Математические модели диффузии примесей в абсолютно твердых пористых средах

В настоящей диссертации методами теории дифференциальных уравнений исследуются математические задачи, описывающие на микроскопическом уровне диффузию и медленную конвекцию примесей в вязкой слабосжимаемой жидкости, заполняющей поры в абсолютно твердом скелете грунта, и их асимптотические пределы (усредненные уравнения).

Актуальность темы

.

Тема исследований подпадает под пункт 6: рациональное природопользование перечня «Приоритетных направлений науки РФ» и пункты а) 8: технологии атомной энергетики, ядерного топливного цикла, безопасного обращения с радиоактивными отходами и отработавшим ядерным топливом, б) 16: технология оценки ресурсов и прогнозирования состояния литосферы и биосферы, в) 21: технологии снижения риска и уменьшения последствий природных и техногенных катастроф.

Методика исследований. Основными методами исследования являются классические методы функционального анализа и теории уравнений в частных производных, в частности, методы теории линейных и квазилинейных параболических уравнений (см. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. [1]). Кроме того, используются методы исследования нелинейных уравнений, такие как метод компактности (см. Лионе Ж.-Л. [2]). Для вывода усредненных уравнений используется метод двухмасштабной сходимости Нгуетсенга (см. ^ш^вег^ С. [3], [4]).

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить следующие.

1. Теорема 1 — о существовании обобщенного решения начально-краевой задачи для системы из нелинейных уравнений Стокса с нулевой объемной вязкостью и конвективного уравнения диффузии, названной в работе моделью М1;

2. Теорема 2 — о существовании обобщенного решения начально-краевой задачи для системы из нелинейных уравнений Стокса с ненулевой объемной вязкостью и конвективного уравнения диффузии, названной в работе моделью М2;

3. Теорема 3 — о существовании обобщенного решения начально-краевой задачи для системы из нелинейных уравнений Стокса с ненулевой объемной вязкостью и конвективного уравнения диффузии с малой диффузией в твердом скелете, названной в работе моделью МЗ;

4. Теорема 4 — о сходимости решений модели МЗ к усредненной системе уравнений, описывающей на макроскопическом уровне диффузию и медленную конвекцию примесей в вязкой слабосжимаемой жидкости, заполняющей поры в абсолютно твердом скелете грунта.

5. Теорема 5 — о предельном переходе при стремлении к нулю малого параметра, характеризующего диффузию в твердом скелете.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в теории нелинейных начально-краевых задач, в теории усреднения дифференциальных уравнений, а также при математическом моделировании процессов диффузии примесей в подземных грунтах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:

— международной конференции «Nonlinear Partial Differential Equation», г. Ялта, 2007 г.;

— Российско-Абхазском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», Нальчик-Эльбрус, 2009 г.;

— VII международной конференции по дифференциальным уравнениям, численным методам их решения и математическому моделированию, Волгодонск, 2009 г.;

— Международном Российско-Китайском симпозиуме «Комплексный анализ и его приложения», Москва-Белгород, 2009 г.;

— Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XXI», Воронеж, 2010 г.;

— Международном Российско-Болгарском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», Нальчик-Хабез, 2010 г.;

— семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям под руководством профессора Солдатова А. П. и профессора Мейрманова A.M., Белгородский государственный университет, 2010 г.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1] -[10] из списка публикаций автора-по теме диссертации. Из них статьи [2], [10] опубликованы в издании, рекомендованном ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации. В совместных работах [1], [5] результаты принадлежат авторам в равной мере.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, трех глав, списка литературы из 61 наименования и изложена на 113 страницах.