Наилучшее приближение периодических функций двух переменных и значения квазипоперечников некоторых классов функций в L2

Среди экстремальных задач теории приближения функций многих переменных наиболее трудными являются задачи нахождения точных оценок приближения на классах функций, связанные с отысканием значений поперечников и квазипоперечников в различных банаховых функциональных пространствах. В связи с этим исследования задач, связанных с приближением функций п (п > 2) переменных, продвинуто не так далеко, как в одномерном случае.

Определения понятий различных квазипоперечников компактов дало возможность перейти к изучению тех экстремальных задач теории приближений функций многих переменных, круг которых для обычных поперечников очертил А. Н. Колмогоров [35].

При решении экстремальных задач теории приближения функций многих переменных одной из важных является задача о приближении заданной функции Х2,. ¦., хп) суперпозициями функции меньшего числа переменных, то есть требуется построить такой полином, в котором коэффициенты определяются по заданным п (п > 2) переменным каким-либо процессом приближения и являются функциями не более к (О < < к < п — 1) переменных. При этом указанный полином должен иметь лучшие аппроксимативные свойства по сравнению с любой другой линейной формой полиномов, содержащих функции не более к переменных. Такой постановке задачи приближения функций многих переменных отвечают обобщенные полиномы (так называемые квазиполиномы), порожденные тензорным произведением одномерных функций.

Вопросами приближения функций многих переменных суперпозициями функций меньшего числа неременных в разное время занимались Б. Б^апси [43], Н. П. Корнейчук [29], А. И. Вайндинер [14], М. К. Потапов [40], В. Ю. Брудный [11], В. Н. Те мл яков [49], М.-Б.А.Бабаев [7], А. Н. Литвин [37], В. В. Федько [52], С. В. Переверзев [39], С. Б. Вакарчук [16−18], С. Б. Вакарчук и М. Ш. Шабозов [19,20] и многие другие.

Дальнейшему развитию указанной тематики и посвящена данная работа, целью которой является решение следующих задач:

1. Получить неравенства типа Джексона-Стечкина для дифференцируемых периодических функций двух переменных, связывающие наилучшее приближение функций обобщенными полиномами с усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных функций в пространстве ?2(<2), Я —{{я, у)'. 0 < х, у < 27г}.

2. Вычислить точные значения колмогоровских и линейных квазипоперечников классов дифференцируемых периодических функций, определяемых усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных в пространстве ½ ((5).

В работе широко использованы общие методы функционального анализа, методы решения экстремальных задач функции многих переменных, а также некоторые подходы к решению многомерных задач вариационного содержания. В диссертационной работе:

— найдены новые точные неравенства, связывающие наилучшие приближения обобщенными полиномами функций двух переменных с усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных функций В ?2((5);

— вычислены точные значения колмогоровских и линейных квазипоперечников классов функций, определяемых усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных функций в ½(ф) с положительными весами.

Полученные в диссертации результаты носят в основном теоретический характер. Установленные в ней факты могут быть использованы при построении методов решения прикладных задач, связанных с интегральными уравнениями.

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по теории приближения функций в Хорогском госуниверситете (Хорог, 2002;2005 гг.), на международной конференции &bdquo-Развитие горных регионов в XXI веке" (Хорог, Таджикистан 26−29 августа 2001 г.), на научно-теоретической конференции, посвященной 10-летию Хорогского госуниверситета (Хорог,, 26−28 октября 2002 г.), на республиканской научной конференции «Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений», посвященной 75-летию со дня рождения академика АН РТ А. Д. Джураева (Душанбе, 16−17 октября 2007 г.), па международной, конференции «Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ», посвященной 80-летию академика АН РТ Л. Г. Михайлова (Душанбе, 29−30 мая 2008 г.), на международной конференции &bdquo-Современные проблемы математического анализа и их приложений", посвященной 60-летию академика АН РТ К. Х. Бойматова (Душанбе, 23−24 июня 2010 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3−5,54,56]. В работах [54,56], выполненных в соавторстве с М. Ш. Шабозовым, последнему принадлежат постановки задач и выбор объекта исследований.

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной.

1. Авакян А. Н. О приближении функций двух переменных линейными методами //Укр. мат. журнал, 1983, т. 35, № 4, с. 409 — 414.

2. Айнуллоев Н. О поперечниках дифференцируемых функций в Ь2 //ДАН Тадж. ССР, 1985, т.28, № 6, с.309−313.

3. Акобиршоев М. О. Точные значения квазипоперечники некоторых классов функций в Z/2 //Вестник ХоГУ. Естест. науки, 2003, № 6, с. 20−29.

4. Акобиршоев М. О. О наилучшем приближении периодических функций двух переменных обобщенными полиномами //Докл. АН Респ. Таджикистан, 2006, т. 49, № 3, с. 210−214.

5. Арнольд В. И., Колмогоров А. Н. Представление функций многих переменных суперпозициями функций меньшего числа переменных //УМН, 1958, с.71−111.

6. Бабаев М.-Б.А. Приближение соболевских классов функций суммами произведений функций меньшего числа переменных //Труды МИАН СССР, т. 180. М.: Наука, 1987, с. 30 — 32.

7. Бабепко В. Ф., Лигун A.A. Об интерполяции многогранными функциями //Мат. заметки, 1975, т.18, № 6, с. 803 814.

8. Бабенко В. Ф. Интерполяция непрерывных отображений кусочно-линейными //Мат. заметки, 1978, т.24, el, с. 43 51.

9. Бердышев В. И. О теореме Джексона в Lp //Тр. Матем. ин-та АН СССР, 1967, т.88, с. 3 16.

10. Брудный Ю. А. Приближение функций п-переменных квазимногочленами //Изв. АН СССР, сер. матем., 1970, т.34, № 3, с. 564 584.

11. Вайндинер А. И. Об одной новой форме рядов Фурье и выбора наилучших полиномов Фурье //ЖВМ и МФ, 1967, т.7, № 1, с. 177 185.

12. Вайндинер А. И. К оценке остатка обобщенного ряда Фурье дифференцируемых функций двух переменных //Докл. АН СССР, 1969, т. 184, № 3, с. 511 513.

13. Вайндинер А. И. Приближение непрерывных и дифференцируемых функций многих переменных обобщенными полиномами (конечной линейной суперпозицией функций меньшего числа переменных) //ДАН СССР, 1970, т. 192, с. 483 486.

14. Вайндинер А. И. Некоторые вопросы приближения функций многих переменных и эффективные прямые методы решения задач теории упругости //Упругость и неупругость. Изд-во Московского ун-та, 1973, вып. 3, с. 16 46.

15. Вакарчук С. Б. О точных значениях квазипоперечников некоторых периодических функций двух переменных //Теория приближений и смежные вопросы анализа и топологии. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1987, с. 15 — 20.

16. Вакарчук C.B. О приближении дифференцируемых функций многих переменных //Мат. заметки, 1990, т. 48, № 3, с. 37 44.

17. Вакарчук C.B. Квазипоперечники функциональных классов некоторых банаховых пространствах аналитических функций многих комплексных переменных //ДАН Украины, серия А, 1992, № 3, с. 26 31.

18. Вакарчук C.B., Шабозов М. Ш. О точных значениях квазипоперечников некоторых функциональных классов //Укр. мат. журн., 1996, т.48, № 3, с. 301 308.

19. Вакарчук C.B., Шабозов М. Ш. Квазипоперечники и оптимизация методов смешанной аппроксимации многомерных сингулярных интегралов с ядрами типа Гильберта //Укр. матем. жунал., 1996, т.48, № 6, с.753−770.

20. Вакарчук С. Б. О наилучших полиномиальных приближениях в Ь2 некоторых классов 27г-периодических функций и точных значениях их п-поперечников //Мат. заметки, 2001, т.70, № 3, с. 334−345.

21. Vakarchuk S.В. Exact constant in an inequality of Jackson type for L2 approximation on the line and exact values of mean widths of functional classes //East Journal on Approximation, 2004, т. 10, № 1−2, p. 27−39.

22. Вакарчук С. Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функциональных классов азЬ2 //Матем.заметки, 2005, т.78, № 5, с. 792−796.

23. Вакарчук C.B. Неравенства типа Джексона и поперечники классов функций в Ь2 //Матем. заметки, 2006, т.25, № 1. с.11−19.

24. Vakarchuk S.B. and Zabutna V.l. Widths of function classes fromZ/2 and exact constants in Jackson type inequalities //East Journal on approximations, 2008, T.14, № 4, p. 411−421.

25. Гильберт Д. Математические проблемы. Из-во иностр. литературы. М., 1958.

26. Ефимов A.B. О приближении периодических функций суммами Валле-Пусена II //ИАН СССР, сер. матем., 1960, т.24, № 3, с. 431 468.

27. Корнейчук Н. П. Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций многих переменных //Мат. заметки, 1968, т. З, № 5,-с. 565 -576.

28. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976, 320 с.

29. Корнейчук Н. П., Переверзев C.B. К вопросу о приближении функций двух переменных операторами, построенными на базе одномерных операторов //Теория функций и топология. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983, с. 43 — 49.

30. Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближения. М.:Наука, 1984,352с.

31. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987, 424 с.

32. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун A.A. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. Киев: Наукова думка, 1992, 304 с.

33. Kolmogoroff A.N. Uber die besste Annaherung von Funktionen einer gegebenen Funktionklassen //Arm. Math., 1936, Bd.37, s.107−110.

34. Левин M.И., Гиршович Ю. М. Экстремальные задачи для кубатурных формул //ДАН СССР, 1977, т.236, № 6, с. 1315 1318.

35. Литвин А. Н. IntennIHau, ifl функцш. Харюв: Основа. 1992, 234 с.

36. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977, 474 с.

37. Переверзев C.B. Точная оценка приближения эрмитовыми сплайнами на одном классе дифференцируемых функций двух переменных //Изв. вузов. Матем., 1981, № 12, с. 58 66.

38. Потапов М. К. Изучение некоторых классов функций при помощи приближения «углом» //Тр. МИАН СССР, Т.117. М.: Наука, 1972, с. 256 — 291.

39. Pinkus A. 77,-widths in Approximation Theory. Berlin: Springer Verlag. 1985, 490 p.

40. Сенета E. Правильно меняющиеся функции. M.: Наука, 1985, 142 с.

41. Stancu D.D. The remainder of certain linear approximation formulas in two variables //Jounr. Soc. Indust. Appl. Math. Ser. В. Numer. Anal., 1964, v. l, pp. 137−163.

42. Степанец А. И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Линейные методы. Киев: Наукова думка, 340 с.

43. Стечкин С. Б. Наилучшие приближение линейных операторов //Мат. заметки, 1976, т.1, № 2, с. 137 148.

44. Стороженко Э. А., Кротов В. Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах Ьр //Матем. сб., 1975, вып. 98(140), № 3(11), с. 395−415.

45. Тайков JI.B. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из Ь2 //Мат. заметки, 1976, т. 20, № 3, с. 433 438.

46. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной //Труды МИАН СССР, 1986, т.178, с. 3−12.

47. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960, 624 с.

48. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: МГУ, 1976, 325 с.

49. Федько В. В. О погрешности блендинговых приближения //УМЖ, 1979, № 6, с. 590−601.

50. Hardy G.H., Littlewood I.E., Polya G. Inequality. Cambridge University Press. 2nd ed. 1952, 346 p.

51. Шабозов М. Ш., Акобиршоев M. Квазипоперечники некоторых классов дифференцируемых периодических функций двух переменных //ДАН России, 2005, т.404, № 4, с.460−464.

52. Шабозов М. Ш., Шабозов О. Ш. О поперечниках классов периодических функций в пространстве Ь20, 27 т. //ДАН Респ. Таджикистан, 2006, т.49,с.111−116.

53. Шабозов М. Ш., Акобиршоев М. О. Точные значения квазипоперечников некоторых классов дифференцируемых периодических функций двухпеременных //Analysis Mathematica, 2009, т.35, с. 61−72.