Нахождение внутренних оценок множеств решений уравнений с интервальными коэффициентами

Данная работа посвящена исследованию уравнений с операторами, действующими в интервальных метрических пространствах, заданных на расширенном множестве интервалов — I (Я) и интервальных векторов -1*(Яп). Целью работы является внутреннее оценивание трудно описываемых множеств решений уравнений и систем с интервальными параметрами более простыми множествами с легко вычислимой мерой, а именно, интервалами и интервальными векторами. Оригинальность предлагаемого подхода состоит в дуализации коэффициентов исходного уравнения и нахождении решения полученного уравнения в 1*(Яп), при этом найденное решение, если оно существует, является максимальной по включению внутренней оценкой для множества вещественных решений исходного уравнения. Автором доказаны соответствующие теоремы для интервальных уравнений и интервальных систем линейных алгебраических уравнений. Существование решений уравнений в интервальных метрических пространствах заслуживает отдельного рассмотрения и не является предметом представленной работы.

Расширенное множество интервалов 1*(Я) впервые было рассмотрено Каухером [32] в 1973 году, им была предложена арифметика этого множества (арифметика Каухера) и доказаны основные теоремы о её свойствах [32,33,34]. В дальнейшем расширенная интервальная арифметика разрабатывалась Гареденесом, Трепатом, Джэнером, Миелго [27,28,29,30], которыми были введены также некоторые понятия и доказаны новые важные свойства.

Главными трудностями при решении уравнений в интервальных пространствах являются нелинейность умножения на вещественные числа и невыполнение дистрибутивного закона для интервальных арифметических операций, в связи с чем даже оператор умножения вещественной матрицы на элемент хе 1*(Яп) не является линейным оператором.

Чтобы охарактеризовать место, которое занимает данное исследование в интервальном анализе, и возможные области приложения, заметим, что с интервальным анализом связаны три направления научной и технологической деятельности [23]:

— математическое — включающее исследование математических проблем интервального анализа;

— компьютерное — рассматривающее вопросы создания и использования компьютерных средств для выполнения интервальных вычислений;

— прикладное — связанное с применением результатов интервальной математики и соответствующих компьютерных средств в различных областях науки и технологии.

Данная работа относится к первому из этих направлений.

Возникнув как подход к решению задачи получения гарантированного результата, интервальный анализ находит свое применение в исследованиях, объекты которых имеют изначально интервальную природу. Например, состояние человеческого организма характеризуется такими параметрами, как температура тела, давление крови в сосудах, содержание в ней определенных веществ и т. д. Для этих параметров существуют некоторые интервалы, в пределах которых любое их значение является допустимым для нормального функционирования организма. Любая система подвержена влиянию разнообразных факторов, которые в количественном выражении могут изменяться в каких-то границах, при этом система остается жизнеспособной (отвечает своему целевому назначению), если ее параметры не выходят за границы допустимых значений [2]. В связи с этим возникают два вида интервальной неопределенности. С одной стороны интервал [ос,|3] есть множество вещественных чисел, и соответствующий параметр может принимать любые вещественные значения из данного интервала, с другой стороны — это приближенные оценки, верхняя и нижняя границы, одного единственного вещественного числа. Математически это различие выражается употреблением кванторов всеобщности V или существования 3: в первом случае — V^е [а,(3], во втором — 3 е [а,(3]. В дальнейшем будем придерживаться следующих обозначений:

— интервалы и интервальные векторы обозначаются латинскими буквами а, Ь, с, .(с индексами и без них);

— интервальные матрицы — большими латинскими буквами А, В, С, .;

— вещественные векторы и матрицы — латинскими буквами с точкой снизу а, Ъ, с ,., А, В, С. концы интервалов и интервальных векторов — а, а (нижний и верхний конец, соответственно), Ь, Ь,.;

— вещественные числа — греческими буквами аДу, ., а также малыми латинскими с точкой снизу или с чертой.

Приведем простейший пример двух типов неопределенности. Пусть имеется вещественное уравнение относительно х: а.+ х = Ъ, где а, Ь, х — вещественные числа. Даны интервалы их изменения, а, Ь и х, соответственно. В интервальной постановке возможны различные задачи, например:

1) найти интервал хтакой, что, а + х = Ьэтот интервал х характеризуется парой свойств.

Ухе х)(Уа.е а)(3 Ь е Ь) а+ х = Ъ и (/Ь е Ь)(3 ае а)(3 хе х) а+ х = Ъ ;

2) найти интервал х такой, что х = Ъ — аэтот интервал х характеризуется парой свойств аеа)(У Ь е Ь)(3 хе х) а+ х = Ъ и (Ухе х)(3ае а)(ЗЬе. Ь) а+х = Ь.

Решение первой задачи является подмножеством решения второй.

Так как значительная часть настоящей работы посвящена интервальной системе линейных алгебраических уравнений, имеет смысл привести пример из [19], иллюстрирующий принципиальное различие между двумя типами неопределенности. Рассмотрим структурную схему линейных статических систем следующего вида: уАх р г.

А — вещественная тхл-матрица, х, у — вектора соответствующей размерности. Интервальная неопределенность элементов, а матрицы, А может быть двух типов, которым соответствуют: первому — параметры, которые нашей воле неподвластны и могут изменяться в пределах соответствующих интервалов как следствие внешних непредсказуемых возмущений (это соответствует /а • •€ <я/7);

• и и второму — параметры, которые мы можем изменять в пределах заданных интервалов по своей воле, т. е. управлять ими (это соответствует 3 а у<�Е, а у).

Интервалы выходных откликов системы >',¦ можно интерпретировать либо как.

— коридоры стабилизации системы, в пределах которых нам требуется обеспечить ее функционирование вне зависимости от значений возмущаемых параметров (соответствует 3 у.е. у-,), либо как.

— множества достижимости системы, каждое значение которых должно быть накрыто в результате подходящего выбора управляющих параметров (соответствует V уе уг).

Характер неопределенности исходных данных и результата зависят, таким образом, от конкретной задачи. Классификация различных множеств решений для интервальных уравнений дана С. П. Шарым в [22].

В данной работе расширенный интервальный анализ Каухера [32] применяется для нахождения решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений и интервального уравнения второй степени в пространстве 1*(Я). Основным результатом данной работы являются теоремы о связи интервальных решений уравнений в интервальном метрическом пространстве с решениями вещественных уравнений и систем уравнений с интервальной неопределенностью коэффициентов. Наиболее важным результатом является теорема о максимальной внутренней оценке объединенного множества решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений, которую дает интервальное решение уравнения с дуальным оператором. Кроме того, дается итерационный метод решения интервальной системы линейных алгебраических уравнений в метрическом пространстве Рассматриваются условия сходимости метода и условия, при которых соответствующий оператор является оператором сжатия. Для интервальных решений уравнений второй степени в пространстве 1*(Я) получены их явные выражения через коэффициенты этого уравнения.