Методические основы процесса определения понятий в курсе алгебры восьмилетней школы

Общество развитого социализма, научно-технический прогресс, противоборство двух социальных систем предъявляют новые повышенные требования к всестороннему развитию и коммунистическому воспитанию подрастающего поколения. Партия добивается того, подчеркивалось на июньском (1983 г.) Пленуме ЦК КПСС, чтобы человек воспитывался «не просто как носитель определенной суммы знаний, но прежде всего — как гражданин социалистического общества, активный строитель коммунизма с присущими ему идейными установками, моралью и интересами, высокой культурой труда и поведения?'®-' В связи с этим очень важно, чтобы учащиеся не только приобретали глубокие знания, но и умели ими активно пользоваться, важно воспитать привычку и любовь к полезному труду, достичь определенного уровня культуры учебной деятельности.

В свете данных требований особое значение приобретает задача обучения учащихся логической стороне учебно-познавательной деятельности. Школа обязана дать учащимся навык определения, классификации понятий, построения умозаключений и доказательств. Поэтому учитель должен быть вооружен средствами организации и управления соответствующей логико-познавательной деятельностью. В первую очередь это относится к процессу формирования понятий.

Общая методика безотносительно к учебному предмету смотрит на определение как на этап в формировании у учащихся научных понятий. Каждый из учебных предметов вносит свою лепту в представление об определениях, их месте и роли в организации научных знаний, однако приоритет в этом деле принадлежит учебным дисциплинам естественно-математического цикла и, в первую очередь, Материалы Пленума ЦК КПСС, 14−15 июня 1983 г. — М.: Политиздат, 1983, с. 18. математическим предметам. Это обусловливается тем, что они должны отличаться и отличаются отточенностью логической формы определений, многообразием видов. Их содержание позволяет органически связать работу над формированием собственно математических понятий с развитием необходимых общелогических умений. Отсюда то особое внимание работе с определениями, на которое обращают руководящие документы Министерства просвещения СССР «Культура обращения учащихся с определениями является очень показательным проявлением их общего математического развития» (140, с.7).

Отчетные материалы об итогах выпускных экзаменов в средних школах и вступительных экзаменов в вузы, а также наши констатирующие эксперименты свидетельствуют об имеющихся трудностях и недостатках в усвоении учащимися математических понятий и их определений. Медленно происходит дифференциация понятий. Учащиеся имеют смутные представления о смысле определения, его значении, правилах построения и использовании. Они испытывают трудности в воспроизведении определения известного понятия, воспринимая его «нерасчлененным куском», путают определения и теоремы, не умеют аргументированно воспользоваться определением в рассуждениях. Эти недостатки во многом связаны с тем, что работа с определениями, доказательств ом теорем на уроках часто сводится к простому пересказу учебника.

В условиях реформы математического образования, составления принципиально новых программ, написания новых учебников, поднимается острая дискуссия вокруг качества принятой системы понятий и их определений, по вопросу о месте и роли определений в школьном курсе математики.

Б логике термин «определение» имеет двоякий смысл. С одной стороны, определение — это мыслительный процесс, логическая операция, посредством которой раскрывается содержание понятияс другой — итог операции, форма выражения содержания понятия, предложение. В дидактико-методических исследованиях превалирует обычно второй смысл. В результате, рассматривая отношение между понятием и определением как отношение между содержанием и формой, некоторые из методистов противопоставляют процесс обучения понятиям процессу обучения определениям, выдвигая на первое место проблему обучения понятиям. Но и при таком подходе методика обучения давать правильные определения оказывается сложной и по сути дела недостаточно разработанной (39,54,55,127).

В методической литературе мы отмечаем свободное, многозначное, вольное употребление термина «определение»: «наглядно-описательное определение» (138,с.15), «нестрогое, но интуитивно понятное определение» (103,с.47), «формально-логическое определение» (192,с.154), «педагогическое определение» (116,с.18) и т. д. Школьные учебники математики не выдерживают единого подхода к использованию термина «определение». В них можно найти достаточно много примеров, когда предложения, и структурно, и содержательно одинаковые в одном случае называются определениями, а в другом — нет. Наконец, в методической литературе оказывается до сих пор дискуссионным вопрос об отношении (сходстве или различии) определений и теорем-признаков. Возникающие трудности делают понятными требования учительской массы о необходимости «облегчить работу учителя и учащихся по безошибочному выявлению в учебном математическом материале различных форм мысли. Необходимо, чтобы вещи назывались там своими „логическими“ именами: определение, аксиома, теорема» (165,с.77).

Описанное разночтение термина «определение» оставляет неясным вопрос о смысле и назначении определения в школьном курсе математики, затрудняет чтение учителем методических рекомендаций, не снимает сомнений учителя в выборе того или иного определения, в целесообразности отдельных определений, затруднений в формулировке некоторых определений, в постановке вопросов, относящихся к использованию определений.

Нам представляется целесообразным остановиться на первом смысле термина «определение» — процессе определения понятий. «Определить понятие — означает развить его, превратить его в другое понятие, включить в узловую линию понятийных превращений. Это означает далее, определить его место в системе понятий, в теоретической структуре» (24,с.53).

Процесс определения школьных математических понятий может осуществляться многопланово: через описание правил оперирования с понятиемпосредством сравнения понятий и установления отношений между нимис помощью существенных свойств, зафиксированных либо в дефинициях — определяющих предложениях, либо в теоремах-признаках понятияпутем создания теории, отличительной чертой которой является определенная система взаимосвязанных понятий и т. д. Работа с определениями-предложениями — лишь один из этапов осуществления в школе процесса определения понятий. Поэтому и на нее полезно смотреть под следующим углом зрения: овладение определением не в целях запоминания, а в качестве познавательного приема. В этом случае возникает необходимость описания процесса определения, актуальным оказывается исследование соответствующей познавательной деятельности как предмета специального усвоения, как объекта управления со стороны обучающего .

В советской методике А. Я. Хинчин первым заострил внимание учителей и методистов на вопросах, связанных с определением математических понятий в школьном преподавании. Он подчеркнул, что они «могут получить успешное разрешение при том условии, что от беспочвенных споров по поводу определения тех или иных понятий мы перейдем к постановке этой большой научно-методической задачи и выработаем основные принципы построения математических определений в школе» (197,с.86). Ецу принадлежат бесспорные и основополагающие принципы — фундамент решения поставленных вопросов.

В обзоре дальнейших исследований по данной тематике мы выделим три направления.

Первое направление вытекает из существовавшего до 1953 г. учебного предмета «логика». В нем излагались некоторые элементы логики, в частности, — понятие, определение, деление и т. д., в традиционном для формальной логики духе. Для практических заданий, иллюстраций примеры черпались из разных учебных предметов, в том числе, из математики.

После того, как учебный предмет «логика» был исключен из учебного плана средней школы, его «нагрузка» была переложена на плечи других предметов, в первую очередь, на учебные предметы математического цикла.

В работах И. А. Гибша, А. Д. Семушина и А. И. Фетисова (47,191, 192) исследуются возможности развития логического мышления у учащихся в процессе преподавания математики в средней школе. Авторы рекомендуют вводить в преподавание элементы логики (с УШ класса). Среди этих элементов ими выделены определение и деление понятий, сделана попытка раскрыть содержание этих логических операций в духе требований учебного предмета «математика», заострен вопрос о методическом обеспечении работы с определениями. Эти методисты выделили некоторые знания и умения (в том числе, связанные с определениями понятий), которыми должны овладеть учащиеся.

Работы Ф. Ф. Притуло (154,155) — этого же направления. Особенно выпукло в них исследуется вопрос о том, как сделать определение в курсе математики оперативным, как облегчить его запоминание учащимися, как научить их понимать значение определения, давать определение и использовать его. Книга (154), ориентированная на студентов (будущих учителей), убеждает их в том, что учитель должен знать логику, сообщает необходимые сведения из традиционного учения логики. В статье (155) Ф. Ф. Притуло описывает свой опыт включения предварительных сведений из логики в предметное содержание математики 9 класса. Оставаясь в рамках часов, отведенных на изучение математики, он увязывает эти сведения с курсом математики, выделяет вопросы в отдельные темы, делая обязательным их усвоение.

Рассмотрению принципиальных вопросов, относящихся к логической сущности понятия, к структуре определения математических понятий, к методике изложения определения, посвящена книга В. В. Никитина и K.A.FynacoBa (127). Направления их исследованияопределение и культура математической речи учащихсяопределение и дедукция в математикеопределение и теоремы — признакиопределение и классификация и т. д. Структура книги свидетельствует о том, что ее авторы методически исследуют процесс определения понятий в школьном курсе математики. Эта книга адресована учителю, но предполагается сообщение учащимся сведений о логическом смысле, структуре и правилах определения с помощью специально поставленных вопросов и задач. В процессе определения понятий, подчеркивают В. В. Никитин и К. А. Рупасов, важна работа через задачи на нахождение характеристических признаков, сравнение понятий, формулировку эквивалентных определений.

Традиционность" исследований первого подхода состоит в том, что выделенные их авторами элементы логики, равно как и сведения о них излагаются в духе традиционных курсов формальной логики, приближаясь к потребностям математических курсов.

Второе направление в методике работы с определениями связа—но с исследованиями М. А. Артамонова, А. А. Столяра, М. Е. Драбкиной, И.Б.10циной, И. Л. Никольской, В. Г. Болтянского, Т. А. Кондрашенковой и др. (20,177,68,207,133,26,27,90), использующих теоретико-множественный аппарат и элементы современной математической логики.

М.Е.Драбкина провела теоретический анализ логических понятий: «определение», «признак», «доказательство». Она предложила комплексы упражнений, группирующихся вокруг следующих вопросов: выявление логической структуры определений со сложными определяющими признаками и их отрицанийсоздание навыков общего подхода при применении распознавающих и определяющих признаков сложной структуры. Упражнения предназначены для студентов (будущих учителей) и ориентируют на работу с известным определяющим предложением. Ее эксперимент со школьниками (6−7 классов) показал отсутствие у них представления о дедуктивном характере математики. Для подготовки в сознании учащихся представлений об элементах аксиоматического метода ею выделены упражнения на построение схем-деревьев понятия, задачи на конструирование признаков и установление их равносильности с распознаваемым понятием.

В глубоком исследовании И. Л. Никольской (133) указан минимум логических знаний и умений учащихся, именуемый ею логической грамотностью. Среди прочих выделено: умение определять известные понятия, распознавать логическую форму математических предложений. И. Л. Никольская обращает внимание на развитие способности учащихся мыслить критически, последовательно, четко и полнона овладение ими основными мыслительными приемами. Использование элементов теории множеств в школьном курсе математики позволило И. Л. Никольской уже в 6−7 классах организовать обучение учащихся определениям «через ближайший род и видовое отличие». В своих статьях (128−132) она акцентирует внимание на тех логических понятиях и действиях, которые присутствуют (явно или неявно) в современном курсе математики, представив их предварительно в соответствующей методической обработке. Не упускается из вида и факультативное их изучение, хотя значительный эффект можно получить, как отмечает И. Л. Никольская, лишь при продолжительном изучении элементов логики и в связи с обучением математике.

Т.А.Кондрашенкова продолжила это исследование. Используя наглядный графический язык схем Эйлера-Венна, она, в частности, организовала в 4−5 классах изучение сведений об определении понятий в следующем объеме: родо — видовые отношения между понятиямивидовое отличиеструктура определения через род и видовое отличиеправила определения понятия, ошибки в определениях.

Логическим проблемам преподавания математики посвящены общетеоретические исследования А. А. Столяра (174т-177). Он одним из первых в советской методике обосновал эффективность использования в обучении математике инструментария в виде элементов символической логики, теории множеств. Исследуя проблему систематизации математических знаний в книге (80), он вместе с другими ее авторами выделяет в ней два аспекта: а) «умение учителем систематизировать учебный материалб) обучение учащихся структурированию знаний, включению новых знаний в систему» (80,с.67). Опыт решения этих задач полезен в нашем исследовании, поскольку в процессе определения и классификации понятий науки образуется ее система понятий.

Работы В. Г. Болтянского (26,27) освещают опыт использования логических средств в обучении определениям. Он предлагает общую символическую запись определений и их отрицаний, считая, что это упростит курс математики, сделав его более четким и доступным. В пробном учебнике (27) авторы рекомендуют задания для упражнения учащихся в символической записи определений.

Третий подход связан с исследованием определения как логического приема мышления, как психической деятельности. Сюда мы относим, в первую очередь, работы М. С. Петербургской (144), Л. Л. Гуровой (57). С позиций теории поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина ставится проблема управления обучением этой деятельности или отдельным ее действиям на основе выявления ее объективного состава. Этой задачей занимались также Н. Ф. Талызина, Г. А. Буткин, М. Б. Волович, Н. А. Подгорецкая, И. П. Калошина, Г. И. Харичева (181,182,37,38,146−148,76,77).

Завершая обзор исследований, отметим, что известные нам методические рекомендации для учителя (50,127,191 и др.), связанные с обучением учащихся определению понятий, оказываются полными, и оригинальными лишь в том случае, когда их авторы смотрят на определение как на процесс. Но тогда и возникает проблема описания этого процесса с вццелением всех его компонентов с указанием места и роли каждого из них. Рассмотрение этого вопроса на алгебраическом материале восьмилетней школы представляет интерес из следующих соображений. Во-первых, курс алгебры отличается многообразием способов определения, а вместе с тем прозрачностью определяющих признаков его понятий. Во-вторых, дедуктивная направленность процесса определения понятий в курсе алгебры менее выражена. По сей день актуален вопрос повышения обоснованности теории алгебры и арифметики. В-третьих, практически все упомянутые работы сориентированы на геометрический материал. Даже предполагаемое в них включение в содержание образования сведений об определении зачастую осуществляется в курсе геометрии с помощью только геометрических иллюстраций. Такое решение приводит к проблеме переноса умственных действий на содержание другого учебного предмета.

Анализ специальной (логической) и методической литературы (64,65,67,85,86,141) поставляет богатый материал дискуссий и споров вокруг качества определений, их эффективности, выдержанных при этом критериев строгости. Философская наука выступает в качестве всеобщего арбитра всех этих споров, относя обсуждаемые логические и методологические проблемы к теории определений. Природа операции определения, познавательные функции определений включаются в предмет исследования этой теории. Уяснение ее выводов, на наш взгляд, должно содействовать осознанию роли определений в обучении, формированию общих норм и навыков оперирования понятиями. «Коммуникативная установка в анализе логических процессов более общая нежели устоявшаяся математико-логическая, она все более укрепляется в литературе» (25,с.237). Поэтому представляет интерес и несомненную пользу коммуникативно-дидактический подход К. Попа (149) к анализу познавательных функций определений. Особенность этого подхода состоит в том, что, изучая определения, надлежит учитывать не только их синтаксический аспект и синтаксическую функцию в языке и не только семантические отношения, но и отношение между определением и использующими определение личностями. Такой семиотико-прагматический взгляд на процесс определения связывает его с исследованием человеческой деятельности, с операциональными подходами к анализу некоторых важных сторон познания. Для нас он существенен в том плане, что позволяет объединить психолого-дидактические основы процесса определения понятий с его логическими и методическими основами.

Итак, проблема нашей работы заключается в исследовании процесса определения понятий курса алгебры восьмилетней школы, в поиске его методического обеспечения.

Гипотеза нашего исследования. Более полный учет содержания понятия «определение», места и роли процесса определения при изучении курса алгебры позволит выявить наиболее эффективные средства формирования научных понятий курса, служит усовершенствованию системы упражнений в курсе алгебры. Понимание учителем познавательных функций и компонентов процесса определения понятий окажет ему помощь в организации работы над усвоением понятий как в плане повышения теоретического уровня преподавания учебного материала, так и в плане осознания школьниками своей деятельности в процессе определения. Последнее должно служить существенному улучшению практических навыков, повышению логической грамотности школьников.

Объектом нашего диссертационного исследования являются процессы определения и усвоения понятий в курсе алгебры восьмилетней школы. Предметом исследования является организация логической деятельности учителя и учащихся в процессе определения понятий, направленной на развитие понятийного мышления обучаемых и повышение их логико-математической культуры.

Цель исследования — разработка методических основ процесса определения понятий (в курсе алгебры восьмилетней школы), способствующих повышению уровня усвоения учащимися понятийного аппарата курса алгебры, а также обеспечивающих возможности формирования элементов логико-математической культуры.

Для этого предполагается решить частные задачи.

1. Исследовать специфику процесса определения понятий в курсе алгебры восьмилетней школы, критерии строгости и познавательные функции определений.

2. Описать психолого-дидактические основы процесса определения понятий: его место в формировании у учащихся научных понятийособенности процесса определения как предмета специального усвоения.

— 15.

3. Выявить и раскрыть основные принципы методического обеспечения процесса определения понятий.

4. Разработать систему требований к заданиям, обучающим учащихся процессу определения понятий.

5. Установить содержание знаний о понятиях и их определениях, методы введения и обучения им учащихся.

6. Исследовать возможности факультативного изучения элементов логики (7 класс), направленных на углубление и систематизацию знаний учащихся о предмете и дедуктивном характере математики, на повышение их логической грамотности.

7. Рассмотреть вопросы методики уроков введения и определения понятий конкретных тем курса алгебры: «Основные понятия», «Многочлены» .

Структура диссертации полностью соответствует поставленным задачам. Работа состоит из введения, двух глав (в шести параграфах), заключения, списка использованной литературы, приложения.

Выводы по экспериментальной работе на обучающем этапе.

1. Экспериментальная проверка показала доступность и перспективность применения разработанной методики.

2. Работа с динамическими таблицами (их заполнение учащимися, воспроизведение ими определений понятий по заданной мнемиче-ской схеме) позволила учащимся быстро, грамотно, обоснованно дифференцировать рассматриваемые понятия, верно формулировать (запоминать и даже самостоятельно конструировать) определяющие предложения.

3. Дидактические материалы с печатной основой содержат некоторые элементы управления работой учащихся с учебными текстами. Автором было проанализировано 480 работ учащихся в дидактических материалах.

4. Система заданий полностью соответствует принятым нами методам обучения в экспериментальной работе, методам организации учебного материала, может корректироваться с учетом принципа ранжирования трудностей.

5. Рекомендуемая работа не выходила за пределы часов, отведенных тематическими планами. Это объясняется тем, что предлагаемые дидактические средства легко вписываются в учебный процесс, а большая часть упражнений может быть включена в число группы.

Задание I-П | Задание j Задание I-H l-lzli.

Задание 1−4.

Ij Заданж. 2, М.

Задание 3 о х ft QJ Я о СО и О ! i i.

1—1 1—1 h-t О 1—1 о ю О С2 о: о.

X • X • • К • к ж.

Е* ft ч ft Ч ч ft Ч ft ft.

0) 0).

X X X Я !" и PQ Я № я я f я s о 5 ®.

Я ft Gf Е* (Ч 0) 0) х к.

ЗШ&bdquoо X ft D и и о ! ч < .

К >4.

Р* CQ.

3(2) о о X ft (D Я.

0).

—-т.

3(3), • со о — <й я ! w J 3 ! m в процентах.

Экс- 29 24 13 16 90 2 95 2 2 71 18 69 84 16 52 37 55 24 10 42 47 пер.

Контр. — 71 89 83 30 39 34 27 33 — 70 9 27×73 х) Всего 11% не только выбрали нужный рисунок, но и правильно расставили соответствующие буквы.

I-a I-б .1.

— i.

I—Б.

2a !2б !2 В ! .1iil. т группы о Я ft (1) и.

С2 а> X о Я ft 0) ©.

1 ! S й. о X t=Cm «о о о • X • •.

X я t о {=? t?

Бч (1) ft Ы и н (1)? & § я 3 и я о д нно.

•1—I ч ч.

W Я д f j о t о.

X }? ft ft.

D t Ф Я | Я j о со я 1—1 С2 t о о ft я я <ю о О о о ft ft я я я я Я t CD ft ft ft ft i ra я Я (D а> а>

Я Р0 я Я ю! ud о jo x ! x !& я f я oo.

I DC t Я о x сг> о я ft.

Ю Я в процентах.

Экспер. 76 0,8 68 13 57 14 19 12 99 86 94 94 6 87 79 81 85 79 53 68 32 64 Контр. 51 18 13 67 6 61 31 21 82 69 79 9 91 53 56 47 56 69 — 56 — 6 устных.

6. Описанная нами методика учит осознанным, организованным и последовательным действиям с изучаемым материалом, обеспечивает высокое качество усвоения знаний учащимися.

7. Предлагаемая методика неявляетсяжесткощ>ивязаднойк кадо^=либоучебникух она охватывает традиционный по номенклатуре и в существенной части по подходам к определению понятийный материал.

Проводимый нами педагогический эксперимент включал в себя работу с учителем и студентами — будущими преподавателями математики. Нами был прочитан цикл лекций для студентов 4 курса ЧГПИ (декабрь 1980 г.), учителей (декабрь 1980 г., г. Челябинск, ноябрь 1981 г., г. Рязань) по теме «Методика работы над определением понятий в курсе алгебры восьмилетней школы». Подробно мы касались вопроса «Выявление системы понятий — как метод работы учителя». Обсуждение предлагающейся методики показало, что работы, подобной описанной, учителя при изучении курса алгебры фактически не проводят. Причина — в неразработанности методики формирования у учащихся понятийного мышления на базе алгебраического содержания. Занятия с учителями, отзывы учителейэкспериментаторов показывают, что выявленная нами система понятий курса алгебры восьмилетней школы (см. с.с. 25, 26) помогает учителю в организации работы над определением понятий, выясняет существенные свойства и отношения между понятиями, подчеркивает дедуктивные особенности математической теории.

Отмеченных вопросов мы касались и в работе со студентами. Ограничимся здесь схемой семинарского занятия «Научно-методические основы темы „Многочлены“ в школьном курсе алгебры» (П курс РГПИ, 1982 год).

План занятия.

1. Система понятий темы «Многочлены» в школьном курсе алгебры и особенности их определений.

2. Дискуссия о терминологии и понятиях начальной алгебры (сообщение-обзор студента по предложенной нами литературе).

3. Обсуждение результатов констатирующего эксперимента № 3.

4. Схематичное построение кольца многочленов в школьном курсе алгебры (алгебраическая точка зрения).

5. Особенности усвоения учащимися понятийного материала темы «Многочлены» .

6. Характеристика возможной методической работы учителя на уроках по данной теме.

— 167 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В результате проведенного исследования подтвердилась наша гипотеза. Знание учителем содержания процесса определения понятий и его познавательных функций позволяет ему глубже видеть возможности в работе по формированию у учащихся общелогического приема определения, способствует целенаправленной и планомерной её организации, упорядочивает систему используемых им для этого методических средств. Как показал наш обучающий эксперименту итоге такой работы может быть достигнут более высокий уровень логической культуры учащихся. Учащиеся оказываются способными фиксировать определяющие признаки понятий, у них складываются отчетливые знания об их объеме. Понятия в сознании учащихся отдифференцированы. Они умеют устанавливать иерархические отношения между понятиями, четко прослеживают линию: базовые понятия (основные или наиболее общие) — другие определяемые понятия. Повышается их мыслительная самостоятельность. Учащиеся более свободно анализируют, сравнивают, обобщают свойства понятия, умеют собрать их в жесткую форму дефиниции. Под руководством учителя они вырабатывают эффективные с мнемической точки зрения схемы определений. Повышается обоснованность рассуждений учащихся. Сведения об определении, его смысле, значении, правилах построения становятся действенным орудием в их учебно-познавательной практике.

Проведенное исследование позволило решить все поставленные задачи, связанные с совершенствованием методических основ процесса определения понятий в курсе алгебры восьмилетнейшколы.

I. На основе анализа специальной (философской и математической) и психолого-педагогической литературы, наших наблюдений.

— 168 учебного процесса уточнено и обосновано содержание процесса определения школьных математических понятий, выявлены его особенности для курса алгебры восьмилетней школы, познавательные функции и критерии строгости.

2. Исследован процесс определения понятий как предмет специального внимания учителя. Выяснен объективный состав логического приема определения как предмета специального усвоения учащимися.

3. Осуществлен качественный и количественный анализ допускаемых учащимися 6,7, выпускных 8 и 10 классов ошибок при оперировании понятиями школьной алгебры и их определениями. Он показал, что в реальном учебном процессе не в полной мере учитываются требования к организации понятийного познания учащимися математических объектов, недостаточна со стороны учителя работа над культурой математической речи учащихся, над обоснованностью встречающихся в курсе алгебры логических рассуждений. При изучении алгебраического материала формирование логических приемов мышления у учащихся происходит стихийно и неосознанно.

4. Анализ действующих учебников и методических пособий по алгебре показал, что они не обеспечивают в должной мере систематичность и последовательность формирования алгебраического понятийного мышлениянезначительно количество заданий по варьированию несущественных свойств понятийнедостаточно упражнений, формирующих навыки логической организации учебного материала, задач, непосредственно использующих дефиниции и вытекающие из них необходимые и достаточные (в своей совокупности) определяющие свойства. Для учителя остаются в тени принципы и подходы авторов учебников к определению понятий и теоремам-признакам.

5. На основании анализа и обобщения опыта организации работы с понятиями и их определениями конкретизированы общие принципы методического обеспечения процесса определения понятий применительно к алгебраическому материалу.

6. Выявлен комплекс требований к системе заданий, обучающих мыслительной деятельности в процессе определения понятий, paciqpbi-та ее структура, разработана типология задач.

7. Разработана и экспериментально осуществлена система работы учителя по развитию понятийного мышления учащихся, формированию логического приема определения понятий на примере тем «Основные понятия», «Многочлены». В основу всех видов работ, входящих в систему, положена специально подобранная система заданий, динамические таблицы, схематизирующие определения соответствующих понятий, дидактические материалы с печатной основой для организации самостоятельной работы учащихся с учебным текстом.

8. Предложена и экспериментально проверена программа факультативного курса «Элементы логики» (7 класс), направленного на изучение элементов логики и их применение к анализу дедуктивных особенностей школьной" математики. .

9. Результаты специальных контрольных работ, сравнение их с результатами констатирующего эксперимента, наблюдения за работой учителя и учащихся на уроках, отзывы учителей-экспериментаторов, наконец, результаты обсуждения итогов эксперимента в учительских аудиториях позволяют сделать выводы, что целенаправленное использование при продолжительном изучении на уроках алгебры предлагаемых доступных методических средств обеспечения процесса определения понятий увеличивает эффективность усвоения учащимися учебного материала, повышает уровень их понятийного мышления, формирует элементы их логико-математической культуры, поднимает на более высокий уровень их познавательную активность. Предлагаемая методика может быть реализована в условиях любой программы.