Нерегулярные линейные операторы, зависящие от параметра

Диссертация посвящена исследованию локальных свойств нерегулярных оператор-функций и их применению к изучению дифференциальных уравнений в банаховых пространствах и к теории бифуркаций.

Рассматриваются функции Да), определенные для X из некоторой окрестности 1л. комплексного числа^-о, голоморфные или имеющие полюс в точке Х0, значениями которых являются линейные непрерывные или замкнутые операторы, действущие из банахова пространства X в банахово пространство Y. Под нерегулярностью оператор-функции Аш понимается необратимость операторов A (V> при Хе И .

Изучаемые в работе свойства оператор-функций Ащ связаны с разрешимостью уравнений вида.

Ашос (У) • (0-т).

Подобные уравнения возникают при решении широкого круга математических задач, находящих многочисленные применения.

Рассмотрение уравнений вида (0.1) своими истоками уходит в классические исследования по спектральной теории линейных операторов, т. е. изучение оператор-функций вида Многочисленные результаты, относящиеся к таким оператор-функциям, где, А — замкнутый фредгольмов или полуфредгольмов оператор, подробно охарактеризованы в известной монографической работе И. Ц. Гохберга и М. Г. Крейна [9] .

Основой для исследования произвольных голоморфных оператор-функций послужила статья М. В. Келдыша [20], в которой были введены понятия цепочки собственного и присоединенных векторов и кратности характеристического числа регулярного операторного полинома, а также получены формула для кратности характеристического числа и формула, выражающая главную часть резольвенты операторного полинома через его собственные и присоединенные векторы.

Понятия и результаты статьи [20] получили существенное развитие в работах И. Ц. Гохберга и Е. И. Сигала [l2], [в], [29], в которых был разработан метод факторизации оператор-функций. Этот метод позволил обобщить указанные результаты на случай ко-нечномероморфных фредгольмовых оператор-функций, а также ввести понятие и получить формулу факторкратности характеристического числа для нерегулярных фредгольмовых оператор-функций.

А.С.Маркус [2б] доказал, что для голоморфной полуфред-гольмовой оператор-функции, определенной в области G" =?, размерность пространства собственных векторов Аоо бесконечной кратности в точке X постоянна для всех X из &, и всюду в G за исключением некоторого множества изолированных точек пространство нулей совпадает с Н (А,>0. М. Кас-хук [48] рассмотрел линейный пучок = А + хВ, удовлетворящий свойству КС L = dim. Им было доказано,.

HCL,^ что множество G точек X, для которых оператор L (>0 нормально разрешим и, является открытым в С, причем вне некоторого подмножества Гс G, состоящего из изолированных точек, выполняется. Этот результат был обобщен на случай голоморфных оператор-функций К.-Х. Фёрстером [42] с помощью метода линеаризации.

Систематическое исследование свойств нерегулярных оператор-функций было проведено в ряде работ Х. Барта, М. Касхука и Д. Лэя [34 — 36]. Работа [34] была посвящена исследованию поведения пространств нулей и образов 3i (A (V>) конечномероморфной оператор-функции A (Xs), удовлетворящей для Хе Gусловиям:

1) нулевой член Ав разложения Асх) в ряд Лорана нормально разрешим,.

2) число устойчивости К (А, Х), обобщающее соответствующее понятие работы [48], конечно. В работе [51] такие оператор-функции были названы F& -мероморфными. В [ 34] были обобщены результаты работ [48] и [4l], а также доказана непрерывность в метрике раствора пространств Н (А, х) и пространств связанных с.

ЖАсху). В работе [35] для случая, когда оператор А0 имеет обобщенный обратный, было доказано существование конечномероморфной обобщенной обратной оператор-функции, А (X} и установлено, что такие оператор-функции допускают факторизацию, что позволило получить формулу для фактор-кратности характеристического числа р&- -мероморфной оператор-функции [Зб]. При более общих предположениях существование мероморфной оператор-функции, А СХ4) было доказано в [ 37] .

В ряде работ изучались следующие пространства, связанные с FGмероморфной оператор-функцией АОу): IPfii. А, Х0) — пространство таких векторов ^ из Y, что для любого натурального к. существуют голоморфные в точке Хв функции и Н^СХ), для которых выполняется равенство Acx^cXi = (Х-Х^ fh (X) ;

— пространство векторов ^ из Т, для которых существует голоморфное в точке Х0 решение эсСХ) уравнения Аоо-хШз^ - пространство всех собственных и присоединенных к ним векторов АсХ) в точке Хо.

Для линейного полуфредгольмового при Хе & цучка L (XN)= A~xl в работах И. Ц. Гохберга и А. С. Маркуса [ю], А. С. Маркуса [2б], М. А. Гольдмана и С. Н. Крачковского [2] была доказана независимость пространств и 7c (L,) от параметра X, пробегагацего множество £Г. Для линейного пучка К+хВ, удовлетво-ряицего условиям (I) и (2), аналогичные утверждения были получены в работах [48] и [4l]. Результаты последних работ были перенесены Фёрстером [42] на голоморфные оператор-функции в предположении равенства КС А, 50= о (см. также [13]).

В случае, когда А-^1, пространство WliL, о) о^. совпадает с пространством^Iffli f) = Л Ж, А), 7Ц1, о) совпа.

И I даете T^A^UJvfA) и KCL. o) совпадает с числом.

Н=1.

Жк) = сiim t—:. В ряде работ ставилась задача изучения устойчивости свойств замкнутого оператора, А, в частности, поведения пространств и % (А), при возмущении линейными непрерывными операторами. М. А. Гольдманом и С.Н.Крач-ковским [4] - [7] была доказана устойчивость класса нормально разрешимых операторов, удовлетворяющих условию *, а также постоянство пространств W.(k+2>) и 7fl (А-*-£>") при возмущении малыми по норме коммутирующими с, А операторами В Исследование устойчивости свойств оператора к при вполне непрерывных коммутирующих с, А возмущениях было проведено в работах С. Грабинера [44], [45] .

В последнее время результаты, касающиеся свойств линейных операторных пучков, нашли применение в теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, неразрешенных относительно производной. Вопросам изучения задачи Коши вида.

A+eB) ¦xtt,?) + Cxct, 6)=oji6fo>eo)>efiC, (0.2).

— х (о, ОеХ, ?е (С. (0.3) с точки зрения операторных пучков посвящены работы С. Г. Крейна и.

К.И.Чернышева. [23], С. П. Зубовой [15], С. П. Зубовой и В. П. Трофимова [16], [17]. В этих работах рассматривались вопросы существования решений octt??) задачи (0.2)-(0.3) и сходимости x (t, e) при к решению предельной задачи.

A 5c (t) -t-Cx (i) t (о.4) 5с (о) = х (о, г) .

->о.

При изучении указанных вопросов важную роль играет разложение пространств X и Y на инвариантные относительно регулярного пучка пары подпространств, установленное методом спектральных проекторов в работе [38] (см. также [23]). Для подуфред-гольмовых пучков другим способом разложение пространств на инвариантные пары было получено Т. Като [бо] и Т. Гамелином [43].

При изучении задачи (0.2)-(0.3) приходится сталкиваться с пучками от двух переменных К + бВ + ОХ, что обуславливает необходимость использования методов оператор-функций нескольких переменных. Большое количество глубоких результатов и обширную библиографию по теории оператор-функций нескольких переменных можно найти в обзорных работах [14] и [46 ] .

Методы теории оператор-функций также находят применение в теории бифуркаций при исследовании локального поведения решений нелинейного уравнения в банаховых пространствах.

Fcx:o =0 (0.5) с вещественным параметром X. Если отображение F (x, aO дифференцируемо в точке (о, о), то, обозначив = } в окрестности этой точки можно записать F (х} = A CM х + паr (х, x). Во многих работах рассматривался случай, когда к (У) — регулярный пучок вида к-УА (см., например, [47]). Для регулярных оператор-функций Аш общего вида и для некоторых классов нерегулярных оператор-функций уравнение (0.5) исследовалось в работах Дж. Изе [47] и В. А. Треногина и Н. А. Сидорова [30]. Использование собственных и присоединенных векторов оператор-функции.

Аш для изучения решений уравнения (0.5) можно найти в работе Б. В. Логинова и Ю. Б. Русака [24] .

Диссертация содержит четыре главы. Первая глава посвящена изучению пространств, связанных с нерегулярными конечномероморф-ными оператор-функциями. Во второй главе исследуются свойства линейного пучка, А + «х1 при возмущении малыми непрерывными и вполне непрерывными операторами. Результаты первых двух: глав применяются в третьей главе для исследования дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, неразрешенных относительно производной. В четвертой главе с помощью метода корневых функций изучаются вопросы существования точек бифуркации нелинейных уравнений в банаховых пространствах. Нумерация параграфов в диссертации сквозная. Теоремы нумеруются по главам.

Перейдем к обзору содержания диссертации.

В § I приводятся основные определения и обозначения, используемые в последувдем изложении.

В § 2 и § 3 изучаются пространства, связанные со свойствами решений уравнения (0.1), где Ашнерегулярная FG- - меро-морфная оператор-функция, определенная для X из некоторой области Gс (? f принимающая значения в пространстве линейных непрерывных операторов L (X, Y), действующих из банахова пространства X в банахово пространство Y. Для произвольной точки^о из Gрассматриваются определенные выше пространства, а также вводятся: 7lc (А, Хо)~ пространство векторов X € X, являющихся коэффициентами разложения в ряд Тейлора в точке голоморфных решений УСУ) уравнения AcxWOO so, 101 г (А, О — множество векторов yeY, для которых существует решение уравнения АсХ) УСЬ), имеющее полюс в точке — Фй (А?<0 — множество векторов х£ X, для которых существует голоморфная в точке функция такая, что 4>U0)=X и АсХ^Ш = Ах в некоторой окрестности точки <Х0.

Во втором параграфе подробно изучается поведение пространств, связанных с линейным операторным пучком, введенных в работах [50] и [48]. Устанавливается ряд соотношений двойственности между ними. В § 3 указывается связь этих пространств с пространствами ^(AjX) и. С помощью метода линеаризации результаты § 2 переносятся на случай голоморфной, а затем, используя один из методов факторизации, — на случай.

F& - мероморфной оператор-функции.

Пусть Г — множество точек X из &, являющихся полюсами к (DO или удовлетворяющих условию K (A, JO*o.

Теорема 1.8. Пусть оператор-функция Аш FG— меро-морфна в области Gc С • Тогда для всех Хе G пространства и постоянны и выполняются соотношения двойственности и.

Для Хе&Г выполняются равенства 1i (f}b) = У1с (к, ь) и Ш (к7ь) =/Лс (А-х)='№г (А-х) .Если ЛеГ, то ftcM We (M.

Для голоморфной оператор-функции получены дополнительные утверждения.

Теорема 1.7. Если Аоо — голоморфная в Gоператор-функция, удовлетворяющая для всех Qусловиям (I) и.

2), то для всех ^ из & выполняется равенство.

IMA,*) ' ' КЛ^М где tm (A, y> - факторкратность характеристического числа «К оператор-функции A (V).

В случае линейного пучка Lcx’i описано строение пространств и .

Следствие 1.5. Если для линейного пучка L (M=T+bS выполняются условия теоремы 1.7, то для О^е G имеют место разложения yL (L}x) = 7lc (L^) ®У1Х, где линейная оболочка некоторого канонического набора собственных векторов L (V> конечной кратности в точке ^ и присоединенных к ним векторов. При этом.

Результаты .главы I обобщают и развивают аналогичные результаты работ [41 ], [42] и [l3] в следующих направлениях: а) рассмотрено поведение пространств, , в особых точках, т. е. точках ^ из Г — б) получены утверждения двойственности — в) результаты перенесены на случай F& -мероморфных оператор-функций.

Во второй главе изучается поведение пространств, связанных с нерегулярным линейным операторным пучком Lex.) = A + jJ, при возмущении оператора, А. Полученные результаты можно рассматривать с точки зрения устойчивости свойств нерегулярного оператора.

В § 4 доказываются две теоремы об устойчивости некоторого класса операторов при возмущении малыми Аограниченными и ограничено ными линеиными операторами.

Теорема 2.1. Пусть, А — замкнутый нормально разрешимый оператор, действующий в банаховом пространстве X ,.

Y (A) < °°. Тогда для достаточно малых Аограниченных операторов В, удовлетворяющих условию В (ЖА) ГШ (А))с 'Ш (А) f оператор А+В нормально разрешим и КА+В) * Ш).

Теорема 2.2. Если для непрерывного оператора, А выполняются условия теоремы 2.1, то для малых ограниченных операторов В, удовлетворяющих условию В (WA)) с 7fl (A), пространство ЖА+В) замкнуто и м+в) й т).

Результаты § 4 обобщают результаты работы [б], в которой утверждение, аналогичное утверждению теоремы 2.1 было получено при дополнительных предположениях перестановочности В с, А и дополняемости одного из пространств или Ш) .

В § 5 изучается поведение пространств, связанных с оператором, А при возмущении его малыми по норме операторами, коммутирующими с, А .

Теорема 2.4. Если, А — непрерывный оператор, для которого выполняются предположения теоремы 2.1, то для достаточно малых по норме коммутирующих с, А операторов В выполняется равенство.

А) = WA+B) •.

При тех же предположениях относительно операторов, А и В доказана.

Теорема 2.5. Пространства N (A+ В) П W (A+B) и Л (А+В) + непрерывны в метрике раствора.

Основываясь на утверждениях теорем 2.4 и 2.5,делается вывод о том, что поведение пространств, связанных с пучком А+xI, при возмущении оператора, А коммутирующими операторами сходно с поведением пространств, связанных с.

FGмероморфными оператор-функциями, изученных в главе I и в работе [34], при изменении параметра Л .

Изучаются необходимые и достаточные условия выполнения равенства W0 = Y (A+B) .пусть ^ = С|иАх/1 и 1(A) «Ъд1, S*(M, N) — раствор между подпространствами.

М и N .

Теорема 2.6. Если оператор, А удовлетворяет условиям теоремы 2.1 и 0 — последовательность линейных непрерывных операторов, коммутирующих с, А. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) tf (A+Bh) = А) для достаточно больших и е N ;

2) последовательность А^ВК) -п = ограничена;

3) ^ A + Bh) — «А) ;

4) ;

5) ZZ-0 .

Следствие 2.4. Если В и и УСА+6 = и-d,!,., то шаь ша+bjш) = mtgj^-i^.

Теорема 2.7. Пусть — связное комплексное многообразие размерности к, А (Х) — оператор-функция на, значения которой являются линейными замкнутыми операторами в банаховом пространстве X с одинаковой областью определения 2) — для каждой точки оператор-функция АоО — А () принимает значения в и голоморфна. Если для всех X е ffi операторы А ()0 нормально разрешимы, попарно перестановочны и то множество аналитично в я .

Утверждения теорем 2.6, 2.7 и следствия 2.4 показывают, что для оператора, А, удовлетворяющего предположениям теоремы 2.1, условие является условием общего положения и соответствует «более простому» поведению пространств, связанных с пучком, при возмущении коммутирующими операторами.

В § 6 рассматриваются свойства пучка L (X) при возмущении оператора к компактными операторами.

Условиям теорем, доказанным в главах I и 2, удовлетворяют оператор-функции, значения которых являются полуфредгольмовыми или конечномерными операторами.

Глава 3 посвящена применению методов нерегулярных оператор-функций к исследованию дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, неразрешенных относительно производной.

В § 7 рассматривается обобщенно обратимый в окрестности нуля операторный пучок L (X)=A+XB, где.

А, В * L (X, Y) оператор, А имеет обобщенный обратный и K (Lfo). Получено разложение пространств X и Y на пары инвариантных относительно, А и В подпространств.

На основании существования у L (>0 конечномероморфной в + нуле обойденной обратной оператор-функции L, для которой проекторы L^X^LlX4) и 1(Л)1+(.М голоморфны в нуле [35], доказывается.

I +.

Лемма 3.1. Оператор-функцию Lex) можно выбрать таким образом, что для достаточно малых Хфо и j*фо выполняется равенство.

L+(JJO — = cx-juo Lja) B>1^cx) .

Это равенство, аналогичное тождеству Гильберта для резольвенты, позволяет применить к нерегулярным операторным пучкам метод спектральных проекторов, изложенный в работах [23] и [38] .

Лемма 3.2. Имеет место разложение .+ г> ОО* К-4.

LCMВ = Х Тгн. + Т1 — 2- С-Кв) X, где оператор является проектором, оператор К0 аннулируется в пространстве N = ЗЦ K. J и действует в пространстве К^ - нильпотентный оператор, обращающийся в нуль на М и действующий в N .

С помощью разложения в ряд Лорана оператор-функции определяются пространства N и М.

Теорема 3.2. Имеют место прямые разложения пространств X и Y на инвариантные относительно, А и В пары подпространств: X=N® М, Y=И, т. е. А (Н) ^ N.

V^м ^v '.

B (N)eN, А (М) с М, ВШ) с И. При этом оператор В осуществляет изоморфизм между N и N.

Установлена связь между полученным разложением и пространствами, изученными в главе I .

Теорема 3.3. Выполняются утверждения:

1) образ проектора K-i совпадает с подпространством размерности fUv (.L, o), порожденным некоторым каноническим набором собственных векторов LcX) конечной кратности и присоединенных к ним ;

2) ^(L-o)cM ;

3) сужение L^CX) пучка L (X} на М не имеет собственных векторов конечной кратности в нуле ;

4) Wl^L, o) n'M = '№c (L, o);

Результаты § 7 обобщают аналогичные утверждения работ [23], [38], [43] и [50] .

В § 8 рассматривается задача Кош.

А = (0.6) я X где A, B^L (X, Y) .

Вводится преобразование, сходное с преобразованием Бореля [i], сопоставляющее голоморфной в окрестности нуля функции.

00 К, А К у ij= ZL X целую функцию ij (X) = 2 X. Преобразование, А позволяет установить соответствие между голоморфными решениями задачи (0.6) и голоморфными решениями некоторого операторного уравнения, а также описать условия существования и единственности решения задачи (0.6) в терминах пространств, изученных в главе I и в работе [34] .

Теорема 3.4. Если оператор, А нормально разрешим и для пучка Lcx) = A+xB выполняется КС L-о)<�с>о, то задача (0.6) имеет голоморфное решение в том и только в том случае, когда существует голоморфное в некоторой окрестности нуля решение, Lj (o)^x0j уравнения.

А+хВ) tjOO s Ах0 ,.

Л V причем можно положить ХСХ} = Lj (X).

Теорема 3.5. Задача (0.6) имеет голоморфное решение для начальных значений x.0eQt (L, o) и только для них. Голоморфное решение задачи (0.6) при фиксированном х0 единственно в том и только в том случае, когда H (L, o)={o}.

Более того, если ХСХ") — голоморфное решение задачи (0.6), то € L, o) для всех и выполняется.

Следствие 3.1. Голоморфная разрешимость задачи.

0.6) эквивалентна голоморфной разрешимости этой же задачи в пространствах Qc (L, o) и .

Лемма 1.7 показывает, что пространство Qc (L}o) находит.

1 ft ся с помощью простого алгоритма: QC (L о) = П (В" А) (X) где В (Е) означает полный прообраз множества ?

Теорема 3.5 развивает результаты работы [18], в которой аналогичные вопросы изучались другими методами и при более ограничительных предположениях.

В § 9 с помощью преобразования, А исследуются неоднородные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах, неразрешенные относительно старшей производной. * А.

Теорема 3.6. Пусть Аш = XL X Ак — обобщенно к=о обратимый операторный пучок,.

— голоморфная в окрестности нуля функция со значениями в Y. Уравнение.

Л’С, (0.7) с начальными данными хк е К, к-о,.(0.8) имеет голоморфное решение в том и только в том случае, когда существует голоморфное в некоторой окрестности нуля решение 00 к ^К=к!хк f к-о} ., ta-i, уравнения.

Уг &bdquo-К.

Aoojjoo = I хк 2L AS^KS, л причем можно положить Х (Х" > = у (Х) .

Следствие 3.2. Если Аш — сюръективный при малых Х^о пучок и максимальная факторкратность собственных векторов А00 в нуле не превосходит порядка уравнения (0.7), л то уравнение (0.7) разрешимо для любой правой части вида j-CX}.

Преобразование, А позволяет установить связь между радиусом сходимости ряда Лорана оператор-функции, А и экспоненциальным типом решения задачи (0.7)-(0.8).

У.

Теорема 3.8. Пусть пучок имеет к.=о обобщенную обратную оператор-функцию, А Ш, голоморфную при o^/XI< 1г4 функция со значениями в Y. Если задача (0.7)-(0.8) имеет голоморфное решение, то существует голоморфное решение этой задачи экспоненциального типа не выше к= та*, {h0, k±].

Методы, развитые в §§ 7−9, применяются в §§ 10−11 для исследования поведения голоморфных решений дифференциального уравнения с параметром при производной.

А+е?) ч-Схсхд> =0, хд еС, <о-9) d хсо, е)?К, (О.ю) причем функция хсо, d голоморфна в нуле. Изучается сходимость решений задачи (0.9)-(0.Ю) к голоморфным решениям предельной задачи.

А + =о, хеС, 5с (о)еХ. (0.11) о (Х.

Теорема 3.9. Пусть оператор, А фредгольмов и в окрестности нуля пучок ТсХД) — А+?.В имеет такую мероморфную обобщенную обратную оператор-функцию Т (Х., ЕЛ, что оператор-функции и Т (Х, 1) Тс, 0 голоморфны,.

СК, 0) Ф ЕСТ) = { | olcmЛТсх^у) > и^г.

СХ,!) для малых. Тогда для некоторого £о>0 и всех Е0 пространство X представимо в виде суммы А/?о® А/21®- — © М£, порождаемой проекторами, Р[. Задача (0.9)-(0.10) при разрешима, если t (Tg, o) c^y, где и её решение представимо в виде = эс±-(-£) +•? , где xtU, i>= Pe’xc, L), ~ Р?.х (Х,?), i-i^.^p Для всех имеет место сходимость = хсх), где х (х") — решение задачи (0.11). Если 3i (o, z) e}vL то решение х (Х,?) голоморфно по? при и всех.

Х&euroС.

Утверждения теоремы 3.9 обобщают результаты работ [l5 — 17] на случай нерегулярного пучка Тех, О.

В § II рассматривается задача (0.9)-(0.10) с коммутирующими операторами. На основании результатов главы 2 получено сведение этой задачи к регулярному случаю или к случаю, для которого возможно применение теоремы 3.9.

В главе 4 изучаются вопросы существования точки бифуркации уравнения (0.5) при условии, что линейная часть Гх (о, х) = А (V) отображения Fca^x") в окрестности точки (о, о) является нерегулярной аналитической оператор-функцией. В § 12 с помощью корневых функций [22] сопряженной оператор-функции, А (X) выводится система уравнений разветвления.

Теорема 4.1. Пусть Fbc, ao = Аоох бесконечно дифференцируемое в окрестности точки (о, о)? XxlR, отображение, — фредгольмов оператор, co-ckm Ш/"л) =и daw. Л/ТАсо)) = Я — vnif<оо 7? = канонический набор кратноетей собственных векторов оператор-функд tf) ции п (X) в нуле, Ч 00 — соответствующие корневые функции кратностей hi-?. Тогда систему уравнений разветвления для уравнений (0.5) можно представить в виде л. .

Где.

II^U < ?, Ш * 1, и матрица Н = (h.jопределяется собственными и присоединенными векторами оператор-функций АсЮ и А (Х> в нуле.

В § 13 система уравнений разветвления, полученная в теореме 4.1, используется для доказательства ряда теорем существования точки бифуркации уравнения (0.5) в случае нерегулярной фредголь-мовой оператор-функции /(Х) индекса нуль. Результаты формулируются в терминах пространств, характеризующих локальное поведение оператор-функции А (Х>

Пусть Р — проектор в пространстве.

Y (A"") «Х4 е Н (А, о) .

Теорема 4.2. Пусть все собственные векторы конечной кратности Аш в нуле имеют одинаковую кратность Уп и Vp (oc) +и (.ъс}У) } где VpCx) — однородное отображение порядка 3*2., U (? М = °а г) при о, рассмотрим отображение Wcoc^X) пространства if (Aco)) *1Ц в ЖР), определенное формулой.

5с, У) = Х*Нос1 + PVfc5c) .

Если для некоторого вектора = С" эс.0, ^о), ll’Xjl, выполняется равенство и образ якобиана ^Wcira) в точке совпадает с пространством, то точка onefold является точкой бифуркации уравнения (0.5).

При доказательстве ряда других теорем существования точки бифуркации используются результаты работы [ 52] о локальном строении решений уравнения (0.5) и [ 53] о точках бифуркации уравнения с постоянной нерегулярной линейной частью.

На защиту выносится:

1) Теоремы, описывающие поведение подпространств, связанных с нерегулярными конечномероморфными оператор-функциями ;

2) теоремы, описывающие поведение подпространств, связанных с нерегулярным линейным операторным пучком, при возмущении непрерывными операторами ;

3) разложение пространств на инвариантные пары относительно нерегулярного линейного операторного пучка;

4) метод исследования дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, неразрешенных относительно производной, основанный на сведении дифференциального уравнения к операторному уравнению ;

5) необходимые и достаточные условия существования и единственности и оценка экспоненциального типа голоморфных решений дифференциального уравнения в банаховых пространствах ;

6) исследование поведения решений дифференциального уравнения с параметром при производной в случае нерегулярного операторного пучка ;

7) исследование вопросов существования точки бифуркации нелинейного уравнения в банаховых пространствах с нерегулярной линейг. ной частью с помощью метода корневых функций.

Результаты диссертации докладывались на научных семинарах ХУЛ и ХУШ Воронежских зимних математических школ (1983;84 г. г.), на 43-й научной конференции Латвийского госуниверситета (1984 г.) на УШ школе по теории операторов в функциональных пространствах (1983 г.), на семинаре кафедры функционального анализа и операторных уравнений Воронежского государственного университета (ру-воводитель профессор Б.Н.Садовский), а также неоднократно докладывались на семинаре по уравнениям с малым параметром Воронежского лесотехнического института (руководитель профессор С.Г.Крейн).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [58.

64] .

Автор пользуется случаем выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Селиму Григорьевичу Крей-ну за постоянное внимание и помощь в работе.

1. Бибербах Л, Асимптотическое продолжение.- М.: Наука, 1967. — 240 с.

2. Гольдман М. А., Крачковский С. Н. Инвариантность некоторых пространств, связанных с оператором А~. Докл. АН СССР, 1964, т. 154, № 3, с. 500−502.

3. Гольдман М. А., Крачковский С. Н. О возмущении гомоморфизмов операторами конечного ранга. Докл. АН СССР, 1967, т.174, № 4, с. 743−746.

4. Гольдман М. А., Крачковский С. Н. Об одном классе возмущений линейного замкнутого оператора с замкнутой областью значений. Докл. АН СССР, .1971, т.197, № 6, с. 1243−1246.

5. Гольдман М. А., Крачковский С. Н. Об устойчивости некоторых свойств линейного замкнутого оператора. Докл. АН СССР, 1973, т. 209, № 4, с. 769−772.

6. Гольдман М. А., Крачковский С. Н. Операторы, нули которых образуют конечномерный выступ на риссовском ядре. Докл. АН СССР, 1974, т. 215, № 6, с. I28I-I284.

7. Гольдман М. А., Крачковский С. Н. Поведение пространства нуль элементов с конечномерным выступом на риссовском ядре при возмущении операторов. — Докл. АН СССР, 1975, т. 221, № 3, с. 532−534.

8. Гохберг И. Ц. О некоторых вопросах спектральной теории конечномероморфных оператор-функций. Изв. АН Арм. ССР, 1971, т.6, J& 2−3, с. 160−181.

9. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов. Успехи мат. наук, 1957, т. 12, вып. 2, с. 43−118.

10. Гохберг И. Ц., Маркус А. С. Об одном характеристическом свойстве ядра линейного оператора. Докл. АН СССР, 1955, т.105, № 5, с. 893−896.

11. Гохберг И. Ц., Маркус А. С. Об устойчивости некоторых свойств нормально разрешимых операторов. Матем. сб., 1956, т. 40, № 4, с. 453−466.

12. Гохберг И. Ц., Сигал Е. И. Операторное обобщение теоремы о логарифмическом вычете и теорема Р$ппе. Матем. сб., 1971, т. 81, № 4, с. 607−630.

13. Гохберг И. Ц., Сигал Е. И. Глобальная факторизация меро-морфной оператор-функции и некоторые её приложения. Матем. исслед., Кишинев, 1971, т. 6, вып. I, с. 63−82.

14. Зайденберг М. Г., Крейн С. Г., Кучмент П. А., Панков А. А. Банаховы расслоения и линейные операторы. Успехи мат. наук, 1975, т. 30, вып. 5, с. I0I-I57.

15. Зубова С. П. О задаче Коши для дифференциального уравнения с сингулярным возмущением в банаховом пространстве. Докл. АН СССР, 1982, т. 264, № 2, с. 286−290.

16. Зубова С. П., Трофимов В. П. О голоморфных решениях дифференциального уравнения с параметром, неразрешенного относительно производной. В кн.: Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. Куйбышев, 1982, с. 12−19.

17. Зубова С. П., Трофимов В. П. О задаче Коши для дифференциального уравнения в банаховом пространстве с коэффициентами, зависящими от параметра. В кн.: УШ школа по теории операторов в функциональных пространствах. Rira, т.1, с. 97−98.

18. Зубова С. П., Чернышов К. И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при цроизводной. Дифференциальные уравнения и их применение. Вильнюс, 1976, вып. 14, с. 21.

19. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. — 740 с.

20. Келдыш М. В. 0 собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений. Докл. АН СССР, 195I, т. 77, № I, с. II-I4.

21. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1967. — 464 с.

22. КреЙн С.Г., Трофимов В. П. О голоморфных оператор-функциях нескольких комплексных переменных. Функц. анал. и его приложения, 1969, т. 3, вып. 4, с. 85−86.

23. Крейн С. Г., Чернышов К. И. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Школа по теории операторов в функциональных пространствах, Новосибирск, препринт, 1979. — 18 с.

24. Логинов Б. В., 1^сак Ю. Б. Обобщенная жорданова структура аналитической оператор-функции и её роль в теории ветвления.-Ташкент, 1977. 81 с. — Деп. в ШНИТИ 18 апр. 1977 г., № 1782−77.

25. Маркус А. С. 0 характеристическом свойстве ядра линейного оператора. Докл. АН СССР, 1955, т. 105, № 6, с. II44-II46.

26. Маркус А. С. О голоморфных оператор-функциях. Докл. АН СССР, 1958, т. 119, № 6, с. I099-II02.

27. Маркус А. С. О некоторых свойствах линейных операторов, связанных с понятием раствора. Зап. Кишиневского ун-та, 1959, т. 39, № I, с. 265−272.

28. ВДин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. — 443 с.

29. Сигал Е. И. Фактор-кратность характеристического числа мероморфной оператор-функции. -Матем. исслед., Кишинев, 1970, т. 5, вып. 4, с. 136−152.

30. Треногин В. А., Сидоров Н. А. Исследование точек бифуркации и нетривиальных ветвей решений нелинейных уравнений. Дифферент и интегр. уравнения, Иркутск, 1972, вып. I, с. 216−247.

31. Шабат Б. В.

Введение

в комплексный анализ, т.2. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1976. — 400 с.

32. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения.-М.: Мир, 1969. 107I с.

33. В-ягй>Ь Н. of а^- CUv оуХПхлуЬу^fw. fhyed ыЛ CUMA., W. A,.

34. Ъллк H., \Xodk M.A., Lcuj Cd.C. StcUdvbjof^uvlte. VyyjOlJJY^x/U^J^ (T^OudjO^ .— IwLcUj. Md/m,^. 36, p. Ш-253.

35. Wi/fc H., KoLo^bxA M.A., Lcuj2).C. Rzlcvb^e омы**r£ yvUitob^cftjdLic. oJ^AjscbfL ju^ytur^ смлА оц/ххъlahiA L^woV36. Вчя^ H., ъяАмхлА a/^p^uxcc cr-JЫ^Л^СПГЬ^ШУЫ^ crb&sidrfcfr. ^Msctucr**. Rxrc. EM^jt^hJ^Lmg, p.

36. IW^fc KajUlto W. Lrc^i ^ УьМь^у^У^ (TEU/irirfc/L ^имм^Согуи^ m P^crc. RartyaJL rvM. CUxtd. j Suit. А, p. 31−5-0.

37. В-ял/t Lu^ 2>.C. c^ Я teAo&^vt o^ud^v. Pure. See*. /4,.

38. H. Lajj 2>.C. ^^oJLUm 4jojcUm^ oj-acrjo^rwl НзЛ 30^-Ш40. о. R.^yi, c^uitxaJtizeJl а^ЛАх^сПл. fttcfcf-. Э-. МаД. — IW,^. //=?^.4.1−15″ .

39. KrH. LL&eJi. сил 1млглп1ауСЗЬ CLrJL^fLh. (IcLusnjL, doL 3btШ ObJiructdb Т-А аяЛоЛ^ АлсЛ. \xtk. у 1966, ъх>1. 1*, Л/Ч, j>. 56−64.42. ^Ьп^лп. КгН. kJUn~ Силлалл. г а^длсХ^^т. ОряЛаЬ/Шу MJL OyuXAJufc^^JL пят. eine-rn Sxnjajmjdk/L а&ЛдошиtAatL. i.

40. G jot opvudoU.- Pcvuj.

41. G*Ul?±n2h. S. С1л<�игЛ<�Ь} OyiA (UfYHjZJZ^fcMail.

42. G-аа^илМ. S. W-mjo^ aiwi cu^c/ ctcrj-brUvJUL <�гЫЛссЬ>Ы.— ty. Hai^.Scvc.? N4, p. 31±зз?.b.}KdcMo W. S^ofc^/ tK^j jot FWct RjeWti I, Яо^-МЬснА ?mo, p. 319−342.

43. W 3*. BijWtcxCfcla"!. -ЬЬиЛм jfrt o^OuztcA*-fWtW^. KattL. 19*6, rvJi.llk.

44. Кac^J^k M.A. ЫсМЛи^ iLe/ш^ j&t cLruJ Ь^ияЛ. (ГШЛбМъ*. bkJjJbt. CLkad., %±гмл<�с?. Ркт. 9 &-лл. A, 43G5″, wt. A/*3, p. 451−466.

45. КcMlMo W. lckJ ^иЛаМл^ Iws-еялСхтк-Мой.4<3K, an/. j>J5−96.

46. Кд^о Т. fetb^X-ai^rn. jot имХЫи, сЦсо^^смaW crtljtfi. a^^dztcM o^ ЬмясхЛ, obWbcrtc/U. ty. UmoJLM Maii., 4*5*, A/% p. K1−3U.51. Lcuj «J^viX fr.P.A.1.Ml. clUJ. ШлмлЛ. ftjc., W.85, А/=3, р. ЪОЪ-ЪОв.

47. R, Л. Oyu t^c QcrccdL oj- ~tLs.Uai. } iW } nrol. XX, l (4, p. 53-П.

48. I^Ul&UTlcl Y. ExU&yuJL o^J. ЩиЛссСЬсъ o^ Mtdio^ •Jot JUIJLO*?M. o-hAb-atbsiA ivVtA, ru>vJU)*JLcOb —.

49. О&ЛХЛ. U.K. NoXk. оъ a (LuxJlvku njUcdiob erfKojxjdx^JkN*JmJL. QJUJ.55. ^cd^ti^jL^ 7). ^^ncjxturrx, OUui. ЛА^^тлЪь^in, a^W rwMt^dlcA CbwL*. HecbL. S^., 19 ?0,m>?.3, A/% p. T-M-ZM.

50. А. Lo-са/ лЪъи-^Ъжя.

51. К’cjbjULo W. Holxr>yu^Lj>L. S^ejyui^^Шгнлт. ofUue. Д^гН^гт^^еУгЛ^ё. BuAcllJl.(ЛаЫ,.

52. Ливчак А. Я. О постоянстве подпространств, связанных с присоединенными векторами конечномероморфной оператор-функции. -Воронеж, 1983. 17 с. — Рукопись представлена Воронежским лесотехническим ин-том. Деп. в ВИНИТИ 27 янв. 1983 г., № 488−83.

53. Ливчак А. Я. Операторы с конечномерным выступом нулейна риссовском ядре: двойственность и некоммутирувдие возмущения.-Воронеж, 1983. 18 с. — рукопись представлена Воронежским лесотехническим ин-том. Деп. в ШНИТЙ 27 янв. 1983 г., № 489−83.

54. Ливчак А. Я. Разложение на инвариантные пары для нерегулярного линейного операторного пучка. Воронеж, 1983. 13 с,-Рукопись представлена Воронежским лесотехническим ин-том. Деп. в ВИНИТИ I июня 1983 г., № 2922−83.

55. Ливчак А. Я. Постоянство подпространств, связанных с ко-нечномероморфными оператор-функциями. В кн.: УШ школа по теории операторов в функциональных пространствах. Рига, 1983, т.2, с. 14−15.

56. Ливчак А. Я. Операторные пучки и дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. Воронеж, 1984. — 28 с. — рукопись представлена Воронежским лесотехническим ин-том. Деп. в ВИНИТИ 8 февр. 1984 г., № 784−84.

57. Ливчак А. Я. Фредгольмовы оператор-функции в теории бифуркаций. Воронеж, 1984. — 20 с. — Рукопись представлена Воронежским лесотехническим ин-том. Деп. в ШНИЭД 22 июня 1984 г., 4248−84.

58. Ливчак А. Я. Независимость от параметра подпространств, связанных с конечномероморфными оператор-функциями. Функц. анал. и его приложения, 1984, т. 18, вып. 3, с. 86−87.