5. Вычислить передел, используя правило Лопиталя:
.
Решение:
.
25. Сторона стального квадратного листа равна. Из этого листа предполагается сделать емкость для хранения воды. Определить максимально возможный объем воды, который можно хранить в этой емкости.
Решение:
т.к. стальной лист квадратный, то будем рассматривать сделанную из него емкость в виде прямоугольного параллелепипеда без крышки. Пусть — длина, ширина и высота емкости соответственно, тогда объем воды, который может в нее вместиться:
площадь поверхности такой емкости:
.
Т.к. емкость делают из стального листа квадратного со стороной 4,5, то:
откуда выразим :
далее, т.к. наибольшую площадь основания емкости будет иметь квадрат, то и получим:, следовательно,
найдем максимальное значение полученной функции:
тогда:
следовательно, .
Ответ: .
35. Исследовать функцию, построить график и вычислить ее значение в точке экстремума, если .
Решение:
1) Область определения: ;
2) Четность/нечетность:
функция общего вида. Функция не периодическая.
3) Точки пересечения с осями координат:
с осью Ох:, т. е. точки (-1,4;0) и (0,6;0);
с осью Оу:, т. е. точка (0;8,4);
4) Функция непрерывна на R;
5) Интервалы монотонности и точки экстремума:
найдем стационарные точки, , тогда:
следовательно, на функция возрастает, а на убывает. В точке локальный максимум, ;
6) Интервалы выпуклости/вогнутости. Точки перегиба.
Найдем производную второго порядка:
следовательно, график функции выпуклый на R.
7) Построим график фунции:
45. Плоскость проходит через три точки А, В и С. Записать уравнение плоскости АВС и определить расстояние от этой плоскости до точки D.
А (5;5;5), В (4;4;4), С (3;2;1), D (5;1;2)
Решение:
запишем уравнение плоскости проходящей через три точки А, В и С:
— искомое уравнение.
Определим теперь расстояние от точки D до плоскости АВС:
.
