Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического типа с вырождением в одной точке

Теория краевых задач для вырождающихся уравнений гиперболического типа занимает важное место в системе знаний о дифференциальных уравнениях с частными производными. Этот класс уравнений имеет широкое применение в газовой и гидродинамике, теории оболочек, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, теории упругости, пластичности и многих других областях науки и техники. Важную роль в развитии теории дифференциальных уравнений с частными производными в XX веке сыграли работы Ф. Трикоми [76, 77], Ф. И. Франкля [81], С. Л. Соболева [73], И. Г. Петровского [53], М. А. Лаврентьева [43], A.B. Бицадзе [6, 7], J1. Берса [5], К. И. Бабенко [2, 3] и других.

Одним из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является постановка новых задач как по краевым условиям, так и по условиям сопряжения, и поиск методов решения поставленных задач. Последние годы интерес многих математиков вызывают задачи, названные нелокальными. Эти задачи в разные годы изучали A.B. Бицадзе [8], A.A. Самарский [9, 68], М. М. Смирнов [71, 72], В. Н. Врагов [22], А. М. Нахушев [50, 51], В. И. Жегалов [27, 28], А. П. Солдатов [74], А. И. Кожанов [35, 36], К. Б. Сабитов [63, 66], O.A. Репин [60, 61], JI.C. Пулькина [57 — 59], их ученики и последователи.

Одну из задач для вырождающихся уравнений гиперболического типа, вошедшую в математическую литературу под названием Д2, поставил В. Ф. Волкодавов [1]. Задача Аг состоит в отыскании решения уравнения гиперболического типа, когда решение задается на параллельных характеристиках, а условия сопряжения по функции и производной по нормали задаются на линии вырождения. Решение задачи Д2 для различных уравнений и видов областей было получено в работах В. Ф. Волкодавова, Н. Я. Николаева [15], А. Д. Бочкарева [10], JI.A. Лазаренко [45],.

А.И. Мельниковой [14], Г. Н. Зайнуллиной [29], Ю. А. Илюшиной [31], Е. В. Ерофеевой [26], Е. А. Энбом [82] и другими.

Содержание настоящей диссертации связано с краевыми задачами для уравнения гиперболического типа, впервые изученного С. П. Пулькиным [56]: их х иуу Н их = О, «г к которому он пришел при изучении задачи Трикоми для пространственного уравнения. В работе [56] С. П. Пулькиным построена функция Римана для уравнения) = 0 и найдено решение задачи Коши с данными и (х, х) = т (х), х е [0, /г], {их — иу) у=х = р (х), х 6 (0, к). Методом симметрии относительно линии у = х С. П. Пулькиным построены функции Римана-Адамара, на основе которых получены формулы решения задач Дарбу и Коши-Гурса.

Будем записывать уравнение 3(и) = 0 в характеристических координатах хну. Пусть Б — область, ограниченная прямыми х = 0, у = х, у = к. В этой области уравнение Б (и) = 0 примет вид.

Я Р иХу———(их + иу) = 0, (3).

X + у А.

В диссертационной работе Л. А. Лазаренко [45] решены в различных областях задачи Ах и А2. Так, например, на множестве Н = Н и #2, где Н = {(х, у): а < х < у < 6}, Н2 = {(ж, у): а < у < х < Ь}, ею решена задача Ах для уравнения (5) при д > 1. В областях Н и Щ были найдены решения задач Дарбу методом Римана-Адамара, а склеивание проводилось по производной по нормали. В этом случае, как и в других случаях в так называемых трапециевидных областях, Л. А. Лазаренко отступала от точки (0,0).

М.В. Коржавиной как в неограниченной области, так и в ограниченной, решались задачи без отступления от точки (0,0), но задачи Коши-Гурса [38]. Аналогичная картина была и в диссертации Л. А. Игпаткииой [30], когда некоторая пространственная задача была сведена к задаче Д2 в квадрате.

D = {(ж, у): 0 < х, у < 1} при q > 1 для уравнения (5). Но.

JI.A. Игнаткина не отступала от точки (0,0), потому что как и в работе.

38] она решала в треугольных областях D П {у > х) и D П {у < х} задачи.

Коши-Гурса, а решения склеивались по функции на линии у = х. Итак, возникла проблема: почему при решении задачи Дарбу во вспомогательных областях исследователи отходили от точки (0,0)?

Впервые на важность обращения в нуль решения и (рс, у) в точке (0,0) и в нуль на бесконечности обратила внимание М. В. Коржавина [38]: «Уравнение Р.

S (u) = 0 из-за присутствия сингулярного коэффициента — обладает той х особенностью, что и его решения, особенно в гиперболической части области, и решение интегральных уравнений, к которым сводятся краевые задачи, содержат, как правило, множитель —, с чем и связаны налагаемые обычно х ограничения на граничные условия в начале координат." .

Используя общее решение уравнения (S) для случая q = 1, в квадрате D = {(ж, у): 0 < х, у < 1} найдем решения задач Дарбу в каждой из треугольных областей D П {х < у} и D П {х > у] с данными и (0,у) = (р (у), у? [0,1], и (х, х) = г (ж), х Е [0,1]- ix (®, 0) = /(ж), xG [0,1], и (х, х) = т (х), х G [0,1] и сопряжем их по производной по нормали при у = х.

После этого приходим к дифференциальному уравнению относительно неизвестной функции т{х): т'(х) + = G (x), X где.

G{x)=i (m±m+9,{x)+nx)y.

Решение этого уравнения имеет вид т (х) = — - [ G (t) dt.

X X J х.

Теперь видно, что даже если С = 0, а <�р (х), /(х) Е «С1 [0,1], то т{х) обращается в бесконечность в точке х = 0. То есть найдена причина, по которой при д > 1 приходится отступать от точки (0,0) для того, чтобы уйти от обращения решения в бесконечность. Этого можно избежать, если.

1 Г1 считать С, <�р (х), /(х) таковыми, что С = 0, а — / t сИ обращается х о х в нуль при х —> 0. Тогда особенность функции т (х) при х = 0 исчезнет, т (0) будет равняться нулю.

Последние работы В. Ф. Волкодавова были посвящены краевым задачам для уравнений смешанного типа, отличающихся от ранее рассматриваемых тем, что впервые линия изменения типа уравнения является его характеристикой. В постановках этих задач условие сопряжения содержит производную по нормали в области эллиптичности и производную дробного порядка в области гиперболичности. Первые результаты таких исследований были опубликованы в статье В. Ф. Волкодавова и О. Ю. Наумова [15].

Затем Ю. А. Плотниковой [54] рассматривался ряд краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, в том числе и задача Д2, где впервые использовались условия сопряжения с дробной производной на характеристической линии.

В работах Б. А. Энбом [82] изучался вопрос об отыскании решения задачи Д2 для гиперболического уравнения третьего порядка в пространственной области.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертационной работы. Настоящая работа состоит из трех глав. В первой главе рассматривается уравнение ос.

Ь (и) = иху———иу = 0, (1) х + у, а € М, а ф 0 на множестве С = С" и ,.

С = {{х, у): 0 < х < у < к}, = {(х, у): 0 < у < х < К]. Для этого уравнения доказывается существование и единственность решения задачи в следующей постановке.

Задача, Д2. Найти функцию и (х, у) со свойствами:

1) и (х, у) е.

2) L (u) = 0 на множестве G- (3).

3) и (х, у) подчиняется краевым условиям: u (0,y) = ip (y), ye[0,h], (4) u (h, y) = ф (у), у G [О, Л]- (5).

4) и (х, у) подчиняется условию сопряжения v-(y) = b (y)v+(y)iye (0,h), (6) при этом функции ^-(у), v+(y) определяются либо v-(y)= lim (ux-Uy), (7) х—у—^—О v+(y) = limЛих~иу), (8) х-у->+О либо у) = Нш [ (х- ¿-)" А1 ¿-г 1 «(*, у) Л, (9) х—у—О С/Ж ,/0 у) = Нш Л* - гг)» А2, у) Л, (10) я-у-Я-О ах Jx где 0 < Лг- < 1, гг- > 0, г = 1,2, у?(у), ^(у)? Ку) — заданные достаточно гладкие функции.

Комбинируя различные задания функций и-(у) и и+(у) в условии сопряжения (6), получаем ряд краевых задач. Так в § 1.2 находится решение задачи Д2 для уравнения (1), когда функции ^-(у) и у+{у) определяются формулами (7) и (8). Используя решения и-(х, у) и и+(х, у) вспомогательных задачах Дарбу в областях и с данными (4) и и (х, х) = т (гс), х 6 [0, /г], (11).

5) и (11) соответственно, найдены выражения для функций V-{у) и). Принимая во внимание условие сопряжения (6), получаем уравнение относительно неизвестной функции т'(у), которое имеет единственное решение. В этом случае доказана следующая теорема существования и единственности решения задачи Д2.

Теорема 1. Если Ь{у) ф 1 при любом у Е [0, Н] и Ь{у) € С[0,/г] при, а < 1, а при, а > 1 функция Ь (у) предсгпавима в виде Ь (у) = Ъ${у)уа, где Ьо (у) € С[0, /г], Ьо (0) ф О, функции <�р (у), ф (у) принадлеэ/сат классу.

С1 [0, /г], (0) = т (0), ф (1г) = т (/г), то существует единственное решение задачи Д2 для уравнения (1) с условиями (2) — (8).

Отметим, что если Ь (у) = 1 задача (2) — (8) разрешима только в том случае, когда выполняется условие зависимости между функциями (р'(у) и.

Ф'(у) ¦ ч*{у) = -Ф'(у) при произвольной функции т (х) из класса С [0,1г] П С1 (0,1г).

В §§ 1.3, 1.4 решается задача Д2 для уравнения (1) в случае, когда ведется склеивание производных по нормали с одной стороны и производных дробного порядка с другой стороны.

Исходя из решений и-(х, у) и и+(х, у) задач Дарбу в областях и С+ с данными (4), (11) и (5), (11) соответственно, получены выражения для функций !/(у) и ^(у). Используя их, установлены принципы локального экстремума. Доказательство единственности решения задачи Д2 для уравнения (1) проведено на основании принципов локального экстремума. Вопрос существования решения эквивалентно сводится к вопросу разрешимости уравнения Вольтерра II рода относительно функции т'(х) с интегрируемым ядром. В каждом случае сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Д2. Приведем, например, теорему для случая, когда ь>-{у) определяется формулой (9), а — формулой (8).

Теорема 2. Если р (х) прииадлеснсит классу С1 [0,1г], ф (х) прииадлсо1сит классу С2[0,1г], ф'(0) = 0, Ь (у) = 1, 0 < г < 1, а < 1, то существует единственное решение задачи Д2 для уравнения (1) с условиями (2) — (6), (8), (9).

Доказательство этой теоремы проводится методом последовательных приближений.

В § 1.5 рассмотрена задача Д2 для уравнения (1) в случае сопряжения пределов производных дробного порядка (0), (9), (10). Единственность решения доказывается на основании принципов локального экстремума. При этом возникают два интересных случая. Если г = = 0, Ах = Л2, то существование решения задачи Д2 редуцируется к вопросу разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения, а когда г = Т2 — 0, \ > Л2 — к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма II рода с полярным ядром и непрерывной правой частью. Для каждого из указанных случаев доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Д2. Например, для последнего случая справедлива следующая.

Теорема 3. Если гг- = 0, г = 1,2, А1 > А2, функции (р'(х), ф'(х) принадлео1сат классу С[0, /г], то существует единственное решение задачи А2 с условиями (2) — (6), (9), (10).

В главе 2 рассматривается уравнение.

3(и) = иху Н—(и® + иу) = 0, (12) х + у.

0 < 2д < 1, на неограниченном множестве С = и, у) 0 < х < у < +00}, = {(гс, у): 0 < у < х < +00}.

§ 2.1 посвящен введению специальных классов решений Уч для уравнения (12) в каждой из областей и множества С подобно тому, как это делается в [2, 70, 17]. Эти классы вводятся на основе решений задач Коши с данными и (х, х) = т+(х), х Е [0,+оо), (их — иу) у=х = и+(х), х 6 (0, +оо) в области и и (х, х) = т (ж), ж € [0,+оо) и (мх — %)|у=х = р~{х), х € (0,+оо) в области, которые получены С. П. Пулькиным [50] для уравнения (12), где функция т (х) представляется интегралом ф) = (5, д- 1- Л, через новую функцию Т{х).

В § 2.2 получены формулы обращения интегральных уравнений Вольтерра I рода с бесконечным верхним пределом и гипергеометрическими функциями в ядрах.

Г*" «, 52-х2.

Щз)8*Р (д, 1-я-, 1- ^.

Формулы обращения этих уравнении имеют вид.

Т (х) = -т'{х) + д т'(з) (в2)-1'2 Р й, 1 + 2- ¿-в,.

Щх) = -(2х)-'<�ф'(х) + 2-" -29(1 -д) х.

X I™(1 + 1±«- 2- А.

Приводятся теоремы о единственности и существовании решений данных интегральных уравнений.

Опираясь на результаты параграфов 2.1 и 2.2, в § 2.3 доказано существование и единственность решения задачи Гурса в следующей постановке.

Задача Гурса. Найти функцию и (х, у) со свойствами:

1) и (х, у) е С (О) П с1^), иху € С (С);

10 = т (ж), х € [а, +оо), =2~Щх), хе [а, +оо). (13).

2)S (u) = 0, (x, y) eG-,.

3) и (х, у) удовлетворяет краевым условиям lim yqu (x, y) = ф (х), х G [а, +оо), у-++00 lim xqu{x, y) = tp (y), у G [а, +оо) — х—И-оо.

4) и (х, у) удовлетворяет условию сопряжения lim (ux — uy) = ?(x) lim (их — иу), х 6 (а, +оо), у-х-*+0 х-у-*+0 где <�р (х), ф (х), ?(x) — заданные достаточно гладкие функции.

Решение данной задачи находится в явном виде в специальном классе решений Vq, используя решения задач Коши в областях G~ и G+ и формулу обращения интегрального уравнения Вольтерра I рода (13). Доказана.

Теорема 4• Если функции ф (х), Ф{х) принадлеоюагп классу С[а, +оо) П С1 [а, +оо), а их производные <�р'(х), ф'{х) 6 С (а, +оо) П L[a, +оо), ?{x) G С[а, +oo)flL[a, +оо), то существует единственное решение задачи Гурса.

В главе 3 обосновано существование и единственность решения нелокальных задач для уравнения (12) на неограниченном множестве G. Пусть Mi (ж,/г), Мг (/г, х) — аффиксы произвольной точки М (х, х).

Задача Н. Найти функцию и (х, у), обладающую свойствами:

1) и{х, у) е C (G+)n <= С (G~) П Cl{G), иху G C (G);

2) S{u) = 0, (x, y) eG;

3) и (х, у) удовлетворяет краевым условиям и (х, х) = т (х), х? [а, +оо), lim hqu (Mi) + а (х) lim hqu (M2) = ш (х), же[а,+оо) — (14) l->+00 /t—> + 00.

4) и (х, у) удовлетворяет условию сопряжения lim {их — иу) = ?(x) lim (их — иу), х? (а, +оо), у-х-++0 х—2/—> -4−0 где т (х), uj (x), а (х), ?(x) — заданные достаточно гладкие функции.

3) и (х, у) удовлетворяет краевым условиям (14) и lim (их — иу) = lim (их — иу) = v (x), х G (а, +оо), у-х-*+0 х-у->+0 где а (х), lu{x), v{x) — заданные достаточно гладкие функции.

Решения поставленных задач находятся в классе Vq с помощью формулы обращения интегрального уравнения Вольтерра I рода (13). Приведем теорему существования и единственности решения задачи Н2.

Теорема 5. Если функции а (х), а'(х) прииадлеэюат классу С[а, +оо) П С1 [а, +оо), функции и (х), и'{х) и v (x) прииадлсоюат классу ь>(х) = О при х —> оо, pi, р2 > 1 — q, е > 1 + q, то существует единственное решение задачи Н2 .

На защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Доказательство принципа локального экстремума для уравнения (1).

2. Теоремы существования и единственности решения краевых задач для уравнения (1) с условиями сопряжения, содержащими производные дробного порядка, в ограниченной области.

С [а, +оо) и имеют представления.

3. Формулы обращения интегральных уравнений Вольтерра I рода с бесконечным верхним пределом и гипергеометрическими функциями в ядрах.

4. Теорема существования и единственности решения задачи Гурса для уравнения (2) в неограниченной области.

5. Теоремы существования и единственности решения нелокальных задач Н и #2 Для уравнения (2) в неограниченной области.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [83] - [92]. Работы [84], [88], [90] выполнены в соавторстве с научным руководителем В. Ф. Волкодавовым, которому принадлежат постановки задач.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались:

— на областном семинаре по дифференциальным уравнениям в Самарском государственном педагогическом университете в 1996 — 2004 г. г. (научный руководитель д.ф. — м.н., профессор В.Ф. Волкодавов),.

— на научно-технических конференциях сотрудников СамГАСУ по итогам НИР (г. Самара, 1997, 2004, 2005 г.),.

— на межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» в Самарском государственном техническом университете (г. Самара, 1995, 2005 г.),.

— на международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Самара, 26−31 мая 2002 г.),.

— на научном семинаре кафедры математической физики Самарского государственного университета в 2005 г. (научные руководители д.ф. -м.н., профессор О. П. Филатов, д.ф. — м.н., профессор Л.С. Пулькина),.

— на научном семинаре кафедры математического анализа Стерлитамакской государственной педагогической академии в 2005 г. (научные руководители д.ф. — м.н., профессор К. Б. Сабитов и д.ф. -м.н., профессор И.А. Калиев).

В заключении выражаю глубокую благодарность и признательность научному руководителю профессору, доктору физико-математических наук Виктору Филипповичу Волкодавову за предложенную тематику исследований, а также научному консультанту профессору, доктору физико-математических наук Камилю Басировичу Сабитову за ценные замечания, помощь и поддержку в завершении данной диссертации.

1. Андреев A.A., Волкодавов В. Ф. О двух краевых задачах для одного гиперболического уравнения // Волжский мат. сборник.- 1973. Вып. 23. С. 102−111.

2. Бабенко К. И. К теории уравнений смешанного типа. Докт. диссертация д-ра физ.-мат. наук. М., МИАН СССР, 1952. 207 с.

3. Бабенко К. И. О принципе максимума для уравнения Эйлера-Дарбу // Докл. АН СССР.- 1985. Т. 285. т.- С. 777−782.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1965. Т.1 — 294 с.

5. Берс JI. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ, 1961. — 208 с.

6. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа.- Изд-во АН СССР М., 1959. 154 с.

7. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. -М.: Наука, 1981. 448 с.

8. Бицадзе A.B. К теории нелокальных краевых задач // Докл. АН СССР. 1984. Т. 277. № 1. — С. 17−19.

9. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обощениях линейных эллиптических краевых задач // Докл. АН СССР. 1969. Т. 185. Ш. — С. 739−740.

10. Верлань А. Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие. Киев: Наукова Думка, 198G. — 343 с.

11. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.-312 с.

12. Волкодавов В. Ф., Мельникова А. И. Задача с нелокальными краевыми условиями для вырождающегося гиперболического уравнения / Межвузовский сборник научных трудов «Дифференциальные уравнения (Математическая физика)». Куйбышев, 1981. Т. 248. С. 24−31.

13. Волкодавов В. Ф., Наумов О. Ю. Для уравнения смешанного типа задача Т с сопряжением специального вида // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во Института математики, 2002. — С. 41−49.

14. Волкодавов В. Ф., Николаев Н. Я. Об одной специальной функции двух аргументов, встречающейся при решении краевых задач // Аналитические методы решения дифференциальных уравнений Куйбышев. Куйбыш. гос. ун-т. 1986. С. 42−46.

15. Волкодавов В. Ф., Николаев Н. Я. Интегральные уравнения Вольтерра первого рода с некоторыми специальными функциями в ядрах и их приложения. Самара: Изд-во «Самарский университет», 1992. — 138 с.

16. Волкодавов В. Ф., Илюшина Ю. А. Характеристический принцип локального экстремума для одного уравнения гиперболического типа и его применение // Изв. ВУЗов. Матеметика. 2002. № 4. — С. 13−17.

17. Волкодавов В. Ф., Юсупова О. В. Об одном решении уравнений гиперболического типа с двумя линиями вырождения // Доклады 53-й научной конференции. Самара: СГПУ, 2000. — С. 12−14.

18. Врагов В. Н. О задачах Гурса и Дарбу для одного класса гиперболических уравнений // Диф. уравнения. 1972. Т. 8. № 1. С. 7−16.

19. Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск, 1983. — 84 с.

20. Гайсина JI.P. Краевые задачи с обобщенными операторами дробного интегродифференцирования для уравнений гиперболического и смешанного типов. Автореферат диссертации на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. Стерлитамак (СГПИ) 2004. — 16 с.

21. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. — 640 с.

22. Градштейн И. С., Рыоюик И. М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. — 1108 с.

23. Жегалов Б. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывом на переходной линии // Ученые записки Казанского гос. университета. 1962. Т. 122. № 3. — С. 3−16.

24. Жегалов В. И. К задачам со смещениями для уравнения смешанного типа // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Казанский университет, 1980. Вып. 17. — С. 63−73.

25. Зайиуллииа Г. Н. Задача Д2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в классе неограниченных функций // Изв. ВУЗов. Математика 2003. № 3. — С. 15−19.

26. Игнаткииа Л. А. Краевые задачи для некоторых дифференциальных уравнений гиперболического типа с непрерывными и сингулярными коэффициентами. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Самара (СГПУ), 1997. — 105 с.

27. Исяпгилъдин А. Х. Задача Трикоми с нелокальным условием сопряжения для одного уравнения смешанного типа// ДАН. 1992. — Т. 236, К0−5 — С. 787−791.

28. Исяпгилъдин А. Х. Задача Трикоми с нелокальным условиеми сопряжения для обобщенного уравнения Трикоми// Дифференциальные уравнения. 1996 г. — Т. 32, № 3 — С. 1501−1504.

29. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. — 623 с.

30. Kooicanoe А.И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности // Сибирский математический журнал 2005. Т. 46, № 5. — С. 1053−1071.

31. Kooicanoe А. И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2005. Т. 45, № 12 — С. 2168−2184.

32. Kopoicaeuua М. В. Решение некоторых краевых задач для уравнения S в неограниченных областях. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Куйбышев (КГПИ), 1978. — 122с.

33. Kopoicaeuna М. В. Краевая задача для уравнения S с кусочно постоянным параметром в неограимченной области / /Дифференциальные уравнения. Межвузовский сборник научных трудов. Самара, 1995. — С. 15−18.

34. Котляков Н. С., Глииер Э. Б., Смирнов М. М. Основные дцфференциальные уравнения математической физики. М.: Физматиз, 1962.-467 с.

35. Краснов M.JI. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1975. 303 с.

36. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. -830 с.

37. Лаврентьев М. М. Об одной краевой задаче для гиперболической системы // Мат. сборник 1956. 38 60. — С. 451−464.

38. Ладыэ1сенская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. — 408 с.

39. Лазаренко Л. А. Краевые задачи для пространственного уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. паук. Куйбышев (КГПИ), 1976. — 89 с.

40. Лериер М. Е. Принципы максимума и краевые задачи для гиперболических уравнений смешанного типа в неклассических областях.- Самар. гос. техн. ун-т. Самара, 2001. 194 с.

41. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. — 392 с.

42. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. — 512 с.

43. Нахушев А. М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 1. — С. 44−53.

44. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. — 301 с.

45. Нахушев A.M. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик, изд-во КБНЦ РАН, 2000. 299 с.

46. Николаев Н. Я. Некоторые специальные функции, краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными и их приложения. М.: Изд-во ABC, 1997. — 172 с.

47. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. -М.: Физматгиз, 1961 400 с.

48. Плотникова Ю. А. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов со специальными условиями сопряжения. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Стерлитамак (СГПА), 2005. — 113 с.

49. Привалов И. И. Интегральные уравнения. М. — JL, ГТТИ, 1937. -247 с.

50. Пулькин С. П. Некоторые краевые задачи для уравненийиху ± иуу + £их = 0 // Ученые записки КГПИ. Вып. 21. Куйбышев, 1958. Вып. 21- С. 3−41.

51. Пулькина JI.C. Об одной неклассической задаче для вырождающегося гиперболического уравнения // Известия высших учебных заведений. Математика. 1991. № 11. — С. 48−51.

52. Пулькина Л. С. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения // Математические заметки. 1992. Т. 51. № 3. — С. 91−96.

53. Пулькииа JI.С. Задача с нелинейным интегральным условием для уравнения теплопроводности. Тезисы всеросийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения», г. Самара 27 июня-2 июля 2005 г. Самара: Изд-во «Универс — групп», 2005. — С. 64.

54. Репин O.A. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов.- Саратов. Изд-во Саратовского государственного университета. 1992. 161 с.

55. Репин O.A. Нелокальная краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // РАН. 1994. Т. 335. № 3. — С. 295−296.

56. Сабитов К. Б., Ильясов P.P. О некорректности краевых задач для одного класса гиперболических уравнений // Изв. вузов. Математика. 2001. № 5, — С. 59−63.

57. Сабитов К. Б., Сидоренко О. Г. Нелокальная задача для вырождающегося гиперболического уравнения. // Современные проблемы физики и математики: Труды Всерос. науч. конференции (16−18 сентября 2004 г., Стерлитамак) Уфа: Гил ем, 2004. 7 с.

58. Сабитов К. Б., Шарафутдииова Г. Г. Задачи Дарбу для вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения и их приложение в физике: Сборник научных трудов. Стерлитамак. СГПИ, СФАН РБ. 1999. С. 68−82.

59. Сабитов К. Б., Шарафутдииова Г. Г. Задачи Коши-Гурса для вырождающегося гиперболического уравнения // Известия ВУЗов. Математика. 2003, № 5. С. 21−29.

60. Сабитов К. Б. Уравнения математической физики. М.: Высшая школа, 2003. 255 с.

61. Сабитов К. Б. Функциональные, дифференциальные, интегральные уравнения. М.: Высшая школа, 2005. — 671 с.

62. Самарский A.A. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. -1980. Т. 16. № 11. С. 1925;1935.

63. Самко С. Г., Килбас A.A., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.

64. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.-Л.:ГИТТЛ, — 1950. Т. 3. — 672 с.

65. Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Вышэйна школа, 1977. — 158 с.

66. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1970. — 295 с.

67. Соболев C.JI. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. — 444 с.

68. Солдатов А. П. О корректных постановках краевых задач для уравнений смешанного типа // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим система, Суздаль 16 июля, 2002. Владимир: Изд-во Владимирского гос. ун-та. 2002. С. 131−132.

69. Тихонов А. Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1972. 736 с.

70. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных смешанного типа. М.: ИЛ, 1947. — 192 с.

71. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИЛ, 1957. — 192 с.

72. Фадеева О. В. Для одного уравнения гиперболического типа задача Е с дробно-дифференциальным условием сопряжения на характеристике // Научные доклады ежегодной межвузовской 55-ой научной конференции СамГПУ. Самара. Изд-во СамГПУ. 2001. -С. 223−225.

73. Фихтеиголъц ЕМ. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 19G9. Т. 2. — 800 с.

74. Фихтеиголъц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления М.: Наука, 1966. Т. 3. — 656 с.

75. Франкль Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973.-711 с.

76. Эпбом Е. А. Задача Д2 для одного уравнения третьего порядка / / Научные доклады ежегодной межвузовской 55-ой научной конференции СамГПУ. Самара. Изд-во СамГПУ. 2001. — С. 74−80.

77. Куликова H.A. Задача Д⁰ для одного уравнения гиперболического типа / Деп. во ВНИИНТПИ. 1995. Вып. 1. № 11 559. 14 с.

78. Волкодавов В. Ф., Куликова H.A. Две задачи в неограниченной области для одного уравнения гиперболического типа // 1нтегралып перетворення то ix застосування до крайових задач: 36. наук. пр. -Khib: Iii-t математики HAH Украши, 1995. Вип. 8. С. 40−50.

79. Куликова H.A. Единственность решения одной краевой задачи для уравнения S в неограниченной области // Математическое моделирование и краевые задачи: Тезисы докл. 5-ой научн. межвуз. конференции. Самара. 1995. — С. 56.

80. Куликова H.A. Две задачи для одного уравнения гиперболического типа // Тезисы докладов 53-й научно-технической конференции по итогам НИР СамГАСА за 1995 г. Самара, 1996. Ч. I. — С. 42.

81. Куликова H.A. О задачах для уравнения гиперболического типа с вырождением в одной точке / Деп. во ВНИИНТПИ. 1996. Вып. 1. № 11 625. 10 с.

82. Волкодавов В. Ф., Куликова H.A. Задача Д2 для уравнения гиперболического типа с сопряжением пределов производных дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39, № 12. — С. 17 041 707.

83. Куликова H.A. Задача со смещением для уравнения гиперболического типа в неограниченной области // Современные проблемы физики и математики: Труды Всероссийской конференции (16−18 сентября 2004 г., г. Стерлитамак) Уфа: Гилем, 2004. Т. 1. — С. 69−74.