Актуальность темы
.
Данная диссертационная работа выполнена в рамках исследований, проводимых на кафедре «Автоматизация и управление» под руководством к.т.н. Федорчука P.C. в области создания новых методов подготовки математических моделей элементов систем управления, основанных на структурном моделировании.
Практика моделирования элементов систем управления показывает, что для существенного повышения производительности труда инженера в процессе подготовки математических моделей (ММ) (примерно в 10 раз [71]) необходимо применение средств автоматизации их подготовки.
Основной проблемой современных систем автоматизации построения математических моделей на сегодняшний день остается получение в процессе моделирования аналитических уравнений, описывающих динамику исследуемой системы, необходимых для проведения численного моделирования.
Современные системы позволяют получать численное решение непосредственно по схеме исследуемой системы. При этом для инженера остается не ясным, какие математические или иные преобразования исходной формы модели производятся при этом. Так, например, в широко распространенной по всему миру системе MATLAB [5] преобразование нединамических контуров в структурных схемах производится путем завышения реальной степени полинома числителя передаточной функции (функция ss2tf) и, как следствие, это приводит к появлению лишних нулей на корневой плоскости, а также ряду других погрешностей. При этом, как показывают специальные исследования, проведенные специалистами из Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета, при моделировании достаточно сложных технических систем, как, например, энергетические судовые установки и прокатный стан, может происходить искажение результатов численного интегрирования нормальной формы Коши вплоть до полной потери точности. По этой причине, «закрытые» системы, подобные MATLAB, нельзя считать надежным средством моделирования. Результаты моделирования, полученные с их помощью, требуют перепроверки с применением других систем моделирования, использующих иные математические методы [40].
Следует отметить что, имея доступ к уравнениям движения, которые заложены в математической модели, инженер в процессе моделирования получает возможность использовать современные методы и средства исследования, не ограничиваясь возможностями какого-то одного программного комплекса. В качестве примера дополнительных средств можно привести пакет MathCAD — мощное универсальное средство автоматизации разнообразных математических вычислений.
Для получения уравнений движения в явном виде необходимо располагать системой автоматизированного моделирования, имеющей аналитическую компоненту.
Однако большинство существующих на сегодняшний день систем моделирования, способны получать решение в аналитическом виде, построены на основе универсальных систем аналитических вычислений, таких, как, например, Reduce [71] или Maple [27]. Они не учитывают структурных особенностей систем уравнений, которые им приходится решать. Или, другими словами, они не используют информацию о структуре динамической системы. Как следствие, низкая скорость аналитических вычислений даже для сравнительно небольших моделей, что затрудняет их применение в интерактивном режиме.
Есть системы автоматизации моделирования, аналитические компоненты которых используют информацию о структуре динамической системы. Они основаны на применении топологических методов преобразования С-графов динамических систем. Например, система моделирования CLASSiC-3.01, разработанная в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете и достаточно широко распространенная не только в России, но и за рубежом [40]. В этом же направлении успешно ведутся работы в Братском государственном техническом университете [64, 37].
Топологический метод на основе С-графов имеет ряд недостатков. Наиболее существенный из них — сильная зависимость вычислительных затрат от топологической сложности и размеров С-графа. Так, например, при увеличении вдвое числа блоков в С-графе, представляющим собой сильно связный граф, время работы алгоритма увеличивается более чем в 200 раз даже при достаточно простых топологиях.
Таким образом, представляется актуальной разработка новых методов и алгоритмов, и основанного на них программного обеспечения для автоматизации процесса построения математических моделей элементов систем управления, позволяющих получать уравнения движения со скоростью, приемлемой для интерактивного моделирования.
Цель и задачи диссертационной работы.
Целью настоящей работы является разработка метода вместе с математическим и программным обеспечения для автоматизированного построения математических моделей, обеспечивающего получение математических моделей элементов систем автоматического управления в процедурных и алгоритмических формах по известным графовым формам.
В соответствии с данной целью основными задачами работы являются:
1. определение нового метода организации процесса символьных вычислений в специализированной системе аналитических вычислений при построении процедурной и алгоритмической форм математических моделей элементов систем автоматического управления, представляющих собой аналоговые динамические системы;
2. разработка эффективного алгоритма преобразования графовых моделей в процедурные и алгоритмические формы модели;
3. разработка программного обеспечения системы автоматизированного моделирования с учетом возможности дальнейшего расширения ее предметной области и функциональных возможностей.
Достоверность.
Структурно-аналитический алгоритм, разработанный на основе предлагаемой концепции специализированной системы аналитических вычислений, использован при создании программного комплекса «Модельер 3.1», который успешно внедрен в эксплуатацию.
Основные методы исследования.
Для решения поставленных задач использовались методы теории графов, методы моделирования на графах линейных и нелинейных систем, вычислительные методы, методы информационных технологий и искусственного интеллекта.
Положения, выносимые на защиту.
1. Концепция специализированной системы аналитических вычислений, основанной на структурно-аналитических преобразованиях, производимых над гибридными графами, в целях автоматизированного моделирования элементов систем автоматического управления, представляющих собой детерминированные стационарные непрерывные линейные и нелинейные динамические системы.
2. Структурно-аналитический алгоритм преобразования гибридных графов динамических линейных и нелинейных систем в ациклические алгебраические графы, отличающийся от существующих малой алгоритмической сложностью.
3. Алгоритм исключения на графах, как составная часть структурно-аналитического алгоритма, для преобразования нединамических компонент, то есть сильно связанных компонент гибридных графов, не содержащих интегрирующие дуги, в ациклические подграфы, что эквивалентно решению подсистем линейных алгебраических уравнений инвариантных форм математических моделей, и обладающий преимуществами перед известными алгоритмами по быстродействию и использованию оперативной памяти, а, кроме того, позволяющий производить локальную оптимизацию порядка исключения, благодаря чему сокращается размер алгоритмической формы математической модели и объем вычислений в процессе численного решения, что особенно важно при интегрировании жестких систем.
4. Программный комплекс «Модельер 3.1», основанный на структурно-аналитическом алгоритме и предназначенный для автоматизации процесса преобразования графовых форм математических моделей элементов систем автоматического управления в соответствующие их алгоритмические формы.
Научная новизна работы.
1. Предложена концепция специализированной системы аналитических вычислений для подсистемы построения математических моделей элементов систем автоматического управления, основанной на структур но-аналити-ческих преобразованиях, производимых над гибридными графами. Идея заключается в регулярном использовании факторизации графа с целью уменьшения суммарного количества необходимых операций в процессе преобразования графовой формы математической модели в алгоритмическую форму и для обеспечения возможности распараллеливания указанного процесса.
2. Разработан структурно-аналитический алгоритм преобразования математической модели непрерывной нелинейной динамической системы, представленной в виде гибридного графа, в математическую модель в алгоритмической форме.
3. В рамках основного структурно-аналитического алгоритма разработан алгоритм исключения на графах для преобразования нединамических сильно связанных компонент гибридных графов, в ациклические подграфы указанные преобразования сильно связанных компонент соответствуют решению подсистем линейных алгебраических уравнений в инвариантных формах математических моделей). Алгоритм исключения на графах отличается от известных ранее топологических методов на основе М-графов, К-графов и С-графов существенно более низкой алгоритмической сложностью, более низкими требованиями к быстродействию и размеру оперативной памяти ЭВМ и малой чувствительностью к увеличению размеров графа, а также его топологической сложности. Благодаря применению локальной оптимизации порядка исключения вершин минимизируется количество арифметических операций, выполняемых при численном интегрировании, за счет чего сокращается время численного интегрирования и улучшается читабельность полученных уравнений в алгоритмической форме математической модели.
Практическая значимость работы.
На основе предложенной в диссертации концепции специализированной системы аналитических вычислений разработана система автоматизированного моделирования «Модельер 3.1». «Модельер 3.1» обладает высоким быстродействием, позволяет экономить значительные временные ресурсы в процессе создания математических моделей в интерактивном режиме.
Реализация результатов.
Разработанный на основе структурно-аналитического алгоритма программный комплекс «Модельер 3.1» внедрен в учебный процесс на кафедре «Автоматизация и управление» Факультета электроники и системотехники МГУЛ в рамках изучения дисциплин «Моделирование систем управления» и «Локальные системы управления» .
Апробация работы.
Основное содержание работы докладывалось и обсуждалось на научно-технических конференциях в МГУЛ (г. Мытищи, 1989;1991, 1998, 2002 г. г.), на научно-технической конференции «Совершенствование ресурсо-сберегающих технологий и охраны окружающей среды» (г. Ивано-Франковск, 1990), на Первой всесоюзной школе-конференции «Математическое моделирование в машиностроении» (г. Куйбышев, 1990). Кроме того, работа обсуждалась на кафедре математической кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова в рамках семинара под руководством Гаврилова Г. П. и на кафедре МОСОиУ в МГИЭМ.
Публикации.
Основные положения диссертации опубликованы в восьми печатных работах.
Краткое содержание по главам приводится ниже.
В первой главе дается описание графового подхода к математическому моделированию элементов САУ и постановка задачи. Осуществляется исторический экскурс в применение теории графов для анализа линейных схем и при решении систем линейных алгебраических уравнений. Подробно рассмотрены структурные схемы и графы с точки зрения алгоритмизации построения по ним вычислительных моделей. Рассмотрены правила преобразования графов САУ и проблема применения топологических методов для алгоритмизации расчета передаточных функций на ЭВМ. Проанализирована степень избыточности структурных схем и графов, с которой связана сложность формализации преобразований моделей систем в графической форме. Далее рассмотрено применение графов для анализа электрических и механических систем в рамках концепции двойственности электрических и механических моделей. Определены понятия «сигнал-потенциал» и «сигнал-поток». Рассмотрен вопрос электрических аналогов механических систем, их двойственность и адекватность их математических моделей в виде гибридных графов. Обсуждена проблема отсутствия электрических аналогов, отвечающих принципам двойственности, для некоторых механических систем. В качестве средства преодоления трудностей моделирования, связанных с отсутствием таких аналогов, называется обобщенный подход, разработанный в [4, 61] и основанный на технологии факторных моделей и гибридных, графов. При этом отмечен тот факт, что гибридные графы представляют собой однородные объекты, с которыми можно производить чисто формальные преобразования.
Вторая глава посвящена в целом разработке структурно-аналитического алгоритма (CAA) преобразования гибридных графов линейных и нелинейных непрерывных динамических систем в соответствующие линейные ациклические графы. В первом параграфе дается концепция новой специализированной САВ, предназначенной для работы в составе подсистемы построения ММ элементов САУ в САПР САУ и основанной на применении структурно-аналитического алгоритма преобразования гибридных графов элементов САУ в ациклические алгебраические графы. Далее предлагается сам алгоритм и приводится пример его применения. Далее подробно рассмотрен алгоритм исключения на графах, который предназначен для преобразования сильно связных компонент графа в ациклические подграфы. Иными словами, предложена графовая интерпретация метода исключения, используемого для решения систем линейных алгебраических систем уравнений. Приведены отличия этого алгоритма от известных ранее. Подробно изучена проблема определения оптимального порядка изоляции вершин графа в процессе работы алгоритма исключения на графах. На простом примере показана степень важности решения этого вопроса с точки зрения получения эффективной вычислительной программы для реализации численного эксперимента. Определена оценка вычислительной сложности структурно-аналитического алгоритма. Особое внимание уделено алгоритму исключения на графах как наиболее весомому в смысле его вклада в общее время решения. Дан сравнительный анализ вычислительных затрат CAA и топологического метода для С-графов.
В первом параграфе третьей главы осуществлен выбор структуры системы автоматизированного моделирования, названной автором «Модельер» .
Отмечается важность наличия в подобных системах аналитических компонент, позволяющих решать целый ряд проблем, связанных с процессом моделирования. Далее приводится алгоритм генерации вычислительной программы по гибридному графу линейной системы. Разработан алгоритм процедуры, реализующей анализ линейности сильных компонент графа и алгоритм исключения на графах. В случае если компонента содержит дифференцируемые нелинейности, перед началом работы алгоритма исключения они подвергаются линеаризации. Далее приведен алгоритм преобразования гибридных графов, содержащих недифференцируемые нелинейности.
Рассмотрены интеграционные возможности САМ «Модельер». Отмечается, что использование ее модулей в таких системах как АСНИ «Капсула» (разработана в МИЭМ в 1989 году) реализованных на базе универсальной системы аналитических вычислений (САВ) «Редьюс», позволяет расширить их функциональные возможности. В силу незначительных размеров загрузочных модулей САМ «Модельер» их можно интегрировать и в системы закрытого типа (система моделирования непрерывных систем СЗБЕ v. 1, разработана в МЭИ в 1990 году). При этом данная система приобретает качественно новые для нее возможности, такие как моделирование систем, в математических моделях которых содержатся подсистемы алгебраических уравнений, причем не обязательно линейные.
Дается характеристика разработанных автором данной диссертации подсистем САМ «Модельер», разработка которых входила в задачу данной диссертационной работы, а именно, транслятора исходного описания гибридного графа линейной динамической системы во внутреннее представление, принятое в САМ «Модельер», модуля сруктурно-аналитических преобразований, генератора вычислительных программ и программы-оболочки, предоставляющей современный пользовательский интерфейс.
В четвертой главе приводятся два тестовых примера моделирования с использованием разработанного программного обеспечения — это математи.
14 ческая модель активного фильтра на операционном усилителе .и математическая модель электромеханической системы с редуктором и инерционной нагрузкой. Задача испытаний сводилась к получению с помощью САМ «Модельер» тех же численных решений, что были получены ранее в результате специально проведенных исследований. Для обеих динамических систем известно, что их математические модели, полученные ранее другими средствами, адекватно отражают процессы, происходящие в реальных объектах.
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 4.
1. По гибридному графу активного фильтра на операционном усилителе и по гибридному графу электромеханической системы с редуктором, путем преобразования исходных гибридных графов в соответствующие алгоритмические формы построены вычислительные программы для численного моделирования.
2. Структурно-аналитический алгоритм и в целом Модельер 3.1 не дали ни одной ошибки, ни в одной модели вне зависимости от их сложности. Что дает основание говорить о надежности CAA и Модельера.
3. Разработанное программное обеспечение показало высокие результаты по быстродействию. Обе задачи были решены на персональном компьютере с процессором Pentium-75 менее чем за 3 секунды, что значительно лучше результатов, получаемых при решении тех же задач с использованием универсальных систем аналитических вычислений. При этом большая часть указанного времени приходится на файловые операции при загрузке компонент, входящих в состав пакета структурно-аналитических преобразований. Данные показатели вполне приемлемы для интерактивных систем моделирования.
4. Сгенерированные программы оптимизированы по количеству операций умножения, выполняемых в процедуре вычисления правых частей Model в процессе интегрирования системы уравнений. Количество операций умножения в каждой процедуре составило 14 и 14 соответственно. Вне зависимости от размера текста сгенерированных Модельером систем уравнений количество арифметических операций в них, выполняемых на этапе вычислений, незначительное. Значит, Модельер генерирует достаточно эффективный (с точки зрения быстродействия вычислительной программы) исходный код процедурной формы модели.
5. Системы уравнений, получаемые при преобразовании графовых форм в процедурные, для сложных моделей практически нечитабельны из-за чрезвычайно громоздких коэффициентов. Для эффективного использования их человеком, требуется дополнительное аналитическое упрощение получаемых с помощью CAA арифметических выражений коэффициентов при фазовых и структурных координатах.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
Приведем основные научные результаты диссертационной работы.
1. Предложена концепция новой эффективной специализированной системы аналитических вычислений, основанной на структурно-аналитических преобразованиях, производимых над гибридными графами, в целях автоматизированного моделирования непрерывных динамических систем в составе САУ.
2. Исследована проблема применения гибридных графов для автоматизированного построения математических моделей непрерывных динамических систем в составе САУ.
3. Разработан структурно-аналитический алгоритм преобразования математических моделей непрерывных линейных и нелинейных динамических систем, представленных в форме гибридных графов, в соответствующие математические модели в алгоритмической форме.
4. Предложена методика решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), основанная на принципе исключения на графах. Она представлена в виде алгоритма, являющегося составной частью структурно-аналитического алгоритма. Этот алгоритм имеет следующие преимущества по сравнению с аналогичными алгоритмами Мейзона и Коутса. А именно:
— предлагаемый алгоритм не связан с матричным представлением СЛАУ, что позволяет получить выигрыш в объеме требуемой оперативной памяти.
— в результате работы предложенного алгоритма вычисляются сразу все неизвестные, в то время как в алгоритмах Мейзона и Коутся вычисляется только одна передача между двумя полюсами графа. Для получения полного решения их алгоритмы должны функционировать многократно. В целом предлагаемый автором алгоритм исключения на графах является существенно более экономичным по требуемым ресурсам памяти и времени.
5. На основе графовой технологии автором предложена методика минимизации числа слагаемых в правых частях алгебро-дифференциальных уравнений. В связи с этим автором разработан алгоритм оптимизации, как следствие совершенствования алгоритма исключения на графах. Следует заметить, что указанная методика представляет собой аналог стратегии минимизации заполнения матрицы в процессе Гауссова исключения, предложенной Марковицем. Что касается незначительного увеличения времени работы алгоритма исключения на графах за счет включения в него алгоритма оптимизации, то оно компенсируется за счет сокращения времени работы вычислительной программы. Кроме того, вычислительная программа благодаря минимизации становится более читабельной.
6. Разработан пакет «Модельер 1.0», включающий в себя три программных модуля, реализующих структурно-аналитические преобразования графовых моделей линейных САУ в вычислительные программы.
7. Проведены испытания пакета «Модельер 1.0» на предмет получения вычислительных программ, дающих результаты, совпадающие с результатами, полученными ранее при моделировании тех же систем другими средствами.
8. Для автоматизации процесса моделирования с использованием пакета «Модельер 1.0» была разработана программа-оболочка, получившая название «Модельер 3.1», работающая под Windows 95, Windows NT 4.0 и другими 32-х разрядными версиями операционной системы MS Windows. Данная программа имеет развитый, интуитивно понятный пользовательский интерфейс, позволяющий быстро вводить графовую форму модели и получать процедурную и алгоритмическую формы, а также компилировать и запускать на выполнение вычислительную программу.
