Понятия сферической геометрии

Содержание Введение

§ 1. Начальные понятия сферической геометрии

§ 2. Соответствие между сферической геометрией и планиметрией

§ 3. Сферическая тригонометрия

§ 4. Перемещения сферы

§ 5. Применения сферической геометрии в навигации Заключение Список литературы

Введение

Широко известно, что евклидова геометрия является одной из наиболее древних наук: уже в III в. до н. э. появился класси-ческий труд Евклида—"Начала". Менее известно, что сферическая геометрия лишь немного моложе. Ее первое системати-ческое изложение относится к I—II вв. В книге «Сферика», написанной греческим математиком Менелаем (I в.), изучались свойства сферических треугольников; доказывалось, в частно-сти, что сумма углов сферического треугольника больше 180°. Большой шаг вперед сделал другой греческий математик Клавдий Птолемей (II в.). По существу он первый составил таблицы тригонометрических функций, ввел стереографическую проек-цию.

Так же как и геометрия Евклида, сферическая геометрия возникла при решении задач практического характера, и в пер-вую очередь задач астрономии. Эти задачи были необходимы, например, путешественникам и мореплавателям, которые ориен-тировались по звездам. А поскольку при астрономических наблюдениях удобно считать, что и Солнце, и Луна, и звезды движутся по воображаемой «небесной сфере», то естественно, что для изучения их движения потребовались знания о геометрии сферы. Не случайно поэтому, что самая известная работа Птолемея называлась «Великое математическое построение астрономии в 13 книгах».

Сферическая геометрия быстро нашла применения и при ре-шении сугубо земных задач. Довольно давно появилась гипоте-за о том, что Земля имеет форму шара (радиус Земли с до-вольно большой степенью точности уже в III в. до н. э. вычис-лил Эратосфен). Поэтому для вычисления географических координат, для нахождения курса корабля, для составления географических карт тоже потребовались сведения о сфере.

Однако, чтобы найти основные теоремы и формулы сферической геометрии, понадобилось существенно больше времени, чем для решения задач евклидовой геометрии. Сферическая геометрия последовательно развивалась благодаря работам индий-ских (Ариабхата, V в.) и арабских ученых (Аль-Баттани— IX в.; Абу-Аль Вефа —XI в.), азербайджанского математика Насирэддина Туси (XIII в.). Достраивали здание сферической геометрии европейские математики Региомонтан, Непер, Меркатор и другие. Особую роль здесь сыграли работы Леонарда Эйлера. Благодаря Эйлеру сферическая геометрия приобрела современный вид.

В настоящее время сферическая геометрия особенно широ-кое применение находит в астрономии и геодезии (науке о фор-ме и размерах Земли), навигации и картографии.

Так же как и в планиметрии, в сферической геометрии рас-сматриваются точки и «прямые» (кратчайшие на сфере), расстояния между точками, перемещения. После введения этих понятий мы увидим, что между планиметрией и сферической геометрией много общего, однако имеются и важные различия. Мы познакомимся также с простейшими приложениями сферической геометрии.

§ 1. Начальные понятия сферической геометрии Напомним, что сферой радиуса R>0 с центром в точке О на-зывается множество точек пространства, удаленных от точки О на расстояние R. Сферу с центром О радиуса R будем обозна-чать Сф (О, R). По определению Сф (О, R)==R

Первый вопрос, который мы обсудим, таков: как вдоль сферы измерить кратчайшее расстояние между двумя ее точками A и В? Иными словами, какова кратчайшая линия на сфере, соединяющая точки, А и В?

Простейшие линии на сфере — это окружности (рис. 1), по которым сфера пересекается со всевозможными плоскостями.

Плоскостям, проходящим через центр сферы, отвечают окружности на сфере, имеющие наиболь-ший возможный радиус, равный радиусу сферы R; они называются большими окружностями.

Если точки, А и В сферы (О, R) не диаметрально противо-положны, т. е. не являются концами одного диаметра, то через, А и В можно провести единственную большую окружность, ко-торую мы обозначим (АВ) — она получится в пересечении сфе-ры с однозначно определенной плоскостью АОВ. Пусть [AB]—- меньшая из дуг окружности (АВ), соединяющей точки, А и В. Если рассмотреть дугу любой другой окружности, проходящей через точки, А и В (например, дугу г — рис. 2, а), то оказыва-ется, длина г будет больше длины [AВ]. Чтобы сравнить эти длины, можно поворотом вокруг прямой АВ совместить плоскость дуги г с плоскостью большой окружности (АВ), тогда г будет содержать дугу [АВ] внутри себя (рис. 2, б); как нетрудно понять, отсюда и следует, что длина г больше длины [АВ].

Итак, расстояние между двумя точками при измерении вдоль дуги большого круга меньше, чем при измерении вдоль дуги любой другой окружности. Поэтому естественно определить рас-стояние на сфере следующим образом.

Определение: Сферическим расстоянием между двумя точками сферы называется длина кратчайшей из дуг большой окружности, проведенной через эти точки.

(В случае, когда точки A и В диаметрально противополож-ны, через них можно провести бесконечно много больших ок-ружностей, но все они будут иметь одинаковую длину, равную рR.)

Сферическое расстояние между точками A и В будем обо-значать через |AВ|_s. Нетрудно видеть, что это расстояние мож-но вычислить по формуле

|AВ|_s =R* (1.1)

где — радианная мера угла AOB.

Напомним, что расстояние на плоскости и в пространстве — понятие неопределяемое, но удовлетворяющее трем условиям — аксиомам расстояния:

(I) |AВ|?0, причем |AВ|=0 в том и только в том случае, когда A = В;

(II) для любых точек A и В

|AB|=|BA|

(III) для любых точек А, В и С

|AC|?|AB|+|BC|

(это неравенство называют неравенством треугольника).

В сферической геометрии мы определили понятие расстояния поэтому нужно проверить выполнение важных свойств (I)?(III).

Теорема 1. Для сферического расстояния выполнены ак-сиомы расстояния (I)?(III).

Доказательство. Справедливость аксиом I и II для сферического расстояния очевидна. Используя формулу (1.1), перепи-шем неравенство треугольника |AC|_s?|AB|_s+|BC|_s в виде:

R*? R*+R*

Рассматривая соответствующий чертеж (рис. 3), мы видим, что в случае, когда точки A, B и С не принадлежат одной боль-шой окружности, неравенство треугольника на сфере отвечает известному свойству плоских углов при вершине О трехгран-ного угла ОАВС.

Кратчайшую из двух дуг большой окружности (АВ), про-ходящей через две не диаметрально противоположные точки A и В сферы, естественно назвать отрезком АВ на сфере, а саму большую окружность АВ — прямой на сфере.

Доказывая теорему 1, мы натолкнулись на замечательное со-ответствие между трехгранным углом ОАВС с вершиной в центре сферы и сферическим треугольником ABC — частью сферы, ограниченной отрезками АВ, ВС и СА. Его можно положить в основу определения сферического многоугольника: выпуклым сферическим n-угольником будем называть пересечение сферы с выпуклым n-гранным углом с вершиной в центре сферы (рис. 4). Наконец, проводя из данной точки AСф (О, R) «лу-чи» АВ и АС на сфере (рис. 5), мы видим, что они, «разой-дясь», снова «сходятся» — пересекаются и в диаметрально про-тивоположной точке А'. Часть сферы, заключенная между дуга-ми ABA' и ACA', — это сферический аналог угла на плоскости, двуугольник АА'. Как и выше, двуугольник можно определить как пересечение сферы и двугранного угла с ребром АА' и гра-нями AA’B и AA’C.

Конечно, как и на плоскости, длинной отрезка АВ на сфере назовем расстояние |AB|_s между его концами.

Определение. Величиной угла ВАС между отрезками АВ и АС на сфе-ре называется величина угла между ка-сательными к большим окружностям АВ и АС, проведенными в точке А. Поскольку касательные АВ₁ и АС₁ перпендикулярны радиусу ОА, то угол В₁АС₁ является линейным углом дву-гранного угла, отвечающего двуугольни-ку АА' (рис. 6). Таким образом, величина сферического угла А, равна величине двугранного угла при ребре АА'. Далее как обычно, мы будем вместо слов «величина угла» часто употреб-лять просто слово «угол». Итак, мы ввели понятия прямой, расстояния, отрезка, угла и n-угольника (n?2) на сфере. Непосредственно из определений вытекает следующее важное утверждение.

Теорема 2. Если А₁А₂.А_n — сферический n-угольник, по-лучающийся в пересечении многогранного угла О А₁А₂.А_n со сферой (О, R), то длины сторон этого n-угольника пропорцио-нальны величинам плоских углов многогранного угла:

|A_kA_k+1|_s=

а углы сферического многоугольника соответственно равны двугранным углам многогранного угла.

Это соответствие между сферическими многоугольниками и многогранными углами поможет нам в дальнейшем.

§ 2. Соответствие между сферической геометрией и планиметрией В предыдущем пункте были введены, т. е. определены, важнейшие понятия сферической геометрии — понятия сферического расстояния между двумя точками сферы и сферической прямой большой окружности на сфере. Было показано, что для сферического расстояния выполнены обычные аксиомы расстояния (теорема 1). Напомним, что в планиметрии понятие прямой не определяется—это первичное понятие геометрии плоскости. Требуется, однако, чтобы для прямых на плоскости выполнялись некоторый аксиомы. Выясним, какие из этих аксиом будут справедливы в сферической геометрии для сферических прямых.

Конечно, аксиома, гласящая, что каждая прямая есть множество точек, в сферической геометрии выполняется — большие окружности суть множества точек. Однако уже со следующей: для любых двух точек, А и В существует единственная содержащая эти точки прямая — дело обстоит сложнее. Если точки, А и В сферы не являются диаметрально противоположными — то это предложение верно, но для диаметрально противоположных точек, А и В существует бесконечно много сферических прямых, содержащих эти точки: пересечение сферы с любой плоскостью, содержащей диаметр АВ, даст такую прямую. Можно сказать, что эта аксиома «почти» выполняется на сфере. Оговорка «почти» приводит к замеча-тельным следствиям.

Теорема 3. Любые две различные прямые на сфере (т. е. большие окружности) пересекаются в двух диаметрально противоположных точках сферы.

Доказательство. Если б и в — плоскости двух различ-ных больших окружностей на сфере (О, R), то Об и Ов,-поэтому б и в пересекаются по некоторой прямой l, проходящей через центр сферы. Прямая l пересекается со сферой в двух диаметрально противоположных точках, которые и будут общими точками рассматриваемых больших окружностей.

Из этой теоремы вытекает, что в сферической геометрии нет содержательного понятия параллельности — нет различных параллельных прямых. Разумеется, не выполняется и аксиома параллельных, а следовательно, не имеет смысла говорить и о параллельных переносах В планиметрии одна из трех различных точек, принадлежащих одной прямой, лежит между двумя другими (если скажем, точка В лежит между, А и С, то это означает, что |АВ| + |ВС| = |AC| тогда В принадлежит отрезку AC). В сферической геометрии такое понятие «лежать между» определить нельзя например, если точки А, В и С лежат на большой окружности и разделены дугами градусной меры 120° (рис. 7), то ни про одну из них нельзя сказать, что она лежит между двумя другими. Грубо говоря, это объясняется тем, что в планиметрии точка разбивает прямую на два «отдельных» множества — открытых луча, а на сфере это неверно. Таким образом, об аксиомах порядка на сферических прямых говорить не приходится.

Одна из аксиом планиметрии гласит: всякая прямая разбивает плоскость на две открытые полуплоскости —два непустых множества, таких, что для точек, А и В, принадлежащих разным множествам, отрезок АВ пересекает данную прямую, а если, А и В принадлежат одному множеству, то [АВ] не пересе-кает прямую. Легко видеть, что это утверждение верно и в сферической геометрии: большая окружность разбивает сферу на две открытые полусферы, причем выполнены соответствующие требования (рис. 8). Мы проанализировали все планиметрические аксиомы. Оказалось, что некоторые из аксиом выполняются или «почти» выполняются и в сферической геометрии, другие же приходится отбросить. Сферическую геометрию можно рассматривать как модель геометрии, в которой некоторые обычные аксиомы геометрии не справедливы, т. е. как простейшую модель неевклидовой геометрии.

Вообще, говоря о моделях геометрии, подразумевают некоторое множество точек, вместе с совокупностью выделенных подмножеств этого множества, называемых прямыми. Геометрические модели возникают при изучении геометрических свойств окружающего реального мира; при этом абстрагируются от всяких физических и прочих не геометрических свойств. Так, при изучении геометрии поверхности Земли на сравнительно больших, «плоских» участках возникла обычная, так называемая евклидова геометрия (планиметрия). Как уже говорилось выше, потребности астрономии и навигации привели к геометрии с другими, иногда сходными с планиметрическими, а иногда существенно отличными свойствами, к сферической геомет-рии. Модели геометрий с различными свойствами можно мыс-лить и совсем абстрактно, отвлекаясь от геометрических свойств реального мира. Такие модели помогают анализировать сущ-ность различных геометрических понятий и связь между ними.

§ 3. Сферическая тригонометрия Длины сторон и величины углов произвольного треуголь-ника на плоскости связаны между собой определенными соотношениями, важнейшие из которых называются теоремами ко-синусов и синусов:

В этих формулах a, b, c-длины сторон треугольника ABC, лежащих соответственно против углов A, B и С. Эта формулы позволяют по трем эле-ментам треугольника длинам сторон и углам — восстановить остальные три элемента. Они применяются при решении практических задач, например в геодезии. В этом параграфе мы выведем аналогичные соотношения для сфе-рических треугольников.

Напомним, что сферическому тре-угольнику ABC на сфере (О, R) от-вечает трехгранный угол OABC, причем величины углов A, В и С этого треугольника равны величинам двугранных углов при соответствующих ребрах ОА, ОВ, ОС трехгранного угла, а длины противолежащих сторон а, b, с связаны с соответствующими плоскими углами трехгранного угла (рис. 9) формулами, где R-радиус сферы (см. § 1, теорема 2). Поскольку значение R фиксировано, вместо длин сторон а, b и с будем рассматривать плоские углы б, в и г Теорема косинусов для сферических треугольников или для трехгранных углов должна получиться в результате следующей задачи: зная плоские углы б и в, а также двугранный угол между ними, найти третий плоский угол г трехгранного угла ОABC (рис. 10). Изложим решение этой задачи.

Конечно, г отыскивается с помощью обычной теоремы косинусов, примененной к некоторому треугольнику OA₁B₁, где А₁ [ОА), B₁ [OB). Чтобы ввести в рассмотрение данный двугранный угол, возьмем на ребре ОС произвольную точку С₁ и построим линейный угол А₁С₁В₁ двугранного угла при этом ребре. Для этого проведем прямые С₁А₁ и С₁В₁в плоскостях соот-ветствующих граней до пересечения с ребрам ОА и ОВ в точках А₁ и В₁:

(С₁А₁)(ОС), (С₁В₁)(ОС)

(рис. 10); мы ограничимся пока случаем острых плоских углов б и в. Осталось дважды применить теорему косинусов — сначала к треугольнику А₁С₁В₁ а затем к треугольнику ОА₁В₁. Про-ведем необходимые вычисления.

Если |OC₁|=z, то |C₁A₁|=z tgв, |C₁B₁|=z tgб; поскольку, то С другой стороны, в треугольнике ОА₁В₁ имеем:

поэтому приравняв правые части формул (3.1), (3.2) и воспользовавшись известным соотношением получим:

.

Отсюда после сокращений получаем:

и, наконец, Это и есть знаменитая теорема косинусов сферической три-гонометрии.

Прежде чем доказать аналог теоремы синусов для сфери-ческих треугольников, напомним одно из доказательств теоремы синусов для плоских треугольников. Проведем в треугольнике АВС высоту СН (рис. 11). Тогда независимо от величины уг-лов, А и В длина высоты связана с длинами противолежащих сторон соотношениями откуда следует, что Точно так же доказывается и второе равенство в теореме си-нусов.

В сферическом треугольнике ABC тоже можно провести вы-соту СН — дугу большой окружности, перпендикулярную боль-шой окружности АВ (рис. 12). Длине высоты |СН|_s отвечает величина угла СОH: если, то |CH|_s=Rц. Это наводит на следующее построение для соответствующего трехгранного угла ОАВС. Возьмем на ребре ОС произвольную точку C₁ и проведем из нее перпендикуляры С₁А₁ к (ОA), С₁В₁ к (ОB) и С₁Н₁ к плоскости ОАВ (см. рис. 13); мы опять рассматриваем случай острых углов б, в,. По теореме о трех перпендику-лярах (H₁A₁)(OA), (H₁B₁)(OB), поэтому углы C₁A₁H₁ и C₁B₁H₁ будут линейными углами соответствующих двугранных углов:. Из прямоугольных треугольников OA₁C₁ и С₁Н₁А₁, обозначив |OC₁|=z, находим:

(3.4)

Аналогично из прямоугольных треугольников ОВ₁С₁ и C₁H₁B₁

3.5)

Приравнивая правые части равенств (3.4) и (3.5), получим:

откуда Точно так же доказывается, что Получающиеся в итоге формулы и составляют содержание теоремы синусов для сферических треугольников или трехгранных углов.

В заключение рассмотрим вопрос о связи обычных планиметрических и сферических теорем синусов и косинусов. Заметим, что внешне формулы косинусов на плоскости и на сфере не-похожи. С другой стороны, на маленьких участках сферу мож-но считать «почти плоской», тогда (т. е. при малых по сравне-нию с радиусом R сферы длинах сторон сферического треуголь-ника ABC) сферическая теорема косинусов должна «почти перейти» в планиметрическую, и то же самое для теоремы сину-сов. Проверим, так ли это.

Длины сторон а, b, с сферического треугольника ABC свя-заны с соответствующими плоскими углами б, в, г трехгранного угла ОАВС формулами

поэтому рассматриваемый случай (а, b, с много меньше, чем R) отвечает тому, что б0, в0, г0. Вспомним, что при малых ц зна-чение sinц приближенно равно ц:

Отсюда можно вывести аналогичную приближенную формулу для соsц при малых ц:

Подставляя соответствующие приближения в формулы сину-сов и косинусов (формулы (6) и (3)), получим приближенные формулы для малых сферических треугольников:

сферическая тригонометрия навигация аксиома откуда

(мы отбросили в предпоследнем соотношении слагаемое четвер-той степени, поскольку оно мало по сравнению со слагаемыми второй степени —). Подставляя в полученные формулы, мы действительно получим обычные теоремы синусов и косинусов!

§ 4. Перемещения сферы По аналогии с планиметрией можно определить перемещение сферы как такое отображение f сферы на себя, при кото-ром сохраняются расстояния между любыми двумя точками сферы:

если

Простейшим примером перемещения сферы является поворот сферы вокруг любой оси, проходящей через центр сферы. В от-личие от поворота плоскости такой поворот сферы имеет два «центра"—две диаметрально противоположные точки (А и А' на рис. 14), которые остаются неподвижными при повороте. Сим-метрия сферы относительно плоскости б, проходящей через центр сферы, также является перемещением сферы. Это преоб-разование вполне аналогично симметрии плоскости относитель-но прямой — роль оси симметрии играет большая окружность, получающаяся при пересечении плоскости б со сферой (рис. 15). Наконец, сфера отображается на себя при симметрии Z₀ относительно своего центра (рис 16).

Две фигуры на сфере называются конгруэнтными (), если существует перемещение сферы, отображающее первую фигуру на вторую.

Например, треугольники Т, Т₁ и T', изображенные на рисунке 17, конгруэнтны. Заметим, что треугольники Т и Т' нельзя «на-ложить» один на другой, «вырезав» их из сферы, подобно тому, нельзя совместить между собой правую и левую руку. Такие конгруэнтные фигуры иногда называют зеркально-конгруэнтными (отметим, что на плоскости таких фигур не бывает, так как одну фигуру всегда можно «наложить» на конгруэнт-ную ей фигуру; правда, для этого, может быть, придется выве-сти первую фигуру в пространство).

Как и в планиметрии, композиция любых двух перемещений сферы снова является перемещением сферы. Рассмотрим пример.

Пример. Композиция S₂ ° S₁ двух симметрии относи-тельно плоскостей «1» и «2», как нетрудно видеть, будет пово-ротом вокруг прямой l, по которой пересекаются эти плоскости (рис. 18). Если угол между плоскостями равен ц, то угол пово-рота равен 2ц (см. рис. 18). Конечно, верно и обратное: поворот вокруг оси l на угол ц можно представить как ком-позицию симметрии относительно двух плоскостей, которые проходят через прямую l и образуют друг с другом угол .

Оказывается, что любое перемещение сферы можно предста-вить в виде композиции симметрии относительно плоскостей. Справедливо следующее утверждение.

Лемма. Произвольное перемещение f сферы (О, R) явля-ется либо тождественным преобразованием Е, т. е. f (M) =М для любой точки М, либо симметрией относительно некоторой плоскости, либо композицией двух или трех симметрии относи-тельно плоскостей: f=E, или f=S₁ или f=S₂°S₁ f=S₃°S₂°S_1.

Мы докажем эту лемму, опираясь на следующее допущение: если A, В и С— три точки сферы, не принадлежащие одной большой окружности, а точки А', В' и С' таковы, что |A'В'|_s=|AB|_s, |A'C'|_s=|AC|_s, |B'C'|_s=|BC|_s т. е. длины сторон сферических треугольников ABC и А’В’С' соответственно равны, то существует не более одного перемещения сферы, при котором точка, А переходит в точку А', точка В — в В' и точка С — в С'.

Наглядно это утверждение ясно. Действительно, если мы совместим точку, А с А', а точку В с В', то для точки С оста-ется только две возможности — либо С совпадает с С', либо С совпадает с точкой С", симметричной с С' относительно плоскости ОА’В' (рис. 20). А поскольку мы знаем, что точка С должна перейти в С', остается одна возможность: СС' (об-разы остальных точек сферы при этом определяются одно-значно).

Доказательство леммы. Пусть f — произвольное перемещение сферы. Рассмотрим три точки A, В и С сферы, не принадлежащие одной большой ок-ружности, и их образы A', В' и С' при перемещении f; тогда эти точки удов-летворяют условиям сделанного выше допущения. Идея дальнейшего рассужде-ния состоит в том, чтобы последователь-ными симметриями относительно плоско-стей перевести точку, А в A', точку В — в В', С — в С'. Для этого потребуется не более трех симметрии, а при их компо-зиции все три точки A, В, С перейдут со-ответственно в точки A', В' и С'. По-скольку любая композиция симметрии является перемещением, из допущения о единственности перемещения, отобра-жающего точки A, В и С на точки A', В' и С' соответственно, следует, что f сов-падает с построенной композицией. Пе-рейдем к построению композиции сим-метрии, последовательно разобрав все возможные случаи.

Случай 1. A'=A, В'=В, С'=С.

Очевидно, что в этом случае f=E.

Случай 2. A'=A, В'=В, С'?С.

Поскольку точки С и С' равноудалены от точек A и В, они симметричны относительно плоскости «1"=(ОAВ) (см. рис.20), поэтому при симметрии S₁ точки A, В, С переходят в A'=A, В'=В, С' и f=S₁.

Случай 3. A'=A, В'?В, С'?С.

Рассмотрим плоскость симметрии точек В и В' — это бу-дет плоскость «1», проведенная через середину отрезка ВВ' перпендикулярно ему (рис. 21). Плоскость «1″ состоит из то-чек, равноудаленных от В и В', поэтому точки О (центр сферы) и A=A' принадлежат этой плос-кости (|ОВ| = |ОВ'|=R, |AВ| = |A'B'|=|AВ'|, ибо |AВ|_s,= |A'В'|_s и A'=A). Следовательно, при симметрии S₁ сфера (О, R) отображается на себя (О"1″), причем точки A и В переходят в точки A'=A и В'. Для точки С (см. рис. 20) име-ется две возможности — либо С переходит в С', и тогда f=S₁, либо С переходит в С», и тогда нужно рассмотреть симметрию S₂ относительно плоскости «2"=(ОA'В'). При композиции S₂°S₁ точки A, В, С переходят в точки A', В', С', поэтому f=S₂°S₁.

Случай 4. A'?A, В'?В, С'?С.

Рассмотрим плоскость симметрии точек A и A' —пусть это будет плоскость «1». При симметрии S₁ точка, А отображается на A', а точки В и С — на какие-то точки В₁ и С₁. Может случиться, что B'=В, С'=С, тогда f=S₁. Если B₁=B', C₁?C', то применяем рассуждения случая 2, тогда f=S₂°S₁, где «2"=(ОA'В'). Наконец, если В₁?В', С1? С', то применяем рассуж-дения случая 3, тогда либо f=S₂°S₁, где «2"—плоскость симметрии точек В₁ и В', либо f=S₂°S₁, либо f =S₃°S₂°S₁, где «2"—та же плоскость, а «3"== (ОA'В').

Лемма доказана.

Исходя из этой леммы, можно полностью классифицировать перемещения сферы: f=E —тождественное преобразование, ли-бо f=S₁ — симметрия, либо f=S₂°S₁=—поворот (см. пример). Остается разобрать случай f =S₃°S₂°S₁. Оказы-вается, справедливо следующее утверждение.

Теорема 4 (Эйлера). Любое перемещение сферы есть либо тождественное преобразование, либо поворот относительно оси, либо симметрия относительно плоскости, либо вращатель-ная симметрия.

(Вращательной симметрией называется композиция S_б° поворота относительно оси k и симметрии относитель-но плоскости б, перпендикулярной к оси k; обычную симметрию можно рассматривать как частный случай вращательной сим-метрии — щ=0.)

Доказательство. Нам осталось рассмотреть единствен-ный случай — перемещение f сферы представляется в виде ком-позиции трех симметрии, т. е. f =S₃°S₂°S₁. Композиция двух симметрии S₂°S₁ есть поворот относительно пря-мой l, являющейся пересечением плоскостей «1» и «2». Эта композиция не изменится, если повернуть плоскости «1» и «2» относительно оси l на один и тот же угол (после поворота угол между плоскостями по-прежнему будет равен см. пример). Повернем плоскости «1» и «2» так, чтобы плоскость «2» стала перпендикулярной к плоскости «3, и рассмотрим еще одну плоскость симметрии сферы, пер-пендикулярную плоскостям «2» и «3», пусть это будет плоскость «0». Заметим, что S₀°S₀ =E — тождественное преобразование, поэтому f можно записать в виде

f =S₃°S₂°S₁= S₃°S₂°E°S₁= S₃°S₂°(S₀°S₀) °S₁= (S₃°S₂° S₀)°(S₀)°S₁).

Поскольку плоскости «0», «2» и «3» взаимно перпендикуляр-ны, S₃°S₂°S₁=Z₀— центральная симметрия, а S₀°S₁=—поворот вокруг прямой пересечения плоско-стей «0» и «1». Таким образом, f=Z₀°.

Проведем теперь плоскость симметрии сферы б, перпендику-лярную оси k. Рисунок 22 показывает, что центральная сим-метрия z₀ представляется как композиция осевой симметрии и симметрии S_б, т. е. Z₀=S_б°. Следовательно, рассматривая перемещение f можно записать в виде

где щ=р+ц.

Это и требовалось доказать.

В заключение отметим, что в ходе доказательства леммы показана кон-груэнтность сферических треугольни-ков со сторонами соответственно рав-ной длины.

Аналогичные рассуждения доказывают еще два признака конгру-энтности сферических треугольников — по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам.

Эти три признака отвечают трем признакам конгруэнтности тре-угольников на плоскости.

Оказывается, в сферической геоме-трии имеет место еще один признак конгруэнтности треуголь-ников—по трем углам.

§ 5. Применения сферической геометрии в навигации Навигация (это слово происходит от латинского navigatio — плыву на судне) —одна из наиболее древних наук. Простейшие задачи навигации, такие, например, как определение кратчай-шего маршрута, выбор направления движения, встали перед са-мыми первыми мореплавателями. В настоящее время эти же и другие задачи приходится решать не только морякам, но и летчикам, и космонавтам. Некоторые понятия и задачи навига-ции, тесно связанные со сферической геометрией, рассмотрим подробнее.

Задача 1. Известны географические координаты — широ-та и долгота пунктов A и В земной поверхности:. Требуется найти кратчайшее расстояние между пунктами A и В вдоль земной поверхности (радиус Земли считается изве-стным: R = 6371 км).

Решение: Напомним сначала, что широтой пункта М зем-ной поверхности называется величина ц_M угла, образованного радиусом ОМ, где О —центр Земли, с плоскостью экватора: -90°? ц_M ?90°, причем к северу от экватора широта считается положительной, а к югу—отрицательной (рис. 23).

Долгота л_M пункта М есть величина двугранного угла между плоскостя-ми СОМ и СОH, где С — Северный полюс Земли, а H —точка, отвечающая гринвичской обсерватории: -180°? л_M ?180° (к востоку от гринвичского меридиана долгота считается положи-тельной, к западу — отрицательной).

Как уже известно, кратчайшее расстояние между пунктами A и В земной поверхности — это длина меньшей из дуг боль-шой окружности, соединяющей A и B (такую дугу называют ортодромией — в переводе с греческого означает «прямой бег»).

Поэтому наша задача сводится к определению длины стороны АВ сферического треугольника ABC (С—северный полюс). Применяя стандартные обозначения для элементов треугольника AВС и соот-ветствующего трехгранного угла ОАВС, из условия задачи находим: (рис. 24). Угол С также нетрудно выразить через коор-динаты точек, А и В. По определению поэтому либо, если, либо, если. Зная, находим с помощью теоремы косинусов:

Зная cosг и, следовательно, угол г, находим искомое расстояние .

3адача 2. Вычислить начальный курс корабля при движе-нии по ортодромии из, А в B, если известны географические координаты этих точек

Решение. Сначала уточним условие. Курсом корабля в точке М называется величина угла, образованного меридианом, проходящим через М, и продольной плоскостью судна. Таким образом, начальный курс судна в точке, А — это угол CAB (рис. 24). Для вычисления этого угла применим теорему косинусов к сферическому треугольнику ABC:

.

Подставляя найденное значение cosг (см. задачу 1), полу-чаем:

Хотя ортодромия и является кратчайшим путем на сфере, самолеты и корабли движутся иными маршрутами. Дело в том, что ортодромия, отличная от дуги меридиана или экватора, пересекает различные меридианы под различными углами, и, следовательно, при движении по ортодромии приходится непре-рывно менять куре. Это, конечно, практически неосуществимо. Намного проще плавать по постоянному курсу. Кривые, которые пересекают меридианы под постоянным углом, называют локсодромиями (в переводе «косой бег»). На рисунке 25 показана локсодромия, пересекающая все меридианы под углом 70 Конечно, при движении по локсодромиям путь удлиняется. Но если пункты, А и В находятся сравнительно близко друг от друга, то удлинение пути по сравнению с движением по ортодромии довольно незначительно. Если же сферическое расстояние велико, то и проигрыш при движении по локсодромии достигает большой величины. Тогда поступают следующим образом: рассчи-тывают ортодромию, связывающую A и В, вычисляют координа-ты нескольких промежуточных точек: A₀=A, A₁ …, A_n=В, за-тем определяют курс по локсодромиям, связывающим A₀ и А₁, А₁ и A₂, …, и следуют этими курсами. Разумеется, чем больше", промежуточных точек нанесено на ортодромию, тем меньше этот: маршрут отличается от ортодромии (в морской практике про-межуточные точки намечают, как правило, так, чтобы они от-личались по долготе на 10°).

Для прокладки курса описанным способом необходимо ре-шить ряд задач. Одна из них такова:

Задача 3. Найти соотношение, позволяющее по координа-там точек A и В вычислить координаты промежуточных точек ортодромии АВ.

(Иными словами, требуется вывести уравнение ортодромий, соединяющей A и В.)

Решение. Заметим сначала, что если данные точки лежат на одном меридиане или экваторе, то уравнение ортодромии находится легко: л=const или ц = 0°. Если это не так, то ор-тодромия пересекает экватор в некоторой точке A₀. Обозначим долготу точки A₀ через л₀, а угол, образованный ортодромией АВ с экватором, через k₀. Выведем сначала уравнение орто-дромии в предположении, что k₀ и л₀ известны.

Пусть Х (ц, л) —произвольная точка этой ортодромии, а У — точка пересечения меридиана, проходящего через X, с эквато-ром. Тогда треугольник А₀ХY — прямоугольный. Рассмотрим его.

По теореме синусов Так как, то, обозначив через в, а угол через г, получим:

По теореме косинусов Отсюда из (5.1) и (5.2) получаем:

По сферической теореме Пифагора Отсюда От полученного уравнения ортодромии по ее угловому коэффициенту (соотношение 5.3) можно перейти к ее уравнению по двум точкам A (л₁, ц₁) и B (л₂, ц₂). Дело сводится к решению системы двух уравнений относительно. В самом деле, координаты точек, А и В удовлетворяют уравнению (5.3). Поэтому Отсюда Из (5.4) и (5.5) следует:

Так как имеем:

Из этого соотношения находится л₀, а из уравнения (5.3)—k₀.

Решение задачи 3 позволяет находить координаты точек ортодромии, соединяющей A (л₁, ц₁) с B (л₂, ц₂). Но для того чтобы проложить курс из, А в B, требуется также и умение решать следующую задачу: зная координаты точек, А и В, найти курс при движении корабля по локсодромии АВ. Для решения этой задачи можно вывести уравнение локсодромии АВ. Но существует и более простой способ.

Этот способ связан с другой проблемой навигации — проб-лемой выбора карт, наиболее пригодных в судовождении. По-скольку при прокладке курса важнейшую роль играют углы, то первое требование, которым должны удовлетворять карты, применяемые в навигации, таково: углы между кривыми на сфере должны быть равны соответствующим им углам на карте так как траектории судов на земной поверхности часто состоят из локсодромий, желательно, чтобы локсодромии на на-вигационных картах изображались возможно проще, а лучше всего отрезками.

Карты, удовлетворяющие двум этим требованиям, существуют. Впервые их предложил фламандский картограф Меркатор около 400 лет тому назад (на рисунке 26 приведен пример такой карты). Задачи, связанные с изготовлением карт, также решаются с участием сферической геометрии.

Заключение

В данной курсовой работе мы познакомились со сферической геометрией, которая изучает геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости. Мы ввели основные понятия, установили соответствие между сферической геометрией и планиметрией. А также рассмотрели практические задачи, необходимые мореплавателям, летчикам и космонавтам. В настоящее время сферическая геометрия особенно широ-кое применение находит в астрономии и геодезии (науке о фор-ме и размерах Земли), навигации и картографии.

Мы познакомились также с простейшими приложениями сфериче-ской геометрии.

1. Избранные вопросы математики: 10 Кл. Факультативный курс/А.М. Абрамов, Н. Я. Виленкин, Г. В. Дорофеев и др.; Сост.: С. И. Шварцбурд.- М.: Просвещение, 1980. — 191 с.

2. Атаносян Л. С. Геометрия. Часть 2. — М.: Просвещение, 1974.

3. Энциклопедия элементарной математики, книга IV, V. Геометрия. — М.: Наука, 1966. — 624 с.

4. Энциклопедия Т. 11. Математика/Глав. ред. М. Д. Аксёнова. — М.: Аванта+, 2001. — 688 с.