Моделирование обратных граничных задач стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости

В различных областях науки и техиики с целью изучения закономерностей функционирования некоторого объекта или природного явления проводятся исследования самого различного вида. Цель исследования — выявление главных закономерностей явления и, возможно, формирование на его основе некоторой математической модели. Очень часто на практике встречаются ситуации, когда объект исследования либо принципиально недоступен для наблюдения, либо проведение эксперимента дорого. Примерами таковых могут служить исследования по изучению внутреннего строения Земли, на основе которых можно было бы прогнозировать месторождения полезных ископаемых, предсказывать время и место разрушительных землетрясений, извержений вулканов, а также изучать динамику внутренних процессов нашей планеты. Отметим, что глубина самых глубоких скважин, пробуренных при помощи современнейшего оборудования, не превышает 20 км, а средний радиус Земли равен 6371 км. Таким образом, для непосредственных наблюдений внутренних процессов Земли доступна лишь небольшая ее приповерхностная часть. При этом необходимо делать заключение о свойствах внутренних процессов Земли (например, об изменении ее плотности или температуры с глубиной) по измеренным в ходе эксперимента косвенным проявлениям.

В приведенной выше ситуации мы хотим определить причины, если известны полученные в результате экспериментов или наблюдений следствия. С точки зрения соотношения причина — следствие все задачи математического моделирования можно условно разделить на два больших класса: прямые задачи (известны причины, необходимо найти следствия) и обратные (известны следствия, нужно найти причины).

К прямым задачам относятся, например, задачи расчета механических, тепловых, электромагнитных полей для тел, свойства pi конфигурация которых известны. Математический аппарат для исследований таких задач удобно представлять в виде дифференциальных уравнений. В этой области накоплено немало результатов, позволяющих, например, аналитически или качественно исследовать свойства решений, не решая самих уравнений, исследовать вопросы существования и единственности решений, разрабатывать различные численные методы решения задач и исследовать их свойства.

К обратным задачам относят задачи определения некоторых физических характеристик объектов, таких, например, как плотность, теплоемкость, коэффициент теплопроводности, по их косвенным проявлениям. Процедура решения таких задач, состоящих в обращении причинно-следственных связей, связана с преодолением серьезных математических трудностей. Успех ее сильно зависит как от качества и количества полученной из эксперимента информации, так и от способа ее обработки. При формулировке общих постановок и выделении основных классов обратных задач предполагается известными постановки прямых задач. Заметим, что часто без умения решать прямые задачи невозможно подойти к решению обратных задач.

Постановки как прямых, так и обратных задач предполагают предварительное моделирование реального процесса, представленного в некоторой математической форме. В общем случае под моделированием понимается замещение исходного объекта (оригинала) его моделью с целью исследования свойств этого объекта при помощи выбранной модели. Моделирование является универсальным методом научного познания, оно играет исключительно важную роль в науке [51].

Математическая модель может быть выражена различными средствами — от языка функционального анализа и дифференциальных уравнений (ДУ) до вычислительного алгоритма и компьютерной программы. Соответственно, процесс математического моделирования обычно разделяют на три этапа: модель — алгоритм — программа. Каждый из этих этапов по-своему важен и ответственен за конечные результаты моделирования, причем несет в себе ошибки и неточности предшествующего этапа. Имеет место естественная соподчиненность моделей на каждом из этих этапов. Программирование задачи выполняется после составления вычислительного алгоритма. В свою очередь, алгоритмизация становится возможной после того, как полностью определена постановка задачи в той или иной форме. Таким образом, программа может рассматриваться как модель алгоритма, а расчетный алгоритм является моделью исходной системы.

В качестве исходных математических моделей наиболее распространены начально-краевые задачи, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных (ДУЧП). В зависимости от изучаемых явлений, модели разделяются на виды: стационарные и нестационарные (динамические), линейные и нелинейные, одномерные pi многомерные.

В математической физике обычно рассматриваются начально-краевые задачи следующего вида. Задается ДУ и некоторые дополнительные, начально-краевые условия, которым должно удовлетворять решение ДУ. Как правило, эти дополнительные условия выделяют из всей совокупности решений ДУ одно решение. Среди всей совокупности ДУЧП важную роль играют ДУЧП второго порядка, которые разделяют на три класса: параболические, эллиптические и гиперболические. При этом для каждого такого класса имеются типичные постановки задач. Примерами таких задач являются задача Коши, задачи Дирихле и Неймана, смешанная задача. Характерной чертой этих типичных задач является их корректность. Понятие корректной задачи, являющееся одним из важнейших понятий современной математики, было сформулировано французским математиком Ж. Адамаром [1]. Оно означает, что решение задачи существует и единственно в некотором множестве, а также непрерывно зависит от входных данных.

При исследовании краевых задач математической физики часто приходится расширять классы функций, среди которых ищется решение. В этом случае переходят от классических постановок краевых задач к обобщенным, вводится понятие обобщенного решения ДУ, причем обобщенная постановка не единственна: она определяется указанием функционального пространства, в котором предполагается найти решение. При исследовании обобщенных решений ДУ основным инструментом является функциональный анализ и теория функций.

Постановка каждой прямой задачи предполагает задание некоторого числа функций. Эти функции определяют ДУ, задают коэффициенты и правую часть, а также входят в определение начальных и краевых условий. В результате решения прямой задачи заданному набору функций ставится в соответствие новая функция — решение краевой задачи. С точки зрения функционального анализа, решение прямой задачи это построение некоторого оператора, определенного на данных прямой задачи. Представим теперь, что некоторые из тех функций, которые необходимо задавать в прямой задаче, неизвестны, а вместо них известна некоторая дополнительная информация о решении задачи. По этой дополнительной информации требуется определить недостающие функции и само решение. Подобные задачи называются обратными задачами математической физики. С точки зрения функционального анализа, в обратных задачах исследуется вопрос об обратимости оператора прямой задачи.

Дополнительная информация о решении прямой задач pi может задаваться в различной форме. Это может быть, например, само решение, заданное на некотором множестве независимых переменных, pi л и интегральные характеристики решенрш. Если в обратной задаче искомые функцирр входят только в дифференцр1альное уравнеюге, то она представляет собой задачу определения дифференциального уравнения. Возможны другие типы обратных задач, например о нахождении начальных рши граничных условий.

Одним из важных классов обратных задач являются обратные зада-чр1, возникающие при дрхагностике и идентификации параметров фр1зрше-ckpix процессов, которые связаны с экспериментальнымр1 исследованр! ямр1, когда требуется по некоторым измеренным «выходным» следственным характеристикам восстановрхть «входные» причинные. Этрг задачи первичны как по отношению к прямым задачам, так pi по отношению к другим классам обратных задач, поскольку ohpi связаны с построением математических моделей pi наделением их количественной информацией. PeineHPie обратных задач идентификации, как правило, заключается в определении ЛР160 коэффициентов дифференциальных уравнений, либо начально-краевых условий, либо области, в которой действует оператор, ЛР160 сочетания приведенных выше причин [16, 21, 48]. Соответственно различают коэффициентные, эволюционные, граничные и геометрические обратные задачи [5, 52].

Обратные задачР1 обладают рядом неприятных с математической точки зрения особенностей. Во-первых, они, как правило, нелинейны, то есть неизвестная функция или неизвестный параметр входит в операторное или функциональное уравнение нелинейным образом. Во-вторых, решения обратных задач обычно неединственны. Для обеспечения единственности часто необходимо требовать избыточности экспериментальной информации. В-третьих, обратные задачи не являются корректными. Смысл первого условия корректности задачи (существование решения) состоит в том, что среди исходных данных нет противоречащих друг другу условий, исключающих возможность решения задачи. Второе условие (единственность) означает, что данных достаточно для однозначной определенностР! решения задачи. Третье условР1е (непрерывная зависимость от исходных данных) означает, что малые изменения в данных приводят к малым изменениям в решении. Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному из условий корректности, называются некорректными. В обратных задачах, как правило, отсутствует непрерывная зависимость от исходных данных в отличие от прямых задач. Поскольку входной информацией в обратных задачах являются экспериментальные данные, определяемые с некоторой погрешностью, которую не всегда можно оцеюггь, то решение обратной задачи с «испорченными» входными данными может сильно отличаться от точного решения.

Постановки обратных задач, в отличие от прямых, нельзя воспроизвести в реальном эксперименте, т. е. нарушить причинно-следственную связь не математическим, а физическим путем. И в этом смысле они не соответствуют физически реализуемым событиям. Например, нельзя обратить ход физического процесса и тем более изменить течение времени. Таким образом, можно условно говорить о естественной природе некорректности постановки обратной задачи. Естественно, что при математической формализации она проявляется уже как математическая некорректность (чаще всего неустойчивость решения), и обратные задачи представляют собой типичный пример некорректно поставленных задач.

Большой вклад в развитие математической теории некорректных задач внес А. Н. Тихонов [57, 58], который ввел понятие условно-корректной задачи и определил решение такой задачи как нахождение класса ее корректности. Он предложил один из возможных способов регуляризации некорректной задачи, состоящий в сведении исходной задачи решения некоторого операторного уравнения к проблеме отыскания минимума некоторого подходящего функционала. Большой вклад в эту область внесли М. М. Лаврентьев, В. К. Иванов, Г. И. Марчук, В. Я. Арсенин, В. А. Морозов, А. Б. Бакушинский, В. Б. Гласко, А. В. Гончарский, В. В. Васин, А. Г. Ягола, О. М. Алифанов, В. Г. Романов, A.M. Денисов, Ф. П. Васильев, С.И. Кабани-хин, А. С. Леонов, О. А. Лисковец, И. В. Мельникова, Л. Д. Менихес, В.П. Та-нана, А. И. Прилепко, Ю. Е. Аниконов, А. Л. Бухлейм и многие другие математики. Теория обратных и некорректных задач достаточно подробно представлена в работах [5, 16, 17, 21, 34, 48, 58, 69, 72, 84].

Нарушение причинно-следственной связи, ршеющее место в постановке обратной задачи, предопределяет серьезные трудности их решения. В первую очередь, это трудности разработки методов и алгоритмов, дающих достоверные результаты. Методы решения обратных задач дают возможность исследовать сложные нестационарные нелинейные процессы, дают возможность более обоснованно выбирать технологаческие решения.

С позиций математического моделирования алгоритм численного решения обратных задач состоит в сведении обратной задачи к решению последовательности корректных задач, которые можно решать численно [52, 59]. Реализация методов решения некорректных задач связана с численным решением соответствующих дифференциальных задач. При этом широко используется математический аппарат разностных схем, разработанных в школах А. А. Самарского, Г. И. Марчука, Н. Н. Яненко.

Важно отметить, что исследование обратных задач можно свести к исследованию соответствующих экстремальных задач. Это достигается путем введения функционала качества, адекватно отвечающего рассматриваемой обратной задаче, и последующей его минимизации на допустимых решениях исходной задачи.

Одним из подходов к решению обратных задач является поиск соответствия между «измеренными» и «смоделированными» посредством краевой задачи данными наблюдений. В этом случае часто используется теория сопряженных уравнений [39, 41]. Суть применения теории сопряженных уравнений состоит в том, чтобы связать вариацию неизвестной характеристики с вариацией известной характеристики, посредством семейства решений сопряженного уравнения.

В работах, посвященных градиентным методам решения обратных задач, минимизируется норма между «измеренными» и «смоделированными» данными различными методами градиентного типа. Обзор различных методов оптимизации приводится в [12−14, 45]. Сопряженные уравнения здесь используются для определения градиента функционала качества [6, 20, 44, 71]. К достоинствам таких алгоритмов стоит отнести простоту в реализации, а к недостаткам — неясную связь между результатом их работы и решением задачи и, возможно, локальный характер их сходимости.

Альтернативным методом численного решения некоторых классов некорректных задач является метод квазиобращения, предложенный Р. Латтесом и Ж.-Л. Лионсом в [38]. Основная идея метода квазиобращения заключается в надлежащем изменении операторов, входящих в задачу, так, чтобы задача стала корректной. Это изменение производится введением добавочных дифференциальных членов, которые достаточно «малы» (могут быть устремлены к нулю) и «вырождаются на границе» (для того, чтобы, например, устранить возникающие с введением новых членов сложные граничные условия, а также условия, в которые могут войти неизвестные, подлежащие определению). Построенные таким образом операторы имеют, как правило, более высокий порядок. Отметим, что идея метода квазиобращения схожа с идей метода регуляризации [58].

Значительная трудоемкость решения обратных задач, а также необходимость автоматизации обработки данных экспериментов и испытаний подразумевает использование для этих целей достаточно мощных ЭВМ pi специализированных вычислР1тельных комплексов.

Таким образом, разврггае теоррш pi методологрга решения обратных задач, как актуального направления исследований, вызвано насущнымР1 потребностями практики pi базируется на математической теории некорректно поставленных задач, оптимальных принцршах планрфованрш эксперимента, современных численных методах pi должно соответствовать характеру pi уровню развития вьншслрггельной техникР1 pi программного обеспечения.

Одним из важных классов обратных задач являются обратные задачи теплоpi массообмена. Многие обратные задачи теплообмена достаточно хорошо изучены [5, 8, 33, 42]. Встречаются pi более сложные модели теплообмена, такие как, например, естественная тепловая конвекция, для которых Р13вестно сравнительно мало результатов в связи с решением обратных задач [82, 83, 85].

Под тепловой конвекцией понимают перенос теплоты в жидкостях, газах или сыпучих средах потоками вещества. Различают естественную, ил pi свободную, и вынужденную конвекцрда. Естественная конвекция возникает при неравномерном нагреве текучих илр1 сыпучргх веществ, находящихся в иоле силы тяжести (или в системе, движущейся с ускорением). Вещество, нагретое сильнее, имеет меньшую плотность pi под действием архимедовой силы перемещается относительно менее нагретого вещества. Направление архимедовой силы, а следовательно, pi конвекции для нагретых объемов вещества противоположно направлению силы тяжести. Конвекция приводит к выравниванию температуры вещества. При стационарном подводе теплоты к веществу в нем возникают стационарные конвекцрюнные потоки, переносящие теплоту от более нагретых слоев к менее нагретым. С уменьшением разности температур между слоями интенсивность конвекции падает. При высоких значениях теплопроводности pi вязкостр! среды конвекция также оказывается ослабленной. Прр1 вынужденной конвекции перемещение вещества происходит главным образом под воздействием какого-либо технического устройства. Интенсивность переноса теплоты здесь зависит не только от перечисленных выше факторов, но pi от скорости вынужденного движения вещества. Конвекция широко распространена в природе: в нижнем слое земной атмосферы, морях и океанах, в недрах Земли, на Солнце и т. д. С помощью конвекции осуществляют охлаждение или нагревание жидкостей и газов в различных технических устройствах.

Одной из стационарных моделей тепловой конвекции является модель естественной тепловой конвекции высоковязкой жидкости в приближении Буссинеска [65j, которая носит также название конвекции Рэлея-Бенара в приближении бесконечного числа Прандтля [15]. Данная математическая модель может быть использована для моделирования температурного режима осадочных бассейнов [89], вулканических провинций [92], стационарной конвекции в мантии Земли [89]. Решение этих геофизических задач чрезвычайно важно с точки зрения их прикладного характера: осадочные бассейны являются природными хранителями полезных ископаемых, в частности, большинство исследованных месторождений нефти и газа связаны с такими геологическими структурамиизучение вулканов и их теплового режима помогает в предсказании вулканических извержениймантийная конвекция является одной из причин движения континентов на планете и источником землетрясений, происходящим на границах разломов литосферных плит. Кроме того, модель конвекции высоковязкой жидкости может использоваться в промышленности при моделировании процесса изготовления стекла в плавильных печах [70].

Из сказанного выше следует, что тема диссертации актуальна.

Целью настоящей работы является теоретическое исследование прямой задачи стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости, разработка методов численного решения соответствующей обратной задачи, а также проведение вычислительных экспериментов, которые могут охарактеризовать применимость разработанных методов к решению поставленных задач.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений.

Основные результаты проделанной работы состоят в следующем:

1. Исследовалась прямая задача стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости. Доказано существование и единственность слабого решения задачи в различных функциональных пространствах.

2. В ходе исследования получены полезные априорные оценки решения прямой задачи.

3. Доказана корректность прямой задачи.

4. Отдельно рассмотрены два частных случая прямой задачи (прямые задачи 1 и 2) для прямоугольной области. Получены более точные априорные оценки решения для этих случаев.

5. Дана постановка обратной задачи как в общем случае, так и для двух частных случаев (обратные задачи 1 и 2).

6. Показана некорректность обратной задачи.

7. Разработан вариационный метод решения обратных задач 1 и 2.

8. Проведено численное моделирование обратных задач 1 и 2 вариационным методом.

9. Разработан метод квазиобращения решения обратных задач 1 и 2.

10. Описана численная схема решения возмущенной задачи.

11. Проведено численное моделирование обратных задач 1 и 2 методом квазиобращения.

12. Разработан программный комплекс для численного решения рассматриваемых задач в прямоугольной области.

Разработанные подходы и полученные результаты могут быть полезны при исследовании прямых и обратных граничных задач для других моделей тепловой конвекции. Дальнейшее развитие работы может состоять в следующем:

• Продолжение исследования и теоретического обоснования предложенных подходов к решению рассматриваемых задач.

• Разработка более эффективных методов численного решения задач.

• Развитие программного комплекса на 3-х мерный случай.

В заключение автор выражает благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук А. И. Короткому за постановку задачи и ценные обсуждения результатов работы, а также кандидату физ.-мат. наук И. А. Цепелеву за полезные замечания, направленные на улучшение содержания работы.

Заключение

.