Алгебраические и трансцендентные числа

Пусть даны два поля P и F, такие, что P — подполе поля F.

Определение 1. Число  называется алгебраическим над полем P, ес-ли  является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами из P.

Определение 2. Комплексные числа, являющиеся алгебраическими над по-лем рациональных чисел, называются алгебраическими числами.

Пример. — корень многочлена с коэффициентами из поля дей-ствительных чисел:

— алгебраическое над полем действительных чисел.

Легко заметить, что является алгебраическим и над полем рациональ-ных чисел.

Из определения легко заметить, что если  - корень многочлена, то  - корень, где g — многочлен над полем P.

Определение 3. Пусть P — подполе F,  - алгебраический над полем P элемент. Тогда нормированный многочлен наименьшей степени, для которого  является корнем, называется минимальным многочленом элемен-та .

Символом будем обозначать степень многочлена h.

Теорема 1. Пусть  - алгебраический над полем P элемент, h — мини-мальный для  многочлен. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) h неприводим над P;

2) если h1 тоже является минимальным многочленом элемента , то ;

3) если, для которого  является корнем (), то h|g;

4) если, для которого  является корнем, k — нормированный мно-гочлен, неприводимый над P, то h=k.

Доказательство:

1) Предположим, что h — приводим над P. Тогда, f и g — много-члены над полем P,, ,. Так как многочлен h нормированный, то многочлены f и g тоже можно сделать нормиро-ванными.  - по условию корень многочлена h, то есть. Зна-чит,. Очевидно, что одно из этих чисел или равно нулю. Пусть для определенности. Это утверждение противоречит тому, что h минимальный многочлен для элемента . Поэтому h неприводим над полем P.