Математические модели самогравитирующих конфигураций быстровращающихся нейтронных звезд и полей Янга-Миллса

Математическое моделирование самогравитирующих систем вещества и полей стало в последние десятилетия одним из приоритетных направлений в развитии современной теории гравитации. В первую очередь этому способствовали выдающиеся открытия наблюдательной астрономией новых космических объектов, таких как пульсары, квазары и компактные рентгеновские источники: правильная интерпретация и степень информативности наблюдательных данных, содержащихся в исходящем от них электромагнитном излучении, непосредственно зависят от адекватности и самосогласованности математических моделей этих объектов. Наибольший интерес в настоящее время представляют пульсары, идентифицированные почти сразу после обнаружения, около тридцати лет назад, как быстровращающиеся намагниченные нейтронные звезды [1, 2], которые по праву рассматриваются как уникальные космические лаборатории для изучения гавитационного взаимодействия и свойств ядерного вещества при очень высоких давлениях и температурах [3, 4]. Проблема фигур равновесия быстровращающейся самогравитирующей жидкой капли долгое время рассматривалась как чисто математическая задача ньютоновской теории гравитации, в решение которой основной вклад внесли выдающиеся математики Б. Риман, К. Г. Якоби, А. М. Ляпуновтолько в 80-х годах двадцатого века С. Чандрасекар, Дж.М.Бардин и др. впервые исследовали постньютоновские поправки и реакцию гравитационного излучения на фигуру равновесия. Открытие пульсаров перевело эту проблему в практическую плоскость. Доминирующими факторами в динамике и эволюции пульсаров являются сильное собственное гравитационное поле, быстрое вращение с частотой, достигающей нескольких сотен оборотов в секунду, а также большое давление в центре, поэтому любая реалистичная математическая модель таких объектов должна, в рамках современных представлений о гравитации, основываться на общей теории относительности [5].

Актуальность математического моделирования конфигураций и эволюции пульсаров в значительной степени обусловлена проблемой регистрации гравитационных волн, поскольку отклонения фигуры звезды от осевой симметрии, вызываемые, например, магнитным полем в сочетании с эффектами вековой неустойчивости, делают её источником монохроматического гравитационного излучения. Интерес к этой проблеме резко возрос после открытия в 80-х и в 90-х годах большого числа миллисекундных пульсаров [6, 7], так как интенсивность гравитационного излучения пропорциональна шестой спепени частоты вращения (для электромагнитного — четвертой). На сегодняшний день пульсары являются единственными перспективными источниками монохроматического гравитационного излучения. Именно монохроматичность позволяет «накапливать» сигнал во время регистрации и даёт возможность независимой проверки результатов, в то время как альтернативные источники гравитационного излучения, связанные с катастрофическими событиями в космосе, например, столкновением черных дыр, лишены этого преимущества. Еще более важно то, что уверенный приём гравитационных волн от пульсаров будет, по сути, первым шагом на пути к созданию гравитационно-волновой астрономии, открывая новый канал получения информации из космоса, наряду с электромагнитным и нейтринным каналами, действующими в настоящее время [8].

В течение последнего десятилетия в разных странах проводились интенсивные теоретические исследования и проектирования лазерных интерферометров, предназначенных для регистрации гравитационных волн от космических объектов [9, 11, 12]. К настоящему времени имеются пять реально введенных в эксплуатацию лазерно-интерферометрических лабораторий, в которых проводятся конкретные испытания чувствительности приборов на разных частотах регистрируемых колебаний:

1) LIGO — американский проект с тремя интерферометрами, два из которых имеют базу около четырех километров и разнесены на расстояние около 3000 кмв данном проекте в качестве ассоциированных членов принимают участие две группы российских ученых из МГУ и Института прикладной физики РАН;

2) VIRGO — франко-итальянская гравитационно-волновая обсерватория с трехкилометровым интерферометром, по своим частотным характеристикам схожая с LIGO, однако более защищенная от сейсмических шумов, что компенсирует, до некоторой степени, недостатки, связанные с уединенностью данного интерферометра;

3) GE0600 — германо-британский проект с короткой, шестиметровой базой интерферометра: планируется повышение чувствительности антенны за счет внедрения новейших измерительных технологий в ближайшее время;

4) ТАМА300 — японский проект с трехсотметровым интерферометром, успешно прошедший испытания чувствительности в 2002;ом годууже спроектирован и строится трехкилометровый лазерный интерферометр, требующийся для создания полноценной и высокочувствительной гравитационно-волновой обсерватории;

5) ACIGA — австралийский консорциум — интерферометр для гравитационно-волновой астрономии: этот проект находится в стадии испытаний и совершенствования.

В принципе, все указанные обсерватории ориентируются на пульсары, как один из самых перспективных источников гравитационных волн, хотя наилучшей чувствительностью на частоте ~1000Гц обладают проекты LIGO и VIRGOпервый из этих проектов предусматривает специальную программу по поиску гравитационных волн от периодических источников, в частности, пульсаров [10]. К концу 2002 года достигнутая в проекте LIGO чувствительность по величине возмущений метрики в этом диапазоне частот составила h ~ Ю-21, а в планируемом в ближайшие годы развитии этого проекта под названием LIGOII она должна быть увеличена по крайней мере на порядок. Несмотря на то, что основные усилия экспериментаторов пока направлены исключительно на регистрацию какого-либо гравитационно-волнового сигнала на уровне шума самого приемника, проблема идентификации источника и сопоставления данных эксперимента с конкретной моделью выйдет по своей значимости на первое место непосредственно после первого успеха.

Отметим еще одно важнейшее направление в исследовании пульсаров, имеющее конкретные перспективы технического применения в ближайшие годы. Речь идет о создании уникального стандарта частоты и шкалы времени с высокой стабильностью на основе измерения интервалов времени между импульсами радиоизлучения пульсаров [89]. Подобные «часы» лишены основного недостатка квантовых часов любого типа, который заключается в непредсказуемом накоплении ошибки при измерении больших промежутков времени, что имеет принципиальное значение для повышения точности астрономических наблюдений и космической навигации даже в пределах солнечной системыпроект создания пульсарной шкалы времени, предусматривающий, в частности, вывод на орбиту Земли радиолокационной антенны для приема импульсов, начал прорабатываться в нашей стране и ряде других стран в 1989 году, но был отложен по соображениям не научного характера на неопределенное время. Совершенно очевидно, что в научном обосновании этого проекта проблема устойчивости конфигураций пульсаров вблизи точек бифуркации и их эволюции с потерей энергии на гравитационное и электромагнитное излучение играет очень важную роль.

С другой стороны, в теории поля интенсивно ведутся исследования самогравитирующих конфигураций неабелевых калибровочных полей уже более десяти лет, после открытия в 1988 году Р. Бартником и Я. Маккиноном статического солитонного решения уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса [122] и его интерпретации как сфалерона Д. В. Гальцовым и М. С. Волковым [140]. Интерес к этой проблеме еще более возрос в связи с исследованием решений с горизонтом событий для неабелевых калибровочных полей. Результаты, всесторонне отраженные в недавнем обзоре [123], показывают, что нелинейность поля в корне меняет свойства решений: сюда можно отнести и сам факт существования солитонных решений, отсутствующих в электровакуумном случае, и нарушение, вообще говоря, теоремы единственности и теоремы об «отсутствии волос «для чёрных дыр. Актуальность этих исследований обусловлена непосредственной связью с физикой элементарных частиц и космологией, а в более общем плане — с фундаментальным вопросом о роли гравитации в микромире. В классической работе [13] М. А. Марков этот вопрос сформулирован так: «Может ли общая теория относительности, имеющая целью описание свойств пространства-времени, оказаться верной не только в большом, но и в малом?» Калибровочное поле допускает классическое описание, поэтому принципиальная проблема трактовки источника гравитации в микромире не возникает в данном случае, а геометрическая интерпретация поля, вместе с предположением о минимальности взаимодействия, приводит к естественной и однозначной математической постановке задач. Таким образом, математическое моделирование самогравитирующих частицеподобных конфигураций позволит, как минимум, лучше понять ситуацию, оставаясь в рамках общей теории относительностиболее радикальные теории, такие, как теория суперструн, в диссертации не рассматриваются.

Данная диссертационная работа посвящена построению математических моделей самогравитирующих квазистационарных конфигураций вращающихся нейтронных звезд и калибровочных полей с целью изучения их гравитационных полей, динамических характеристик и эволюциикроме того, большое внимание уделено развитию новых математических методов для исследований в этой области. В общей теории относительности самогравитиру-ющие конфигурации любого рода описываются связанной системой уравнений Эйнштейна в асимптотически плоском пространстве-времени и динамических уравнений для источника гравитационного поля: для нейтронных звезд это уравнения релятивистской (магнитной) гидродинамики, а для калибровочных полей — уравнения Янга-Миллса. Основные трудности связаны с решением уравнений Эйнштейна и именно это обстоятельство объединяет, с точки зрения математического моделирования, два рассматриваемых класса объектов, различных по своей природе.

Изложим кратко содержание диссертации по главам.

В Главе 1 в постньютоновском приближении исследуются фигуры равновесия вращающихся нейтронных звезд в модели однородной намагниченной самогравитирующей жидкой капли, свободная поверхность которой близка к эллипсоиду. В первом разделе развит конкретный вариант итерационной схемы постньютоновских приближений, удобный для решения поставленной задачи, требующей одновременного учета релятивистских эффектов и влияния магнитного поля на фигуру равновесия звезды. Во втором разделе обосновывается выбор модели (быстрого наклонного ротатора) с учетом известных из наблюдательной астрономии данных о пульсарах, вводится эффективное магнитное давление для магнитных полей, допускающих равновесные конфигурации звезды, обосновываются основные принципы моделирования и формулируется математическая постановка задачи. В третьем разделе развит оригинальный метод вычисления ньютоновского и постньютоновских потенциалов внутри тела, ограниченного поверхностью, близкой к эллипсоидальной, что представляет сложную математической задачу и является необходимым шагом в реализации всей программы: характер возмущений эллипсоидальной поверхности и величины отклонений неизвестны заранее, поэтому численные методы интегрирования не применимыотметим также, что развитый в диссертации метод непосредственно применим для вычисления произвольных интегралов потенциального типа внутри эллипсоидов и близких к эллипсоидам фигур, тогда как известный для эллипсоидов метод послойного интегрирования [69] не обобщается, по крайней мере непосредственно, на возмущенный случай. В конечном счете, именно результаты третьего раздела позволяют привести задачу к решению системы алгебраических уравнений. В четвертом разделе получена алгебраическая система уравнений, определяющая конфигурацию в линейном, по отклонениям от классического эллипсоида равновесия, приближении.

В трех следующих разделах построенная математическая модель применяется для расчетов параметров равновесных конфигураций, слабо отличающихся от сфероида, причем особое внимание уделено исследованию асимметричных относительно оси вращения отклонений фигуры равновесия от эллипсоида, которые приводят к излучению гравитационных волн. В пятом разделе приведены результаты численных расчетов для коэффициентов, описывающих отклонения фигуры от эллипсоида вследствие постньютоновских и магнитных эффектов при конкретном значении Л = 7г/4 угла наклона оси магнитной симметрии к оси вращения. Они дают полное представление о величинах деформаций для различных мод возмущений. В шестом разделе исследуются фигуры равновесия с разрывами давления на поверхности. Возможно, что на поверхности звезды терпит разрыв касательная составляющая магнитного поля и существует поверхностная плотность токов, а если проводимость звезды велика и она заряжена по поверхности, то терпит разрыв также и электрическое поле. Такие разрывы приводят к скачку давления на поверхности, а это существенно усложняет задачу. Здесь предложен метод, который позволяет, посредством введения эффективного давления, свести исследование фигур равновесия с разрывами давления на поверхности только к изучению уравнения гидростатического равновесия, определяющего равновесные конфигурации со свободной поверхностью и объемными возмущениями. В седьмом разделе рассматриваются точки бифуркации на последовательности фигур равновесия с одинаковой массой и плотностью вещества, в которых возмущения конфигурации, вызываемые внутренним магнитным полем не могут быть описаны в линейном приближении. Как показано в последнем, восьмом, разделе данной главы, вблизи точек бифуркации отклонения фигуры равновесия от сфероида носят нелинейный характер и определяются из уравнений третьего порядка по величине деформацийэтот эффект существенно повышает перспективность нейтронных звезд, как источников гравитационного излучения.

Основные результаты данной главы, полученные автором, опубликованы в работах [42, 43, 44, 45, 46, 47, 48].

Глава 2 непосредственно связана с предыдущей и посвящена вычислению и анализу параметров гравитационного излучения на основе построенной модели источника, а также исследованию эволюции вращающейся нейтронной звезды вследствие потери энергии посредством гравитационного и электромагнитного излучения. Оценки интенсивности гравитационного излучения от пульсаров проводились неоднократно [38, 23], однако величина неосесиммет-ричных деформаций, вызываемых магнитным полем, задавалась произвольно, в основном, по отношению характерной плотности энергии магнитного поля к гравитационному потенциалу. Напротив, принятый в данной работе метод детального изучения свойств источника на основе самосогласованной математической модели позволил обнаружить ряд новых важных эффектов, таких, например, как двухчастотный спектр гравитационного излучения и значительное увеличение интенсивности излучения при нелинейных деформациях вблизи точек бифуркации.

В первом разделе рассмотрена постановка задачи и основные принципы моделирования гравитационного излучения в волновой зоне. Для возмущений метрики в волновой зоне в приближении слабого поля, но с учетом поправок на запаздывание внутри источника, получена формула для пространственных компонент возмущений ha? и формула для средней за период интенсивности гравитационного излучения в единичный телесный угол на данной частоте. Во втором разделе показано, что гравитационное излучение пульсара в модели быстрого наклонного ротатора происходит на двух частотах, равных соответственно частоте и удвоенной частоте вращения звезды. В третьем разделе изучается интенсивность гравитационного излучения линейно возмущенного магнитным полем быстрого наклонного ротаторав нашей модели этот вопрос в значительной степени поддается аналитическому исследованию. В четвертом разделе рассмотрены нелинейные эффекты в гравитационном излучении наклонного ротатора: во-первых, изучается природа двухчастотного спектра гравитационного излучения быстрого наклонного ротатораво-вторых, проведен анализ гравитационного излучения звезды вблизи точек бифуркации, где несимметричные относительно оси вращения деформации фигуры звезды под действием магнитных натяжений имеют нелинейный характер. Показано, что существование излучения на частоте вращения связано с нелинейным характером гравитации: гравитационное поле обладает самодействием в силу нелинейности уравнений ОТО и одним из чистых проявлений такого самодействия является генерация гравитационного излучения быстрым наклонным ротатором на частоте вращения. В пятом разделе вычислен вклад постньютоновских членов в гравитационное излучение, в том числе, проведены расчеты по октупольному гравитационному излучению, которое может играть существенную роль в эволюции релятивистских звезд в ситуациях, когда интенсивность квадрупольного излучения оказывается пренебрежимо малой. В шестом разделе рассматривается эволюция наклонного ротатора. Пульсары теряют энергию, излучая электромагнитные и гравитационные волны, и при этом их период вращения увеличивается. Приведен один из конкретных результатов: оценки внутреннего магнитного поля В0 и потока гравитационного излучения на Земле для пульсара Р8Ш)531 в Крабовидной туманности, возраст которого — 950 лет — известен точно.

Результаты автора, относящиеся к этой главе, опубликованы в работах [90, 91, 92, 93, 94].

Глава 3 посвящена развитию геометрических методов в математическом моделировании самогравитирующих конфигураций. Общая теория относительности и теория калибровочных полей являются по сути геометрическими теориями, в которых гравитационное и калибровочное поля отождествляются с формами кривизны в соответствующих расслоениях. В первом разделе показана эквивалентность уравнений Эйнштейна двум уравнениям, записанным в виде алгебраических соотношений для компонент канонического, инвариантного относительно преобразований Лоренца, разложения кривизны, получена явная форма уравнений в произвольной орто-нормированной тетраде, а также показана возможность получения, с помощью дифференциального тождества Бианки, двух дифференциальных соотношений для кривизны, по форме и геометрическому смыслу подобных уравнениям Янга-Миллса в теории калибровочных полей. В чисто алгебраическом аспекте и для вакуумных гравитационных полей эти вопросы рассматривались в работах [96, 95], в основном для классификации этих полей по типам кривизны (А. З. Петров). В третьем и четвертом разделах рассматриваются ковариантные разложения тензорных полей в степенные ряды в нормальных координатах. В пятом разделе вводится индуцированная связность как естественная структура в главном расслоении реперов над расслоением скоростей пространственно-временного многообразия, которая позволяет в рамках современного подхода дать строгую трактовку понятия невращающейся системы отсчета и обобщить перенос Ферми-Уокера на произвольные гладкие, в том числе пространственно-подобные, кривые.

Результаты этой главы, полученные автором, опубликованы в работах [103, 104, 105, 106, 107, 108, 109].

В главе 4 рассматриваются математические модели самограви-тирующих конфигураций калибровочных полей с калибровочной группой SU (2). В первом разделе уравнения Эйнштейна, приведенные в Главе 3 к эквивалентной форме соотношений для компонент канонического разложения кривизны, записываются для конкретного источника — свободного калибровочного поля с произвольной полу простой группой. В следующих двух разделах рассмотрены сферически-симметричные конфигурации полей Янга-Миллса и редукция уравнений для полей чисто магнитного типа. В четвертом разделе, для проверки аддекватности построенной модели и сравнения с уже проверенными результатами, изучается математическое моделирование регулярных самогравитирующих конфигураций полей Янга-Миллса. В пятом разделе рассматривается математическое моделирование черных дыр чисто магнитного типа, устанавливаются асимптотические условия и условия регулярности на горизонте и дается анализ возможных постановок краевых задач. В шестом разделе проведено численное моделирование сферически-симметричных самогравитирующих конфигураций полей Янга-Миллса чисто магнитного типа для калибровочной группы ви (2) на основе решения нелинейных краевых задач спектрального типа методом многократной пристрелки в промежуточную точку.

Основные авторские результаты главы 4 опубликованы в работах [103, 104, 110].

Все выносимые на защиту научные результаты являются новыми. Впервые на основе строгого решения корректно поставленной задачи для самосогласованной системы уравнений Эйнштейна и релятивистской магнитной гидродинамики построена математическая модель быстровращающейся однородной намагниченной нейтронной звезды, учитывающая одновременно магнитное поле и эффекты общей теории относительности в постньютоновском приближении. На основе построенной модели исследованы свойства гравитационного излучения пульсаров. Математически строгий подход позволил обнаружить ряд новых нелинейных эффектов: нелинейные возмущения фигуры равновесия звезды, несимметричные относительно оси вращения, вызываемые магнитными натяжениями вблизи точек бифуркациирезкое увеличение интенсивности гравитационного излучения при достижении звездой точки бифуркации в процессе квазистационарной эволюции с потерей энергии и момента импульсаизлучение гравитационных волн с частотой, равной частоте вращения звезды, а не только с удвоенной частотой.

В диссертации предложен новый подход к математическому моделированию самогравитирующих конфигураций любого рода, основанный на новом представлении уравнений Эйнштейна в виде соотношений для компонент канонического разложения кривизны, являющейся, в конечном счете, математическим эквивалентом гравитациипри этом одна из компонент кривизны выражается через бесследовую часть тензора энергии-импульса, а вторая через его след. Этот новый подход далее применяется к исследованию самогравитирующих полей Янга-Миллса, где важную роль играет редукция системы уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса с использованием дифференциального тождества Бианки, в которых «материальная «компонента кривизны выражена через потенциалы калибровочного поля. В математическом моделировании сферически-симметричных черных дыр для полей чисто магнитного типа впервые использованы глобально определенные координаты типа координат Крускала. Отметим также развитый в диссертации обобщенный метод ковариантных разложений в нормальных координатах, в котором впервые получены рекуррентные формулы для коэффициентов ряда, причем впервые рассмотрен общий случай начальных данных на произвольном подмногообразии и рассмотрена связность, кручение которой не предполагается равным нулю.

Практическая значимость полученных в диссертации результатов заключается в возможности их непосредственного использования при планировании гравитационно-волновых экспериментов и интерпретации получаемых по этому каналу данных, а также с эффективным применением новых методов к математическому моделированию самогравитирующих систем вещества и полей.

Апробация результатов диссертации.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах в Московском государственном университете, Университете Дружбы Народов им. П. Лумумбы, Тверском государственном университете, Лаборатории информационных технологий и Лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований (Дубна), Государственном астрономическом институте им. Штернберга, на научных конференциях Тверского государственного университета по математическому моделированию сложных систем 1998, 1999, 2001 гг., на Всесоюзной гравитационной конференции 1985 г.(Москва), на V международном семинаре «Гравитационная энергия и гравитационные волны» 1993 г. (ОИЯИ, Дубна), на XV международной конференции «Quantum Field Theory and High Energy Physycs» 2000 г.(Москва), на V Международном Конгрессе по математическому моделированию 2002 г. (Дубна).

Заключение

.

В диссертации изложены результаты исследований автора по математическому моделированию самогравитирующих конфигураций быстровращающихся нейтронных звезд и полей Янга-Миллса в рамках общей теории относительности, как наиболее проверенной и получившей широкое признание современной теории гравитации.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Математическая модель быстровращающейся однородной намагниченной нейтронной звезды, учитывающая одновременно магнитное поле и эффекты общей теории относительности в постньютоновском приближении. В рамках построенной модели, на основе аналитических и численных расчетов, обнаружен ряд новых явлений в динамике нейтронных звезд и получены следующие результаты:

• параметры равновесных конфигураций, интенсивности гравитационного излучения и эволюции звезды;

• эффект нелинейных возмущений фигуры равновесия звезды, несимметричных относительно оси вращения, вызываемых магнитными натяжениями вблизи точек бифуркации;

• эффект резкого увеличения интенсивности гравитационного излучения при достижении звездой точки бифуркации в процессе квазистационарной эволюции с потерей энергии и момента импульса;

• новый нелинейный эффект общей теории относительности, заключающийся в излучении быстровращающейся намагниченной нейтронной звездой гравитационных волн с частотой, равной частоте вращения звезды, а не только с удвоенной частотой;

• аналитические выражения для компонент поляризации метрики в волновой зоне и интенсивности гравитационного излучения в зависимости от угла наклона магнитной оси к оси вращения, а также диаграмма направленности излучения на обеих частотахрезультаты представлены также в графическом виде;

• значения величин вклада октупольной составляющей и постньютоновских поправок в интенсивность гравитационного излучения быстровращающихся намагниченных нейтронных звезд;

• конкретные результаты анализа перспективности пульсаров как источников гравитационного излучения по результатам расчетов отклика детектора монохроматического излучения, позволяющего накапливать регистрируемый сигнал.

2. Новые геометрические методы математического моделирования самогравитирующих конфигураций сложных систем:

• новая содержательная форма уравнений Эйнштейна в виде алгебраических соотношений для компонент канонического разложения кривизны, а также дифференциальные уравнения для кривизны, по форме и геометрическому смыслу соответствующие уравнениям Янга-Миллса калибровочной теории;

• метод аналитического продолжения тензорных полей ковари-антными рядами, обобщающий известный метод разложений в нормальных координатах: начальные данные могут быть заданы на произвольном параллелизуемом подмногообразии, а поле кручения заданной связности не предполагается равным нулю. Для коэффициентов рядов получены удобные реккурент-ные формулы. Аналогичный метод разложений развит для сечений аналитических векторных расслоений над нормальной окрестностью базы.

• обобщение переноса Ферми-Уокера для произвольных гладких кривых;

3. Новая форма уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса для калибровочных полей со сферической-симметрией и калибровочной группой 311(2), а также результаты численных расчетов параметров черных дыр для калибровочных полей чисто магнитного типа без заряда.