Математические вопросы колебаний тела в вязкой жидкости

Общая характеристика работы. Система «жидкость+твёрдое тело» — классический объект гидродинамики. Однако, исследования в этой области далеки от завершения. В частности, это утверждение относится к тем ситуациям, в которых невозможно пренебречь влиянием вязкости жидкости. Таковы, например, вращения погруженного в жидкость осесимметричного тела вокруг своей оси. При этом область течения не меняется, так что взаимодействие тела и жидкости полностью определяется силами вязкого трения. Движения такого рода изучаются в данной диссертации. Точнее, речь в ней идет о крутильных колебаниях твёрдого тела вращения внутри сосуда произвольной формы, заполненного вязкой несжимаемой жидкостью. Например, тело может быть закреплено на тонком подвесе, влиянием которого на жидкость можно пренебречь1. Колебания вызывает сила упругости подвеса, момент которой Меылс предполагается линейной функцией угла <р поворота тела. Для данной системы исследуется устойчивость и неустойчивость состояния покоя. Особое внимание уделяется влиянию заданной периодической по времени модуляции упругой силы. Такая ситуация может быть реализована в эксперименте, например, за счёт периодического изменения длины закручивающегося участка подвеса при помощи зажима.

В диссертации развивается строгая математическая теория, не связанная дополнительными предположениями о вязкости жидкости, характере модуляции или формах тела и сосуда. Полученные общие результаты конкретизируются в различных частных случаях, включая крутильные колебания шара, погруженного в концентрический сферический сосуд.

Работа организована следующим образом. В первой главе излагается постановка задачи, вводятся безразмерные переменные и обсуждается сведение задачи к интегродифференциальному уравнению и к дифференциальному уравнению в банаховом пространстве. Во второй главе исследуется простейший случай, когда упругий момент не зависит явно от времени: Ме1азцс = —хф, где — угол отклонения тела от положения равновесия (р = 0, и — коэффициент жесткости упругой силы. Результаты этой главы носят отчасти вспомогательный характер, поскольку физически очевидно, что колебания данной системы затухнут со временем вследствие вязкой диссипации энергии. Исследование этого случая существенно используется в третьей главе, где предполагается, что жесткость подвеса есть периодическая функция времени так, что упругий момент определяется равенством: Ме1а8цс — + где х — среднее значение жесткости, }{т) ~ 2^{-периодическая} относительная модуляция с нулевым.

Все результаты диссертации непосредственно переносится на задачу о крутильных колебаниях тела с вращателыю симметричной полостью, заполненной вязкой жидкостью, вокруг оси вращения полости. средним: J027r h{r) dr = 0, и — круговая частота модуляции. В этой главе устанавливается, что при определенных типах модуляции упругий момент может сильно раскачать тело, так что произойдет так называемое параметрическое возбуждение неустойчивости. Вместе с тем, модуляция жесткости может заставить колебания тела затухать быстрее, чем в ее отсутствие.

Цели и задачи работы. Задачи о совместном движении жидкости и тела очень важны с практической стороны. Толчком к интенсификации исследований в этой области послужило развитие ракетной и космической техники. Запас жидкого топлива, имеющийся на борту ракет, спутников и космических кораблей, в ряде случаев может оказать существенное влияние на движение этих летательных аппаратов [1]. Аналогичные задачи возникают в теории корабля и подводной лодки. Они актуальны в теории флаттера крыла самолета и т. д.

В классических исследованиях (см., например, работы Кирхгофа [2], Кельвина [3], Гафа [4], Жуковского [5], Бьеркнесса [6], Чаплыгина [7]) влияние вязкости и завихренности жидкости не изучалось: жидкость предполагалась идеальной и совершающей потенциальное движение. В таком случае дело сводится к изучению системы с конечным числом степеней свободы, что позволяет провести весьма детальное исследование этой упрощенной модели. Дальнейшее развитие теория совместного движения тела и идеальной жидкости получила в трудах [8]-[22].

Задачи о совместном движении вязкой жидкости и тела представляют значительно ббльшие трудности, чем в случае идеальной жидкости, так как состояние такой системы описывается бесконечным числом переменных. В этой области в основном исследованы предельные случаи больших и малых чисел Рейнольдса2. Результаты такого рода восходят к Стоксу. Для больших чисел Рейнольдса существенное продвижение достигнуто в работах H.H. Моисеева [23]-[26], где были даны первые примеры решения задач о малых совместных колебаниях жидкости и сосуда. Этот метод применялся в задаче об устойчивости движения спутника по эллиптической орбите [27] (см. также [28]), в задачах со свободной границей [29]-[31], при исследовании колебаний тел в жидкости [32]-[34]. Развитие этого метода вместе с большим количеством решенных задач можно найти в книге [35]. Случай малых чисел Рейнольдса изучался в работах [36]-[38]. В случае произвольных чисел Рейнольдса решение линеаризованиых уравнений Навье-Стокса удалось получить лишь дпя простых областей (см. [34, 39, 40]).

Отметим также работы по исследованию вращающихся тел, содержащих жидкие массы [41]-[47] (см. также ссылки в [48], [35], [49]) — книгу [50],.

2 В задачах о совместных колебаниях жидкости и тела число Рейнольдса обычно берется равным Re = где i — характерный размер тела (или заполненной жидкостью полости внутри тела), Т — характерное время порядка периода колебаний тела (или жидкости в полости), v — вязкость жидкости. посвященную квазистационарному движению тела в сплошной средестатьи [51]-[55] о взаимодействии колеблющихся тел и вязкой жидкости.

Задача о крутильных колебаниях тела в вязкой жидкости (или тела с жидкостью внутри) возникла в связи с исследованиями поплавковых приборов и стержней (см. [56]-[58]). В работе [39] рассмотрена задача о малых колебаниях маятника с шаровой полостью, заполненной вязкой жидкостью. Выведено дисперсионное уравнение для частот малых колебаний и сформулирована гипотеза о расположении его корней на комплексной плоскости. Оно является частным случаем уравнения, полученного в § 2.2 настоящей работы. В статье [33] изучались гидродинамические характеристики эллипсоида: присоединенный момент инерции и коэффициент демпфирования, — соответствующие крутильным движениям в слабовязкой жидкости. Параметрическому возбуждению неустойчивости в задачах о колебании тел и жидкости посвящены работы [59]-[б1]. В [59] рассмотрены крутильные колебания цилиндра, заполненного вязкой жидкостью, под действием периодически модулированной упругой силы. Построены области устойчивости и неустойчивости, изучена их асимптотика, когда вязкость жидкости стремиться к нулю. В статьях [60] и [61] исследуется параметрический резонанс в задаче о поступательных колебаниях шара в вязкой жидкости. Получены оценки областей устойчивости в пространстве параметров и проведен их численный расчет.

В данной диссертации рассмотрены следующие вопросы:

1. в случае постоянной жесткости (Ме1азцс = —жр) a) малые колебания системы жидкость-тело, спектр линеаризованного оператора и зависимость собственных значений от параметра я: b) перенос результата об устойчивости на исходные, нелинейные, уравненияc) применение прямого метода Ляпунова и глобальная асимптотическая устойчивость состояния покоя;

2. в случае периодической жесткости (Ме1аццс = —1 + 1 г (и){))(р) a) структура спектра Флоке и области устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров модуляцииb) полнота решений Флоке.

Скажем несколько слов по поводу перечисленных проблем.

1.а) Малые колебания системы жидкость-тело, спектр линеаризованного оператора и зависимость собственных значений от параметра я.

Линеаризованный оператор, А задачи о колебаниях тела в вязкой жидкости несамосопряжен. Поскольку тело с закрепленной осью имеет одну степень свободы и двумерное фазовое пространство, то оператор, А удается реализовать как операторную матрицу, получаемую добавлением двух строк и двух столбцов к самосопряженному оператору Стокса 5. Таким образом, А является двумерным окаймлением3 оператора 5, отвечающего движению жидкости при неподвижном теле. Это позволяет в задаче на собственные значения исключить скорость жидкости и перейти к отысканию корней дисперсионного уравнения.

Задачи с окаймленными операторами в самосопряженном случае были исследованы рядом авторов (см. [62] и имеющиеся там ссылки). Конечномерное окаймление в [62] применялось для оценок собственных значений вполне непрерывных самосопряженных операторов снизу. Вместе с мини-максимальным принципом эти оценки дают приближения к собственным значениям и величину погрешностей. В работах [бЗ]-[б5] сведение к дисперсионному уравнению позволило доказать вещественность и простоту собственных значений некоторых несамосопряженных операторов. Окаймленные операторы встречаются в задачах конвекции [66] и задачах со свободной границей [67].

Дисперсионная функция рассматриваемой задачи мероморфна, причем удалось показать, что вычеты во всех ее полюсах — собственных значениях оператора Стокса — неотрицательны. Именно этот факт позволил исследовать спектр оператора А. Вероятно, похожее свойство имеет место и в других задачах о совместном движеиии жидкости и тела.

1.Ь) Перенос результата об устойчивости на исходные, нелинейные, уравнения.

Вплоть до 60х годов ряд гидромехаников всерьез сомневался в применимости первого метода Ляпунова в задачах об устойчивости движения жидкости (см. [68], гл. 1, § 1.1- [69], гл. 7, § 38, п.2). Однако, в [70]-[73] была установлена законность линеаризации при исследовании устойчивости не только стационарных, но и вынужденных периодических по времени течений, а также автоколебаний. Позже линеаризация была обоснована дня системы Навье-Стокса в неограниченных областях [74]-[76] и в трехмерной стационарной задаче обтекания тела потоком вязкой жидкости [77].

В рассматриваемой задаче с постоянной жесткостью упругой силы собственные значения линеаризованного оператора всегда расположены внутри правой (устойчивой) полуплоскости. Таким образом, линеаризованная задача экспоненциально устойчива. С применением абстрактной теоремы В. И. Юдовича [73] данный результат переносится и на исходные, нелинейные, уравнения.

Зздесь и далее термин «окаймление» используется для обозначения результата, а не процесса.

1.с) Применение прямого метода Ляпунова и глобальная асимптотическая устойчивость состояния покоя.

В случае, когда жидкость идеальная и совершает безвихревое движение, динамика системы жидкость-тело описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями (см. [5]). Это обстоятельство позволяет задачу об устойчивости совместного движения твердого тела и жидкости ставить как задачу об устойчивости в смысле Ляпунова для систем с конечным числом степеней свободы. Таким путем были получены достаточные условия устойчивости движений, которые в ряде случаев совпадают с необходимыми (см. [48], гл. 2 и имеющиеся там ссылки).

В случае, когда о характере движения жидкости не делается никаких предположений, состояние системы описывается бесконечным числом переменных, и задача устойчивости существенно усложняется. Однако, оказывается возможным поставить задачу об устойчивости по отношению к конечному числу переменных, если ввести некоторые функционалы, интегральным образом характеризующие движение жидкости. Такой подход применялся для доказательства устойчивости по отношению к части переменным в работах [78]-[80].

Глобальную асимптотическую устойчивость состояния покоя рассматриваемой задачи удалось установить в полной постановке. Для доказательства лишь устойчивости можно использовать полную энергию системы жидкость-тело. Однако, даже в случае маятника с трением [81] этого недостаточно для того, чтобы установить затухание возмущений, так как производная энергии в силу системы отрицательна, но не отрицательно определена. Здесь можно пойти двумя путями. Первый — воспользоваться надлежащим обобщением теоремы Барбашина-Красовского [82]. Она была первоначально доказана дпя конечномерных дифференциальных уравнений. Но результат обобщается и на бесконечномерные системы, у которых траектории компактны (см. [83], [84]), скажем, на различные параболические задачи. Мы, однако, пойдем вторым путем, применив, по существу, некоторый бесконечномерный вариант теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости.

Заметим, что даже дпя движения жидкости с неподвижной границей нет глобальной теоремы существования единственного решения (см. [85]). Доказано лишь существование обобщенных решений (см. [8б]-[90]) и единственность достаточно гладкого (см. [91]). Таким образом, асимптотическую устойчивость по Ляпунову здесь приходится понимать в смысле существования функционала Ляпунова второго рода (с отрицательно определенной производной в силу системы).

2.а) Структура спектра Флоке и области устойчивости и неустой чивости в пространстве параметров модуляции.

Состояние покоя в задаче с постоянной жесткостью упругой силы всегда устойчиво. Периодическая модуляция жесткости может привести к параметрическому возбуждению неустойчивости (см. [59]-[61]). Исследование устойчивости состояния покоя задачи с периодически модулированной жесткостью сводится к изучению спектральной задачи дня линейного дифференциального уравнения в бесконечномерном пространстве с периодическим оператором. По сравнению с аналогичной проблемой в стационарном случае, ситуация здесь оказывается значительно сложнее.

Среди общих методов исследования подобных спектральных задач следует упомянуть теорию положительных операторов [92], которая, правда, работает в основном для параболических уравнений второго порядка. В случае одной пространственной переменной весьма сильные результаты дает теория вполне положительных операторов Келлога-Крейна-Гантмахера [93]. В работе [94] выделен класс периодических дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, имеющих самосопряженный оператор монодромии. Глубокие результаты удалось получить для гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами (см. [95]-[98]). Для диссипатив-ных задач подавляющее большинство исследований основывается на тех или иных методах возмущений.

Часто довольно точные результаты можно получать путем сведения спектральной задачи к решению дисперсионного уравнения в цепных дробях. Это сыграло решающую роль при исследовании спектра устойчивости течения Колмогорова [100, 101]. Цепные дроби являются удобным средством как для аналитических, так и для численных расчетов. Однако, их применение ограничивается уравнением с синусоидальными коэффициентами (возможные расширения метода см. в [99]). Кроме того, дисперсионная функция, к отысканию нулей которой приводит метод цепных дробей, не является периодической, хотя ее нули — показатели Флоке — повторяются с периодом ги>, где и — циклическая частота коэффициентов уравнения. Это досадное обстоятельство затрудняет доказательство таких простых фактов, как существование не более п различных (с точностью до слагаемого гшк, к? Z) показателей для дифференциального уравнения п-го порядка. Поэтому, дня исследования структуры спектра Флоке удобней использовать другой способ сведения к дисперсионному уравнению.

Спустя 3 года после появления в печати фундаментальной работы Флоке [102], Г. В. Хилл применил интересный метод для отыскания показателей Флоке уравнения движения перигея Луны (см. [103], а также [104, 105]). Проиллюстрируем метод Хилла на примере дифференциального уравнения маятника с трением ф + Уаф + + h (uut))(p = 0, гр где /0 h (uut)dt = О, Т = lit/ui — период модуляции h{wt). Будем искать решения Флоке данного уравнения в виде.

4(ст)фк + = к = ±1'±2' • • • ' (2) к=—оо где dsk{o) = cIq (cг — гик), d^(cr) = о2 — vs.

Ds (a) = lim D’n (v), (3).

Dsn (°) = dlM din (O) «xh-n+1 «d'"(0) xh-7l^ln (O) xh-n-1 dtm) — xh-2n •• dim xhnd'-iH xh-2 Hh-n-1 dix (0) •• ' • dim dim dim ¦ •• dim xhn dg (o) • ' xhi ¦ dm d’Jcr) ?5(0) 1 d’o (0) ¦ xh-n ¦ ¦ dg (0) xhn+1 dm ¦ - xh.2 • rff (O) xhi dm d{(o) • ' ' <4(0) xhjn d’n (o) • • xhn+l • 0) xhn dm xhn» 1 dm — • ¦ • ¿-¿-(О).

Г. В. Хиллу удалось вычислить данный определитель с точностью до константы.

1п /Л с!1.

Ds — + c0+clp. Р.

4).

Для коэффициентов и с есть явные формулы, константа Сд определяется по известному значению определителя в какой-либо точке. Позже было доказано, что определитель Хилла линейного дифференциального уравнения n-го порядка с периодическими коэффициентами ai (ut)^n~l) +. + an-iM)^ + an (ut)(p = О.

43десь и далее индекс s — первая буква слова «simple» — означает, что данное обозначение относится к математическому маятнику с трением (simple pendulum) имеет структуру: Б{и) = е згР (еТа), где Р (р) = рп + /3рп~1 +. + (Зп-1Р + Рп ~ полином степени п (см. [106]). Коэффициенты Д) и (Зп легко считаются явно. Таким образом, дня дня того, чтобы найти функцию Б, достаточно посчитать ее значение в п — 1 точке.

В данной работе определитель записывается не для исходной системы, описывающей совместное движение жидкости и тела, а для интегродиффе-ренциального уравнения, которое получается в результате исключения из исходной системы скорости течения жидкости. Соответствующее (4) представление есть разложение функции D (p) = на простейшие дроби. Здесь гп — гпТ ^ ^ е 1 К — собственные значения оператора Стокса. Нули рп функции D суть величины, обратные к мультипликаторам Флоке. Оказывается, что в некоторых случаях (в частности, дня гармонической модуляции Н (т) — b cos т + ?>2 sin г) вычеты в полюсах гп имеют один и тот же знак: сп > V.

0 так же, как и вычеты в полюсах п дисперсионной функции задачи с постоянной жесткостью. Именно этот факт позволяет сделать выводы о структуре спектра Флоке и установить топологические свойства областей устойчивости и неустойчивости.

Разработанный метод исследования спектра Флоке можно использовать дня задач вида w = Лу + h (t)f (w)?, где h (t) — периодическая функция с нулевым средним, пара функционал / — вектор f обладает некоторыми свойствами по отношению к оператору А.

2.Ь) Полнота решений Флоке.

Эта проблема не имеет отношения к устойчивости. Если система собственных вектор-функций не полна, то линеаризованная задача имеет решения, затухающие быстрее любой экспоненты e~at, а > 0 при t —> +оо. Если решений Флоке вообще не существует, то состояние покоя сверхэкспоненциально устойчиво. Полнота позволяет утверждать, что всякое решение задачи Коши можно аппроксимировать равномерно по t € [0- +оо) с любой степенью точности линейной комбинацией решений Флоке.

Вопрос о полноте решен лишь для очень немногих задач математической физики (см. [107]-[111], [85]). Зачастую неизвестно, существует ли хотя бы один показатель Флоке. Спектральную задачу для решений Флоке w (t) — e~atw (t) (где w — периодическая функция) уравнения w = Aw + B (t) w в) можно трактовать как задачу на собственные значения для оператора L = щ+А+В ({), действующего в пространстве периодических вектор-функций. Есть примеры, когда малое периодическое возмущение B (t) полного самосопряженного оператора, А приводило к системе, не имеющей ни одного решения Флоке (см. [112]).

В работе А. И. Милославского [107] (см. также [113, 114]) доказана теорема о полноте решений Флоке уравнения (6), одно из условий5 которой требует, чтобы на положительном луче вещественной оси существовали достаточно большие промежутки, не содержащие собственных значений оператора А. Упомянутый выше пример с нильпотентным оператором мо-нодромии служит для того, чтобы показать, что данное условие является строгим. В некоторых случаях существование промежутков в спектре оператора, А следует из асимптотики собственных значений на бесконечности. Это, к сожалению, не касается ни задачи о колебаниях тела в жидкости, ни линеаризованных на периодическом решении уравнений Навье-Стокса в К2 и I3. В случае квадратной или кубической области области течения жидкости, когда собственные значения оператора Стокса считаются явно, это условие выполняется лишь для оператора В с достаточно малой нормой. Это доказано в работе [108], где исследуется полнота решений Флоке для нестационарного магнитного динамо6.

Основные результаты.

1. Задача с постоянной жесткостью (Meiastic = —я<�р). 1. а) Используя подходящее разложение фазового пространства, показано, что линеаризованный оператор, А является двумерным окаймлением оператора Стокса. Стандартными методами доказывается, что он наследует многие свойства последнего. В частности, оператор, А имеет компактную резольвенту и порождает аналитическую полугруппу.

Задача на собственные значения для оператора, А сводится к решению дисперсионного уравнения. В результате его исследования устанавливается, что существует не более двух невещественных собственных значений. При малой жесткости х спектр оператора, А расположен на положительной (устойчивой) вещественной полуоси, т. е. состояние покоя устойчиво монотонно. При возрастании жесткости х первые два собственные значения сталкиваются и выходят в комплексную плоскость. Таким образом, устойчивость состояния покоя становится колебательной. Однако, в зависимости от формы и размеров области течения явление монотонной устойчивости может повториться при ббльших я. В соответствии с асимптотикой при я оо линеаризованный оператор имеет ровно два комплексно сопряженных собственных значения, причем они неограниченно удаляются от.

5 В англоязычной литературе это условие именуют «spectral gap condition» результаты [108] суть частный случай абстрактной теоремы Милославского [107]. вещественной оси.

1 .Ь) Исследование спектра линеаризованного оператора показывает, что при ус > О все собственные значения расположены внутри правой (устойчивой) полуплоскости. На основе этого с применением абстрактной теоремы В. И. Юдовича (см. [73], гл. 2, § 2, теорему 2.1) доказывается асимптотическая устойчивость в шкале функциональных пространств, бесконечная дифференцируемость решений и затухание всех их производных со временем.

1.с) Для доказательства глобальной асимптотической устойчивости состояния покоя по образцу задачи о маятнике с трением [81] построен функционал Ляпунова второго рода. Он зависит от некоторого параметра а. Хотя при фиксированном значении, а он удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова лишь в некоторой окрестности положения равновесия, надлежащее значение параметра, а можно подобрать д ля любой окрестности. Таким образом, глобальная устойчивость — затухание всех возмущений — устанавливается при помощи однопараметрического семейства функционалов Ляпунова.

2. Задача с модулированной упругой силой (Ме1азцс = —я{ + К.

2.а) Доказано, что при некоторых условиях, в частности, для гармонической модуляции Н (т) = Ьсозт + ?г^пт, множество мультипликаторов Флоке состоит из счетной последовательности р~1 € где п = 2,3,., г" 1 = е~ТХп < 1, Т = 27г/о-, Ап > 0 — собственные значения оператора Стокса, а также двух чисел: р¹ и р¹, которые могут быть комплексно сопряженной парой, могут вместе лежать на отрицательном луче действительной оси или на одном из интервалов (г^+оо), (г^Г1-^1), (гз" 1-^1),. Неустойчивость может возникнуть тогда и только тогда, когда хотя бы один из мультипликаторов рй1 и р¹ окажется вне единичного круга. Это позволяет установить некоторые топологические свойства нейтральных кривых (кривых в пространстве параметров (ш, дпя которых спектр Флоке содержит мультипликатор на единичной окружности).

Построены асимптотики показателей Флоке для трех случаев: малой амплитуды модуляции \Щи, большой частоты ш и дпя большой высокочастотной модуляции порядка ||/1||ь2 ~ Си1, и> —> оо. В первых двух — спектр Флоке устойчив. Третья асимптотика позволила доказать существование значений параметров, при которых происходит возбуждение неустойчивости.

Проведено численное исследование областей устойчивости и неустойчивости для задачи о крутильных колебаниях шара в концентрическом сферическом сосуде. Показано, что в случае ангармонической модуляции, когда спектр Флоке не обладает описанной выше структурой, мультипликатор /?21 может «перепрыгивать» через точку г]-1, когда вычет с определителя Хилла (5) меняет знак, и проникать за пределы единичного круга. Это приводит к потере устойчивости состоянием покоя и к появлению дополнительных нейтральных кривых синхронного типа (р~г = 1).

2.Ь) Методами М. В. Келдыша [115] доказана полнота решений Флоке рассматриваемой задачи. Абстрактная лемма 3.11.2 о полноте предъявляет существенно более слабые требования к спектру оператора А, чем теорема Милославского [107]. Однако, вместо этого необходимо вывести оценку резольвенты оператора Ь = на лучах 11е, а > 0,1 т, а = ш/2+и>к, к = 0, ±1, ±2,. В задаче о колебаниях тела в жидкости это удалось сделать для любого значения частоты ш > 0 и амплитуды модуляции.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [11б]-[119]. В совместных работах [116]-[117] проф. В. И. Юдовичу принадлежит постановка задачи и выбор общих методов исследования. Формулировки утверждений и доказательства принадлежат автору диссертации.

1. Павлюк Ю. С., Сакулин В Д. Основы устойчивости движения баллистических ракет с жестким корпусом с учетом колебаний жидкости в топливных баках // Челябинск: ЮУрГУ, 2002.

2. Kirghoff G. Uber die Bewegung eines Rotationskorpers in einer Flussigkeit // J. Reine und Angewan. Math. 1970. V. 71. P. 237−262.

3. Kelvin L. Mathematical and Physical Papers // V. 4. Cambridge. 1882.

4. Hough The Oscillations of a Rotating Ellipsoidal Shell containing Fluid // Phil. Transactions (A). 1895. V. 186, № 1.

5. Жуковский H. E. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородною капельною жидкостью. Избранные сочинения. Т. 2 // M.-JL: Гостехиздат, 1948.

6. Bjerknes V. F. К. Fields of Force // New York: Columbia. U. P. 1906.

7. Чаплыгин С. А. О движении тяжелых тел в несжимаемой жидкости // Поли. собр. соч. Т. 1. Л.: Изд. АН СССР. 1933. С. 133−150.

8. Владимиров В. А., Румянцев В. В. Обращение теоремы Лагранжа для твердого тела с полостью, заполненной идеальной жидкостью // При-кл. матем. и механика. 1989. Т. 53, № 4. С. 608−612.

9. Борисов A.B., Козлов В. В., Мамаев И. С. О падении тяжелого твердого тела в идеальной жидкости // Тр. Института матем. и мех. УрО РАН. 2006. Т. 12, № 1. С. 25−47.

10. Vladimirov V. A., Ilin К. I. On the Arnold Stability of a Solid in a Plane Steady Flow of an Ideal Incompressible Fluid // J. of the Theoretical and Computational Fluid Dynamics. V. 10, № 1. P. 425−438.

11. Vladimirov V. A., Ilin К. I. On the stability of a Dynamical System 'Rigid Body+ Inviscid Fluid'. Variational Principles //J. Fluid Mech. V. 386. P. 43−75.

12. Vladimirov V. A., Moffatt H. K, Davidson P. A., Ilin К. I. On the stability of a rigid body in a magnetostatic equilibrium // European Journal of Mechanics B/Fluids. 2003. V. 22, № 5. P. 511−523.

13. Leonard N. E., Marsden J. E. Stability and drift of underwater vehicle dynamics: Mechanical systems with rigid motion symmetry // Physica D. 1997. V 105, № 1−3. P. 130−162.

14. Борисов А. В. Необходимые и достаточные условия интегрируемости уравнений Кирхгофа // Per. хаот. дин. 1996. 1 (2). С. 61−76.

15. Borisov А. V., Mamaev I. S. On the motion of a heavy rigid body in an ideal fluid with circulation // CHAOS. 2006. V. 16, № 1.

16. Borisov A. V., Mamaev I. S., Ramodanov S. M. Dynamics of a circular cylinder interacting with point vortices // Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B. 2005. V. 5, № 1. P. 35−50.

17. Борисов А. В., Мамаев И. С., Рамоданов С. М. Взаимодействие двух круговых цилиндров в идеальной жидкости // Нелинейная Динамика. 2005. 1 (1). С. 3−21.

18. Борисов А. В., Мамаев И. С. Интегрируемость задачи о движении цилиндра и вихря в идеальной жидкости // Математические заметки. 2004. Т. 75, № 1. С. 20−23.

19. Galper А. Я., Miloh Т. Hydrodynamics and stability of a deformable body moving in the proximity of interfaces // Physics of fluids. 1999. V. 11, № 4. P. 795−806.

20. Буров А. А. О движении твердого тела в идеальной жидкости в полупространстве, ограниченном плоскостью // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. Часть 1. Сб. статей. Отв. ред.: В. В. Румяицев. М.: ВЦ РАН. 2001. С. 43−49.

21. Буров А. А., Шеваллье Д. П. О движении твердого тела в жидкости под действием центральных сил ньютоновского притяжения // Прикл. матем. и механика. 2001. Т. 65, № 4. С. 602−618.

22. Луговцов Б. А., Сенницкий В. Я. О движении тела в вибрирующей жидкости // Докл. АН СССР. 1986. Т. 289, № 2. С. 314−317.

23. Моисеев Н. Н. Задача о малых колебаниях открытого сосуда с жидкостью под действием упругой силы // Укр. матем. журнал. 1952. № 2.

24. Моисеев Н. Н. О краевых задачах для линеаризованных уравнений На-вье-Стокса в случае, когда вязкость мала// ЖВМ и МФ. 1961. Т.1, № 3.

25. Багаева Н. Я., Моисеев Н. Н. Три задачи о колебаниях вязкой жидкости // ЖВМ и МФ. 1964. Т. 4, № 2.

26. Моисеев Н. Н. О математических методах исследования нелинейных колебаний // Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Т. 2. Киев. 1963.

27. Краснощеков П. С. О колебаниях физического маятника, имеющего полости, заполненные вязкой жидкостью // Прикл. матем. и механика. 1963. Т. 28, № 2.

28. Сизиков В. П. Разработка методов активного управления ориентацией космических аппаратов // Дис. на соиск. зв. канд. тех. н. Омск. ОПИ. 1992.

29. Шмидт А. Р. Колебания вязкой жидкости конечной глубины, вызванные начальным смещением ее свободной поверхности // ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5, № 2. С. 287−297.

30. Крушинская С. И. Колебания тяжелой вязкой жидкости в подвижном сосуде // ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5, № 3. С. 519−536.

31. Викторов Е. Д. Вычисление коэффициента затухания свободных колебаний вязкой жидкости в цилиндрическом сосуде // Прикл. механика и техн. физика. 1965. № 2. С. 143−146.

32. Микишев Г. Н., Столбецов В. И. О колебаниях тела в ограниченном объеме вязкой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. № 1. С. 22−30.

33. Микишев Г. Я., Столбецов В. И. Крутильные колебания эллипсоида вращения, погруженного в вязкую жидкость // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 2. С. 34−39.

34. Столбецов В. И. О малых колебаниях шара в сферическом объеме вязкой жидкости // МЖГ. 1986. № 2. С. 29−34.

35. Черноусько Ф. Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость // М.: Наука, 1968.

36. Румянцев Б. Н. О движении твердого тела, содержащего полости, заполненные вязкой жидкостью // Прикл. матем. и механика. 1964. Т. 28, № 6.

37. Кобрин А. И. К задаче о движении тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью, относительно центра масс в потенциальном поле массовых сил // Прикл. матем. и механика. 1969. Т. 33, № 3. С. 431−440.

38. Черноусько Ф. Л. Движение твердого тела с полостями, заполненными вязкой жидкостью при малых числах Рейнольдса // ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5, № 6. С. 1049−1070.

39. Иевлева О. Б. Малые колебания маятника со сферической полостью, заполненной вязкой жидкостью // Прикл. матем. и механика. 1964. Т. 28, № 6. С. 1132−1134.

40. Иевлева О. Б. О колебаниях тела, наполненного вязкой жидкостью // Прикл. механика и техн. физика. 1966. № 6. С. 27−34.

41. Lyashenko А. А., Friedlander S. J. A Sufficient Condition for Instability in the Limit of Vanishing Dissipation // J. Math. Anal. Appl. 1998. V. 221, № 2. P. 544−558.

42. Маркеев А. П. Об устойчивости вращения волчка с полостью, наполненной жидкостью // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 3. С. 19−26.

43. Парада Р. Ф., Коллар А. Ф. Об устойчивости вращения волчка с полостью, заполненной вязкой жидкостью // Фунд. и прикл. матем. 1997. Т. 3, Ш 1. С. 69−92.

44. Карапетян А. В., Проконина О. В. Об устойчивости равномерных вращений волчка с полостью, заполненной жидкостью, на плоскости с трением // Прикл. матем. и механика. 2000. Т. 64, № 1. С. 85−92.

45. Руденко Т. В. Об устойчивости стационарных движений гиростата с жидкостью в полости // Прикл. матем. и механика. 2002. Т. 66, № 2. С. 183−191.

46. Костюченко А. Г., Шкаликов А. А., Юркин М. Ю. Об устойчивости волчка с полостью, заполненной вязкой жидкостью // Функц. анализ и его прил. 1998. Т. 32, № 2. С. 36−55.

47. Fraguela A., Gonzalez A. L., Felipe R. Stability of a Generalized Sobolev System // Acta Applicandae Mathematicae. 2006. V. 90, № 3. P. 197−217.

48. Моисеев H. H., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость // М.: Наука, 1965.

49. Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем // Изд-во АН СССР. 1963.

50. Шамолин М. В. Методы анализа динамических систем с переменной диссипацией в динамике твердого тела // М.: Экзамен, 2007.

51. Сенницкий В. Л. О поведении газового пузыря в вязкой колеблющейся жидкости в присутствии силы тяжести // Прикл. механика и техн. физика. 1997. Т. 38, № 5. С. 73−79.

52. Сенницкий Б. Л. О силовом взаимодействии шара и вязкой жидкости в присутствии стенки // Прикл. механика и техн. физика. 2000. Т. 41, № 1. С. 57−62.

53. Сенницкий В. Л. О движении пульсирующего твердого тела в вязкой колеблющейся жидкости // Прикл. механика и техн. физика. 2001. Т. 42, № 1. С. 82−86.

54. Сенницкий В. Л. О поведении пульсирующего твердого тела в вязкой колеблющейся жидкости // Прикл. механика и техн. физика. 2001. Т. 42, № 1. С. 82−86.

55. Сенницкий В. Л. О поведении пульсирующего твердого тела в вязкой жидкости в присутствии силы тяжести // Прикл. механика и техн. физика. 2001. Т. 42, № 5. С. 93−97.

56. Chen S. S., Wambsganss M. W., Jendrzejczyk J. A. Added mass and damping of a vibrating rod in confined viscons fluid // Tians. ASME J. Appl. Mech. 1976. V. 43, № 2. P. 325−329.

57. Синявский В. Ф., Федотовский В. С., Кухтин А. Б. О колебаниях цилиндра в вязкой жидкости // Прикл. матем. и механика. 1980. Т. 16, № 1. С. 62−67.

58. Yang С. I., Moran T. J. Calculations of added mass and damping coefficients for hexagonal cylinders in a confined viscous fluid // TYans. ASME J. Pressure Vessel Technol. 1980. V. 102, № 2. P. 152−157.

59. Шкуренко E. Ю. Совместная задача о движении твердого цилиндра и заполняющей его вязкой жидкости // Деп. ВИНИТИ. №И05-В2006.

60. Цывепкова О. А. Колебания шара в вязкой жидкости под действием модулированной упругой силы // Тр. X междунар. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды» Ростов-на-Дону. 2006. Т. 1. С. 276−279.

61. Юдович В. И. Колебания твердого шара в вязкой жидкости под действием модулированной упругой силы и параметрический резонанс // Деп. ВИНИТИ. № 1482-В2006 от 29.11.2006.

62. Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях.

Введение

в метод промежуточных задач Вайнштейна. Пер. с анг. — М.: Мир, 1970.

63. Барковский Ю. С., Юдович В. И. Спектральные свойства конечномерных операторов и проблема моментов // Изв. СКНЦ ВШ. Сер. Естественные науки. 1975. № 4. С. 49−56.

64. Барковский Ю. С., Юдович В. И. Рождение вихрей Тейлора в случае разновращающихся цилиндров и спектральные свойства одного класса краевых задач // Докл. АН СССР. Т. 242 (1978) № 4. С.784−787.

65. Барковский Ю. С., Юдович В. И. Спектральные свойства одного класса краевых задач // Мат. сборник. 1981. Т. 114, № 3. С. 438−450.

66. Юдович В. И. О спектре некоторых окаймленных самосопряженных операторов // Изв. ВУЗ’ов. Математика. 1982. № 4. С. 77−81.

67. Крейн С. Г. О колебаниях вязкой жидкости в сосуде // Докл. АН СССР. 1964. Т. 159, № 2. С. 262−265.

68. Линь Ц. Ц. Теория гидродинамической устойчивости // М.: Изд. иностр. лит, 1958.

69. Зоммерфельд Л. Механика деформируемых сред // М.: Изд. иностр. лит, 1954.

70. Юдович В. И. Об устойчивости стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости //Докл. АН СССР. 1965. Т. 161, № 5. С. 1037−1040.

71. Юдович В. И. Об устойчивости вынужденных колебаний жидкости // Докл. АН СССР. 1970. Т. 195, № 2. С. 292−295.

72. Юдович В. И. Об устойчивости автоколебаний жидкости // Докл. АН СССР. 1970. Т. 195, № 3. С. 574−576.

73. Юдович В. И. Метод линеаризации в теории гидродинамической устойчивости // Ростов-на-Дону: РГУ, 1984.

74. Сазонов Л. И., Юдович В. И. Устойчивость стационарных решений параболических уравнений и системы Навье-Стокса во всем пространстве // Сиб. матем. журн. 1988. Т. 29, № 1. С. 151−158.

75. Сазонов Л. И. Об устойчивости периодических решений системы Навье-Стокса в трехмерной внешней области // Изв. РАН. Сер. матем. 2003. Т. 67, № 4. С. 155−170.

76. Юдович В. И., Ревина С. В. Ьр-оценки резольвенты оператора Стокса в бесконечном цилиндре// Мат. сборник. 1996. Т.187 (229), № 6. С.97−118.

77. Сазонов Л. И. Обоснование метода линеаризации в задаче обтекания // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58. № 5. С. 85−109.

78. Румянцев В. В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестник МГУ 1957. № 4.

79. Румянцев В. В. Об устойчивости вращения волчка с полостью, заполненной вязкой жидкостью // Прикл. матем. и механика. 1960. Т. 24, № 4. С. 603−609.

80. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных // М.: Наука, 1987.

81. Руш Я, Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости // М.: Мир, 1980.

82. Барбашин Е. А., Красовский Я. Я. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН СССР. 1952. Т. 86, № 3. С. 453−456.

83. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений // М.: Мир, 1985.

84. Morgulis A., Yudovich V. Arnold’s method for asymptotic stability of steady inviscid incompressible flow through a fixed domain with permeable boundary // Chaos. 2002. V. 12, № 2. P. 356−371.

85. Yudovich V. I. Eleven Great Problems of Mathematical Hydrodynamics // Preprint № 8. University of Hull. January. 2002.

86. Hopf E. Uber die Anfangswertaufgabe fur die hydrodynamischen Grundgleichungen // Math. Nachrichten. 1951. № 4. С. 213−231.

87. Gunzburger M. D., Lee H. C., Seregin G. A. Global Existence of Weak Solutions for Viscous Incompressible Flows around a Moving Rigid Body in Three Dimentions // J. math, fluid mech. 2000. № 2.

88. Feireisl E. On the Motion of Rigid Bodies in a Viscous Fluid // Applications of mathematics. 2002. V. 47, № 6. P. 463−484.

89. Feireisl E. On the Motion of Rigid Bodies in a Viscous Incompressible Fluid // J. evol. equ. 2003. № 3. P. 419−441.

90. Feireisl E. On the Motion of Rigid Bodies in a Viscous Compressible Fluid // Arch, rational mech. anal. 2003. V. 167, P. 281−308.

91. Юдович В. И. Глобальная разрешимость — против коллапса в динамике несжимаемой жидкости //В книге: «Математические события XX века». М.: Фазис, 2002.

92. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений // М.: Наука, 1966.

93. Юдович В. И. Спектральные свойства эволюционного оператора параболического уравнения с одной пространственной переменной и его конечномерных аналогов // УМН. 1977. Т. 32, № 1. С. 230−232.

94. Юдович В. И. Периодические дифференциальные уравнения с самосопряженным оператором монодромии // Матсборник. 2001. Т. 192, № 3. С. 137−160.

95. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // М.: Наука, 1970.

96. Якубович В. А., Стражинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения // М.: Наука, 1972.

97. Крейн М. Г. О признаках устойчивой ограниченности решений периодических канонических систем // Прикл. матем. и механика. 1955. Т. 19, № 6. С. 641−680.

98. Козлов В. В. Гироскопическая стабилизация и параметрический резонанс // Прикл. матем. и механика. 2001. Т. 65, № 5. С. 739−745.

99. Юдович В. И. Метод цепных дробей в спектральной теории линейных дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами // Юбилейный сборник, посвященный 75-летию В. А. Какичева. Великий Новгород. 2001. С. 20−24.

100. Мешалкин JI. Д., Синай Я. Г. Исследование устойчивости стационарного решения одной системы уравнений плоского движения несжимаемой вязкой жидкости // Прикл. матем. и механика. 1961. Т. 25, № 6. С. 1140−1143.

101. Юдович В. И. Пример рождения вторичного или периодического течения при потере устойчивости ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости // Прикл. матем. и механика. 1965. Т. 29, № 3. С. 453−467.

102. Floquet G. Sur les equations differentielles lineaires a coefficient periodiques // Annales de l’Ecole Normale Superiore, 1883. V. 12. P. 47−88.

103. Hill G. W. On the part of the lunar perigee which is a function of the mean motions of the sun and moon // Acta Mathematica. 1886. V. 8, P. 1−36.

104. Кочин H. E. О крутильных колебаниях коленчатых валов // Прикл. матем. и механика. 1934. Т. 2, № 1. С. 3−28.

105. Проскуряков А. П. Характеристические числа решений дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами // Прикл. матем. и механика. 1946. Т. 10, № 5−6. С. 545−558.

106. Валеев К. Г. К методу Хилла в теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // Прикл. матем. и механика. 1960. Т. 24, № 6. С. 979−987.

107. Милославский А. И. К теории Флоке для параболических уравнений // Функ. ан. и его прилож. 1976. Т.10, № 2. С. 80−81.

108. Liu W., Haller G. Inertial manifolds and completeness of eigenmodes for unsteady magnetic dynamos // Physica D. 2004. V. 194. P. 297−319.

109. Liu W., Haller G. Strange eigenmodes and decay of variance in the mixing of diffusive tracers // Physica D. 2004. V. 188. P. 1−39.

110. Kuchment P. Floquet theory for partial differential equations // Birkhauser. 1993.

111. Колмановский В. В., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием // М.: Наука, 1981.

112. Милославский А. И. Об убывании решений абстрактного параболического уравнения с операторным коэффициентом // Известия СКНЦ ВШ, сер. Естеств. науки. 1976. № 2. С. 11−15.

113. Милославский А. И. Теория Флоке дня абстрактных параболических уравнений с периодическими коэффициентами // Дис. на соиск. зв. канд. ф.-м.н. Ростов-на-Дону. РГУ. 1976.

114. Милославский А. И. Теория Флоке для абстрактных параболических уравнений. Базисность корневых подпространств оператора монодро-мии // Деп. в ВИНИТИ. № 3073−75. 1975.

115. Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // УМН. 1971. Т. 26, № 4. С. 15−41.

116. Гуда С. А., Юдович В. И. Совместная задача о вращении твердого тела в вязкой жидкости под действием упругой силы // Сиб. мат. ж. 2007. Т. 48, № 3. С. 556−576.

117. Гуда С. А., Юдович В. И. Асимптотика спектра малых крутильных колебаний твердого тела в вязкой жидкости // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. 2007. № 2. С. 26−30.

118. Гуда С. А. Колебания тела в жидкости под действием упругой силы с периодической по времени жесткостью // Деп. ВИНИТИ. № 508-В2007 от 08.05.2007.

119. Гуда С. А. Полнота решений Флоке задачи о колебаниях тела в жидкости // Деп. ВИНИТИ. № 738-В2007 от 17.07.2007.

120. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика // М.: Наука, 1986.

121. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике // М.: Наука, 1988.

122. Юдович В. И. О границе монотонной и колебательной конвективной устойчивости горизонтального слоя жидкости // Прикл. механика и техн. физика. 1991. № 6. С. 44−50.

123. Кочин H. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления // М.: Наука, 1965.

124. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения // М.: Наука, 1975.

125. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции // М.: Наука, 1990.

126. Соломяк М. 3. Применение теории полугрупп к исследованию дифференциальных уравнений в пространствах Банаха // Докл. АН СССР. 1958. Т. 122, № 5. С. 766−769.

127. Marcinkiewiecz J. Sur les multiplicatours des series de Fourier // Studia Math. 1939. № 8. C. 78−91.

128. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике // М.: Наука, 1970.

129. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями // М.: Наука, 1977.

130. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г.

Введение

в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве // М.: Наука, 1965.

131. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций // М.: Наука, 1968.

132. Вайнберг M. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений // М.: Наука, 1969.

133. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения // М.: Мир, 1985.

134. Wall H. S. Analitic theory of continued fractions // Toronto-N.Y.-L. 1948.

135. Хованский A. H. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа // М.: ГИТТЛ, 1956.

136. Мацаев В. И. Об одном методе оценки резольвент несамосопряженпых операторов // Докл. АН СССР. 1964. Т. 154 № 5. С. 1034−1037.

137. Като Т. Теория возмущений линейных операторов // М.: Мир, 1972.

138. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции // М.: Наука, 1979.