Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Модели негауссовых случайных блужданий с конечной дисперсией

Диссертация: Модели негауссовых случайных блужданий с конечной дисперсией
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Закона прыжка типа (3.1.3) позволяет единым аналитическим образом рассмотреть как обычные блуждания Леви, так и усеченные блуждания Леви. Усеченные блуждания Леви асимптотически проявили те же свойства устойчивости и масштабируемости, что и обычные. Для усеченных блужданий получены аналитические асимптоты и выяснены законы масштабирования. Асимптотические усеченные блуждания Леви оказались… Читать ещё >

Модели негауссовых случайных блужданий с конечной дисперсией (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • Глава 1. Случайные блуждания: постановка и решение задачи
    • 1. 1. Предельный случай случайных блужданий — диффузия
    • 1. 2. Случайные блуждания при условии отсутствия второго и высших моментов функции распределения
    • 1. 3. Полеты Леви в физике
    • 1. 4. Случайные блуждания с непрерывным временем
  • Глава 2. Финансовые временные ряды: эмпирические данные
    • 2. 1. Автокорреляции на фондовых рынках
    • 2. 2. Автокорреляции модулей доходности на фондовых рынках
    • 2. 3. Функции распределения флуктуаций на фондовых рынках
  • Глава 3. Модели негауссовых случайных блужданий
    • 3. 1. Блуждания Леви
    • 3. 2. Усеченные блуждания Леви
  • Глава 4. Эмпирические исследования российского фондового рынка
    • 4. 1. Автокорреляции доходностей и волатильности на российском фондовом рынке
    • 4. 2. Функции распределения флуктуаций на российском фондовом рынке
    • 4. 3. Определение минимального масштаба случайного процесса на фондовом рынке
    • 4. 4. Модель негауссовых случайных блужданий с конечной дисперсией для флуктуаций на фондовых рынках

Актуальность темы

.

Случайные блуждания являются очень удобным инструментом для описания физических процессов, динамика которых имеет стохастическую природу. Одним из наиболее распространенных физических примеров случайных блужданий является процесс переноса, возникающий в результате случайных блужданий молекул, известный как диффузия. По своей сути задачи о случайных блужданиях и диффузии являются эквивалентными. Случайные блуждания и диффузия исследуются уже более 100 лет и являются ключевыми составляющими теории стохастических процессов, которые находят применение в различных областях точных и социальных наук [43].

В последнее время все больший интерес вызывают исследования стохастических систем, не подчиняющихся гауссовой статистике. Такие системы не подчиняются классической центральной предельной теореме (ЦПТ). Основной статистической особенностью таких систем является существенно более высокая вероятность возникновения экстремально больших флуктуации по сравнению с гауссовыми системами. Зачастую в таких случаях вместо классической ЦПТ возникает ее обобщенная версия, в соответствии с которой распределение суммы независимых случайных величин описывается семейством устойчивых распределений, относящихся к более широкому классу безгранично делимых распределений [68, 98]. В частности, к таким распределениям относится достаточно широко распространенное распределение Леви [51, 54]. Практически же даже более интересны случайные процессы, в которых ЦПТ все же выполняется, но выход на гауссову асимптотику происходит чрезвычайно медленно. В этом случае на физически интересных масштабах доминирует промежуточная асимптотика, отличная от гауссовой статистики или статистики Леви.

Плотность распределения отдельных флуктуации (прыжков) в негауссовых системах описывается распределениями Леви (полеты Леви) или другими функциями, не имеющими всех конечных моментов распределения. Негауссовы случайные блуждания наблюдаются, например, при транспорте зарядов на поверхности полупроводников [75, 76, 84], в лазерном охлаждении методом селективного по скоростям когерентного пленения заселённостей [14], а также процессах диффузии в таких новых материалах, как, например, стекла Леви [18, 19] и целом ряде других физических систем [35, 42,61,95].

Необходимо отметить, что подобные процессы характерны и для большого количества нефизических систем. В частности, с ними можно столкнуться в биологических [26, 88, 91], социальных [17] и экономических системах (см., например [68]), которые, безусловно, требуют тщательного исследования в условиях современного мира.

В последнее время все большее внимание физиков, в том числе и в России, приковывают проблемы, не относящиеся к классическим разделам физики, решения которых требуют применения современных математического аппарата и физических методов. Например, к таким проблемам можно отнести экономические задачи (см. [2, 10, 53]) или даже проблемы дорожного трафика [59].

Экономические ряды, такие как изменения индексов, цен акций и производных инструментов или курсов валют возникают в результате взаимодействия большого количества агентов — участников финансовых рынков и представляют собой хороший пример естественной сложной системы. Известно, что приращения цен фондовых активов представляют собой случайные независимо распределенные величины, поэтому большинство используемых на практике финансовых моделей, описывающих динамику цен фондовых активов, основываются на представлениях о классическом гауссовом случайном блуждании цен. К таким моделям относятся базовые модели ценообразования опционов [22], модели управления рисками [46] и модели формирования портфелей ценных бумаг. Исследования последних лет показывают ошибочность такого подхода.

В последние годы физики обращают все большее внимание на экономические временные ряды. Раздел науки, посвященный исследованию экономических временных рядов при помощи математического аппарата, используемого в физике, получил название эконофизика. [20]. Статьи по эконофизике на сегодняшний день составляют существенную часть публикаций в таких журналах как Nature, Physica A, Physical Review, Журнал Physica, А имеет специальный ежеквартальный номер, который называется Econophysics, посвященный данной тематике. В свою очередь более 30% всех диссертаций в мире по физико-математическим наукам касаются именно эконофизических исследований [33].

Экономические вызовы последних лет в полной мере выявили несовершенство используемых моделей в экономике, поэтому исследования в этой области представляют огромный интерес как для государственных органов крупнейших стран мира, так и для широкого круга коммерческих компаний. В свою очередь технический прогресс ставит все более сложные задачи, требующие исследования систем, демонстрирующих аномальные транспортные свойства и не подчиняющихся гауссовой статистике.

Цель диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является получение микроскопической модели негауссовых случайных блужданий и применение данной модели для описания реальных систем, демонстрирующих такие случайные блуждания. Достижение цели осуществляется следующими путями:

1. Изучением существующих моделей, описывающих негауссовы случайные блуждания и выявлением ограничений применимости данных моделей для описания известных физических и нефизических систем.

2. Разработкой модели негауссовых случайных блужданий, позволяющей описывать макроскопические функции распределения на основе микроскопических законов элементарных флуктуации системы.

3. Эмпирическими исследованиями реальных систем на предмет их соответствия исходным требованиям разработанной модели, в частности финансовых временных рядов.

4. Анализом соответствия теоретически полученных асимптотик распределений флуктуаций случайных блужданий результатам экспериментальных исследований.

Научная новизна.

1. На основе введенного микроскопического закона прыжка степенного типа получена модель, позволяющая единообразно статистически описать системы, не обладающие длинными пространственными или временными корреляциями, но в которых наблюдаются негауссовы случайные блуждания вне зависимости от наличия/отсутствия моментов функции распределения у закона элементарных прыжков.

2. Впервые получены точные асимптотики распределений для случая усеченных блужданий Леви, закон прыжка в которых не имеет моментов выше второго.

3. Исследованы статистические характеристики временных рядов, представляющих собой фиксации цен российских акций и значений фондовых индексов.

4. Построена модель, позволяющая на основе микроскопических законов флуктуаций цен на фондовых рынках описывать макроскопические распределения флуктуаций цен на фондовом рынке.

Практическая ценность.

Результаты исследований автокорреляций и распределений флуктуаций российского фондового рынка, а также модели случайных блужданий с конечной дисперсией успешно используются для управления рисками торговых операций отдельных подразделений, а также фирмы в целом в ЗАО «Финансовая компания «ИНТРАСТ». Кроме того, полученные модели случайных блужданий могут быть применены при моделировании случайных процессов, характеризующихся негауссовой статистикой, в частности задач, связанных с аномальной диффузией.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1.

Введение

закона прыжка степенного типа позволяет единым аналитическим образом рассмотреть как обычные случайные блуждания Леви, так и усеченные случайные блуждания Леви. Усеченные блуждания Леви асимптотически проявляют те же свойства устойчивости и масштабируемости, что и обычные. Усеченные блуждания Леви имеют типично безмасштабное асимптотическое распределение степенного типа, характерное и для асимптот «чистых» блужданий Леви, но спадающее с ростом величины флуктуации быстрее.

2. Ряды данных относительных логарифмических приращений цен российских акций и фондовых индексов (доходностей) характеризуются короткими корреляциями, что повторяет поведение аналогичных величин на других фондовых рынках. При этом автокорреляции рядов модулей доходностей, напротив, длинные. Динамику цен акций и индексов можно представить как случайный процесс с независимыми приращениями.

3. Кумулятивные распределения вероятности доходностей российских акций и индексов, также как и у всех исследованных мировых индексов и акций, обладают свойством масштабной инвариантности, а асимптотика при больших флуктуациях описывается законом типа обратного куба.

4. Элементарным прыжком в схеме случайных блужданий на основе анализа скейлинга средних значений доходностей акций на фондовом рынке, измеренных на различных временных интервалах, является акт совершения сделки или тик цены.

5. Модифицированная схема с зависимостью свободного параметра прыжка от количества акций в единичной сделке позволяет удовлетворительно описать эмпирические распределения доходностей акций.

Апробация работы.

Полученные в диссертации результаты докладывались на трех научных конференциях «Математика. Компьютер. Образование» (в 2008, 2009 и 2010 году), международной конференции по экономической науке Е8ША/\^ЕН1А (Варшава, 2008), Научной сессии Отделения физических наук РАН по эволюционной экономике и эконофизике (2010 г.), Первом всероссийском конгрессе по эконофизике в Финансовой академии при Правительстве РФ (Москва 2009 г.), Первом российском экономическом конгрессе в МГУ (Москва, 2009 г.), семинаре в теоретическом отделе ИОФАН (2012 г.).

Публикации.

Полученные в диссертации результаты опубликованы в 7 работах [3−6, 9, 83, 90].

Структура и объем диссертации

.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 39 рисунков, 8 таблиц, список цитируемой литературы из 98 наименований. Объем диссертации 104 страницы.

Заключение

.

В работе построена двухуровневая модель негауссовых случайных блужданий с конечной дисперсией, где из степенного распределения вероятности единичного блуждания (прыжка на определенную величину) следует негауссово распределение вероятности найти частицу после большого количества прыжков.

Введение

закона прыжка типа (3.1.3) позволяет единым аналитическим образом рассмотреть как обычные блуждания Леви, так и усеченные блуждания Леви. Усеченные блуждания Леви асимптотически проявили те же свойства устойчивости и масштабируемости, что и обычные. Для усеченных блужданий получены аналитические асимптоты и выяснены законы масштабирования. Асимптотические усеченные блуждания Леви оказались имеющими типично безмасштабное распределение ~ Я'2/}, которое характерно и для асимптот «чистых» блужданий Леви, но спадает с ростом Я быстрее. Таким образом, усеченные блуждания Леви вместе с «чистыми» перекрывают весь класс распределений Парето [77].

Полученная модель применяется для описания статистических характеристик временных рядов, представляющих собой фиксации логарифмов относительных приращений цен (доходностей) акций и индексов на российском фондовом рынке. Ряды данных доходностей характеризуются короткими автокорреляциями, что повторяет поведение аналогичных величин на других фондовых рынках. Таким образом, можно утверждать, что динамику цен акций и индексов можно представить в первом приближении как случайный процесс с независимыми приращениями. Автокорреляции рядов модулей доходностей, напротив — длинные. Время автокорреляции этих величин достигает нескольких месяцев.

Были также исследованы функции распределения флуктуаций доходностей акций и индексов на российском фондовом рынке. Кумулятивные распределения вероятности флуктуаций доходностей российских акций и индексов также как и у всех исследованных мировых индексов и акций, обладают свойством масштабной инвариантности, а асимптотика при больших флуктуациях описывается законом типа обратного куба, то есть не попадает в диапазон Леви. Таким образом, можно утверждать, что флуктуации доходностей финансовых инструментов являются независимыми случайными величинами, сумма которых описывается негауссовым распределением, характеризующимся скейлингом, но при этом обладающим конечным вторым моментом. Следовательно, ценовая динамика на фондовых рынках является процессом усеченных блужданий Леви.

Такое распределение может быть получено при помощи схемы случайных блужданий (прыжков) с законом единичного прыжка (3.1.3) только при ?3=2. Закон прыжка является универсальным для всех исследованных финансовых рядов.

Для того чтобы решать задачу о случайных блужданиях на фондовом рынке, необходимо определить, каков минимальный масштаб данного процесса, то есть что можно считать элементарным прыжком в схеме случайных блужданий. Оказывается, что элементарным прыжком в схеме случайных блужданий исходя из скейлинга средних значений доходностей акций на фондовом рынке, измеренных на различных временных интервалах, является акт совершения единичной сделки (тик цены).

Простая схема случайных блужданий с законом единичного прыжка (3.1.3) при р=2 не позволяет дать точного объяснения зависимости нормированных функций распределения и кумулятивных распределений от N. Модификация схемы случайных блужданий обеспечивается за счет введения эмпирически подтвержденной зависимости величины {г,} от количества акций, торгуемых в одной сделке. В этом случае конечная зависимость кумулятивных функций распределения от количества тиков попадает в диапазон от № 5 до №'27, что позволяет удовлетворительно описать эмпирические распределения.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Справочник по элементарным функциям. Под ред. М. Абрамовица и И.Стиган. М.: Наука (1979), гл. 6.
  2. В. Н., Лебедев С. Г., Маслов В. П., Садовников Б. И., Чеботарев А. М., «Гипотеза о законе распределения высоких доходов и его интерпретации» // Экономическая наука современной России. № 4(31), (2005). С. 57−62.
  3. П.В., Романовский М. Ю., «Доходность активов российского фондового рынка: автокорреляции и распределения» // Математика. Компьютер. Образование, Тезисы XV международной конференции, (2008)
  4. П.В., Романовский М. Ю., «Аналитические представления негауссовых законов случайных блужданий» // Труды Института общей физики им. A.M. Прохорова, Т.65, (2009)
  5. П.В., Романовский М. Ю., «Неклассические случайные блуждания и феноменология флуктуаций доходности ценных бумаг на фондовом рынке» // УФН, 181, 774−778, (2011)
  6. .В., Колмогоров А. Н., «Предельные распределения для сумм независимых случайных величин» // М.:ГИТТЛ, (1949).
  7. М.Ю., Романовский Ю. М. «Введение в эконофизику. Статистические и динамические модели» // Москва, Ижевск: РХД, (2007), 280 с
  8. М.Ю., Видов П. В., Пыркин В. А., «Является ли тик элементарным прыжком в схеме случайных блужданий на фондовомрынке?» // Компьютерные исследования и моделирование, Т.2, № 2, с.219−223, (2010)
  9. А. М. «Распределение Парето как результат компьютерной реконструкции статистики авторынка России» // Ukrainian J. Economist. № 7, (2004), С. 6−11.
  10. В., «Введение в теорию вероятностей», Т.2 (глава 6) // М.: Мир (1976)
  11. R. Brown, «Additional remarks on active molecules» // Phil. Mag. 4, (1828) 161- Ann. Phys. Chem. 14, (1828), 294.
  12. L. Bachelier, «Theorie de la Speculation» // Paris: Gauthier-Villars, (1900)
  13. F. Bardou, J.P. Bouchaud, O. Emile, A. Aspect and C. Cohen-Tannoudji, «Subrecoil Laser Cooling and Levy Flights» // Phys. Rev. Lett., 72 (2), (1994)
  14. Robert C. Blattberg and Nicholas J. Gonedes, «А Comparison of the Stable and Student Distributions as Statistical Models for Stock Prices» // The Journal of Business, Vol. 47, No. 2, (1974), pp. 244−280
  15. O. Bychuk, B. O’Shaughnessy, «Anomalous Diffusion at Liquid Surfaces» // Phys. Rev. Lett., 74 (10), (1995)
  16. D. Brockman, L. Hufnagel, T. Geisel, «The scaling of human travel» // Nature 439, 462−465, (2006)
  17. P. Barthelmy, J. Bertoltti, D. Wiersma, «А Levy flight for light» //Nature 453, 495−498, (2008)
  18. J. Berlotti, K. Vynck, L. Patelli, P. Barthelmy et al., «Engineering Disorder in Superdiffusive Levy Glasses» // Adv. Funct. Mater. 20, 965, (2010)
  19. J.-P. Bouchaud, «Economics needs a scientific revolution» //Nature. V. 455. P. 1181,(2008)
  20. J.-P. Bouchaud, «The subtle nature of financial random walks» // Chaos 15, 26 104,(2005)
  21. F. Black, M. Scholes, «The pricing of options and corporate liabilities» // J. Polit. Econ. 81, 637−659, (1973)
  22. T. J., " The empirical relationship between trading volume, returns and volatility" // Accounting and Finance 36, 89, (1996)
  23. S. Chandrasekhar, «Stochastic problems in physics and astronomy» // Rev.Mod.Phys. 15, 1, (1943)
  24. Peter K. Clark, «A Subordinated Stochastic Process Model with Finite Variance for Speculative Prices"//Econometrica, Vol. 41, No. 1, (1973), pp. 135−155
  25. B.J., «Fractal time in animal behavior: the movement activity of Drosophila"//Anim. Behav., 50, 1317−1324, (1995)
  26. P.H.Cootner, «The random Character of Stock Market Prices» // MIT Press, Cambrige MA, USA, (1964)
  27. P. Cizeau, Y. Liu, M. Meyer, C.-K. Peng, and H. E. Stanley, «Volatility distribution in the S&P500 stock index» // Physica A 245, 441−445, (1997)
  28. M.M. Dacorogna at al., «Statistical study of foreign exchange rates, empirical evidence of a price change scaling law, and intraday analysis» // J. Bank. Fin., Vol. 14(6), pp. 1189−1208, (1990)
  29. A. Einstein, «On the movement of small particles suspended in stationary liquids required by the molecular-kinetic theory of heat «// Annalen der Physik 17, (1905), 549−560
  30. W.Ebeling, I.M.Sokolov. «Statistical Thermodynamics and Statistic Theory of Nonequilibrium Systems» // World Sci. Publ., Singapore, (2005)
  31. A. Fick, «Ueber diffusion» // Ann. Phys, Leipzig, 170, (1855)
  32. , J.D., «Physicists attempt to scale the ivory towers of finance» // Computing in Science & Engineering (Nov./Dec.), 26−39, (1999)
  33. E.F. Fama, «The Behavior of Stock Market Prices» // J. Business, Vol. 38, (1965), pp. 34−105
  34. H.C. Fogedby, «Levy flights in random environments» // Phys. Rev. Lett. 73 (1994), 2517
  35. X. Gabaix, P. Gopikrishnan, V. Plerou & H. Eugene Stanley, «A theory of power-law distributions in financial market» // Nature 423, 267−270, (2003)
  36. P. Gopikrishnan, M. Meyer, L. A. N. Amaral and H. E. Stanley, «Inverse cubic law for the distribution of stock price variations» // Eur. Phys. J. B, 3, 139, (1998)
  37. P. Gopikrishnan, V. Plerou, L. A. N. Amaral, M. Meyer, H. E. Stanley, «Scaling of the distribution of fluctuations of financial market indices» // Phys. Rev. E, 60, 5, 5305−5316, (1999)
  38. P. Gopikrishnan et. al., «Quantifying and interpreting collective behavior in financial markets» // Phys. Rev. E 64, (2001)
  39. P. Gopikrishnan P et al, «Scaling and correlation in financial time series» // Physica A 287, 362, (2000)
  40. P. Gopikrishnan et al, «Statistical properties of share volume traded in financial markets // Phys. Rev. E 62, R4439, (2000)
  41. S. Havlin, D. Movshovitz, B. Trus, G.H. Weiss, «Probability densities for the displacement of random walks on percolation clusters» // J. Phys. A 18, (1985)
  42. P. Haenggi, F. Marchesoni, «Introduction: 100 years of Brownian motion» //Chaos 15, 26 101, (2005)
  43. B.M. Hill, «A Simple General Approach to Inference About the Tail of a Distribution» // The Annals of Statistics, Vol. 3, No. 5, (1975)
  44. Jan Ingenhousz, «Nouvelles experiences et observations sur divers objets de physique» // Paris, (1785)
  45. P. Jorion, «Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk» // McGraw-Hill, New York, (2000)
  46. A. Klemm, H.-P. Muller, R. Kimmich, «Evaluation of fractal parameters of percolation model objects and natural porous media by means of NMR microscopy» // Physica 266A, (1999) 242
  47. J. Klafter, A. Blumen, M.F. Shlesinger, «Stochastic pathway to anomalous diffusion» // Phys. Rev. A 35, (1987) 3081
  48. V.M. Kenkre, E.W. Montroll, M.F. Shlesinger, «Generalized master equations for continuous-time random walks» // J. Stat. Phys. 9, (1973)
  49. J. M., «The Relation between Price Changes and Trading Volume: A Survey"//Journal of Finance 41(5), 1069, (1986)
  50. A. Khintchine, «Zur additiven Zahlentheorie», Mat. Sb., 39:3 (1932), 27−34
  51. I.Koponen, «Analytic approach to the problem of convergence of truncated Levy flights towards the Gaussian stochastic process» // Phys.Rev.E. 52, 1197, (1995)
  52. Leonidov A., Trainin V., Zaitsev A., ZaitsevS., «Market Mill Dependence Pattern in the Stock Market: Modeling of Predictability and Asymmetry via Multi-component Conditional Distribution» // Physica A 386, (2007), 240
  53. P.Levy, «Theorie de l’Addition des Variables Aleatoires» // Gauthier-Villars, Paris, (1937)
  54. W.D. Luedtke and Uzi Landman, «Slip Diffusion and Levy Flights of an Adsorbed Gold Nanocluster» // Phys. Rev. Lett., 82(19), (1999)
  55. Y. Liu, P. Gopikrishnan, P. Cizeau, M. Meyer, C.-K. Peng and H. E. Stanley, «The statistical properties of the volatility of price fluctuations» // Phys. Rev. E 60, 1390−1400, (1999)
  56. Y. Liu, P. Cizeau, P. Gopikrishnan, M. Meyer, C.-K. Peng and H. E. Stanley «Correlations in economic time series» // Physica A 245, 3−4, (1997)
  57. Loretan M and Phillips P.C.B., «Testing the covariance stationarity of heavy-tailed time series: An overview of the theory with applications to several financial datasets"// J. of Empirical Finance 1 211,(1994)
  58. A. Lubashevsky, N. G. Gusein-zade, K. G. Garnisov, «Macroscopic phase states of traffic flow in tunnels» // Physics of Wave Phenomena, Volume 17, Issue 4, (2009), pp 301−312
  59. T. Lux, «The stable Paretian hypothesis and the frequency of large returns: an examination of major German stocks» // Appl. Financial Econ. 6, (1996), pp. 463−475
  60. B.B. Mandelbrot, J.W. van Ness, «Fractional Brownian Motions, Fractional Noises and Applications» // SI AM Rev. 10, (1968) 4221 62. E.W. Montroll, G.H. Weiss, «Random walks on lattices» // J.Math.Phys., 6, 2, (1965), 167−181
  61. R. Metzler, J. Klafter, «Random walks guide to anomalous diffusion» // Phys. Rep. Rev. Sec. Phys. Lett, 339, 1, (2000)
  62. B.B. Mandelbrot, «The Variation of certain speculative prices» // J. Business 36, 394−419, (1963)
  63. B.B. Mandelbrot, H.M. Taylor, «On the distribution of stock price differences"// Operations research, 15, 1057−1062, (1967)
  64. R. N. Mantegna and H. E. Stanley, «Scaling behavior in the dynamics of an economic index» // Lett. Nature 376, 46, (1995)
  65. R. N. Mantegna and H. E. Stanley, «Stochastic process with ultraslow convergence to a Gaussian: the truncated Levy flight» // Phys. Rev. Lett., 73, 2946, (1994)
  66. R.N. Mantegna, H.E. Stanley, «An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance» // Cambridge University Press, Cambridge, (2000)
  67. R. Mantegna, H.E. Stanley, «Stock market dynamics and turbulence: parallel analysis of fluctuation phenomena» // Physica A 239 (1997), pp. 255−266
  68. B. O’Shaugnessy, I. Procaccia, «Analytical Solutions for Diffusion on Fractal Objects» // Phys. Rev. Lett. 54, (1985) 455
  69. A. Ott, J.P.Bouchaud, D. Langevin and W. Urbach, «Anomalous Diffusion in «Living Polymers»: A Genuine Levy Flight?» // Phys. Rev. Lett., 65(17), (1990)
  70. M.F.S. Osborne, «Brownian motion in the stock market» // Oper. Res. 7, 145−173, (1959)
  71. A. Pagan, «The econometrics of financial markets» // J. Empirical Finance 3,15 (1996)
  72. K. Pearson, «The Problem of the random walk» // Nature 72 (1905) 294, p. 342
  73. G. Pfister, H. Scher, «Time-dependent electrical transport in amorphous solids: As2Se3» //Phys. Rev. B 15, (1977) 2062.
  74. G. Pfister, H. Scher, «Dispersive (non-Gaussian) transient transport in disordered solids» // Adv. Phys. 27, (1978) 747.
  75. V. Pareto, «Cours d’Economie Politique» // Lausanne and Paris, (1897)
  76. V. Plerou, P. Gopikrishnan, L.A.N. Amaral, M. Meyer, IT.E. Stanley, «Scaling of the distribution of price fluctuations of individual companies» // Phys. Rev. E 60, 6519−6529, (1999)
  77. Plerou V and Stanley H E, «Tests of scaling and universality of the distributions of trade size and share volume: Evidence from three distinct markets» // Phys.Rev.E. 76, 46 109, (2007)
  78. Plerou V and Stanley H. E, «Cross-correlations between volume change and price change» // Phys.Rev.E. 79, 68 102, (2009)
  79. Racz E et al., «Comment on «tests of scaling and universality of the distributions of trade size and share volume: evidence from three distinct markets"//Phys.Rev.E. 79, 68 101, (2009)
  80. L.F. Richardson, «Atmospheric Diffusion Shown on a Distance-Neighbour Graph» // Proc. R. Soc. Lond. A, (1926)
  81. M.Yu. Romanovsky, P.V. Vidov, «Analytical representation of stock and stock-indexes returns: Non-Gaussian random walks with various jump laws» // Physica A, 390, 21−22, (2011)
  82. H. Scher, E.W. Montroll, «Anomalous transit-time dispersion in amorphous solids» // Phys. Rev. B 12, (1975) 2455
  83. J.A., «Scaling in the Norwegian stock market» // Physica A 283, 486, (2000)
  84. I.M. Sokolov, «Levy flights from a continuous-time process» // Phys. Rev. E 63, 11 104−1/10, (2001)
  85. T.H. Soloman, E. Weeks and H. Swinney, «Observation of Anomalous Diffusion and Levy Flights in a Two-Dimensional Rotating Flow» // Phys.Rev.Lett., 71(24), (1993)
  86. M.F., «On Growth and Form» // 283, Nijhof, Dordrecht, (1986)
  87. M. T. Subbotin, «On the Law of Frequency of Error» //Mat. Sb., 31:2 (1923), 296−301
  88. P.V.Vidov and M.Yu.Romanovsky, «Analytical representation of non-Gaussian laws of random walks» // Physics of wave phenomena, V. 17, No.3., (2009), P.218−228
  89. G.M.Viswanathan, V. Afanasyev, S.V.Buldyrev et al., «Levy flight search patterns of wandering albatrosses» //Nature, 6581, (1996), pp.413−414
  90. F. Wang, K. Yamasaki, S. Havlin and H.E. Stanley, «Scaling and memory of intraday volatility return intervals in stock markets» // Phys. Rev. E 73, 26 117, (2006)
  91. N.Wiener, «The homogenous chaos» // Amer. J. Math. 60, 897, (1938)
  92. H.W. Weber, R. Kimmich, «Anomalous segment diffusion in polymers and NMR relaxation spectroscopy» // Macromol. 26, (1993) 2597
  93. K.G. Wang, L.K. Dong, X.F. Wu, F.W. Zhu, T. Ko, «Correlation effects, generalized Brownian motion and anomalous diffusion» // Physica A 203, (1994) 53.
  94. W. Young, A. Pumir, Y. Pomeau, «Anomalous diffusion of tracer in convection rolls» // Phys. Fluids A 1, (1989) 462
  95. S., Zaitsev A., Leonidov A., Trainin V., «Market Mill Dependence Pattern in the Stock Market: Multiscale Conditional Dynamics» // Physica A 388 (2009), 4624
  96. V. Zolotarev, «One-Dimensional Stable Distributions» // American Mathematical Society, Providence RI, (1986)
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!