Разработка и исследование метода одновременной оценки корней характеристического уравнения линейной системы

Современный уровень развития компьютерной техники и численных методов анализа систем автоматического управления дают большие возможности для проектирования систем автоматического управления, а в достаточной мере разработанные методики анализа и синтеза линейных систем позволяют избежать многих трудностей на стадии разработки и первичного анализа.

При анализе линейных систем автоматического управления, а также при синтезе регуляторов для них, часто возникает задача поиска корней характеристического уравнения исследуемой системы [53], причем левая часть уравнения представляет собой алгебраический полином, а правая равна нулю. Особенный же интерес при анализе вызывают так называемые «жесткие» системы, в которых можно выделить несколько групп корней и рассматривать движение системы с точки зрения анализа получившихся групп. На данный момент наука располагает достаточно большим количеством методов решения полиномиальных уравнений [17, 18, 28, 42, 65], но применение их для жестких систем иногда затруднительно из-за различия в значениях корней, принадлежащих разным группам. Среди имеющихся методов можно выделить методы, которые достаточно ясны для понимания, однако неэффективны, а также методы, которые считаются достаточно эффективными, но при этом численная процедура, соответствующая им, является достаточно сложной для освоения и реализации. В частности, одним из наиболее эффективных методов на сегодняшний день считается метод Дженкинса-Трауба [64], но при этом его описание достаточно сложно найти даже в книгах, описывающих большинство популярных на сегодняшний день численных методов. Например, в книге [65], являющейся основным учебником и руководством по программированию численных методов в США и Западной Европе, метод Дженкинса-Трауба только упоминается, а подробное описание его не приводится из-за слишком большой сложности этого метода для понимания. В некоторых случаях, упомянутый метод, а также наиболее популярный сейчас метод собственных значений, являются неэффективными (в смысле сходимости и быстродействия) по сравнению с более простыми методами, например, с комбинацией методик Мадсена-Рейда и Мюллера или Ньютона [64, 67]. Также есть методы, предложенные в различных источниках, но не исследованные с точки зрения эффективности, например, комбинация методов Мадсена-Рейда и наискорейшего спуска [18]. В данной работе будет предложена достаточно простая и эффективная численная методика [30−32] решения полиномиальных уравнений, основанная на переформулировке задачи отыскания корней в задачу оптимизации, использующая как аналитические выражения (формулы Виета), так и численные алгоритмы.

Для многократного получения корней полинома с постоянным порядком и изменяющимися коэффициентами предлагаемый метод имеет некоторые преимущества по отношению к другим, а именно:

1.Информация о расчетных формулах (формулы Виета) всегда может находиться в оперативной памяти, а значит, есть возможность быстрых расчетов по этим формулам.

2.При достаточно малом изменении коэффициентов значения корней на предыдущем шаге будут являться достаточно хорошими приближениями для корней на текущем шаге, а использованная методика Левенберга-Марквардта [66] с хорошими приближениями позволит достичь заданной точности всех корней достаточно быстро.

Подобные расчеты могут понадобиться для анализа систем с изменяющимися во времени коэффициентами, а также для пошагового построения корневого годографа [И, 13, 14]. Большинство методов решения полиномиальных уравнений, применяемых на практике в настоящее время, рассчитаны на то, что все коэффициенты полинома являются действительными числами. Однако следует заметить, что в некоторых ситуациях при проектировании систем автоматического управления (см., например, [11,33]) приходится сталкиваться с комплексными коэффициентами и вычислять корни. Предлагаемый метод рассчитан на общую формулировку задачи вычисления корней полиномов, то есть коэффициенты и корни полинома могут быть как действительными, так и комплексными.

Объектом исследования в данной работе являются особенности и свойства характеристических уравнений линейных систем автоматического управления, а также их корней.

Предмет исследования — новый численный метод решения полиномиальных уравнений, позволяющий одновременно оценивать все корни уравнения.

Целью работы является создание численного метода определения всех корней полиномиального уравнения, достаточно простого для понимания и эффективного.

Методом исследования в данной работе является численный эксперимент, проводимый средствами электронной вычислительной техники, результаты которого в дальнейшем анализируются и сопоставляются с ожидаемыми результатами, а также с результатами работы известного математического пакета МаШСас!

Научная новизна работы состоит в том, что в ней предложен качественно новый метод решения полиномиальных уравнений, являющийся универсальным, то есть применять предложенный метод без потери им своих качеств возможно к любым полиномиальным алгебраическим уравнениям, а не только для получения корней характеристического полинома жесткой системы автоматического управления.

Практическая значимость работы состоит в возможности расширения функциональности популярных математических пакетов и средств анализа и синтеза систем автоматического управления с помощью новой предложенной методики. Также необходимо отметить, что идея предлагаемого метода достаточно легко воспринимается, а поэтому метод может быть предложен к использованию для обучения студентов. Кроме вычисления корней полинома с постоянными коэффициентами, в работе показана возможность использования метода для расчета корней «в темпе с объектом» для случая, когда коэффициенты характеристического уравнения изменяются с течением времени. Также представлена процедура разделения свободного движения линейной системы автоматического управления.

Структура диссертационной работы.

В главе 1 проведен анализ существующих методов решения полиномиальных уравнений, выявлены достоинства и недостатки каждого из рассматриваемых методов, причем в обзор методов включены как наиболее популярные на сегодняшний день методы, так и некоторые модификации численных процедур, известные лишь в узком кругу специалистов.

В главе 2 излагаются математические основы новой методики, в частности, возможность использования аналитических формул Виета для оценки коэффициентов полинома с помощью вычислительной техники, возможность вычисления произведения нескольких комплексных чисел с помощью аналитических формул, переформулировка задачи нахождения всех корней полиномиального уравнения для частного и общего случаев полиномиального уравнения (при наличии только действительных или комплексных корней, соответственно). Вводится понятие псевдокорней и показывается, почему пользоваться псевдокорнями для вывода формул и получения результатов проще, чем обыкновенными корнями. Также описывается процедура перевода псевдокорней в обыкновенные корни. Исследуются некоторые свойства полученной задачи оптимизации.

В главе 3 рассматривается возможность применения различных методов для решения поставленной в главе 2 задачи оптимизации, предлагается аналитический метод расчета градиента критерия в заданной точке. Описывается применение методов градиента и Левенберга-Марквардта для оптимизации целевой функции, причем особое внимание уделяется ее овражному характеру.

В главе 4 предлагаются алгоритмы и реализации новой численной методики. В разделах этой главы также имеются модификации предлагаемых алгоритмов с целью повышения скорости их работы на вычислительной технике, например, предлагается замена деления умножением и быстрый расчет сочетаний. Приводятся соображения, исходя из которых можно делать выводы о постоянном хранении так называемой «статической информации» в оперативной памяти во время вычислений, а также и постоянном хранении этой информации в ППЗУ компьютера для использования в дальнейших вычислениях. Также приводятся исходные тексты реализации предложенных алгоритмов на языках С++ и С#.

В главе 5 рассматриваются различные аспекты применения предлагаемой методики для разделения свободного движения линейной системы автоматического управления и для задачи поиска собственных чисел матрицы, а также производится анализ недостатков методики и предлагается быстрый алгоритм генерации начальных условий для нее, основанный на схеме Горнера и алгоритме Мадсена-Рейда.

Все теоретические результаты, изложенные в главах 2−5 сопровождаются численными примерами.

Выводы.

1) Имея корни характеристического уравнения системы можно разделять ее свободное движение на составляющие по группам с помощью алгоритма, предложенного в разделах 5.1.1−5.1.2.

2) Сходимость метода подвода рабочей точки к области экстремума зависит от начальных условий, которые можно выбирать, пользуясь правилами, изложенными в разделе 5.2.2.

3) Начальные приближения для метода Левенберга-Марквардта также можно получить пользуясь методикой, представленной в разделе 5.2.3. Более того, эта методика является предпочтительной, так как она повышает скорость работы всего алгоритма в целом.

4) Предложенной методикой можно пользоваться и для целей задач адаптивного управления, как это предложено в разделе 5.2.4.

5) В разделе 5.3 показана возможность использования предлагаемой методики для определения собственных чисел матриц.

Заключение

.

В диссертации получены следующие существенные результаты:

1. Проанализированы существующие на данный момент методы решения полиномиальных уравнений, показано, что одни из самых популярных методов на сегодняшний день имеют некоторые недостатки, которые предполагалось компенсировать в предложенном в работе методе. Выявлены две группы методов решения поставленной задачи, показаны различия между ними, а также найдена взаимосвязь между этими группами.

2. Предложено математическое обоснование рассматриваемого в работе метода, качественно отличающееся от существующих подходов, сформулирована задача оптимизации, которую предстоит решать для нахождения всех корней полинома, выявлены особенности критерия оптимизации.

3. Показана возможность аналитического вычисления оценки коэффициента полинома с помощью его корней, а также градиента сформулированного критерия оптимизации в произвольной точке.

4. Проанализирована возможность применения существующих методов оптимизации для решения поставленной задачи. Выяснен овражный характер критерия оптимизации. Предложена модификация градиентного метода для оптимизации выбранного критерия. Показано, что скорость сходимости градиентного метода при продвижении к точке, содержащей значения всех корней, уменьшается. Предложено использование алгоритма Левенберга-Марквардта, как наиболее подходящего для поставленной задачи оптимизации, указаны особенности его применения.

5. Разработаны алгоритмы для всех стадий работы метода, выяснено, что информация, используемая алгоритмом делится на статическую (которую возможно рассчитать до запуска численной процедуры) и динамическую (которая генерируется непосредственно в ходе вычислений). Предложены удобные способы хранения статической информации.

6. Предложены процедуры, оптимизирующие вычислительный процесс.

7. Предложены алгоритмы разделения свободного движения линейных систем автоматического управления: по декременту затухания, по частоте колебаний и комбинированный.

8. Предложена процедура нахождения корней полинома — на первом шаге достаточно грубо вычисляются оценки корней полинома, на втором — оценки уточняются с помощью предложенной методики по методу Левенберга-Марквардта.

9. Рассматривается вопрос применения предложенной методики для целей адаптивного регулирования линейных систем автоматического управления с изменяющимися в течение времени коэффициентами, а также для оптимизации реализации метода корневого годографа, имеющего некоторые преимущества применения для анализа двусвязных систем.

10. Рассматривается возможность применения метода для нахождения собственных чисел действительных и комплексных матриц.

11. Все предложенные пути решения поставленной задачи проиллюстрированы численными примерами, которые составляют численный эксперимент, являющийся основным методом проверки результатов в работе.