Математическое моделирование некоторых колебательных процессов в среде со случайными возмущениями

Глава 1. Постановка задачи. В данной главе строятся математические модели колебательных процессов различной физической природы в среде со случайным внешним возмущением в виде шума.

Первый класс моделей описывает три процесса: динамику численности двух конкурирующих видов, изменение концентраций реагентов в автоколебательной реакции и развитие эпидемии в замкнутой популяции. dX (t) = X{t))dt + B (t, X (t))dW (t), Х (0) = xQ, где.

• для динамики численности конкурирующих видов и эпидемии: xq = [Xi (0), Х2(0)]т — размеры популяций в начальный момент времени, X (t) — [Xi (t), X2(t)]T — размеры популяций в момент времени tJ? i, 62 удельные коэффициенты рождаемости, a d, d2 — смертности в первой и второй популяции, mi2, iri2i — коэффициенты перехода из одной популяции в другую. Для географически изолированных популяций т2 представляет миграцию из первой популяции во вторую, a т2 соответственно из второй в первую. Для модели эпидемии т2 представляет степень заболевающих, а т2i соответственно выздоравливающих. W (t) = [W (t), W2(t)]T — винеровский процесс, формальный дифференциал которого dW (t) понимается в форме Ито, а уравнения системы (1) следует рассматривать в интегральной форме. biXi — diXi — тпХ] + ГП21Х2.

Ль Л2) = |.

О2Х2 — d2X2 — m2X2 + ггщХх где oj — Jac — b2, d — л/a + с + 2ui, a — diXi + rrii2Xi + ТП21Х2 + biXi, b = -rriuXi — ГП21Х2, с = m2X + d2X2 + b2X2 + ГП21Х2. • для изменения концентраций реагентов: xq — [Xi (0), ^2(0), Хз (0)]т — начальное число молекул реагентов Si, S2, и S3, X (t) = X2(t), — число молекул веществ в момент времени ?- ль М2- Дз и /i4 — постоянные, W (t) = W (t), W2(t), W3(t)]T — винеровский процесс, формальный дифференциал которого dW{t) понимается в форме Ито. v2X3 + &Х$Х3 ;

— щХiX2 + /л2Х3 — [г3Х$Х3 + fnXl^ХгХ2 — /л2Хз — ц3Х%Х3/2 + IHXI/2,) (-(fi1X1X2y/2 {^2Х3)V2 2(№Х|Х3/2)½ -2(^/2)V2 ОлХЛ)1/* -(/*2*з)½ -(^зА^Хз/2)½ (д4Х12/2)½) l = В.

Частным случаем модели (1) является стохастргческая модель Лотки-Вольтерра, так же описывающая динамику численности конкурирующих видов (колебание концентраций реагирующих веществ) в среде со случайным внешним возмущением t) = (fci + a1x2{t))x1(t) + alXi{t)^{t), | x2(t) = (k2 + a2xi (t))x2(t) + a2x2{t)&(t), где xi (t), x2(t) — численность популяций (концентрации реагирующих веществ), к, к2 — коэффициенты рождаемости (повышения концентраций реагентов), ai, a2 — коэффициенты гибели (снижения концентрации реагентов), а ?1 (t) и — случайные процессы, которые при определенных условиях проживания конкурирующих видов (течения химических реакций) могут считаться независимыми гауссовскими белыми шумами.

Второй класс моделей описывает колебание упругой струны иод действием случайной внешней силы, которое описывает первая краевая задача для волнового уравнения со случайной внешней силой в виде шума с начальными и граничными условиями u" t{t, x) = u" x (t, x) + x{sgW{t) + sinirt) + SfSinx * W'(t), x € [0,1],? > 0, u (0, x) = ж (1 — x), = cos (:r), гх (*, 0) = 0, u (i, l) = 0. и аналогичная задача колебания прямоугольной мембраны u’lt{t, х, у) = v!'xx{t, х, у) + u%y (t, х, у) + xy{EgW{t) + sinirt)+ +?f Sin7T (.7T + у) * W'(t), x e [0,1], у E [0,1], G = [0,1] x [0,1], t > 0, (3) u (0, x, y) = simvx sin щ|t=0 = 0, 0, а также задача о. колебании бесконечной струны под действием случайной внешней силы в одномерном х) = а:) + g (t, х, W (t)) + /(*, ж, W{t)) * W" (0. и (0, ж) = щ (х), u’t (t, x) |t=0 = ж е е [°"г]> и многомерном случае.

М) = Au{t, М) + g (t, х, W (t)) + f (t, х, W (t)) * W'(t), u (0, M) = гю (М), t4(t, M) |tM) = v0(M), M (x, y, z) G R3, i € [0,T].

5).

Здесь g (t, x, v), f (t, x, v) — детерминированные функции, гладкие по своим переменным, формальная производная винеровского процесса понимается в смысле Стратоновича, а сами уравнения (2)-(5) — в интегральной форме. Д — оператор Лапласа, ?g,?f — константы, характеризующие степень влияния случайного внешнего воздействия на систему.

Глава 2. Разработка аналитического аппарата, необходимого для решения поставленных задач. Данный раздел посвящен аналитическому исследованию СДУ с многомерным винеровским процессом, систем таких СДУ, их детерминированных аналогов, а также СДУ в частных производных гиперболического тина.

В § 2.1 приводятся основные определения и понятия стохастического исчисления и теории симметричных интегралов. Пусть W (t) — W (t, uj), W (0) = 0, t G [0, +oo), — стандартный винеровский процесс, заданный на вероятностном пространстве с фильтрацией (Q, F, (Ft), Р). Вводятся в простейшем случае определения стохастических интегралов Ито и Стратоновича и формула Ито связи между ними.

Рассматривается стохастическое дифференциальное уравнение в форме Ито: dy (t) = a (t, y (t))dW (t)-{-b (t, y (t))dt, t > 0, с F0~ измеримым начальным условием у (0) = уо. Приводятся определения решений СДУ, теоремы о существовании и единственности решений, явные формулы решений для некоторых классов СДУ.

Вводятся основные понятия, связанные с симметричным интегралом, который является детерминированным аналогом стохастического интеграла.

Стратоновича. Пусть X (s), s? [0,оо) — произвольная непрерывная функция.

Рассмотрим разбиения Тп, п? N, отрезка [0, t}: Тп = 0 = t^ <

4П) < •¦¦ < 4П) < - < tml = t, п е N, такие, что Тп С Тп+и п? N, и Ап = шах t^j, ^ —^Jj —* 0 при п —> оо. Через X (ns), s? [О,*], обозначим h ломаную, построенную по функции X (s) и отвечающую разбиению Тп. Введем следующие обозначения: л-Л") Лп) Лп)^к ~Ък Ък-1' д47°.

Лп) Лп) Zk-VZk д4″ ' = Х (4″ >) — хц^у.

Определение. Симметричным интегралом называется.

J п i, J.

О * [At («, j если предел в правой части равенства существует и не зависит от выбора последовательности разбиений Тп, п? N.

Приводятся формулы для вычисления симметричного интеграла. Рассматриваются СДУ с многомерным винеровским процессом и их детерминированные аналоги, построенные на основе симметричного интеграла. Приводится метод, позволяющий свести решение такого уравнения к решению цепочки обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

В § 2.2 приводятся основные теоретические результаты о решении систем СДУ с многомерным винеровским процессом, с помощью которых описываются исследуемые в работе модели. Выделен класс систем, допускающий полностью явное аналитическое решение. Рассматривается система СДУ в форме Стратоновича вида тп—1 t.

ViСОm (0) =? /aifc (s, r/i (s), r/2(s),., r/n (s)) *dWk (s)+ к=1 о t f bi (s, 771(5), 7/2(5),., 7/n (s))d5, о.

6) m—1.

7/n (?) — 7/n (0) =? J0 7/1(5), 7/2(5). ., 77"(s)) * dWfc (s) + t f bn (s, 7/1 (5), 7/2(5), ., 7]n (s))ds, 0 где (Wi (s),., Wm (s)) — многомерный винеровский процесс с независимыми компонентами. Предполагается, что условие Липшица и условие линейного роста, обеспечивающие существование и единственность решения СДУ (см. [25]), выполнены. Пусть существует положительная константа К такая, что для всех 5 € [0, t] и у, у G Rw1 m—1 I ajk (s, у) ~ ajk{s, у) |2 + I bj-(s, y) — bj (s. у) |2 < K у — у k=l.

Til— 1 I ajk (s, y) |2 + I bjis, y)2.

7^(5,7/1(5), 772(5), 77n (s)) ¦ aK (s, 771(5), 7/2(5), ., 7/n (s)) =.

7) 1 it, E 7/1 (s), 7/2(5),., 77n (s)) ¦ a9fc (5,771(5), 772(s), ., r]n (s)).

9=1.

II.

E 7/l (5), 7/2(s), ., 7/n (s)) • (ln (s, 771(5), 7/2(5), ., 7/n (5)) =.

8).

1 n E ' 69(5, 77l (5), 772(5), ., 77"(5)) +.

9=1.

77l (5), 7/2(5), •¦¦, 7/n (s)) где j, l, q= 1,., ni, k = 1, ., ra — 1.

Теорема. Если система стохастических дифференциальных уравнений (6), удовлетворяет условиям (7) и (8), то ее решение представляется в виде 7]i (s) = ipi (s, Wi (s),., Wm-i (s)), i = 1,2, ., rc. где (pi (s, v b., vmi) — гладкие случайные функции, и удовлетворяет системе уравнений в полных дифференциалах тп—1 dipi (s.v) = X) pn (s, v))dvk + bi (s, tpi (s, v), ., ipn (s, v))ds, k=l.

Wmi (0)) = 77i (0),.

7 = 1, ., П, где v G Rw1.

В условиях этой теоремы стохастические интегралы в уравнениях системы (6) понимались в смысле Стратоновича по винеровскому процессу V^(s), но в ходе доказательства, работали с ними как с симметричными, поскольку в данном случае они совпадают. Кроме того, ни характеристики, ни свойства винеровского процесса нигде не использовались. Поэтому винеровский процесс W (s) можно заменить на произвольную непрерывную функцию неограниченной вариации X (s), утверждение теоремы останется справедливым.

В качестве иллюстративного примера, для системы СДУ.

771 (*) -m (0) = -fB (s, r]l (s), r]2(s)) ¦ (s2 + r]21(s))*dX (s)+ f A (s, T}i (s), 7]2(s))ds о m (t) — %(0) = f A (s, 7/1(5), 7/2(5)) * dX (s)~ 0.

— fB (s, m (s), V2(s)) ¦ (7/22(5) + X (s)2)ds, 0.

X (0) = 1, 77i (0) = l, 7/2(0) = 0,.

7/1(5) — mis) — x (s) • s где.

A (s, r]i (s), r}2(s)) = 5(5,7/I (S), 7/2(S)) = s • 772(5) + X (s) Tji (s)' 1 s • T)2(s) + X (s) ¦ 77i (s)' а первый интеграл в правой части уравнений понимается как симметричный по произвольной непрерывной функции неограниченной вариации X (s)] найдено точное решение.

7/2 (s) =. v ' 1+л/1−4ХЦз)**.

В § 2.3 изучаются СДУ в частных производных, с помощью которых описываются исследуемые в работе модели колебания струны и мембраны. Рассматривается уравнение в частных производных следующего вида j%su (t, x) = Fi (t, x, X (t), u (t, x), §-tu (t, x), ¦?-u (t, x),., dkfdkn +.

F2 (t, x,-^u (t, x)^ *X'(t).

9) где ki +. + kn = к < m, в области (s, x) e R+ x Rn, X'(t) есть формальная производная в смысле симметричного интеграла, а само уравнение (9) понимается в интегральном виде t>:о-!&bdquo-«).*)=.

Г* (д д дк ^ Fi я, X (s), u (s, ж), —ф, х), х),., ^ ^ u (s, х),.) ds+ t Xl'.

10) где второй интеграл в правой части есть симметричный интеграл по функции Х (з).

Решением уравнения (10) будем называть функцию u (t. х) = Jq (p (s, x, X (s))ds + V (x), имеющую все непрерывные частные производные, содержащиеся в правой части уравнения (10), для которой имеют смысл интегралы в правой части уравнения, обращающая уравнение (10) в тождество.

Теорема. Функция u{t, x) = fg </?(s, х, X (s))ds + V (x) из приведенного выше класса функций является решением уравнения (10) тогда и только тогда, когда ip (s, x, v) удовлетворяет паре соотношений.

-^ip (s, x, v) = F2(s, x, ip (s, x, v)), ?

Опираясь на эту теорему, для решения задачи Коши колебания бесконечной струны под действием случайной внешней силы х) = х) + X, W (t)) + /(t, a-, W (t)) * и (0,ж) = u0(a-), u’t (t, x) |*=0 = uo (^), x G R1,? G [О, Г], получен аналог формулы Даламбера x+t u (t, x) = i (w0(a- + t) + u0{x — t)) + f v0(€)d?+ x—t i f X+J T 9(j, e, W{r))didr + f F (s, X, W (s))ds— (12).

0 x-{t-r) 0 x+t t x+{t-r) т.

— i f F (CU, + I J f f F^(y,^W (y))dydtdT. x—t 0 x-(t-r) 0.

Для решения аналогичной задачи Коши в R3.

М) = Au (t, М) + g (t, х, W (t)) + f (t, х, WOO) * ti (0, M) = «о (М), М) 14=0 = vo (M), (13).

M{x, y, z) GR3, tG [0,Т], получен аналог формулы Кирхгофа u (t, М) = Ц (щ (х + У + t7], z + *С)Ж+ s.

IIЫ* +, У + + K))ds+.

14) j г г г jr г Af (e, M', w (e))de}dx'dy'dz'.

Здесь, как и ранее W (t) — винеровский процесс, g (t, x, v), f (t, x, v) -детерминированные функции, гладкие по своим переменным, формальная производная винеровского процесса W'{t) понимается в смысле Стратоновича, а сами уравнения (11), (13) — в интегральной форме.

При f (x, W (t)) = 0 задачи (11), (13) превращаются в классические, и формулы (12), (14) совпадают с классической формулой Даламбера и Кирхгофа соответственно. Таким образом, аналоги формул Даламбера и Кирхгофа (12), (14) являются ее обобщением и подходят для нахождения решения как классической задачи Коши для волнового уравнения, так и стохастической.

Рассматривается первая краевая задача для стохастического дифференциального уравнения в частных производных гиперболического типа + 2с"4 + (Зи — Аи = g (t, х, W (t)) + /(t, я, W (t)) * W'(t), (15) ж e г с Rn, t > о, u (0, x) = щ (х), utt=Q = V0(x), X e Г, где и — u (t, х), а, (3? R,.

П Q2 п Q.

А = + Х' i, j=1 г ^ г=1 1.

— эллиптический оператор второго порядка, в котором a, ij (t, x, w) и di (t, x, w) — предсказуемые гладкие функции, матрица {aij (t, x, w)}™J=1 с Р — 1 положительно определена, формальная производная винеровского процесса W'{t) понимается в смысле Стратоновича, а функции g (t, x, v), f (t, x, v) имеют непрерывные частные производные второго порядка по каждому аргументу. Уравнение (15) следует понимать в интегральной форме t t u’t (t, х) — г4(0. х) + 2au (t, х) — 2сш (0, х) + /3 f u (s, х) ds — j Au (s, х) ds = t t ° ° = f g (s, x, W{s)) ds + f f (s, я, W (s)) * о 0 где последний интеграл понимается в смысле Стратоновича. Показано, что решение задачи (15) представляется в виде u (t, х) = Jq F (s, х, W (s))ds-hc (t, х), V где F (s, x, v) = J f (s, x, y) dy, a c (t, x) является решением задачи W (0) ctt" + 2act' + (3c — Ac = M (t, x, W (t)), x G Г С Rn, t > 0, c (0, x) = u0(x), ct’t=0 = c (0, я) = г>0(ж), ж G Г, c (t,®)|seflr = - f F{s, x, W{s))xedrds + p{t), t> 0, v 7o где M (s, ж, W (s)) = W" (s))-2aF (s, rc, W{s))-[3 f° F (T, x, W®)dT +.

A (/- F (r, ж, W (t)) dr) + g (s, x, W (s)).

Таким образом, решение первой краевой задачи для стохастического дифференциального уравнения в частных производных гиперболического типа (15) сводится к решению классической первой краевой задачи, содержащей в правой части уравнения и в граничных условиях случайные функции.

Глава 3. Численно—аналитическое решение и моделирование поставленных задач.

В § 3.1 приведен алгоритм моделирования винеровского процесса.

В § 3.2 рассматривается стохастическая модель Лотки-Вольтерр'а, описывающая динамику численности двух конкурирующих видов (концентраций двух реагирующих химических веществ в автоколебательной реакции).

16) dxi (t) = + aix2(t)) xi (t)dt + a-iXi (t)dWi (t), dx2(t) = (k2 + a2xl{t)) x2(t)dt + a2x2(t)dW2(t).

Найден первый интеграл системы (16) b2[ln^ - a^t)} + a2[*i — e^^Wario] = = hiln^ - a2W2{t)) + ax[x2 — e^w^x20], где bi = k + b2 = k2 + a.

Показано, что решение стохастической системы Лотки-Вольтерра (16) представляется в виде x2(t) = e^w^c2(t), и находится из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений c[(t) = + а^МЮъУ) + ±-<т?) c'2{t) = c2(t)(k2 + a2e^w^Cl (t) + У2). Для решения последней системы предлагается следующий алгоритм:

Алгоритм.

1. Моделируются две независимые траектории броуновского движения Wi{t) и W2(t).

2. С помощью метода, описанного во второй главе текущей работы, выводится система уравнений (18). В этой системе отсутствуют слагаемые в виде стохастических интегралов, что позволяет применить классические численные методы для построения ее решения.

3. Система уравнений (18) решается классическими численными методами первого порядка, например, методом Эйлера. Последнее связано с тем, что решение этой системы ci (t), C2(t) имеет непрерывную производную только первого порядка.

4. Подставляя найденные значения c{t), C2(t) в соотношения (17), получим решение исходной задачи (16).

Используя правило Рунге, оценена погрешность полученных численных результатов.

В § 3.3 предлагается численно-аналитический метод решения первой краевой задачи для описания колебаний закрепленной упругой струны под действием случайной внешней силы u" t{t, x) = u'?x (t, x) +x (eaW (t) + sinirt) + ?fsmx* W'(t), x? [0,1], t > 0, ,.

1 ' J' ' (19) w (0, x) = x (l — ж), utt=0 — cos (a-), u (*, 0) = 0, u (t, 1) = 0. Ранее было показано, что решение уравнения (19) имеет вид и г t, x) = J? fSmxW®dT + c (t, x), (20) где неизвестная функция c (t, х) является решением следующей первой краевой задачи t c" t (t, x) = c’xX (t, x) + х (£gW{t) + sin 7rt) +?f s’mx J W®dr, (21) о ar e [0,1], t > 0, c (0, x) = x (l — x), ct|t=0 = cos (ar), c (t70) = 0, c (t, 1) = 0.

Для решения последней начально-краевой задачи предлагается следующий алгоритм:

Алгоритм.

1. Моделируется траектория броуновского движения W (t).

2. С помощью метода, описанного во второй главе текущей работы, выводится уравнение (21). В этом уравнении отсутствуют слагаемые в виде стохастических интегралов, что позволяет применить классические численные методы для построения его решения;

3. Первая краевая задача для уравнения на функцию c (s. х) решается аналитическими или численными методами.

4. С помощью соотношения (20) строится решение исходной первой краевой задачи (19).

В § 3.4 предлагается численно-аналитический метод решения первой краевой задачи для описания вибрации прямоугольной мембраны под действием случайной внешней силы я, у) = u’j.x (t, х, у) + u'^y (t, х, у) + xy{egW (t) + sinirt)+ +?f sin 7 г (х + у) * W'{t), Хе [0,1], у е [0,1], G = [0,1] х [0,1], t > 0, w (0, х, у) = sm7nr sin Utt=zQ = 0, u (t, x, y)x, yedG = о.

Стохастическая первая краевая задача (22) сводится к первой краевой задаче для классического (не стохастического) волнового уравнения c’lt{t, х, у) = ж> у) + M{t, х, у, W (t)), х е [0,1], у б [0,1], G = [0,1] х [0,1], t > 0, с (0,х, у) = sin ТЛЕ sin ctt=Q (t, x, у) = 0, (22) t c (t, x, y)x, yedG = - J F (s, x, у, W (s))X-yedGds, о где.

F (s, x, y, W (s)) — ?/sin7r (a: + y) W (s), s.

M (t, x, y, Wit)) = —2-kej sin7r (a- + y) J W®dr + xy (sgW (t) + sinwL), о для решения которой предлагается следующий алгоритм.

Алгоритм.

1. Моделируется траектория броуновского движения W (t);

2. С помощью метода, описанного во второй главе текущей работы, выводится уравнение (22). В этом уравнении отсутствуют слагаемые в виде стохастических интегралов, что позволяет применить классические численные методы для построения его решения;

3. Первая краевая задача для уравнения на функцию c (s, х, у) решается численными методами. В текущем параграфе предложен численный метод для построения решения задачи (22) — t.

4. С помощью соотношения u (t, х, у) = еf smr{x+y) f W (s)ds+c (t, x, y), о строится решение исходной первой краевой задачи (22).

Основные результаты работы.

1) Разработан новый способ численного моделирования колебательных процессов в среде со случайными возмущениями, которые описываются системами СДУ, в частности стохастической системы Лотки-Вольтерра динамики численности конкурирующих видов (концентраций реагентов в автоколебательной реакции) под действием случайных возмущений. Метод заключается в том, что, опираясь на аналитические результаты работы, исходная задача сводится к системе обычных дифференциальных уравнений в полных дифференциалах, где в качестве коэффициентов присутствует винеровский процесс, и которая решается классическими численно-аналитическими методами. Используя правило Рунге, оценена погрешность численных результатов;

2) Разработан новый способ численного моделирования колебательных процессов в среде со случайными возмущениями, которые описываются начально-краевой задачей для СДУ в частных производных гиперболического типа, а именно, колебаний упругой струны и мембраны иод действием случайных возмущений. Метод заключается в том, что, опираясь на аналитические результаты работы, исходная стохастическая начально-краевая задача сводится к классической начально-краевой задаче, где в качестве коэффициентов или краевых условий присутствует винеровский процесс, что позволяет воспользоваться классическими численно-аналитическими методами для ее решения;

3) Предложен новый аналитический метод решения широкого класса систем СДУ, включающий в себя, в частности, стохастическую систему Лотки-Вольтерра. Впервые найден первый интеграл последней в виде функции, связывающей численности конкурирующих видов (концентрации реагентов в авто-колебательных реакциях). Предложены аналоги формул Даламбера и Кирхгофа для решения задачи Коши колебаний бесконечной струны под действием случайной внешней силы.

1 Постановка задачи.

1. Анулова С. В. Стохастическое исчисление / Анулова С. В., Веретенников А. Ю., Крылов Н. В., Липцер Р. Ш., Ширяев А.Н.- ВИНИТИ, 1989. — т. 49. 260 с.

2. Байков В. А. Уравнения математической физики / Байков В. А., Жибер А. В. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. -256 с.

3. Бахвалов Н. С. Численные методы / Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М М.: Наука, 2004. — 636 с.

4. Бернштейн С. Н. Принципы теории стохастических дифференциальных уравнений / Бернштейн С. Н. // Тр. физ. мат. ин-та им. В. А. Стеклова.- 1934. т. 5. — С. 95−124.

5. Ватанабэ С. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы / Ватанабэ С., Икэда Н. М.: Наука, 1986. -445 с.

6. Гихман И. И. К теории дифференциальных уравнений случайных процессов / Гихман И. И. // Укр. мат. ж. 1950. — т. 2. — № 4. — С. 37—63.

7. Гихман И. И.

Введение

в теорию случайных процессов / Гихман И. И., Скороход А. В. М.: Наука, 1977. — 568 с.

8. Гихман И. И. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения / Гихман И. И., Скороход А.В.- Киев: Наукова. Думка, 1982. -611 с.

9. Гюнтер Н. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных М.: ОНТИ, 1934. — 360с.

10. Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы / Дуб Дж.Л. М.: Изд-во иностранной литературы, 1956. — 609 с.

11. Насыров Ф. С. О решении некоторых классов стохастических дифференциальных и интегральных уравнений и их детерминированных аналогов / Насыров Ф. С., Захарова О. В., Крымская М. В. // «Вестник УГАТУ» , — Уфа: РИК УГАТУ. 2006. — Т.7 — № 1 — С. 137−143.

12. Захарова О. В. Об одном методе решения стохастических дифференциальных уравнений и их детерминированных аналогов / Захарова О. В. // Труды «37-й Региональной молодежной конференции» .-Екатеринбург: УрО РАН 2006. — С. 191−194.

13. Захарова О. В. О решении детерминированных аналогов систем стохастических интегральных уравнений / Захарова О. В. // Сборник трудов участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, Ростов-на-Дону 2006. — С. 230−231.

14. Захарова О. В. О решении одного класса систем стохастических дифференциальных уравнений / Захарова О. В. // «Известия ВУЗов. Математика Казань. 2009. — № 6. — С. 3−9.

15. Звонкин А. К. Преобразование фазового пространства диффузионного процесса, уничтожающее снос / Звонкин А. К. // Мат. сб. 1974. — 93(135). — № 3. — С. 129 — 149.

16. Калиткин Н. Н. Численные методы / Под ред. А. А. Самарского — М.: Наука, 1978. 512с.

17. Каллианпур Г. Стохастическая теория фильтрации: Пер. с англ./ Под ред. А. В. Скорохода. М.: Наука, 1987. — 320с.

18. Кляцкин В. И. Стохастические уравнения глазами физика: Основные положения, точные результаты и асимптотические приближения / Кляцкин В. И. М.: Физматлит — 2001. — 528 с.

19. Колмогоров А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей / Колмогоров А. Н. // УМН 1938. — т.5. — С. 10−100.

20. Колмогоров А. Н. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме / Колмогоров А. Н., Петровский И. Г., Пискунов Н. С. // Бюлл. МГУ 1937. — № 6. — с. 1−26.

21. Крылов Н. В., Розовский Б. JI. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных и диффузионные процессы. // Успехи мат. наук. 1982. — Т. 37, № 6, — С. 75−95.

22. Кузнецов Д. Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения / Д. Ф. Кузнецов 3-е изд., испр. и доп. -СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2009. — 800 с.

23. Кушнер Г. Дж. Вероятностные методы аппроксимации в стохастических задачах управления и теории эллиптических уравнений / Кушнер Г. Дж.- ML: Наука 1985. — 222 с.

24. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. М.: Наука.- 1972.

25. Липцер Р. Ш. Статистика случайных процессов: нелинейная фильтрация и смежные вопросы / Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. М.: Наука, 1974. — 696 с.

26. Милыптейн Г. Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений / Милыптейн Г. Н. Свердловск.: Изд-во Уральского ун-та, 1988. — 225 с.

27. Насыров Ф. С. О локальных временах для функций и случайных процессов / Насыров Ф.С.// Теория вероятностей и ее применение 1995. т. 40. Л" - 4. — С. 798−812.

28. Насыров Ф. С. Симметричные интегралы и их применение в финансовой математике / Насыров Ф. С. // Труды МИРАН 2002. — т. 237. — С. 265 278.

29. Насыров Ф. С. Симметричные интегралы и стохастический анализ / Насыров Ф. С. // Теория вероятностей и ее применение 2006. — т. 51. № 3 С. 496−517.

30. Насыров Ф. С. О решении некоторых классов стохастических дифференциальных и интегральных уравнений и их детерминированных аналогов / Насыров Ф. С., Захарова О. В., Крымская М. В. // Вестник УГАТУ 2006. Т.7, № 1 с. 137−143.

31. Розанов Ю. А. Случайные поля и стохастические уравнения с частными производными. М.: Наука. — 1995. — 256 с.

32. Розовский Б. Л. Эволюционные стохастические системы / Розовский Б.Л.- М.: Наука, 1983. 208 с.

33. Самарский А. А. Численные методы: Учебное пособие для вузов. / Самарский А. А., Гулин А. В. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989; 432 с.

34. Феллер В. К теории стохастических процессов (Теоремы существования и единственности) / Феллер В. // УМН 1938. — т. 5. — С. 57—96.

35. Ширяев А. Н. Вероятность / Ширяев А. Н. М.: МЦНМО, 2004. — т. 2. -405 с.

36. Эллиот Р. Стохастический анализ и его приложения. М.: Мир. — 1 986 351 с.

37. Allen E.J. Modeling with Ito Stochastic Differential Equations / Allen E.J. -Springer, 2007. 230 p.

38. Allen E.J. Derivation of Stochastic Partial Differential Equations / Allen E.J. // Stochastic Analysis and Applications 2008. — № 26. — P. 357−378.

39. Alos E. Stochastic partial differential equations with Dirichlet white-noise boundary conditions / Alos E., Bonnacorsi S. // Ann. Inst. H. Poincare Probab. Statist. 2002. — № 38(2). — P. 125 — 154.

40. Arnold L. On the consistency of the mathematical models of chemical reactions / Arnold L. // Dynamics of synergetic systems, Bielefeld 1980. — P.107 -118.

41. Boyce W.E. Approximate solution of random ordinary differential equations / Boyce W.E. // Adv. in Appl. Probab. 1978. — № 10. — P. 172 — 184.

42. Chung K.L., Williams R.J. Introduction to stochastic integration Boston: Birkhauser — 1983. — 191 p.

43. Dalang R. C., Frangos N. E. The stochastic wave equation in two spatial dimensions / Dalang R. C., Frangos N. E. // Annals of Applied Probability.- 1998. 26(1) — P. 187−212.

44. Da Prato G. Evolution equations with white-noise boundary conditions / Da Prato G., Zabczyck J. // Stoch. and Stoch. Reports -1993. v. 42. — P. 167- 182.

45. Da. Prato G., Tubaro L. Stochastic partial differential equations and applications Marcel Dekker, Inc., New York. — 2002.

46. Da Prato G., Zabczyck J. Evolution equations with white-noise boundary conditions / Da Prato G., Zabczyck J. // Stoch. and Stoch. Reports. 1993. Vol. 42. P. 167−182.

47. Evans L.C. An introduction to stochastic differential equations UC Berkeley, 2002. — 139p.

48. Friedman A. Stochastic Differential Equations and Applications. Vol. 1. -New York: Academic. — 1975.

49. Holden, H., Oksendal, В., Uboe, J., Zhang T. Stochastic partial differential equation A Modeling, White Noise Approach Series / Holden, H., Oksendal, В., Uboe, J., Zhang T. // Birkhauser Boston Inc., 1996, 234 p.

50. Ito K. Differential equations determining Markov processes / Ito-K. // Zenkoku Shijo Sugaku Danwakai 1942. — v. 244. — № 1077 — P. 1352 -1400.

51. Ito K. On stochastic differential equations / Ito K. // Mem. Amer. Math. Soc.- 1951. v. 4 — P. 250−368 1352 -1400.

52. Khoshnevisan D., Rassoul-Agha F. A minicourse on stochastic partial differential equations. / Khoshnevisan D., Rassoul-Agha F. (eds.) Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2009, 215p.

53. Kloeden P.E. Numerical solution of stochastic differential equations / Kloeden P.E., Platen E. Berlin.: Springer-Verlag, 1992. — 632 p.

54. Kotelenez P. Stochastic Ordinary and Stochastic Partial Differential Equations: Transition from Microscopic to Macroscopic Equations / Kotelenez P.- Springer Sciens+Business Media LLC, 2008, 458 p.

55. Мао X., Markus L. Wave equation with stochastic boundary values // .J. Math. Anal, and Appl. 1993. — Vol. 177. — P. 315−341.

56. Maruyama G. Continious Markov processes and stochastic equations // Rend. Circolo Math. Palermo. 1955. — Vol. 4. — P. 48−90.

57. Maslowski B. Stability of semilinear equations with boundary and pointwise noise / Maslowski B. // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa 1995. v. 12. P. 68−136.

58. Oksendal B. Stochastic differential equations / Oksenda.1 B. 5ed. Springer-Veglar Heidelberg New York, 2000, 332 p.

59. Orsingher E. Randomly forced vibrations of a string / Orsingher E. // Annates de l’institut Henri Poincare' (B) Probabilite’s et Statistiques 1982. — v. 18. № 4 — P. 367−394.

60. Platen E. A generalized Taylor formula for solutions of stochastic differential equations. Sankhua 44A, 1982(1), pp. 163−172.

61. Sole J.L., Utzet F. Stratonovich integral and trace / Sole J.L., Utzet F. // Stochastics and Stochastics Reports, 1990. — 29 (2). — P. 203−220.

62. Sowers R. Multidimensional reaction-diffusion equations with white noise boundary perturbations / Sowers R. // Ann. of Prob. 1994. — v. 22. — P. 2071 — 2121.

63. Wiener N. Differential space / Wiener N. // J. Math. Phys. 1923. — v.2. -P. 131 — 174.

64. Yamada T. On comparison theorem for solutions of stochastic differential equations and its applications / Yamada T. // J. Math. Kyoto Univ. 1973. v.3. P. 497 — 512.