В настоящее время единственным кандидатом на роль теории, описывающей сильные взаимодействия, является квантовая хромодина-мика (КХД) /1,2/. Эта теория достигла больших успехов при рассмотрении «микроскопических» свойств адронов при больших энергиях (см. например /3−5/). Успехи КХД связаны главным образом с тем, что эффективная константа связи в ней убывает на малых расстояниях /6/ и поэтому там можно использовать теорию возмущений. На больших расстояниях оС5 становится большой и требуется выход за рамки теории возмущений. В последние годы был развит ряд таких методов (упомянем, например, подход, основанный на решеточной формулировке КХД /7−9/, использование правил сумм КХД /10,11/, разложение по числу цветов /12−14/ и т. д.) и найден ряд нетривиальных свойств этой теории /15−18/. Однако, до сих пор, большое число основных проявлений КХД, связанных с физикой больших расстояний (и в особенности с явлением конфайнмента) остаются непонятыми до конца. В этих условиях становятся актуальными сравнительно простые модели, которые воспроизводят те или иные черты КХД, но в которых соответствующие явления могут быть детально изучены (см. например /19−22/). Наиболее простой из них (и первой по времени открытия) остается квантовая электродинамика безмассовых электронов (кварков) в двумерном пространстве-времени (КЭД£) /23/.
Несмотря на простоту КЭД^ (модель — точно решаема /24/) аналогия между ней и КХД оказывается достаточно глубокой. Прежде всего, в модели реализуется невылетание электрического заряда (играющего в КЭД2 роль цвета в КХД) и других квантовых чисел. Этот факт был продемонстрирован еще Швингером /23/ и доказан строго на основе точного операторного решения модели в работе /24/. Физические аспекты этого явления и его возможная связь с конфайнментом в КХД обсуждалась в работах /25−27/.
Подобно КХД модель содержит киральный конденсат /24/, механизм образования которого рассматривался в /28,29/. В настоящее время известно, что киральный конденсат в КХД /30/ играет весьма важную роль в образовании свойств адронов /10,31−32/. Проблема получения ненулевого значения кирального конденсата (в пределе безмассовых кварков) остается одной из центральных в КХД.
В связи с выпадением кирального конденсата в КЭД2, так же как и в КХД возникает 1 Г (1) -проблема /33/. Способы ее решения основанные на аномалии Адлера-Белла-Джакива (АБД) /34, 35/ и использующие, как известно (см. /36/ и обзор /37/) весьма нетривиальные свойства вакуумных состояний (конденсат топологического заряда, 9 -вакуум, необходимость существования духового полюса среди состояний теории) практически совпадают в обеих теориях. Отметим, что первые работы по 1/(1)-проблеме при ее решении в КХД /38/ прямо апеллировали к аналогии с КЭД2″.
Наконец, оказываются очень близкими и некоторые свойства физических процессов в КЭД2 и КХД. К сожалению, в КЭД2 существует только один такой процесс, который является аналогом процесса е+е~ - аннигиляции в адроны /39/. В этом процессе воспроизводятся такие важные, экспериментально наблюдаемые свойства как: «мягкий конфайнмент» /40/ (несмотря на исходный линейный потенциал, действующий между кварками), независимость струй, различие времен экранировки заряда (цвета) и адронизации, партонная модель /39/, рождение последними наиболее быстрых адронов (см. /25,26/ и ссылки там) и т. д.
Из сказанного ясно, что свойства КЭД2 действительно во многом напоминают основные черты КХД. В то же время в КЭД£ эти свойства могут быть изучены и поняты до конца, поскольку модель является точно решаемой. Поскольку в КХД в ряде случаев механизм их возникновения неизвестен, изучение его в КЭД£ представляется актуальной задачей.
Это обстоятельство вызвало появление большого количества работ по данной теме. С тех пор как модель была открыта Швингером в 1962 г. /23/ и решена им методом функциональных уравнений (уравнений Швингера), КЭД^ исследовалась с разнообразных точек зрения. Операторное решение в инвариантной калибровке в формализме Гупты-Блейера /41/ было построено в работе /24/. Физическая интерпретация этого решения и его связь с проблемой обесцвечивания и конфай-нмента в КХД была указана в работах Кошера, Когута и Зускинда /25, 26/. Картина процесса е+е~ - аннигиляции в квазиклассическом подходе и его аналогия с соответствующим процессом в КХД была установлена ь /26/. Дальнейшее обсуждение этого процесса можно найти, например, в работе /42−45/ (см. также /22/). Исследование процесса е+е~ - аннигиляции в простых обобщениях КЭД£ (например в КЭД£ с добавочным векторным бозоном) было проведено в /27/. С диаграммной точки зрения модель изучалась, например, в работах /46,47/. Связь 1 Г (1) проблемы в КЭД2 и соответствующей проблемы в КХД была указана в /38/. Связь кирального конденсата с проблемой обесцвечивания и конфайнмента в КЭД£ впервые обсуждалась в работе /48/.
В работе /49/ модель Швингера рассматривалась при конечной температуре и плотности и было показано, что переход при температуре Т-*оо отвечает фазовому переходу к состоянию в котором кон-файнмент заряда отсутствует. Как известно /50/, решеточные вычисления показывают, что аналогичный вывод справедлив и в КХД. Далее, модель Швингера послужила объектом для целого ряда решеточных исследований, из которых упомянем лишь /51−52/. Именно в этой модели были проверены те методы с помощью которых теперь проводятся вычисления с фермионами в решеточной версии КХД (см. например /53/).
С точки зрения евклидова функционального интеграла модель Швингера обсуждалась впервые в /54/• В этой работе была указана связь конфайнмента в КЭД2 с так называемыми С-инстантонами (псевдочастицами с полуцелым топологическим зарядом — двумерный аналог меронов), введенными ранее в /55/. Далее, в работе /56/ было показано, что сумма по инстантонному газу в КЭД2 правильно воспроизводит все калибровочно инваринатные корреляторы модели. Аналогичная гипотеза в КХД продолжает обсуждаться (см. например /57/ и ссылки там). Связь структуры вакуумов в КЭД2 с нетривиальными калибровочными преобразованиями в этой теории рассматривалась впервые в /55/ и исследовалась далее в работах /58,59/. (Обсуждение аналогичных вопросов в КХД можно найти в ряде работ, упомянем например /60/ и /17/). В /59/ обсуждалось также возможное несохранение фермионно-го числа в КЭД2, а в /61/ на основе развитых там методов — несохранение барионного заряда в реалистической теории.
Миогофлэйворный вариант КЭД2 рассматривался впервые в работе /62/. Ее спектр и свойства возникающих в этой модели киральных конденсатов изучались в /63/ методом, использованным ранее в /24/. Обобщение этой задачи на массивный случай и обсуждение вопросов нарушения флэйворной симметрии можно найти также и в /64,65/.
Список работ, исследующих КЭД2 нетрудно продолжить, но мы ограничимся уже приведенными ссылками.
Целью диссертации было последовательное изучение свойств КЭД2 с кварковой точки зрения и выяснение роли этих свойств в общем мбханизме конфайнмента, действующем в этой модели. Дело в том, что большинство работ по КЭД£ используют подход, основанный на так называемой «бозонизационной» процедуре /66,67/, которая использует как бы непосредственно «адронное» представление для изучаемых величин. Между тем КХД, аналогию с которой мы ищем в КЭД£ формулируется именно в терминах кварков (и глюонов), и выяснение квар-ковой структуры адронов является само по себе весьма сложной проблемой. Поэтому формулировка основных свойств КЭД£ в терминах кварков представляется интересной /68/.
Механизм невылетания я КЭД^ исследовался в ряде работ. Как утверждается в /63,69−70/ этот механизм аналогичен хорошо известному механизму Хиггса /71/, который не способен обеспечить невылетание триальности в реалистической теории. Действительно, как мы увидим ниже, многие черты этого механизма напоминают механизм Хиггса. Однако, по существу, между ними есть принципиальная разница. Прежде всего (как будет показано в диссертации, см. главу 2) в вакууме теории отсутствует какой-либо заряженный конденсат и, следовательно, заряд здесь точно и локально сохраняется, а калибровочная инвариантность спонтанно не нарушена. Возбуждения («ад-роны») являются в КЭД^ связанными состояниями определенного числа кварков и антикваркових волновые функции — собственные функции оператора заряда (и других квантовых чисел) с собственным значением, равным нулю. Иначе говоря, экранировка заряда в КЭД^ является точной, а не статистической (в среднем) как это бывает, когда действует механизм Хиггса. Именно такой, как мы ожидаем, должна быть экранировка цвета в КХД.
Как будет показано в диссертации в КЭД£ действует другой механизм обесцвечивания и невылетания, связанный с поляризацией вакуума безмассовых кварков и основанный на полях, обращающих в нуль кварковый детерминант ?0 (А) для системы фермионов во внешнем поле. Эти поля определяют все характерные свойства моделей КЭД^. Условно их можно разбить на два класса.
Поля первого типа (класса А) запрещают в КЭД2 рождение заряженных (цветных) состояний и обеспечивают локальную экранировку введенных в теорию локальных зарядов. Во всякой теории с невылетанием амплитуда вероятности обнаружить кварк на больших расстояниях от антикварка должна быстро падать с ростом расстояния между ними /7/. Как будет показано в диссертации (глава Ч) в КЭД^ это падение связано с тем, что самосогласованное (с учетом поляризации вакуума) поле кварка является полем класса, А и, следовательно, кварковый детерминант &-(А) для него обращается в нуль. Поэтому оказывается равной нулю и искомая вероятность, которая как мы увидим пропорциональна квадрату модуля 2) (А). Этот механизм представляется единственным способом, с помощью которого поляризация вакуума безмассовых кварков может запретить существование в теории заряженных частиц. Для этого поля, отвечающие каждой заряженной конфигурации должны обращать в нуль кварковый детерминант (А), поскольку как это хорошо известно, именно <�Э (А) описывает эффекты поляризации вакуума. В такой простой теории как КЭД^ этот факт может быть прослежен для любой конфигурации (см. главу 4).
Поля класса, А не только запрещают рождение заряженных частиц, но и обеспечивают экранировку зарядов, введенных в теорию извне. Поля, обращающие в нуль кварковый детерминант, приводят к обязательному рождению новых кварковых пар. Действительно, для данного поля Ю (А) представляет собой амплитуду вероятности не родить не одну пару. Вновь рождаемые пары образуют заряд экранировки в КЭД2.
Если же заряд не будет заэкранирован, то новая конфигурация зарядов вновь создаст поле класса, А и процесс повторяется.
Поля класса, А являются с точки зрения функционального интеграла, полями «нормального» порядка величины. Они хорошо убывают с расстоянием (как I /X/) и действие на них оказывается конечным. Это также есть прямое следствие того факта, что поляризация вакуума уже привела к экранировке исходного (линейно растущего) куло-новского потенциала, действующего между кварками. Здесь уместно сделать следующее замечание.
Ряд исследований /7,8/ связывают конфайнмент кварков в КХД с линейным потенциалом, действующим между статическими кварками, введенными в вакуум чистой глюодинамики. В этом смысле в КЭД£ без кварков конфайнмент задан линейным ростом кулоновского потенциала^. Однако, с введением в КХД легких кварков ситуация кардинально меняется. Здесь, как и в КЭД£, поляризация вакуума кварков должна заэкранировать линейный потенциал чистой глюодинамики (струна между кварками рвется, рождая кварковые пары). Поэтому цветные поля приводящие в чистой глюодинамике к явлению невылетания, в КХД с легкими кварками могут почти не проявляться, а специфика этой теории может определяться совсем другими конфигурациями полей. Аналогия с КЭД^ указывает, что такими полями могли бы быть поля, обращающие в нуль кварковый детерминант.
Важную роль в КЭД£ играет также другой класс полей (поля класса В), которые также обращают в нуль кварковый детерминант, но которые убывают с расстоянием быстрее, чем 1/х. Эти поля характе.
Ряд авторов /63,69−70/ рассматривают КЭД2 с кварками как аналог чистой глюодинамики. Эта аналогия основана на различном характере экранировки в КЭДо целых и дробных зарядов и имеет место, как известно /70/, только для случая массивных кварков. ризуютоя ненулевым значением двумерного аналога топологического заряда. /60/:
От =.
— Эти поля управляют киральными свойствами моделей КЭД2. Свойства процессов, происходящих в этих полях тесно связаны с аномалией Ддлера-Белла-Джакива /34,35/. Благодаря аномалии в полях с ненулевым топологическим зарядом происходит обязательное рождение И и Ь зарядов, хотя исходное взаимодействие (э.м.) сохраняет правый и левый заряд по отдельности. Интерпретация этого явления в кулонов-ской калибровке*^ рассмотрена в диссертации. Прежде всего в КЭД^ поля о ненулевым топологическим зарядом являются обязательно полями класса В, т. е. обращают в нуль кварковый детерминант и следовательно приводят к обязательному рождению дополнительных кварковых пар. Далее, оказывается, что в таких полях пары К и и кварков обладают весьма несимметричным распределением по импульсам. Именно, если От целое число, то (при 0Т" >0) рождается не меньше Ог пар
К и I кварков и антикварков, причем 0 Т I?-кварков (антикварков при &,.<()) и столько же ¿-.-антикварков (кварков) несут очень малые импульсы, стремящиеся к нулю когда объем системы стремится к бесконечности. Эти кварки не учитываются при рассмотрении локальных величин (таких как плотность К и I зарядов) отчего и возникает видимое несохранение правого и левого зарядов.
Оба вида кварков, рождаемых полями В, играют важную роль. Кварки с малыми импульсами С и ^ пары) образуют киральный конденсат модели. При этом процессы, происходящие в полях класса.
В инвариантной калибровке возникает несколько иная интерпретация того же самого явления (см./72/).
В во взаимодействующей теории могут быть описаны как вынужденные переходы в киральные вакуумы модели с обязательным рождением локального Я и Ь зарядов. Локальные же Я и Ь заряды в физических процессах образуют заряд экранировки, причем экранируются не только полный заряд, но и правый и левый заряд кварка по отдельности. После этого взаимодействие нейтральных по всем квантовым числам «адронов» КЭД2 с вакуумом модели отключается и их киральность оказывается сохраняющейся величинойнесмотря на присутствие кираль-ного конденсата.
Поля класса В определяют свойства физических процессов, таких как процесс е+е~ - аннигиляции. (Поля класса, А проявляются только при рассмотрении задачи экранировки). Именно специфика процессов, происходящих в этих полях приводит к таким привлекательным свойствам этого процесса в КЭД^ как различие времен экранировки и адро-низацми, независимость струй и «мягкий» конфайнмент (см.ниже).Механизм невылетания, основанный на полях, обращающих в нуль кварко-вый детерминант кажется не связанным непосредственно с двумерным характером теории и возможно, обобщается на более реалистическую ситуацию. В принципе, он способен также обеспечить и невылетание триальности.
Диссертация построена следующим образом. В первых главах (главы 1−3) изучается кварковая структура физических состояний с точки зрения необходимых для механизма невылетания свойств, а в главе 4 демонстрируется как работает в КЭД£ механизм невылетания, основанный на полях с ЙКА)=0, и как эти поля обеспечивают требуемую квар-ковую структуру состояний. В главе 5 рассмотрен процесс е+е~ -аннигиляции и на основе результатов глав 1−4 обсуждается каким образом заданная кварковая структура состояний и действующий в КЭД^ механизм невылетания определяют те свойства этого процесса, которые приближают его к реалистической теории.
Для того, чтобы определить кварковую структуру состояний КЭД2 в диссертации строится оператор эволюции? (Т) при конечном времени Т. Как известно /73/, этот оператор есть сумма по всем состояниям теории и может быть построен в любом представлении, в том числе и кварковом. Он зависит от операторов рождения и уничтожения, кварков и антикварков, отвечающих «координатам» волновой функции в начальном и конечном состояниях. Представляя &-(Т) в виде, в котором операторы рождения и уничтожения факторизованы друг от друга, можно решить задачу о построении волновой функции системы в кварковом представлении.
В калибровочной теории (как КЭД2) среди состояний теории следует выделить физические, т. е. только те, которые удовлетворяют дополнительному условию выражающему собой закон Гаусса. Соответствующая процедура ведет, как известно /74/, к переходу в кулонов-скую калибровку, которую для случая КЭД2 надо, однако, доопределить. Это построение представляется необходимым, так как в литературе /24,63/ имеются утверждения, что кулоновская калибровка в КЭД2 содержит ряд паталогий, делающих ее бессмысленной. Построение выполненное в главе I, показывает, что физическая часть оператора эволюции в кулоновской калибровке свободна от этих трудностей. Вместе с тем кулоновская калибровка играет в КЭД2 (как и в любой другой теории) выделенную роль, поскольку в ней исключены нефизические степени свободы (так, в двумерном пространстве-времени физическая часть оператора эволюции не зависит вовсе от продольных компонент А0 и А| э.м. потенциала). Все результаты, относящиеся к физическим величинам в этой калибровке являются калибровочно инвариантными и имеют наглядную интерпретацию*-^. Поэтому на протяжении глав 1−5 мы используем кулоновскую калибровку и лишь в Приложении для сравнения показано как действует механизм невылетания в инвариантной калибровке на примере процесса е+е~" - аннигиляции с диаграммной точки зрения (изучается механизм сокращения кварковых сингулярностей).
Оператор эволюции £(Т) в главе I строится для двух вариантов КЭД2*. КЭД2 с одним электроном (модель Швингера /23/) и КЭД£ с несколькими типами (флэйворами) электронов /62/. Сравнение двух вариантов КЭД£ проводится на протяжении всей диссертации и позволяет прояснить многие черты действующего здесь механизма невылетания.
Для того, чтобы вычислить оператор эволюции? (Т) необходимо прежде всего построить оператор эволюции для задачи во внешнем поле, т. е. вычислить кварковый детерминант «й (А) при конечном времени Т и функции Грина С (*,*») в заданном внешнем поле. Обычно используемая процедура определения 8)(А) (при) наталкивается на неопределенность /26/, связанную с ультрафиолетовой расходимостью единственной диаграммы в КЭД-, определяющей в этой теории поляризацию вакуума /26,46/. Обычно эту диаграмму доопределяют исходя из требования калиброванной инвариантности. Как показано, однако, в главе 2 вычисление оператора эволюции в терминах кварков и антикварков дает однозначное (и калибровочно-инвариант-ное) определение для «?) (А) и одновременно правильно доопреде.
Между тем, большинство работ по КЭД? используют инвариантную (лоренцеву) калибровку, что затрудняет интерпретацию получаемых в них результатов. Вычисление средних по вакууму — одновременных функций Грина (например <) требует в других калибровках построения калибровочно инвариантных объектовв данном случае оператора «со струной» (Ч/*(х) ехр^*} д е|х ляет швингеровскую (в коммутаторе двух токов) и адлеровскую /34/ аномалии.
Дальнейшее вычисление (Т) сводится к интегрированию по потенциалу А0 с весом, отвечающим действию э.м. поля. Соответствующий интеграл в КЭД£ оказывается гауссовым, что позволяет провести интегрирование до конца. Одновременно находятся перевальные поля, определяющие все последующие свойства состояний. Это — поля Аи Б-типа, обсуждение роли которых в КЭД£ проводится ниже.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
В диссертации было показано, что невылетание заряженных состояний в КЭД2 обеспечивается полями, которые обращают в нуль квар-ковый детерминант. Эти поля определяют основные свойства моделей КЭД£: I) экранировку заряда (цвета), 2) невылетание квантовых чисел кварков. в КЭД^ с несколькими флэйворами, 3) существование или отсутствие кирального конденсата и решение Т7(1) — проблемы, 4) приводят к «мягкому обесцвечиванию» в процессе е+е~- аннигиляции. Хотя, в КЭД£, конфайнмент кварков задан линейным ростом куло-новского потенциала, не исключено, тем не менее, что механизм невылетания, основанный на полях &-(А)=0, не специфичен только для двумерного пространства-времени. Однако, в настоящее время неизвестно, играют ли поля с подобными свойствами существенную роль в КХД, в четырех измерениях. Все же хотелось бы отметить, что механизм, аналогичный рассмотренному выше, мог бы и в КХД привести к картине, близкой к ожидаемой.
Действительно, известно, что уже вклад простейших конфигураций с £)(А)=0 (инстантонов) способен, по крайней мере, качественно объяснить основные непертурбативные свойства КХД (кварковый и глюонный конденсаты, конденсат топологического заряда и т. д.) помимо конфайнмента. По аналогии с КЭД2 экранировка цвета и в КХД могла бы возникать благодаря тому факту, что кварки создают самосогласованные (с учетом поляризации вакуума) цветные поля, для которых детерминант Я) (А) стремится к нулю когда расстояние между кварками стремится к бесконечности. Это приводит к рождению со стопроцентной вероятностью мягких кварков, экранирующих цветные поля. Кварки создадут барионный ток, который одновременно может экранировать другие квантовые числа кварков. Этот эффект мог бы, в принципе, привести и к экранировке триальности.
По-видимому, экранировка цвета в КХД (неабелевы поля) должна потребовать большого числа кварков (не говоря уже о глюонах). Однако, так как в рассматриваемой картине е+е~-аннигиляции импульсы лидирующих кварков значительно больше импульсов кварков, принимающих участие в экранировке цвета, кажется вероятным, что время экранирования цвета окажется все же много меньше времени ад-ронизации. Поэтому адронн должны рождаться только после того как экранировка цвета уже закончена, а струи уже независимы и бесцветны так же, как и в КЭД^. Поэтому быстрые адроньг (которые рождаются последними} рождались бы в разных струях совершенно независимо. В таком механизме невылетания легкие кварки играли бы фундаментальную роль.
В заключение мне хотелось бы выразить искреннюю признательность своим научным руководителям и соавторам Г. С. Данилову и И. Т. Дятлову за постановку большей части задач, решенных в диссертации, за плодотворное сотрудничество в течение ряда лет и неоценимую помощь в работе над диссертацией. Я глубоко благодарен В. Н. Грибову, Д. И. Дьяконову, Л. Н. Липатову, Л. Л. Франкфурту за внимание к работе и стимулирующие обсуждения.
Мне хотелось бы также поблагодарить всех сотрудников ЛТФ ЛИЯФ, принимавших активное участие в обсуждении многочисленных вопросов, связанных с темой, рассмотренной в диссертации.
