12 (1997) 66 486 674. 206.

72. J.-H. Lu, M. Yan, Y.-Ch. Zhu. On the set-theoretical Yang-Baxter equation. Duke Math. J. 104:1 (2000) 1−18. 128.

73. J.M. Maillet, F.W. Nijhoff. Integrability for multidimensional lattice models. Phys. Lett. В 224:4 (1989) 389−396. 270.

74. S.V. Manakov. On the theory of two-dimensional stationary self-focusing of electromagnetic waves. Sov. Phys. JETP 38:2 (1974) 248−253. 207.

75. C.B. Манаков. О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах. ЖЭТФ 67:2 (1974) 543−555. 7, 16, 47.

76. В. Г. Марихин, А. Б. Шабат. Интегрируемые решетки. Теор. Mam. Физ. 118:2 (1999) 217−228. 177.

77. V.B. Matveev. БагЬоих transformation and the explicit solutions of differential-difference and difference-difference evolution equations. I. Lett. Math. Phys. 3:3 (1979) 217−222. 7.

78. V. Matveev, M. Salle. Barboux transformations and solitons. Springer, 1991. 47, 229.

79. I. Merola, 0. Ragnisco, Т. Gui-Zhang. A novel hierarchy of integrable lattices. Inverse Problems 10:6 (1994) 1315−1334. 178.

80. A.G. Meshkov, M.Ju. Balakhnev. Integrable anisotropic evolution equations on a sphere. SIGMA 1 (2005) 027. 48, 207.

81. A.G. Meshkov, V.V. Sokolov. Integrable evolution equations on the N-dimensional sphere. Comm. Math. Phys. 232:1 (2002) 1−18. 16, 207.

82. А. Г. Мешков, В. В. Соколов. Классификация интегрируемых дивергентных Í-V-компонентных эволюционных систем. Теор. Mam. Физ. 139:2 (2004) 192 208. 207.

83. А. В. Михайлов. Об интегрируемости двумерного обобщения цепочки То-да. Письма в ЖЭТФ 30:7 (1979) 443−448. 229.

84. A.V. Mikhailov, V.S. Novikov. Perturbative symmetry approach. J. Phys. A 35:22 (2002) 4775−4790. 271.

85. A.V. Mikhailov, A.B. Shabat. Integrable deformations of the Heisenberg model. Phys. Lett. A 116:4 (1986) 191−194. 189.

86. A.V. Mikhailov, A.B. Shabat, V.V. Sokolov. The symmetry approach to classification of integrable equations. In What is integrability?, ed. V.E. Zakharov, Berlin: Springer-Verlag, 1991. 8.

87. A.B. Михайлов, A.B. Шабат, Р. И. Ямилов. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем. Успехи Мат. Наук 42:4 (1987) 3−53. 7, 206.

88. A.V. Mikhailov, R.I. Yamilov. Towards classification of (2+l)-dimensional integrable equations. Integrability conditions I. J. Phys. A 31:31 (1998) 6707−6715. 271.

89. T. Miwa. On Hirota’s difference equations. Proc. Japan Acad., Ser. A: Math. Sci. 58:1 (1982) 9−12. 7, 17, 270.

90. J. Moscr, A.P. Veselov. Discrete versions of some classical integrable systems and factorization of matrix polynomials. Comm. Math. Phys. 139 (1991) 217−243. 189.

91. F.W. Nijhoff. Theory of integrable three-dimensional nonlinear lattice equations. Lett. Math. Phys. 9:3 (1985) 235−241. 7.

92. F.W. Nijhoff. Lax pair for the Adler (lattice Krichever-Novikov) system. Phys. Lett. A 297:1−2 (2002) 49−58. 47, 84.

93. F.W. Nijhoff, H.W. Capel. The discrete Korteweg-de Vries equation. Acta Appl. Math. 39:1−3 (1995) 133−158. 84.

94. F.W. Nijhoff, А.Л. Walker. The discrete and continuous Painleve hierarchy and the Garnier system. Glasgow Math. J. 43A (2001) 109−123. 9, 47.

95. J.J.C. Niramo. Darboux transformations and the discrete KP equation. J. Phys. A 30 (1997) 8693−8704. 229.

96. J.J.C. Nimmo, W.K. Schief. Superposition principles associated with the Moutard transformation: an integrable discretization of a (2+l)-dimensional sine-Gordon system, Proc. Roy. Soc. London A 453 (1997) 255−279. 270.

97. J.J.C. Nimmo, W.K. Schief. An integrable discretization of a 2 -I- 1-dimen-sional sine-Gordon equation. Stud. Appl. Math. 100:3 (1998) 295−309. 270.

98. С. П. Новиков, И. А. Дынников. Дискретные спектральные симметрии маломерных дифференциальных операторов и разностных операторов на правильных решетках и двумерных многообразиях. Успехи Mam. Наук 52:5 (1997) 175−234. 108, 230.

99. С. П. Новиков. Оператор Шрёдингсра на графах и топология. Успехи Мат. Наук 52:6 (1997) 177−178. 108.

100. W. Oevel, В. Fuchssteiner, Н. Zhang, О. Ragnisco. Mastersymmetries, angle variables and recursion operator of the relativistic Toda lattice. J. Math. Phys. 30:11 (1989) 2664−2670. 157, 178.

101. V.G. Papageorgiou, F.W. Nijhoff, H.W. Capel. Integrable mappings and nonlinear integrable lattice equations. Phys. Lett. A 147:2−3 (1990) 106 114. 108.

102. V. Papageorgiou, A. Tongas, A. Veselov. Yang-Baxter maps and symmetries of integrable equations on quad-graphs. J. Math. Phys. 47:8 (2006) 83 502. 128, 129.

103. V.G. Papageorgiou, A.G. Tongas. Yang-Baxter maps and multi-field integrable lattice equations. J. Phys. A 40 (2007) 12 677−12 690. 48, 129.

104. G.R.W. Quispel, F.W. Nijhoff, H.W. Capel, J. van der Linden. Linear integral equations and nonlinear difference-difference equations. Physica A 125:2−3 (1984) 344−380. 7, 84.

105. O. Ragnisco. A discrete Neumann system. Phys. Lett. A 167:2 (1992) 165 171. 189 145. 0. Ragnisco, P.M. Santini. A unified algebraic approach to integral and discrete evolution equations. Inverse Problems 6:3 (1990) 441−452. 177, 188, 207.

106. A. Ramani, N. Joshi, B. Grammaticos, T. Tamizhmani. Deconstructing an integrable lattice equation. J. Phys. A 39:8 (2006) L145-L149. 83.

107. S.N.M. Ruijsenaars. Relativistic Toda system. Preprint Stichting Centre for Math, and Сотр. Sciences, Amsterdam, 1986. 156, 177.

108. S.N.M. Ruijsenaars. Rclativistic Toda systems. Comm. Math. Phys. 133:2 (1990) 217−247. 156, 177.

109. W.K. Schief. Isothermic surfaces in spaccs of arbitrary dimension: integrability, discretization and Backlund transformations. A discrete Calapso equation. Stud. Appl. Math. 106:1 (2001) 85−137. 48.

110. W.K. Schief. Lattice geometry of the discrete Darboux, KP, BKP and CKP equations. Menelaus' and Carnot’s theorems. J. Nonl. Math. Phys. 10:2 suppl. (2003) 194 208. 230, 270.

111. E. Schrodinger. A method of determining quantum-mechanical eigenvalues and eigenfunctions. Proc. Roy. Irish Acad. A Jt6 (1940/1941) 9−16. 7.

112. M. Senechal. Quasicrystals and geometry. Cambridge University Press, Cambridge, 1995. 107.

113. A.B. Shabat, R.I. Yamilov. Lattice representations of integrable systems. Phys. Lett. A 130:4,5 (1988) 271−275. 177.

114. A.B. Шабат, Р. И. Ямилов. Симметрии нелинейных цепочек. Алгебра и анализ 2:2 (1990) 183−208. 7, 16, 177, 188.

115. С. И. Свинолупов, В. В. Соколов. Векторно-матричные обобщения классических интегрируемых уравнений. Теор. Мат. Физ. 100:2 (1994) 214 218. 48, 207.

116. V.V. Sokolov, Т. Wolf. Classification of integrable polynomial vector evolution equations. J. Phys. А 34Ц9 (2001) 11 139−11 148. 207.

117. V.V. Sokolov, A.V. Zhiber. On the Darboux integrable hyperbolic equations. Phys. Lett. A 208:4−6 (1995) 303- 308. 177.

118. Ю. В. Сурис. Обобщенные цепочки Тоды в дискретном времени. Алгебра и анализ 2:2 (1990) 141−157. 156.

119. Yu.B. Suris. Discrete time generalized Toda lattices: complete integrability and relation with relativistic Toda lattices. Phys. Lett. A 145:2−3 (1990) 113−119. 156, 177.

120. Yu.B. Suris. Bi-IIamiltonian structure of the qd algorithm and new discretizations of the Toda lattice. Phys. Lett. A 206:3−4 (1995) 153−161. 156.

121. Yu.B. Suris. A discrete-time relativistic Toda lattice. J. Phys. A 29:2 (1996) 451−465. 156.

122. Yu.B. Suris. On some integrable systems related to the Toda lattice. J. Phys. A 30:6 (1997) 2235−2249. 156.

123. Yu.B. Suris. Integrability of V. Adler’s discretization of the Neumann system. Phys. Lett. A 279:5−6 (2001) 327 332. 190.

124. Yu.B. Suris. The problem of integrable discretization: Hamiltonian approach. Basel: Birkhauser, 2003. 16, 177, 188, 189, 207.

125. Yu.B. Suris, A.P. Vcselov. Lax matrices for Yang-Baxter maps. J. Nonl. Math. Phys. 10:2 suppl. (2003) 223−230. 128.

126. S.I. Svinolupov. Generalized Schrodinger equations and Jordan pairs. Comm. Math. Phys. 143:3 (1992) 559−575. 189, 207.

127. S.I. Svinolupov, V.V. Sokolov, R.I. Yamilov. Backlund transformations for integrable evolution equations. Sov. Math. Dokl. 28 (1983) 165−168. 84.

128. S.I. Svinolupov, R.I. Yamilov. The multi-field Schrodinger lattices. Phys. Lett. A 160:6 (1991) 548−552. 178.

129. С. И. Свинолупов, Р. И. Ямилов. Явные автопреобразования для многополевых уравнений Шредингера и йордановы обобщения цепочки Тоды. Теор. Мат. Физ. 98:2 (1994) 207−219. 207.

130. JI. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986. 15, 47, 188, 189, 207.

131. М. Toda. One dimensional dual transformation. J. Phys. Soc. Japan 20 (1965) 2095A. 157.

132. M. Toda. Vibration of a chain with nonlinear interaction. J. Phys. Soc. Japan 22 (1967) 431−436. 7, 156.

133. M. Toda. Theory of nonlinear lattices. Springer-Verlag, 1981. 48, 157.

134. Т. Tsuchida, Т. Wolf. Classification of polynomial integrable systems of mixed scalar and vector evolution equations. I. J. Phys. A 38:35 (2005) 7691−7733. 207.

135. А. П. Веселов. Уравнение Ландау-Лифшица и интегрируемые системы классической механики. Докл. Акад. Наук СССР 270:5 (1983) 1094−1096. 189.

136. А. П. Веселов. Интегрирование стационарной задачи для классической спиновой цепочки. Теор. Мат. Физ. 71:1 (1987) 154−159. 189.

137. А. П. Веселов. Интегрируемые системы с дискретным временем и разностные операторы. Функц. анализ 22:2 (1988) 1−13. 189.

138. А. П. Веселов. Интегрируемые отображения. Успехи Мат. Наук 46:5 (1991) 3−45. 189.

139. А.P. Veselov. Yang-Baxter maps and integrable dynamics. Phys. Lett. A 314:3 (2003) 214−221. 9, 128, 129.

140. A.P. Veselov. Yang-Baxter maps: dynamical point of view. arXiv: math/61 2814vl. 128.

141. А. П. Веселов, А. Б. Шабат. Одевающая цепочка и спектральная теория оператора Шрёдингера. Функц. анализ 27:2 (1993) 1−21. 7, 47.

142. С.М. Viallet. Integrable lattice maps: Qs, a rational version of Q. arXiv:0802.0294vl. 83.

143. H.D. Wahlquist, F.B. Estabrook. Backlund transformations for solutions of the Korteweg-de Vries equation. Phys. Rev. Let. 31:23 (1973) 1386−1390. 47.

144. J.P. Wang. On the structure of (2 + l)-dimensional commutative and noncommutative integrable equations. J. Math. Phys. 47:11 (2006) 113 508. 271.

145. Р. И. Ямилов. О классификации дискретных эволюционных уравнений. Успехи Мат. Паук 38:6 (1983) 155−156. 16, 206.

146. R.I. Yamilov. Classification of Toda type scalar lattices. Proc. NEEDS'93, World Scientific Publ., Singapore, 1993, 423−431. 157, 190.

147. R.I. Yamilov. On the construction of Miura type transformations by others of this kind. Phys. Lett. A 173:1 (1993) 53−57. 129.

148. Р. И. Ямилов. Симметрийный подход к классификации с точки зрения интегрируемых дифференциально-разностных уравнений. Теория преобразований. Диссертация д.ф.-м.н. Уфа, 2000. 15, 172, 177.

149. R.I. Yamilov. Symmetries as integrability criteria for differential-difference equations. J. Phys. A 39 (2006) R541−623. 8, 16, 206, 207.

150. B.E. Захаров, А. Б. Шабат. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах. ЖЭТФ 61:1 (1971) 118−134. 47.

151. В. Е. Захаров, А. Б. Шабат. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассения. I. Фупкц. анализ 8:3 (1974) 43−53. 47, 229.