Математическое моделирование заноса автомобиля

Современная автомобильная промышленность является достаточно развитой, высокотехнологичной отраслью. Законы рынка заставляют автопроизводителей всесторонне повышать качество выпускаемой ими продукции, уделяя внимание как дизайну автомобилей, так и их комфорту, надежности и практичности. Особое внимание привлекается к вопросам безопасности движения, в частности, к проблемам предотвращения ситуаций, приводящих к заносу автомобиля.

Разработка надежного и безопасного автомобиля предполагает построение и анализ соответствующих математических моделей на начальном этапе проектирования. Статические математические модели дают возможность исследования эффективности так называемых пассивных средств безопасности, предназначенных для защиты жизни и здоровья водителя и пассажиров автомобиля в случае аварии. К ним относятся инерционные ремни, подушки безопасности, мягкие элементы передней панели, безопасные стекла, энергопоглощающие бамперы, различные элементы, усиливающие жесткость корпуса автомобиля.

Использование динамических моделей позволяет оценить влияние конструктивных параметров автомобиля на его движение, разработать эффективные алгоритмы управления автомобилем и реализовать их в виде так называемых средств активной безопасности. В отличие от пассивных, средства активной безопасности контролируют движение и вмешиваются в процесс управления автомобилем, помогая снизить вероятность возникновения аварийных ситуаций и минимизировать их негативные последствия. К ним относятся антиблокировочная и антипробуксовочная системы, система курсовой устойчивости, электронная система блокировки дифференциала и проч. Динамические модели используются также при разработке программного обеспечения для различных тестовых стендов и тренажеров, позволяющих сформировать у водителей необходимые навыки управления автомобилем.

По статистике большинство автомобильных аварий происходит вследствие потери сцепления колес с дорогой, приводящей к возникновению заноса. В диссертационной работе описывается движение автомобиля в различных ситуациях, возникающих при разгоне, торможении, прохождении поворота. Проводится построение динамической модели переменной структуры, позволяющей исследовать влияние ряда параметров конструкции автомобиля, управляющих воздействий — разгонных и тормозных моментов, а также угла поворота передних колес на возникновение и начальную стадию развития заноса.

Определим используемое в данной работе понятие заноса. Рассмотрим движение автомобиля на конечных интервалах времени Т ~ Т0, в течение которых развиваются процессы разгона, тормоэ/сения, поворота. Зададимся программным, невозмущенным, движением, например, движением по средней линии дорожной полосы с требуемой путевой (продольной) скоростью. Будем предполагать, что соответствующие программные значения угла поворота передних колес, разгонных и тормозных моментов не превосходят ограничений, определяемых нормами безопасности движения. Зададимся начальными отклонениями 50 параметров бокового движения автомобиля от их невозмущенных, программных, значений. Если за рассматриваемое конечное время Т0 эти отклонения возрастают до неприемлемых по требованиям безопасности двиэ/сения значений е0, то будем называть режим движения заносом.

Таким образом, занос определяется как проявление технической неустойчивости на конечном интервале времени [1]. Приведенное определение, с одной стороны, включает в себя традиционную трактовку заноса как потери сцепления с дорогой колес задней оси автомобиля и возникновения «большой» по абсолютной величине угловой скорости корпуса, приводящей к существенному отклонению параметров в случае программного прямолинейного движения. С другой стороны, данное определение позволяет рассматривать в качестве заноса и другие ситуации отклонения от программного движения, например, случай прямолинейного движения вместо программного движения в повороте. Подобный режим движения чаще всего возникает при потере сцепления передних управляемых колес в сложных погодных условиях.

Динамика автомобиля описывается сложными нелинейными системами дифференциальных уравнений высокого порядка. В случае, когда ставятся задачи оценивания и управления в реальном масштабе времени или качественного анализа, используемая модель, напротив, должна быть как можно более простой. Такие задачи решаются в ходе планирования траекторий движения автомобиля, проводимого бортовым вычислителем с применением оптимальных задач методов управления. Для формирования упрощенных моделей актуально приближенное моделирование исходной системы с применением разделения движений, позволяющее избежать интегрирования на больших характерных временах с малым шагом в долях малого характерного интервала времени, затрудняющего численное решение задачи.

В настоящей работе рассматривается динамика автомобиля, движущегося с небольшими боковыми наклонами при малых различиях характеристик сцепления правых и левых колес одной оси с дорогой, в предположении недеформируемости деталей кузова, рулевого управления, крепления колес и проч. В рамках такой постановки постоянные времени движения автомобиля могут быть разбиты на три группы:

— «медленное» время траекторных движений, имеющее порядок 1 с;

— «среднее» время боковых движений точек контакта колес с дорогой, имеющее порядок 0,1 с;

— «быстрое» время продольных движений точек контакта колес с дорогой, имеющее порядок 0,01 с.

При движении с потерей сцепления с дорогой колес обеих осей «быстрым» является характерное время вращения колес, имеющее порядок 0,1 с.

Методы фракционного анализа, объединяющего методы теории размерности и подобия [29] и методы теории сингулярных возмущений [5, 6, 39], позволяют упростить исходную модель автомобиля, составленную в соответствии с законами классической механики. При помощи нормализации на классе «медленных» траекторных движений исходная, размерная, система приводится к сингулярно возмущенной форме с малыми параметрами, отражающими малость отношения указанных выше малых и больших характерных времен. Методы теории сингулярных возмущений позволяют, далее, разделить «быстрые» и «медленные» движения автомобиля, т. е. построить приближенные модели его движения на каждом из временных интервалов, и оценить погрешность и область применимости указанных моделей. Порядок дифференциальных уравнений приближенных моделей является более низким по сравнению с порядком уравнений исходной системы. Их интегрирование может быть проведено в реальном времени. В ряде случаев приближенные модели допускают аналитическое исследование.

В настоящей работе предложены методика введения в уравнения движения автомобиля иерархической структуры малых параметров и способ исследования корректности предельных переходов по малым параметрам. Построена динамическая модель переменной структуры, образованная набором приближенных математических моделей медленных, траекторных, а также быстрых составляющих движения автомобиля на начальной стадии заноса при различных вариантах потери сцепления колес с дорогой. Основные результаты диссертации являются новыми.

Результаты работы получены путем упрощения широко используемой в практических задачах «велосипедной» модели движения автомобиля. Для исследования применимости этой модели к рассматриваемым в диссертации задачам начальной стадии заноса проведено ее численное сравнение с четырехколесной моделью автомобиля, достоверность которой подтверждена испытаниями реального автомобиля. При построении приближенных моделей движения «велосипедной» модели в работе использованы подходы, основанные на строгих математических методах.

Теоретическая ценность работы заключается в развитии подходов фракционного анализа, ориентированных на создание упрощенных математических моделей движения колесных транспортных средств и исследование пределов применимости классических моделей механики. Разработана методика введения в уравнения движения колесных транспортных средств иерархической структуры малых параметров. Сформирован набор приближенных моделей более низкого порядка, позволяющих в реальном времени описывать движения автомобиля в режиме псевдоскольжения и на начальной стадии потери сцепления колес с дорогой. Построенные в диссертационной работе приближенные модели могут быть использованы для верификации более сложных моделей движения автомобиля, а также для формирования алгоритмов, используемых в программном обеспечении тренажерных комплексов водителя и средств активной безопасности автомобиля, работающих в режиме реального времени и способствующих предотвращению заноса или минимизации его отрицательных последствий.

Настоящая работа состоит из введения и трех глав. Во введении анализируются подходы к проблеме математического моделирования динамики автомобиля. Приводятся необходимые понятия и теоремы методов фракционного анализа, используемых в дальнейшем при решении задачи. В первой главе формируется исходная, «велосипедная», математическая модель, описывающая движения автомобиля с малыми боковыми наклонами и малыми различиями характеристик сцепления колес одной оси с дорогой. Используемая модель контактных сил учитывает явление псевдоскольжения при малых скоростях точек пятна контакта колеса относительно дороги. С применением численных методов проводится количественная оценка области применимости исходной модели. Обсуждается постановка задачи приближенного моделирования «быстрых» и «медленных» составляющих движения автомобиля. Вторая глава посвящена приближенному моделированию движения автомобиля без потери сцепления колес с дорогой. В третьей главе построена математическая модель переменной структуры, позволяющая описывать занос автомобиля. Указанная модель образована приближенными моделями движения автомобиля при различных вариантах потери сцепления колес с дорогой и условиями перехода от одной модели к другой.

Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям профессору кафедры прикладной механики и управления д.ф.-м.н.

И.В. Новожилову] и старшему научному сотруднику лаборатории управления и навигации к.ф.-м.н. A.B. Влаховой за постановку задачи и помощь в работе, а также профессору кафедры прикладной механики и управления д.ф.-м.н. Ю. Г. Мартыненко за ценные замечания и рекомендации, д.ф.-м.н. М. Х. Магомедову и ученому секретарю кафедры прикладной механики и управления, к.ф.-м.н. П. А. Кручинину за всестороннюю поддержку.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 04−01— 759, 06−01−517) и аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы 2006;2008 г.» .

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13−17, 37, 38].

Заключение

.

В диссертационной работе были разработаны подходы, позволяющие сформировать простые математические модели движения колесных транспортных средств при различных вариантах потери сцепления колес с дорогой. Класс исследуемых движений автомобиля ограничивался движением с малыми боковыми наклонами и малыми различиями характеристик сцепления каждого из колес одной оси с дорогой. Поэтому в качестве исходной (полной) модели рассматривалась «велосипедная» модель движения автомобиля, т. е. модель, в которой отсутствуют боковые наклоны и каждое из колес одной оси заменено одним эквивалентными колесом. Модель касательных составляющих контактных сил в точках взаимодействия колес с дорогой, в отличие от неголономной модели, учитывала возможность малых проскальзываний колес относительно дороги. Для случая малых проскальзываний используемые выражения для контактных сил обобщали классические представления о нелинейных моделях увода. В случае потери сцепления колеса с дорогой моделью контактных сил служила модель кулонова трения.

Для приближенного математического моделирования движения автомобиля в работе использовалась методика фракционного анализа, объединяющая методы теории размерности и подобия и методы теории возмущений. Применение указанных методов к рассматриваемой системе позволило упростить «велосипедную» модель движения автомобиля и получить оценки возможного развития заноса. Построенные модели могут применяться для верификации более сложных численных моделей движения автомобиля. Поскольку приближенные модели учитывают малые проскальзывания колес, не потерявших сцепление с дорогой, они, в отличие от их неголономных аналогов, могут быть рекомендованы для формирования алгоритмов антизаносного управления, позволяющих предотвратить развитие или парировать уже начавшийся занос. Указанное направление может служить одним из возможных перспективных направлений исследований в области математического моделирования заноса.

Перечислим коротко основные результаты работы.

1. Рассмотрена «велосипедная» модель движения автомобиля, учитывающая псевдоскольжения колес. При помощи методов фракционного анализа, включающего методы теории размерности и подобия и методы теории возмущений, построены асимптотические модели движения автомобиля для случая произвольных углов поворота передних управляемых колес. Указанные модели описывают порознь «медленные» движения на временах порядка нескольких секунд, в течение которых происходят траекторные движения автомобиля, и «быстрые» изменения скоростей точек контакта колес.

2. Рассмотрена неголономная модель движения автомобиля, имеющая тот же порядок дифференциальных уравнений, что и асимптотическая модель «медленных» составляющих движения для случая псевдоскольжения колес. Проведено аналитическое и численное сравнение неголономной модели и моделей, полученных асимптотическими методами.

3. При помощи методов фракционного анализа построены приближенные математические модели движения автомобиля при различных вариантах потери сцепления колес с дорогой. Получены оценки точности и условия корректности моделей. На основании указанных моделей построена динамическая модель переменной структуры, описывающая движение автомобиля в различных дорожных ситуациях.

4. Проведен численный анализ динамической модели переменной структуры, позволивший подтвердить ее достоверность на основании тестовых расчетоврассмотрено влияние на ход заноса управляющих параметров, разгонных и тормозных моментов, и углов поворота передних колес.